泰勒公式证明必须看word资料11页

泰勒公式（提高班）

授课题目：

§3.3泰勒公式

教学目的与要求：

1.掌握函数在指定点的泰勒公式；

2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.

教学重点与难点：

重点：几个常用函数的泰勒公式

难点：泰勒公式的证明

讲授内容：

对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。

在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式：

≈1，x

e x+

x

ln(．

1

+)

x≈

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0

x处这些—

=

次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．

但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到(1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式

n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=Λ (1)

来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差)()(x p x f n -的具体表达式．

下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0)(x f n Λ相等，即满足

)()(00x f x p n =，)()(00x f x p n

'='， )()(00x f x p n

''=''，)(,0)()(x f p n n n =Λ， 按这些等式来确定多项式(1)的系数n a a a a Λ,,,210.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得

)(00x f a =，)(101x f a '=⋅，)(!202x f a ''=，)(!,0)(x f a n n n =Λ ， 即得 )(00x f a =，)(01x f a '=，)(!2102x f a ''=，)(!

1

,0)(x f n a n n =Λ. (2)

将求得的系数n a a a a Λ,,,210代入（1）式，有

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=Λ.

下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的n 次多项式．

定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间(b a ,)内具有直到(1+n )阶的导数，则当任一),(b a x ∈，有

++-''+

-'+=Λ200000)(!

2)

())(()()(x x x f x x x f x f x f

)()(!

)

(00)(x R x x n x f n n n +-,

（3） 其

中

1

0)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ，

（4）

这里ξ是0x 与x 之间的某个值． 证明 )()()(x p x f x R n n -=．只需证明

10)1()()!

1()

()(++-+=

n n n x x n f x R ξ (ξ在0x 与x 之间)．

由假设可知，)(x R n 在(b a ,)内具有直到(1+n )阶导数，且

.0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n

n Λ 对两个函数)(x R n 及10)(+-n x x 在以0x 及x 为端点的区间上应用柯西中值

定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得 n

n

n n n n n x n R x x x R x R x x x R )

)(1()(0)()()()()(01110010-+'=---=-++ξξ (ξ在0x 与x 之间)，

再对两个函数)(x R n

'与n x x n ))(1(0-+在以0x 及1ξ为端点的区间上应用柯西中值定理，得

1

022*******))(1()(0))(1()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n

n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ

(2ξ在0x 与1ξ之间)．

照此方法继续做下去，经过(1+n )次后．得

)!1()

()

()()

1(1

0+=-++n R x x x R n n n n ξ (ξ在0x 与n ξ之间，因而也在0x 与x 之间)．

注意到)()()1()1(x f x R n n n ++= （因0)()1(=+x p n n ），则由上式得

10)1()()!

1()

()(++-+=

n n n x x n f x R ξ （ξ在0x 与x 之间），

定理证毕．

多项式(2)称为函数)(x f 按(0x x -)的幂展开的n 次近似多项式，公式(3)称为)(x f 按)(0x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式．而)(x R n 的表达式(4)称为拉格朗日型余项．