三角形中的线 (人教版)(含答案)
三角形全等之倍长中线(类倍长一)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________．问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线．三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．如图，先在图上走通思路后再填写空格内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABE，△ECF；③AB=CF；④等角对等边B.②SAS，△ABE，△DEC；③AB=CF，∠BAE=∠F；④等边对等角C.②SA S，△ABE，△FCE；③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F；④等边对等角D.②SAS，△ABE，△FCE；③AB=FC，∠BAE=∠F；④等角对等边答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．∵E是BC的中点∴BE=CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED（SAS）∴____________________________∵∠BAE=∠D____________________________∴AB=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：①BF=CD，∠EBF=∠C；②BF=CD，∠F=∠D；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线3.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．如图，先在图上走通思路后再填写横线上的内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长GE到点H，使EH=GE，连接CH；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④再与已知条件重新组合，经过推理，可得BG=CF．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABD，△FEC；③BG=CF；B.②SAS，△BEG，△CEH；③BG=CH，∠BGE=∠H；C.②SAS，△BEG，△CEH；③GE=HE，∠BGE=∠H；D.②SAS，△BEG，△EHC；③BG=CH；答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线4.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．证明：延长FE到点H，使得EH=FE，连接BH．∵E为BC的中点∴BE=CE在△BEH和△CEF中∴△BEH≌△CEF（SAS）∴____________________________∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵AD∥EF∴____________________________∴∠3=∠H∴BG=BH∴BG=CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠H=∠F，BH=CF；②BH=CF，∠EBH=∠C；③∴∠1=∠3；④∴∠1=∠3，∠2=∠F．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线。
专题01 三角形的三边、高线、中线及角平分线(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题01三角形的三边、高线、中线及角平分线考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，x<<．x143143∴-<<+，即1117x为正整数，12x=，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是∴ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ∴AB 于点D ，已知∴ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线 C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】 本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴CD =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点A 、点B 是直线l 上两点，10AB =，点M 在直线l 外，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，若点P 为直线l 上一动点，连接MP ，则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，10AB =，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，AB MP AM BM ∴⋅=⋅，即1068MP =⨯，解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD 是∴ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且∴ABD 的周长为12，则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD =，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，AD CD ∴=，5AB =，ABD △的周长为12，12AB BD AD ∴++=，即512BD AD ++=，解得：7BD AD +=，7BD CD ∴+=，则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD =，然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=，∴5AB AC -=或者5AC AB -=，∴AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC +=，∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩， 故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D ，E 分别是∴ABC 边AB ，BC 上的点，AD =2BD ，BE =CE ，设∴ADF 的面积为S 1，∴FCE 的面积为S 2，若S △ABC =16，则S 1－S 2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE，∴BE＝12BC，∴S△ABC＝16，∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝13S△ABC＝163，∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝83，故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是∴ABC 的中线，BE 是∴ABD 的中线，EF ⊥BC于点F．若24ABCS=，BD =4，则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线，S △ABC =24，∴S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是∴ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，∴S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =6，即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五 三角形的角平分线 例题：（2022·全国·八年级）如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90°，AD是高，可得∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，又因为BE是角平分线，可得∴ABE=∴DBE，故能得到∴AEG=∴DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，可得∴EAG=∴DBA，因为∴DBA=2∴EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90°，AD是高，∴∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，∴BE是角平分线，∴∴ABE=∴DBE，∴∴AEG=∴DGB，∴∴DGB=∴AGE，∴∴AEG=∴AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，∴∴EAG=∴DBA，∴∴DBA=2∴EBC，∴∴EAG=2∴EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∴ABC中，∴C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∴EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE，∴BE是∴ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC，∴BD是∴BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC，∴∴2＝∴3，但不能推出∴2、∴3和∴1相等，故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线，所以AE ＝CE ，故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高，所以∴ADC ＝90，故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE ，故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线，所以∴ACB ＝2∴ACF ，故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线，∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝12AC ，（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线，∴12∠=∠ ，∴BE 是ABC ∠的角平分线， ∴132∠=ABC ∠， ∴CF 是ACB ∠的角平分线，∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分ABC的面积，则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积，∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积，∴两个三角形的高为同一条高，∴BD=CD，∴AD为∴ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF 是ABE△的边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△，∴AE是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=，又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯=，182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====，则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm ，xcm ，4cm ，则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋，∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，a b 、满足()2610a b -+-=，c 为偶数，则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a ，b 满足()2610a b -+-=，∴a -6=0，b -1=0，解得a =6，b =1，∴6-1=5，6+1=7，∴5＜c ＜7，又∴c 为偶数，∴c =6，故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB∴BD 于点B，AC∴CD 于点C，且AC 与BD 交于点E，已知AE=10，DE=5，CD=4，则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD，AC∴CD，∴AB是∴ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅， ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯===， 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，2AB AC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F .若ABC S =PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接APPE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC ==，ABC S ∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线，若∴ABD的周长为17，求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD，根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∴AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∴BD是∴ABC的中线，∴AD＝CD，∴∴ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∴AB ＝1，∴AD +BD ＝16，∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c +-=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)a =5b =，c =(2)能构成三角形，周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥0，0c -≥，a 、b 、c 满足(20a c -=，∴0a =，50b -=，0c -，解得a =5b =，c =；(2)解：∴81825<<，∴5，即a c b <<，∴5=>，∴能构成三角形，三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ，则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，BD 是AC 边上的中线，△ABD 比△BCD 周长长4cm ，求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6，AC =6，BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD =，从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14，，以及,AB AC ＝，可得214AB BC +=进行计算即可解答．【详解】解：（1）设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD 是AC 边上的中线，,AD CD ∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm，()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是14，14,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∴BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE 是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高， ∴12AD •BC ＝12AB •AC ，∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D ，连接CD ，使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点，取格点D ，满足3BD AD =，则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图，AE 即为BC 上的高．(2)如图，利用网格特点，可得3BD AD =，∴D 即为所求作的点，满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒，40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，CE 是ACB ∠的平分线，∴1352ACE ACB ∠=∠=︒． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒，∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠=，B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+，CE 是ACB ∠的平分线，∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒-， ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，∴ABC 中，∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ，点E 在AB 上，EG ∴AD ， EF ∴AD ，垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE ，若S △ADE ＝S 梯形EFDG ，猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2，再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG ，结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒， 又∴EF ∴AD ，∴29060BAD ∠=︒-∠=︒， ∴EG ∴AD ，∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD ，∴S △ADE =12AD EF ⋅，S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG ，∴AD =AF +DF ，∴DF +EG =AF +DF ，即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，已知AB =5，AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中，若AB 边上的高为2，求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5，AC =3，∴5353BC -<<+，即28BC <<，故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++，∴ACD 的周长为AC AD CD ++，∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=，故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h ， 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯, 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯， 解得103h =． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．。
直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)
试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力．
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点.
