3-5用解析法做机构的运动分析

2
3
－θ
2
)]
2
－θ
3
)]
二、矩阵法 思路：在直角坐标系中建立机构的位置方程，然后将 位置方程对时间求一阶导数，得到机构的速度方程。 求二阶导数便得到机构加速度方程。 已知图示四杆机构的各构件尺寸 和 ω 1, 求 :θ 2 、 θ 3 、 ω 2 、 ω 3 、 α 2、α 2。 1.位置分析
y
由连续性确定
为了求解θ
2
，可利用式（2）（3）求解。
（二）、速度分析 将 l1ei1 l2ei2 l4 l3ei3 对时间求导得：
il11ei1 il22ei2 il33ei3
即得速度方程: l1ω 1cosθ l1 ω 1sinθ
1 1
l11ei1 l22ei2 l33ei3
2 1 1 2 2 2 3 3
2 2 l112 cos1 l22 cos2 l22 sin 2 l33 sin 3 l33 cos3
l sin 1 l2 sin 2 l22 cos2 l33 cos3 l sin 3
α α
本章重点：
1. 瞬心位置的确定（三心定律）； 2. 用瞬心法求构件的运动参数；
3. 用解析法建立机构的运动学模型，求解运动参数。
ω 3 ＝－ω 1 l1 cosθ
ω2 l1 sinθ
(7)
1
来自百度文库
写成矩阵形式： - l2 sinθ 2 l3 sinθ
3
l2 cosθ
2
- l3 cosθ
3
ω3
＝ω 1
1
-l1 cosθ
(8)
1
3.加速度分析 重写速度方程组 对速度方程： l2 sinθ 2 ω 2 － l3 sinθ 3 ω 3 ＝ω 1 l1 sinθ l2 cosθ
一、复数矢量方程解析法
j y
et
1.复数矢量分析基本知识
则任意平面矢量的可表示为：
L l
e j 作者：潘存云教授 θ i
en L
i x
le
i
l cos il sin
其中：l－矢量的模，θ －幅角（位置角） 欧拉公式：e i cos i sin
e 的导数： dei / d iei
1
（三）、加速度分析 i3 i1 i2 速度方程: l11e l22e l33e
(5)
将（5）式对时间求导得：
il e il2 e
2 i1 1 1
2 i2 2
l22e
i2
l33e
i3
2 i3 3 3 作者：潘存云教授
il e
将上式的实部和虚部分离，得：
2
1 1
ω 2 － l3 cosθ
3
ω 3 ＝－ω 1 l1 cosθ
(7)
对式（7）式对时间求导得以下矩阵方程： - l2 sinθ 2 l3 sinθ 3 α 2 ＝l2 cosθ 2 - l3 cosθ 3 α 3
- l2 ω 2 cosθ - l 2 ω 2 sinθ
2 2
(8)
l3 ω 3 cosθ l3 ω 3 sinθ
§3－5 用解析法作机构的运动分析
图解法的缺点： ▲分析结果精度低； ▲作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析。 ▲不便于把机构分析与综合问题联系起来。 随着计算机应用的普及，解析法得到了广泛的应用。
解析法：复数矢量法、矩阵法、杆组法等。
思路： 由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就 位置方程对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导 数得到机构的加速度方程。
i3
（ 1）
cos i sin 得：
4
+ l2 cosθ 2＝l3 cosθ 3+ l4 cosθ +l2 sinθ 2＝l3 sinθ 3+ l4 sinθ
4
(2) (3)
(2)、(3)平方后相加得： l22＝l23+ l24+ l21＋2 l3 l4cosθ 3 ―2 l1 l3(cosθ 3 cosθ 1- sinθ
3 3
ω2
ω3
+ω 1
l1 ω 1 sinθ l1 ω 1 cosθ
1 1
求解式（8）可得α2 ，α3。
速度方程的一般表达式： [A]{ω } =ω 1{B} 其中[A]－－机构从动件的位置参数矩阵； {ω }－－机构从动件的角速度矩阵； {B}－－机构原动件的位置参数矩阵；
ω 1 －－机构原动件的角速度。 加速度方程的一般表达式： [A]{α } = -[A]{ω }+ω 1{B}
3
=ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 2 ) + ω 22 l2 -ω 32 l3 cos (θ 3 - θ 2 ) /[ l3 sin (θ =ω 12 l1 cos (θ 1 - θ 3 ) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos (θ 2 - θ 3 ) /[ l2 sin (θ
B 2 θ 2
1
C 3 θ
3
ω1
A
1 θ
L1+ L2 ＝ L3+ L4 ，或 L2－L3＝L4－ L1 改写成直角坐标的形式： l2 cosθ
2 2
4
D
x
－ l3 cosθ
3 3
＝ l4 －l1 cosθ
1
l2 sinθ
－ l3 sinθ
＝－ l1 sinθ
1
解此方程即 可得θ2、θ3
2.速度分析
将上述位置方程：
l2 cosθ l2 sinθ
2 2
－ l3 cosθ － l3 sinθ
3 3
＝ l4 －l1 cosθ ＝－ l1 sinθ
1
1
(6)
对时间求导得速度方程： l2 sinθ
2
ω 2 － l3 sinθ
3
ω 3 ＝ω 1 l1 sinθ
1
l2 cosθ
2
ω 2 － l3 cosθ
3
{α }－－机构从动件的加角速度矩阵； [A]＝d[A]/dt； [B]＝d[B]/dt； 解析法运动分析的关键：正确建立机构的位置方程。
至于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运算而已。本例所采用的分析方法同样适用复杂机构。
缺点 : 是对于每种机构都要作运动学模型的推导，模 型的建立比较繁琐。
3
sinθ 1)―2 l1 l4cosθ
1
整理后得： Asinθ 3+Bcosθ 3+C=0 其中：A=2 l1 l3 sinθ 1 B=2 l3 (l1 cosθ 1- l4) C= l22－l23－l24－l21＋2 l1 l4cosθ
(4)
1
解三角方程得： tg(θ 3 / 2)=[A±sqrt(A2+B2－C2)] / (B－C)
+ l2ω 2 cosθ 2＝l3 ω 3 cosθ +l2 ω 2sinθ 2＝l3 ω 3 sinθ
3 3
（ 5）
联立上两式可求得两个未知角速度ω 2、 ω 3 。 ω 3 = ω 1 l1 sin (θ
－θ 2 ) /[ l3 sin (θ 3 －θ 2 ) ] ω 2 = - ω 1 l1 sin (θ 1 －θ 3 ) /[ l2sin (θ 2－θ 3 ) ]
3. 复数矢量法
如上图所示四杆机构，若已知各构件尺寸和ω1 ,对其位置、速 度、加速度进行分析，即求θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2 。
（一）、位置分析 将机构封闭矢量方程以复数矢量形式表示为：
l1e l2e
应用欧拉公式 e l1 cosθ l1 sinθ
1 1
i
i1
i 2
l4 l3e
i
de / dt ie
i
i
2. 机构的封闭矢量位置方程式 如图所示四杆机构，建立直 ω 1 角坐标系，其封闭矢量位置方 A 程式为： L1+ L2 － L3 － L4 ＝0
y B 1 θ
1
2 θ 2
4
C 3 θ D
3
x
若已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω1 ,则可求θ2、θ3、 ω2、ω3、α2、α2 。 对于一个四杆机构，只需作出一个封闭矢量多边形即可 求解，而对多杆机构则需作出一个以上的封闭矢量多边形 才能求解。