4、证明：和是幂等矩阵当且仅当是幂等矩阵。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。
在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。
本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。
一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。
具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。
幂等矩阵有以下性质：1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。
设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。
将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。
因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。
2. 幂等矩阵的秩等于其迹。
设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。
设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。
又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。
3. 幂等矩阵具有不变子空间。
设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。
不变子空间是线性代数中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。
幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。
二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。
可以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。
幂等算子的定义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那么T就是一个幂等算子。
幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质：1. 幂等算子的特征值只能是0或1。
与幂等矩阵类似，设T是一个幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。
考研数学-湖南大学高等代数2005--2009年考研真题[1]
![考研数学-湖南大学高等代数2005--2009年考研真题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a45fe95df111f18582d05a54.png)
高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n =对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
幂等矩阵的性质及证明
幂等矩阵的性质及证明定义：若$AA=A$，则称$A$为幂等矩阵。
1.幂等矩阵的特征值只取1和0两个数值证明：设$\lambda$是幂等矩阵$A$的特征值，$\bold{v}$是与$\lambda$对应的特征向量，则$\lambda \bold{v}=A\bold{v}=A^2 \bold{v}=\lambda^2 \bold{v}$即$(\lambda^2-\lambda)\bold{v}=\bold{0}$因为 $\bold{v}\not=\bold{0}$，所以$(\lambda^2-\lambda)=0$，故$\lambda=0$或$1$.2.幂等矩阵⼀定可以对⾓化证明：证明此性质需⽤到两个引理：引理1：$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ (这⾥$r$表⽰矩阵的秩)引理2：$A_{m \times n} B_{n \times k} \leq n$现假设A为$n \times n$的幂等矩阵，且$r(A)=r$因为$A(E-A)=A-AA=A-A=0$所以$n=r(E)=r(A+(E-A)) \leq r(A)+r(E-A) \leq n$故有$r(A)+r(E-A) = n$设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，根据上⾯的性质1，$\lambda=0$或$1$对应于$\lambda=0$的有$n-r(0 \times E-A)$个线性⽆关的特征向量(即⽅程$(0 \times E-A)x=0$基础解系有$n-r(0 \times E-A)$个基向量)对应于$\lambda=1$的有$n-r(1 \times E-A)$个线性⽆关的特征向量由于$r(0 \times E-A) + r(1 \times E-A) = r(A)+r(E-A) = n$所以$A$有$[n-r(0 \times E-A)] + [n-r(1 \times E-A)] = n$个线性⽆关的特征向量，所以$A$⼀定可以对⾓化，其对⾓化之后的形式可表⽰为3.所有幂等矩阵的秩与迹相等，即$r(A)=tr(A)$证明：由性质2容易导出该性质。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
幂等矩阵的概念及性质
…， 则 !! ， …， …， !# % " ， !& ， !" ， ! #， !# % ! ， !# % " ， !& 就是 " 的一组基 ’ 显然 ! !! ( !! ， $ !!" ( !" ，…， ! !# ( !# ， !!# %! ( #， $ !!# %" ( #，…， ! !& ( # 即在基 !! ， …， …， !" ， !#， !# % ! ， !# % " ， ! & 下的矩阵为 ， # ( %&’( （ !） # # 故存在一个可逆矩阵 *，使得 ! ( * $!