③统计数据，检验，防止遗漏．
2．解题过程
3.易错点
未考虑C′D=AD，遗漏三角形ADC′是等腰三角形这一种情形．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC延长线上,且 .若∠D=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.40° D.45°
∴∠1=∠B=20°
∴∠3=40°
∵E为AB的中点，∠ACB=90°
∴CE=BE=AE
∴∠2=∠B=20°
∴∠DFE=∠AFC=∠2+∠3=60°
故选C
试题难度：三颗星知识点：三角形的外角
8.如图,AD是直角三角形△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,
连接CC′,则图中共有等腰三角形( )个.
∵F为BD中点
∴EF⊥BD
故选A
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.
若∠B=20°,则∠DFE的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：C
解题思路：
人教版2020年九年级中考数学一轮复习 第15讲 三角形(有答案)
第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。
新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线
初中数学试卷灿若寒星整理制作新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题（共15题）1．以下说法错误的是（）A．三角形的三条高所在的直线一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高所在的直线可能相交于外部一点答案：A知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高所在的直线在三角形外部交于一点．分析：此题考查三角形的三条角平分线的交点、中线的交点和高的交点位置.2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：锐角三角形的三条高在三角形内部交于一点，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高在三角形外部交于一点．分析：此题考查三角形的三条高的交点位置.3．能把一个三角形的面积一分为二的线段是（）A.高B.中线C.角平分线D.外角平分线答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积解析：解答：因为三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，所以，分成的两三角形的面积相等．分析：本题考查了等底等高的两个三角形的面积相等的性质，根据此性质，可以解决很多利用三角形的面积进行计算的题目，需熟练掌握并灵活运用.4．下列说法不正确的是（）A.△ABC的中线AD平分边BCB.△ABC的角平分线BE平分∠ABCC.△ABC的高CF垂直ABD.直角△ABC只有一条高答案：D知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：根据三角形的角平分线、中线和高的概念可知A，B，C项都正确；D项，直角△ABC 有三条高，且三条高的交点在直角的顶角上，故D错．分析：本题考查了三角形的角平分线、中线和高的概念，理解它们的概念是解题的关键. 5．画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A.B.C.D.答案：D知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的是D．分析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；应熟练掌握三角形的三条高的画法．6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AD是边BC上的高B．△ABC中，GC是边BC上的高C．△GBC中，GC是边BC上的高D．△GBC中，CF是边BG上的高答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：A项，∵AD⊥BC，∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；B项，AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；C项，∵GC⊥BC，∴在△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；D项，∵CF⊥AB，∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误.分析：本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键.7．三角形的三条中线的交点的位置为（）A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能与三角形一条边重合答案：A知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：三角形的三条中线都在三角形的内部，所以它们的交点的也一定在三角形内.分析：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记概念是解题的关键．8．三角形的三条高在（）A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的边上D.三角形的内部、外部或与边重合答案：D知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：①锐角三角形的三条高，都在三角形内部；②直角三角形的三条高，有两条高与两条直角边重合，有一条高在三角形的内部；③钝角三角形的三条高，有两条在三角形的外部，有一条高在三角形的内部.分析：此题考查三角形的三条高的交点，应熟练掌握锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高的画法．9．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB=2BF B．∠ACE=12∠ACBC．AE=BE D．CD⊥BE答案：C知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE.分析：考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．10．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，故③正确；又∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，∴AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C．分析：由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．11．下列说法不正确的是（）A．三角形的重心是其三条中线的交点B．三角形的三条角平分线一定交于一点C．三角形的三条高线一定交于一点D．三角形中，任何两边的和大于第三边答案：C知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：A项，三角形的重心是其三条中线的交点，正确；B项，三角形的三条角平分线一定交于一点，正确；C项，①锐角三角形的三条高线交于一点；②直角三角形的三条高线的交点在直角的顶点上；③钝角三角形的三条高线有两条高线在三角形的外面，三条高线没有交点，但它们所在的直线有一个交点；所以，C项错误；D项，三角形的三边关系，正确．故选C.分析：根据三角形的重心的定义判断A；根据三角形的角平分线的定义判断B；根据三角形的高的定义于性质判断C；根据三角形的三边关系判断D．12.给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接作出的图形叫三角形，故①错误；三角形的角平分线是线段，故②错误；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点，故③错误；任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故④正确；三角形的三条角平分线都在三角形内部且交于一点，这点也在三角形内，故⑤正确；正确的有2个.分析：本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键.13.一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线答案：A知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：A项，锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在△ABC内部，故本选项正确；B项，钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部，故本选项错误；C项，任意三角形的一条中线、二条角平分线都在三角形内部，但三条高不一定在三角形内部，故本选项错误；D项，直角三角形的三条高有两条是直角边，不在三角形内部，故本选项错误．分析：本题考查了三角形的角平分线、中线、高，是基础题，熟记概念是解题的关键．14.下如果AD是△ABC的中线，那么下列结论一定成立的有（）①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=12S△ABC．A．3个B．2个C．1个D．0个答案：C知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积解析：解答：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12BC，故①正确；∵AD与BC不一定互相垂直，∴AB与AC不一定相等，故②错误；设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABD=12•BD•h=12•12BC•h=12S△ABC，故③正确．.分析：此题考查了三角形中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的中线将三角形的面积平分，熟练掌握中线的性质是解题关键．15.如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S△BEF=4cm2，则S△ABC的值为（）A．1cm2B．2cm2C．8cm2D．16cm2答案：D知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积解析：解答：∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，∴S△BEC=2S△BEF=8（cm2），∴S△ABC=2S△BEC=16（cm2）．分析：由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．二、填空题（共5题）16．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．答案：6知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个：△ABC，△ABE，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD．分析：此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．17．如图，在△ABC中，BD=CD，∠ABE=∠CBE，BE交AD于点F．（1）是△ABC的角平分线；（2）是△BCE的中线；（3）是△ABD的角平分线答案：（1）BE （2）DE （3）BF知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵BD=CD，∴D是边BC上的中点，即AD，DE分别是△ABC和△BCE的中线.∵∠ABE=∠CBE，∴BE平分∠ABC，∴BE是△ABC的角平分线.又∵F在BE上，∴BF是△ABD的角平分线.分析：本题考查了三角形角平分线、中线、高线，熟记定义并准确识图是解题的关键．18．AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为.答案：2cm知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵AD是边BC上的中线，∴BD=CD.∵△ABD的周长为：AB+BD+AD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC，又∵AB=5cm，AC=3cm，∴AB-AC=2（cm）.即△ABD与△ACD的周长之差为2cm.分析：此题考查三角形的中位线的性质．此题的关键是将求△ABD与△ACD的周长之差，转化为求AB与AC的差.19．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=_______度.答案：84知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理解析：解答：∵BO，CO分别是∠B，∠C的平分线，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB.在△BCO中，∠CBO+∠BCO+∠BOC=180°，∴∠CBO+∠BCO=180°-∠BOC =180°-132°=48°，∴2（∠CBO+∠BCO）=∠ABC+∠ACB =2×48°=96°.∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°.分析：此题考查的是三角形的角平线的性质和三角形内角和定理．要求∠A，根据三角形内角和定理，可知需要求出∠ABC，∠ACB或者只求出∠ABC+∠ACB即可；再根据三角形的角平线的性质，可知∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，即∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB），从而只要求出∠CBO+∠BCO即可.20．如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB 上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有.答案：③④知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．分析：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．三、解答题（共5题）21．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．答案：8厘米，8厘米，11厘米或10厘米，10厘米，7厘米知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AB=2AD=2CD，∴AB+AD=3AD.①当AB与AD的和是12厘米时，AD=12÷3=4（厘米），所以AB=AC=2×4=8（厘米），BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；②当AB与AD的和是15厘米时，AD=15÷3=5（厘米），所以AB=AC=2×5=10（厘米），BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.分析：本题D点把三角形ABC的周长分成两部分（AB+AD）和（BC+CD），题中未说明12cm和15cm分别是哪一部分，因此要分类讨论．22．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？答案：4知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积解析：解答：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，∴S△BDE=12×12S△ABC=14S△ABC，∵△ABC的面积为40，∴S△BDE=14×40=10，设△BDE中BD边上的高为x，∵BD=5，∴12×5•x=10，解得x=4.分析：根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求出△BDE的面积为10，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.23.如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．答案：错误.因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线.知识点：三角形的角平分线、中线和高解析：解答：根据三角形的角平分线的定义，可知：①平分三角形的一个内角；②是一条线段，一个端点是三角形的顶点，另一点在这个顶点的对边上.而此题中AD满足①，但点D不在BC边上，故不满足②.所以，AD不是△ABC的角平分线.分析：考查了三角形的角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.24.如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB 交AC于N，求证：PA平分∠MPN.答案：见解答知识点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质解析：解答：证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵PM∥AC，PN∥AB∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，∴∠APM=∠APN，∴PA平分∠MPN．分析：先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，由PM∥AC，PN∥AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，然后经过等量代换即可得到∠APM= ∠APN.25.如图，△ABC是某村一遍若干亩土地的示意图，在党的“十六大”精神的指导下，为进一步加大农村经济结构调整的力度，某村决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供两种分法．要求：画出图形，并简要说明分法．答案：知识点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积解析：解答：第一种分法：取各边的中点，分别取AB，BC，AC的中点D，E，Y，连接DE，EY 和AE，所形成的四个三角形面积相等．第二种分法：在BC边上取BC的中点E，再分别取BE，CE的中点D，F，分别连接AD，AE，AF，所形成的四个三角形面积相等.分析：此题考查三角形的中线的性质，关键是运用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”的知识去分.。
人教版八年级下册数学辅导第6次(三角形的中位线定理、矩形)
一、已学知识回顾与复习●三角形的中位线：1、定义： 叫三角形的中位线。
∵ = = （已知） ∴DE 是△ABC 的中位线（三角形中位线的定义） 或∵DE 是△ABC 的中位线（已知）∴ = = （中位线的定义）2、相关定理：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
∵AD=BD,AE=CD(已知) ∴ （三角形中位线定理） （2）中位线定理的逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
（用于判定，证中点）∵ 点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC DE ＝12BC ∴（3）中位线定理的逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
（用于判定，证中点或一半）∵ AD=BD DE ∥BC （已知） ∴ ■典型考题例1、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点。
求PQ ：BE 的值.练习：1、如图，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、A D 的中点，且AB=6,CD=10， 则EF 的长为 。
2、 如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、 AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= .3、如图，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，∠EBC=300, 求证：AD=BE .4、如图9，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD . 求证：CD=2EC .5、如图10，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：(1)DE ∥AB ; (2)()12DE AB AC =+.BCA DE●矩形1、定义： 叫矩形。
凡是定义都既是“性质”又是“判定” ∵ □ABCD 中，∠A=90°∴□ABCD 是矩形。
人教版八年级数学下册 三角形的中位线(课件)
BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=__3__cm，DF=__4__cm, EF=_5_._5_cm,△DEF的周长是_1_2_._5_cm.
6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
AB=10cm， AC=6cm， 则四边形ADEF的周长为__1_6__cm.
7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是 OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．
D.6cm
3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP， RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成
立的是( C )
A.线段EF的长逐渐增长 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长不能确定
D
5.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、
(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．
1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若
BC=6，则DE的长为( B )
A.2
B.3
C.4
D.6
2.如图，在□ABCD中， 对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若
OE=2cm,则CD的长为( B )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的 知识来解决吗？
人教版八下数学 18.1.2 第3课时 三角形的中位线
DF∥BE且交BC于点F. 求∠1的大小.