" $ （ ! % + $ !+） ( ! % + $ !+ " 证明： （ ! ）因为 !" ( !， +" ( +， 且 （! % +） (
! & ( !& C !*（ #） "
--
雁$ 北$ 师$ 范$ 学$ 院$ 学$ 报$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ "##) 年
! 在 !" 中取基 !! ， !" ， …， !# ，在 ! $（ # ）中取基 !# %! ，
（ ) ）对任一直和分解 " ( "# C "! ， 存在唯一的
收稿日期： %&&’ 0&" 0!$ 作者简介： 肖润梅 （!">’—） ， 女， 山西怀仁人， 讲师# 研究
向： 高等
幂等变换和幂等矩阵的性质
幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。
关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。
因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。
所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明：已知n σσ=（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之，1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之，{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变V α∀∈，由（2），存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性，11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=，α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1），V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈，由（1），1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由（1），Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。
幂等矩阵的性质及其推广
㊀[收稿日期]２０１９Ｇ０５Ｇ２１;㊀[修改日期]２０１９Ｇ１０Ｇ１５㊀[基金项目]国家自然科学基金项目(１１７０１３０６);宁夏高等学校科学技术研究项目(N G Y ２０１８Ｇ１０９);宁夏师范学院本科教学项目(N J ２０１９３９)㊀[作者简介]冯福存(１９７７－),女,硕士,副教授,从事矩阵理论及其应用研究．E m a i l :n x f f c ＠１６３．c o m第３６卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３６,ɴ．１２０２０年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b ．２０２０幂等矩阵的性质及其推广冯福存,㊀常莉红(宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)㊀㊀[摘㊀要]首先对幂等矩阵的简单性质进行了归纳总结,接着论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系㊁幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后讨论了幂等矩阵的两种分解形式．[关键词]幂等矩阵;特征值;实对称矩阵;矩阵分解[中图分类号]O １５１．２１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０２０)０１Ｇ００９０Ｇ０５１㊀引㊀㊀言幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论中具有重要的地位和作用,它的很多优良的性质,对解决矩阵问题大有益处．幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景㊁丰富的理论,在概率统计㊁模糊数学及信息与计算科学等领域都有重要应用．由于幂等矩阵自身的特殊性,其相关性质和内容的讨论至今仍然是一个热点．但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的,因此,在前人已有的研究基础[１－３]上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广．２㊀基本性质定义１[１]㊀设A 是n 阶矩阵,如果A ２＝A ,则称A 为幂等矩阵．由定义１和文献[４]可知λ２－λ＝０为幂等矩阵的一个零化多项式,从而幂等矩阵的最小多项式m λ＝λ或m λ＝λ－１或m λ＝λ(λ－１),由最小多项式和特征值的关系可得:性质１[３]㊀幂等矩阵的特征值只能为０或１．由幂等矩阵的定义简单验证可得:性质２[３]㊀如果A 是幂等矩阵,则A T ,A k ,E －A 均为幂等矩阵．性质３㊀如果A 为可逆的幂等矩阵,则A －１也为可逆的幂等矩阵．证㊀由A 可逆,可得A ʂ０,A －１＝１Aʂ０,即A －１也可逆．由幂等矩阵的定义得(A －１)２＝(A２)－１＝A －１．其实,不妨设A 的逆矩阵为A －１,对A ２＝A 的两边同时左乘A －１,可得A ＝E ．即可逆的幂等矩阵是单位矩阵．性质４㊀A 和B 是幂等矩阵的充要条件是T ＝A O O B æèççöø÷÷是幂等矩阵．证T ２＝A O O B æèççöø÷÷A O O B æèççöø÷÷＝A ２O O B ２æèççöø÷÷．则T ２＝T 当且仅当A ２＝A ,B ２＝B ．性质２和性质３从矩阵的运算出发推出幂等矩阵的一些简单性质．可以类似的推理,易证如果A ,B 是幂等矩阵,但λA (λʂ０,１),A ＋B ,A B 一般不再是幂等矩阵．