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=70°，∴∠ADC=∠ABC=70°，
∴AD∥BC，∵BE平分∠ABC交AD于E，
∴∠ABE=∠EBC=70°÷2=35°，
2
A
D
E
B
C
状元成才路
拓展延伸
如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB 上的中线，BD与CE相交于点O，试探究BO与OD 的大小关系.(提示：分别取OB、OC的中点M、N)
解：OB=2OD， 如图，取OB、OC的中点M、 N，连接EM、MN、ND.∵E、D 分别为△ABC的中点，
状元成才路
解：∵ ABCD的对角线互相平分，
（OC=
1 2
AC，OD=
1 2
BD），
且和为36，
∴OC+OD=
1 2
（AC+BD）=
1 ×36=18，
2
又∵ ABCD的对边相等，∴DC=AB=11，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=18+11=29.
答：△OCD的周长为29.
状元成才路
4.如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD 上，且AF=CE. 求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形AEFD和EBCF 都是平行四边形.
∴AD＝∥ EF，EF＝∥ BC， ∴AD＝∥ BC， ∴四边形ABCD是平行四边形.
状元成才路
7.如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面
积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？
八年级数学三角形全等(倍长中线)(人教版)(专题)(含答案)
C.AF+FC<AB D.AF=AB+CF
答案：B
解题思路：
平行夹中点，考虑延长证全等，
延长AE交DF的延长线于点M，
延长之后证全等．
如图，延长AE交DF的延长线于点M．
∵E为BC的中点
∴BE=CE
∵AB∥CD
∴∠1=∠M
在△ABE和△MCE中
∴△ABE≌△MCE（AAS）
结合已知条件可知10-8 <CE<10+8，
所以2 <AB<18．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：略
4.已知，在△ABC中，AB=5，中线AD=7，则边AC的取值范围是( )
A.1<AC<29 B.9<AC<19
C.5<AC<19 D.4<AC<24
答案：B
解题思路：
解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE．
1．因为AD为△ABC的中线，考虑________________________________（辅助线叙述）；
2．进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；
3．由全等可得________________；
4．观察图形，2AD放在△_______中，利用三角形的三边关系，可得2<5．以上空缺处依次所填最恰当的是( )<5．
A.①延长AD到F，使DF=AD；
②SAS，△BDF，△CDA；
③∠DBF=∠C
④ABF
B.①延长AD到F，使DF=AD，连接BF；
②SAS，△BDF，△CDA；
③FB=AC
专题12 三角形中位线定理-2020-2021学年八年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)
专题12三角形中位线定理★知识归纳●三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点梳理：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.★实操夯实一．选择题（共18小题）1．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（）A．1.5B．2C．3D．4【解答】解：∵点D，E分别是边AB，CB的中点，∴DE＝AC＝2，故选：B．2．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC【解答】解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．又∵点D是AB的中点，∴EF＝AE．∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，∴∠FBC＝∠BFC，∴BC＝FC，∴BC+2AE＝AC．故选：B．3．如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（）A．3B．3.5C．4D．4.5【解答】解：∵E，F分别为AC，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝×6＝3，故选：A．4．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，测量得MN ＝8米，则A、B两点间的距离为（）A．4米B．24米C．16米D．48米【解答】解：∵点M、N分别为AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AB＝2MN＝16（米），故选：C．5．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∴EF＝ED+DF＝4，∴BC＝2EF＝8，故选：D．6．一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（）A．10.5B．21C．42D．63【解答】解：∵三角形的三条中位线的长为6、7、8，∴三角形的三边长分别为12、14、16，∴此三角形的周长＝12+14+16＝42，故选：C．7．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大【解答】解：连接AQ，∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变，∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EF＝AQ，∴线段EF的长度保持不变，故选：A．8．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB＝BC＝3，故选：A．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．10．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，延长DE至F，使EF＝DF，若BC＝8，则DF的长为（）A．6B．8C．4D．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE＝BC＝4，∵EF＝DF，∴EF＝2，∴DF＝6，故选：A．12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E、F分别为AC和AB的中点，AF＝5，AE＝4，则BC＝（）A．3B．6C．8D．10【解答】解：∵点E、F分别为AC和AB的中点，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠AEF＝∠C＝90°，∴EF＝＝＝3，∴BC＝6，故选：B．13．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．14．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20°【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．16．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE ＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：①∵CB是三角形ACE的中线，∴AE＝2AB，又AB＝AC，∴AE＝2AC．故此选项正确；②取CE的中点F，连接BF．∵AB＝BE，CF＝EF，∴BF∥AC，BF＝AC．∴∠CBF＝∠ACB．∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC．∴∠CBF＝∠DBC．又∵CD是三角形ABC的中线，∴AC＝AB＝2BD．∴BD＝BF．又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCF，∴CF＝CD．∴CE＝2CD．故此选项正确．③若要∠ACD＝∠BCE，则需∠ACB＝∠DCE，又∠ACB＝∠ABC＝∠BCE+∠E＝∠DCE，则需∠E＝∠BCD．根据②中的全等，得∠BCD＝∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC＝BE，显然不成立，故此选项错误；④根据②中的全等，知此选项正确．故选：A．17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．18．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF＝BG，∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF＝（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝MB，在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE＜（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；故选：A．二．填空题（共6小题）19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC＝16cm，则四边形ADEF 的周长等于26cm．【解答】解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，∴DE，EF都是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝8cm，DE∥AC，EF＝AB＝5cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．故答案为：26．20．如图，△ABC的面积为4，分别取AC，BC两边的中点A1，B1，记△A1B1C的面积为S1；再分别取A1C，B1C 的中点A2，B2，记△A2B2C的面积为S2，再分别取A2C，B2C的中点A3，B3，记△A3B3C的面积为S3；则S3的值等于．【解答】解：∵点A1，B1是AC，BC两边的中点，∴A1B1是△ABC的中位线，∴A1B1＝AB，A1B1∥AB，∴△CA1B1∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4，∴S1＝1，同理可得，S3＝，故答案为：．21．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是35°．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝35°，∴∠PEF＝∠PFE＝35°，故答案为：35°．22．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝13．【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵MF∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；故答案为：13．23．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3＝7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3＝10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1个；当3n+1＝100时，解得：n＝33，故答案为：33．24．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE，DE ＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为9cm．【解答】解：∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，∴△ABG是等腰三角形，∴AB＝GB＝4cm，∵BF平分∠ABC，∴AD＝DG，∵E为AC的中点，∴DE是△AGB的中位线，∴DE＝CG，∴CG＝2DE＝5cm，∴BC＝BG+CG＝4+5＝9cm，故答案为：9三．解答题（共6小题）25．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC．（1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后连接EF．（2）若线段BD的长为6，求线段EF的长．【解答】解：（1）所作图形如下：（2）∵CF平分∠ACB∴∠ACF＝∠BCF又∵DC＝AC∴CF是△ACD的中线∴点F是AD的中点∵点E是AB的垂直平分线与AB的交点∴点E是AB的中点∴EF是△ABD中位线∴EF＝BD＝326．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．27．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF．（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．28．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．【解答】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，∴∠MEF＝∠P同理可证：FM∥CD，FM＝CD．∴∠MFQ＝∠CQF，又∵AB＝CD，∴EM＝FM，∴∠MEF＝∠MFE，∴∠P＝∠CQF．．29．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，FG＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．30．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF＝CF．【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG＝CF，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF＝CF．。
人教版八年级下册数学课件第三课时三角形的中位线
D.8
巩固练习
2.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，
CD的中点，则EF等于（ C ）
A.2
B.3
C.4
D.5
巩固练习
3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC
的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= 50 °；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的
中画出它所有的中位线吗？
A
有三条，如图，△ABC的中
D
E
位线是DE、DF、EF.
B
F
C
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
探究新知
问题3 如图，DE是△ABC的中
D
位线，DE与BC有怎样的关系？
B
A E C
分析： 两条线段的关系
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= 1 CD，
∴OE= 1 BC，
2
2
∴△DOE的周长为OD+OE+DE=
12（BD+BC+CD）=15，
即△DOE的周长为15．
巩固练习
1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中
点．若EF的长为2，则BC的长为（ C ）
A.1
B.2
C.4
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= 1 BD，FG∥BD且FG= 1 BD，
2
2
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
探究新知
例5 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、 AC的中点，延长BC至点F，使CF= 1 BC，连接CD和EF．
人教版八年级下册三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
二、思想方法方面：倍长短线，转化思想．
平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
行 四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形
情景导入
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
5
F6
∴DF＝ 1 BC=5cm
2
同理：EF＝
1
AB=6cmB源自36 CDE＝ 12 AC=3cm
E 10
∴三角形DEF2的周长=DF+EF+DE=14cm。 你有何
发现？
5：如图，△ABC中，D是AB上一点，且
AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：
C
A D A C ， A E C D C E D E （ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ）
F是CB的中点
EF
∴CF BF
∵CE=DE,CF=BF
EF1BD,即BD2EFA
2
B D
6、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想。
AF与DE互相平分 理由如下： 证明：连接DF
∵ E,F分别是AC、BC的中点 ∴EF∥AB, EF=½ AB ∵ D是AB中点 ∴AD =½ AB; ∴ EF∥AD, EF=AD ∴四边形ADFE平行四边形
第二讲 三角形的高、中线与角平分线(含解析)(人教版)
第二讲三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
【温故知新】1.垂线的定义2.线段中点的概念3.角平分线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段中点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
【新课学习】知识点1：三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2.如图所示，AD是边BC上的高。
3.三角形的高的做法：锐角三角形的高直角三角形的高钝角三角形的高4. 三角形的三条边上的高的交点锐角三角形的高交于三角形内部一点；交点在内部的三角形是锐角三角形。
直角三角形的高交于直角顶点；交点在顶点的三角形是直角三角形。
钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
交点在外部的三角形是钝角三角形。
5.与三角形高相关的解题方法（1）记住三角形面积公式=BC AD/2（2）等面积法。
=BC AD/2= AC BE/2= AB CF/26.例题演练【例题1】如图，于点B，于点C，且AC与BD相交于点E，则的边DE上的高是____，边AE上的高是_____；若，，，则______．【答案】AB；DC；．【解析】的边DE上的高为线段AB，边AE上的高为线段DC．知识点2：三角形的中线1. 三角形的中线定义在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.2. 三角形的重心.每一个三角形都有三条中线，并且三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.【例题2】在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长。
【答案】20cm.【解析】∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.知识点3：三角形的角平分线1.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.注意：“三角形的角平分线”是一条线段.如上图线段AD是∠A的平分线。
八年级数学三角形的中位线定理(人教版)(基础)(含答案)
三角形的中位线定理（人教版）（基础）一、单选题(共8道，每道10分)1.已知，在长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点．当P在BC的中点，点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定答案：A解题思路：如图，连接AR，∵E，F分别是AP，RP的中点∴EF是△APR的中位线∴在点R从点D向点C移动的过程中，AR逐渐增大∴在点R从点D向点C移动的过程中，EF的长逐渐增大故选A试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是( )A.30°B.100°C.120°D.140°答案：C解题思路：∵P，E，F分别是BD，AB，CD的中点∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线∴PE∥AD，，PF∥BC，∵AD=BC∴PE＝PF∴∠PFE＝∠PEF=30°∴∠EPF＝120°故选C试题难度：三颗星知识点：略3.如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，…，以此类推，则第5个三角形的周长为( )A. B.1C.2D.4答案：C解题思路：如图，记第2个三角形的周长为C2，第3个三角形的周长为C3，…以此类推，第5个三角形的周长为C5．记AB，AC，BC的中点分别为D，E，F∴DE，EF，DF分别是△ABC的中位线∴AB=2EF，AC=2DF，BC=2DE∵AB+AC+BC=32∴EF+DF+DE=16，即C2=16同理，，，．故选C试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F．若BC=6，则DF的长是( )A.2B.C.3D.4答案：C解题思路：∵D，E分别是BC，AC的中点∴DE是△ABC的中位线∴DE∥AB∴∠DFB=∠ABF又∵BF平分∠ABC∴∠DBF=∠ABF∴∠DFB=∠DBF∴DB=DF∵BC=6∴DF=DB=3故选C试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A.BC=2BEB.∠A=∠EDAC.BC=2ADD.BD⊥AC答案：C解题思路：∵D，E分别是边AC，AB的中点∴DE∥BC，且BC=2DE∴∠BDE=∠CBD∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠DBE=∠BDE∴BE=DE=AE∴AB=2BE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；∵AE=DE，与AD不一定相等，故C错误；∵AB=BC，点D是AC的中点∴BD⊥AC，故D正确．故选C试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AC=BD，M，N分别是AD，BC 的中点，MN与AC，BD分别交于点E，F，则△OEF是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案：B解题思路：如图，取CD的中点G，连接MG，NG．∵M，G分别是AD，CD的中点，∴MG是△ACD的中位线，∴MG∥AC，，同理可证：NG∥BD，，∵AC=BD，∴MG=NG，∴∠GMN=∠GNM，∵MG∥AC，NG∥BD，∴∠GMN=∠OEF，∠GNM=∠OFE，∴∠OEF=∠OFE，∴△OEF是等腰三角形，∵题干中没有涉及到有特殊的角度存在，∴不能证明△OEF三边相等或者∠EOF为直角，故选B.试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在△ABC中，，在BC上取点D，使DC=AC，作CE⊥AD于E，点F是AB 的中点，连接EF，则为( )A.1：2B.1：3C.1：4D.3：4答案：B解题思路：如图，连接DF，∵AC=CD，CE⊥AD∴E为AD中点∵F为AB中点∴EF是△ABD的中位线∴EF∥BD且设△AEF边EF上的高为h，则∴故选B试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为( )A.3B.2C. D.1答案：C解题思路：如图，延长CF，交AB于点G，连接DF，∵AE是角平分线，CF⊥AE，易证△ACG为等腰三角形，AC=AG，∴点F为CG的中点，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴故选C．试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共2道，每道10分)9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．若AD=1，则DE的长为____．答案：2解题思路：∵点D是AC的中点，AD=1∴AC=2AD=2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°∴AB=2AC=4∵点D，E分别是AC，BC的中点∴DE是△ABC的中位线∴试题难度：知识点：略10.如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，，则BD=____．答案：3解题思路：∵点E，F分别是AC，DC的中点∴EF是△ACD的中位线∴∵∴AD=3∵CD是△ABC的中线∴BD=AD=3试题难度：知识点：略。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题(含答案) (57)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)如图，△ABC的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每小方格的边长都为1cm，请在方格纸上面图并回答问题:(1)延长线段AB到点D，使BD=AB;(2)过C点画AB的垂线，垂足为点E;(3)过A点画AF∥BC，交直线CE于点F；(4)△ABC的面积为______cm2．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）3.【解析】【分析】（1）根据网格的性质，得出BD=3，延长即可；（2）根据网格的性质，即可画出CE⊥AD；（3）根据网格的性质，即可画出AF∥BC；（4）根据网格的性质，得出AB=3，三角形的高为CE=2，即可得出面积.【详解】（1）根据题意，得AB=3，∴BD=3如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：（4）△ABC的面积为11323AB CE=⨯⨯=cm222【点睛】此题主要考查正方形网格中的三角形综合问题，熟练掌握，即可解题. 62．如图，AD是△ABC中线，DE是△ADB的中线，（1）图中有几对面积相等的三角形？把它们写出来；（2）如果S△ADB＝12，求△ABC的面积．【答案】（1）图中有2对面积相等的三角形，它们为：S △ABD ＝S △ACD ；S △EBD ＝S △EAD ；（2）S △ABC ＝24．【解析】【分析】（1）利用“三角形的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形”这一性质，即可得到答案（2）利用“三角形的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形”这一性质，即可求得答案.【详解】（1）图中有2对面积相等的三角形，它们为：S △ABD ＝S △ACD ；S △EBD ＝S △EAD ；（2）S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ＝2S △ABD ＝2×12＝24．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握“三角形的中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形”这一性质是解题的关键.63．如图，在三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，E是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，2BD DC =，若10BDG S ∆=，4AGE S ∆=，求ABC S ∆.【答案】38【解析】【分析】由BD=2DC 可得S △CGD =12S △BGD ，由E 为AC 中点可得4CGE AGE S S ∆∆==，2ABC BCE S S ∆∆=，根据BCE BGD CGD CGE S S S S ∆∆∆∆=++即可得答案.【详解】∵2BD DC =，10BDG S ∆=， ∴1110522CGD BGD S S ∆∆==⨯=， ∵E 是AC 的中点，4AGE S ∆=，∴4CGE AGE S S ∆∆==，2ABC BCE S S ∆∆=∵105419BCE BGD CGD CGE S S S S ∆∆∆∆=++=++=，∴221938ABC BCE S S ∆∆==⨯=.【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；等底同高的两个三角形的面积相等，同底等高的两个三角形的面积相等，等地等高的两个三角形的面积相等．64．如图所示的方格纸中，每小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回容问题：已知点A 、B ．(1)画直线AB ，射线BC ；(2)过点C作垂线段CD⊥AB，垂足为点D．(3)连结AC，则△ABC的面积＝_______.(4)已知AB=5，求线段CD的长.【答案】（1）（2）见解析（3）6；（4）125.【解析】【分析】（1）根据图形即可作出直线AB,射线BC；（2）根据垂线的定义即可作出；（3）根据网格的长度及三角形的面积公式即可写出；（4）根据等面积法即可求出斜边上的高.【详解】（1）如图，直线AB,射线BC为所求；（2）线段CD为所求；（3）△ABC的面积=12BC×AC=12×3×4=6，故填：6；（4）∵△ABC的面积=12BC×AC=12AB×CD∴CD=BC ACAB=125.【点睛】此题主要考查直线、射线及三角形的面积、高的求解，解题的关键是熟知其定义.65．已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．【答案】BD的长度为3或7【解析】【分析】分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．【详解】解：如图1，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC，∴S△ABC ＝12BC•AD＝12（BD+CD）•AD，∴20＝12（BD+2）×8，∴BD＝3；如图2，∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC，∴S△ABC ＝12BC•AD＝12（BD﹣CD）•AD，∴20＝12（BD﹣2）×8，∴BD＝7；故BD的长度为3或7．【点睛】本题考查了三角形的面积，注意分类讨论．66．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F，已知BC＝8，△ABC的面积为24，求EF的长.【答案】EF=3【解析】【分析】根据三角形的中线的性质和三角形面积公式进行解答即可．【详解】解：△AD 是BC 边上的中线，△BD=CD.又△△ABC 的面积为24，△ABD ACD S S =12，又△E 是AD 的中点，△ABC BCD S S = =6，又△BC=8,EF △BC 于点F ，△ BD=CD=4， △ABDC 1•62S CD EF ==， 1462EF ⨯=， △EF=3.【点睛】此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答．67．作图题：如图，已知△ABC 是钝角三角形.（1）作AC 边上的中线BD ．（2）作∠C 的角平分线CE.（3）作BC 边上的高线AF.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【解析】【分析】（1）根据三角形中线的定义作图即可；（2）利用角平分线的定义作图即可；（3）利用三角形高线的定义作图即可．【详解】解：（1）如图所示，BD即为所求；（2）如图所示，CE即为所求；（3）如图所示，AF即为所求；【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线的画法，熟练掌握定义是解答本题的关键.68．如图，设一个三角形的三边分别是3，1−3m，8.(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数?若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图,在(2)的条件下,当AB=8,AC=1−3m,BC=3时,若D 是AB 的中点,连CD,P 是CD 上动点(不与C,D 重合,当P 在线段CD 上运动时,有两个式子):①ABC APC BPD SS S + ;②PA PB AB+，其中有一个的值不变，另一个的值改变。
人教八年级下册三角形中位线
求证：DE ∥ BC，且DE= 1 BC 。
Hale Waihona Puke A2AD EE F
D
EF
B
C
B
C
延 长 DE 到 F， 使 EF=DE ， 连 结 CF.
过 点 C作 AB的 平 行 线 交DE的 延长线 于F
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三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
B
C
又AD=DB
∴BD∥CF且BD=CF
四边形BCFD是平行四边形
∴
∥ BC 且 DE=1/2BC
定理
∴DE
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一石激浪
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四、形成定理，应用新知
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
几何语言：
A
∵DE是△ABC的中位线
D
E ∴DE∥BC,且DE=1/2BC
关系？
B
位置关系 数量关系
1
(1)DE∥AC (2)DE=2 AC
B
猜想：三角形中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半
A
D
F
E
C
A
D
F
E
C
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动手操作
猜想：三角形中位线平行于第三边， 并且等 于第三 边的一 半
（1）把△ABC沿DE剪开，分成两部分。 （2）你能把这两部分拼成一个怎样的一个
B
C
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D
B B
A
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
。E
（1）若∠ADE=60°，则∠B= 60 度， C （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm.
初中-数学-人教版-3 三角形的中位线
3 三角形的中位线知识能力全练知识点 三角形中位线的概念和性质（2020独家原创试题）如图5-3-1，A 、B 是被一条河隔开的两个村庄，为了测量A 、B 两个村庄间的距离，在AB 外选一点C ，连接AC 、BC ，并分别取线段AC 、BC 的中点E 、F ，测得EF =15m ，则AB 的长为（ ）A. 7.5mB. 15mC. 30mD. 45m如图5-3-2，△ABC 的周长为26，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC =10，则PQ 的长为（ ）A. 32B. 52C. 3D. 4如图5-3-3，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，且AB =6cm ，AC =8cm ，则四边形ADEF 的周长等于______cm ．如图5-3-4，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD =BC ，30PEF ∠=︒，则∠EPF 的度数是______．如图5-3-5，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =6，E ，F ，M 分别为边BC ，AD 和对角线BD 的中点，连接EF ，FM ，则FM =______；线段EF 的长的最大值为______．如图5-3-6，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．三年模拟全练（2020山东泰安东平东原实验学校月考，2，★☆☆）若三角形的三条中位线的长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ）A. 4.5cmB. 18cmC. 9cmD. 36cm （2020山东东营河口期末，7，★★☆）如图5-3-7，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =8，BC =6，若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10（2020河南南阳卧龙期中，7，★★☆）如图5-3-8，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，若CE =2，则四边形ADFE 的周长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8（2020山东泰安东平东原实验月考，17，★☆☆）如图5-3-9，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若24AC BD +=厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF =______厘米．（2019山东烟台莱州期末，15，★★☆）如图5-3-10，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知AB =12，CD =6，则EF =______．（2019山东济宁金乡期中，19，★★☆）如图5-3-11，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，延长BN 交AC 于点D ．已知AB =10，MN =4，BM =7，求△ABC 的周长．五年中考全练（2019湖北恩施州中考，6，★☆☆）如图5-3-12，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，已知65ADE ∠=︒，则∠CFE 的度数为（ ）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75° （2019贵州铜仁中考，7，★★☆）如图5-3-13，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =7，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A. 12B. 14C. 24D. 21（2019广西梧州中考，14，★☆☆）如图5-3-14，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG=2cm，则BC的长度是______cm．（2018湖南怀化中考，19，★★☆）如图5-3-15，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB∠CD，B D∠=∠．（1）求证：ABE CDF△≌△；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．核心素养全练我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，如图5-3-16所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD 的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线，通过观察，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．如图5-3-17，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．小明的思路：在图5-3-17中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE．问题：如图5-3-18，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G．若60EFC∠=︒，连接GD，判断△AGD的形状并证明．答案第1页，共6页参考答案1、【答案】C【分析】 【解答】E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF 是ABC △的中位线，12EF AB ∴=， 15m EF =，30m AB ∴=．选C ．2、【答案】C【分析】 【解答】BQ 平分,ABC BQ AE ∠⊥，∴点Q 是AE 的中点，点P 是AD 的中点，∴PQ 是ADE △的中位线，12PQ DE ∴=， 26261016BE CD AB AC BC +=+=-=-=，6DE BE CD BC ∴=+-=，132PQ DE ∴==．选C ． 3、【答案】14【分析】 【解答】点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，∴DE ，EF 是ABC △的中位线，11//,,//,22DE AC DE AC AF EF AB EF AB AD ∴====， ∴四边形ADEF 是平行四边形，4cm ,3cm DE EF ==，∴四边形ADEF 的周长()()224314cm DE EF =+=⨯+=．4、【答案】120°【分析】 【解答】点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点， 11,22PF BC PE AD ∴==， 又,AD BC PE PF =∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，1801803030120EPF PFE PEF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．5、【答案】1 4【分析】【解答】如图，连接EM ，E ，F ，M 分别是边BC ，AD 的对角线BD 的中点，111,322FM AB EM CD ∴====， 当EF EM MF =+时，线段EF 的长最大，即134EF =+=． 6、【答案】见解答【分析】【解答】证明：ABC △的中线BD ，CE 相交于点O ，//ED BC ∴且12ED BC =， F ，G 分别是OB ，OC 的中点，//FG BC ∴且12FG BC =， //ED FG ∴且ED FG =，∴四边形DEFG 是平行四边形．7、【答案】B【分析】 【解答】三角形的三条中位线的长分别是2cm ，3cm ，4cm ， ∴原三角形的三条边长分别为224cm ,32=6cm ,42=8cm ⨯=⨯⨯， ∴原三角形的周长为46818cm ++=．选B ．8、【答案】B【分析】【解答】在Rt ABC △中，90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，10AC ∴=， DE 是ABC △的中位线，1//,32DF BM DE BC ∴==，EFC FCM ∴∠=∠， CF 平分ACM ∠，,FCE FCM EFC ECF ∴∠=∠∴∠=∠，152EC EF AC ∴===，358DF DE EF ∴=+=+=．选B ． 9、【答案】D【分析】答案第3页，共6页【解答】点E 是AC 的中点，2AE EC ∴==，4AB AC ∴==， D 是边AB 的中点，2AD ∴=，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，122EF AB ∴==， 同理，2DF =，∴四边形ADFE 的周长8AD DF FE EA =+++=，选D. 10、【答案】3【分析】 【解答】四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC OB OD ∴==． 又24AC BD +=厘米，12OA OB ∴+=厘米． OAB △的周长是18厘米，6AB ∴=厘米．点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，∴EF 是OAB △的中位线，132EF AB ∴==厘米． 11、【答案】3【分析】【解答】如图，连接CF 并延长交AB 于G ，//,AB CD FDC FBG ∴∠=∠，在FDC △和FBG △中，FDC FBG FD FB DFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA FDC FBG ∴△≌△，6,BG DC CF FG ∴===，1266AG AB BG ∴=-=-=，,CE EA CF FG ==，132EF AG ∴==． 12、【答案】见解答【分析】【解答】在ANB △和AND △中，90BAN DAN AN AN ANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ASA ANB AND ∴△≌△，10,AB AD BN ND ∴===，M 是BC 的中点，7BM =，214BC BM ∴==，易知MN 为BDC ∆的中位线，28CD MN ∴==，18AC AD CD ∴=+=， ABC ∴∆的周长10141842AB BC AC =++=++=．13、【答案】B【分析】 【解答】点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，//,//DE BC EF AB ∴，,ADE B B EFC ∴∠=∠∠=∠，65EFC ADE ∴∠=∠=︒，选B ． 14、【答案】A【分析】【解答】,4,3BD CD BD CD ⊥==，5BC ∴===， E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，11,22EH FG BC EF GH AD ∴====， 又7AD =，∴四边形EFGH 的周长7512EH GH FG EF AD BC =+++=+=+=． 15、【答案】8【分析】【解答】ADE △中，F ，G 分别是AD ，AE 的中点，∴FG 是ADE △的中位线，24cm DE FG ∴==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是ABC △的中位线，28cm BC DE ∴==．16、【答案】见解答【分析】【解答】（1）证明：//,AB DC A C ∴∠=∠，在ABE △和CDF △中，A C AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，答案第5页，共6页()ASA ABE CDF ∴△≌△．（2）点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴EG 为CDF △的中位线，12EG CD ∴=， 又AB CD =，11522EG CD AB ∴===，10AB ∴=． 17、【答案】见解答【分析】 【解答】结论：()1////,2EF AD BC EF AD BC =+． 证明：如图所示，连接AF 并延长，交BC 的延长线于点G ，//,AD BC DAF G ∴∠=∠，在ADF △和GCF △中，,,DAF G DFA CFG DF CF ∠=∠∠=∠=， ()AAS ADF GCF ∴△≌△，,AF FG AD CG ∴==， 又AE EB =，1//,2EF BG EF BG ∴=， 即()1////,2EF AD BC EF AD BC =+． 18、【答案】见解答【分析】【解答】AGD △是直角三角形．证明：如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF 、HE ，F 是AD 的中点，∴HF 是ABD △的中位线，1//,2HF AB HF AB ∴=，13∴∠=∠， 同理，1//,2HE CD HE CD =，2EFC ∴∠=∠， AB CD =，HF HE ∴=，12∴∠=∠，32EFC ∴∠=∠=∠， 60EFC ∠=︒，360EFC AFG ∴∠=∠=∠=︒，AGF ∴△为等边三角形． ,AF FD GF FD =∴=，30FGD FDG ∴∠=∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AGD△是直角三角形．答案第6页，共6页。
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三角形中的线(人教版)
一、单选题(共14道，每道7分)
1.下列说法正确的是( )
A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外
B.三角形的三条高都在三角形内
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形的三条中线交于一点
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的中线
2.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )
A.DE是△BCD的中线
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC，BE=EC
D.DE是△ABC的中线
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的中线
3.如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，CF⊥BC交AB 于F，下列说法错误的是( )
A.FC是△ABC的高
B.FC是△BCF的高
C.BE是△ABC的高
D.BE是△ABE的高
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的高线
4.如图，在△ABC中，作BC边上的高，下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的高线
5.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断正确的个数是( )
①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高.
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的中线
6.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为( )
A.20°
B.30°
C.10°
D.15°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的角平分线
7.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是( )
A.2
B.3
C.6
D.不能确定
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的中线
8.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
9.已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
10.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
11.已知三角形的两边分别为3和8，且周长为偶数，则周长为( )
A.大于5，小于11
B.18
C.20
D.18或20
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
12.一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的
最小周长是( )
A.21
B.22
C.23
D.24
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
13.已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为( )
A.3
B.10
C.6.5
D.3或6.5
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系
14.已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边为( )
A.7
B.3
C.7或3
D.8
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系。