幂等矩阵还具有那些重要性质和特征呢?幂等矩阵A 的伴随矩阵A ∗是否也是幂等矩阵?下文做一些推导．３㊀幂等矩阵性质的拓广幂等矩阵的特征值只能是０或１,不能由此认为特征值皆是０或１的矩阵是幂等矩阵,可见下例．例１A ＝１１１０１１０００æèççççöø÷÷÷÷,求A 的特征值,并判断A 是否为幂等矩阵．解㊀λE －A ＝(λ－１)２λ,得A 的特征值为λ１＝１,λ２＝０,但是A ２＝１２２０１１０００æèççççöø÷÷÷÷ʂA ．为了让特征值皆为０或１的矩阵是幂等矩阵,需加强条件,可得如下结论:定理１㊀特征值皆为０或１的矩阵A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 可对角化．证㊀充分性．A 可对角化,则存在可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,其中B 为主对角线元素皆为０或１的对角阵,故B ２＝B ,且A ２＝(P B P －１)２＝P B ２P －１＝P B P －１＝A ．即A 是幂等矩阵．必要性．A 是幂等矩阵,则A 的特征多项式为f (λ)＝λ(λ－１),又m λf (λ),说明A 的初等因子都是一次的,所以A 的J o r d a n 标准形为对角矩阵,从而A 可对角化．由定理１的证明可知幂等矩阵相似于对角矩阵,而相似矩阵有相同的秩和迹,又幂等矩阵特征值只能为０或１,则对角阵中１的个数就等于所有１的和．另外实对称矩阵一定能对角化,从而可进一步得如下结论:推论１㊀若A 是n 阶幂等矩阵,则r (A )＝t r (A )．推论２㊀特征值皆为０或１的实对称矩阵是幂等矩阵．推论３㊀n 阶幂等矩阵按相似关系分类只需按其特征值１的个数r (０ɤr ɤn )分类．共有n ＋１类．注㊀由定理１及其推论,需要注意的是幂等矩阵不一定是对称矩阵．例如,不妨设a ＝a １,a ２, ,a n ()T ,b ＝b １,b ２, ,b n ()T ,则当b T a ＝１时,A ＝a b T 是幂等矩阵,这是因为A ２＝(a b T )(a b T )＝a (b T a )b T ＝a b T ＝A ,但是A T ＝(a b T )T ＝b a T ʂa b T ＝A ．只有当a ＝b 时或a ,b 中有一个是零向量时A T ＝A 才成立．定理２㊀n 阶矩阵A 是幂等矩阵的充要条件是r (A )＋r (E －A )＝n ．证㊀必要性．如果A 是幂等矩阵,则E －A 也是幂等矩阵,由推论１可知r (A )＋r (E －A )＝t r (A )＋t r (E －A )＝t r (A ＋E －A )＝t r (E )＝n ．充分性．设A 有r 个非零特征值,由A 的J o r d a n 矩阵知r (A )ȡr ．因为E －A 有n －r 个特征值为１和r 个其它特征值,故E －A 至少有n －r 个非零特征值,所以r (E －A )ȡn －r ．又因为r (A )＋r (E －A )＝n ,１９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广故有r (A )＝r ,r (E －A )＝n －r ．设A 的J o r d a n 矩阵为T －１A T ＝J １O O J ０æèççöø÷÷(１)其中J １的主对角线元素恰好是A 的r 个非零特征值,J ０有n －r 个特征值为０．因为r (J １)＝r ,r (J １)＋r (J ０)＝r (A )＝r ,所以r (J ０)＝０,因此J ０＝O ．由(１)式可得E －A 的J o r d a n 矩阵为T －１(E －A )T ＝E r －J １O O E n －r －J ０æèççöø÷÷＝E r －J １O O E n －r æèççöø÷÷．因为r (E －A )＝n －r ,所以r (E r －J １)＝０,因此J １＝E r ．于是A (E －A )＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１T O O O E n －r æèççöø÷÷T －１＝O ．即A ２＝A ．定理３㊀设A 为n 阶幂等矩阵,则其伴随矩阵A ∗也是幂等矩阵．证㊀因为A ∗依据A 的秩,分３种情况讨论．(i )A 为n 阶可逆矩阵．由性质２可知A ∗＝E ,显然为幂等矩阵．(i i )r (A )＝n －１．此时A ＝０,㊀A A ∗＝A ∗A ＝A E ＝O ,将A 按列分块,不妨设A ＝(α１,α２, ,αn ),则α１,α２, ,αn 是矩阵方程A ∗X ＝O 的解,不妨设αi １,αi ２, ,αi n －１是α１,α２, ,αn 的极大线性无关组,则A ∗αi k ＝０αi k (k ＝１,２, ．n －１),说明０是A ∗的n －１重特征根．又r (A ∗)＝１,则A ∗存在一个非零特征值,不妨设为λ,设该特征值所对应的特征向量为β,即A ∗(β)＝λβ,(２)又A ∗２(β)＝A ∗(λβ)＝λ２β,(３)(３)式减去(２)式,可得(A ∗２－A ∗)(β)＝λ(λ－１)β,(４)将(４)式两边左乘A 得A (A ∗２－A ∗)(β)＝０＝０β．可知A ∗的特征值只能为０或１,故λ＝１．则αi １,αi ２, ,αi n －１,β线性无关,且是对应于特征值０和１的特征向量,令P ＝(αi １,αi ２, ,αi n －１,β),则P －１A ∗P ＝O n －１００１æèççöø÷÷．得A ∗＝P O n －１００１æèççöø÷÷P －１,易得A ∗２＝A ∗,故A ∗是幂等矩阵．(Ⅲ)r (A )ɤn －２．由文献[５]可知此时A ∗＝O ,显然为幂等矩阵．在定理３第(i i )部分证明的过程中,(２)式两边左乘A 可得λA β＝０,因为λʂ０,所以A β＝０＝０β,说明β是A 的属于特征值０的特征向量．由此可得:推论４㊀若n 阶幂等矩阵A 的秩为n －１,则A 的属于特征值０的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值１的特征向量;A 的属于特征值１的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值０的特征向量．定义２[６]㊀设A ɪℂn ˑn ,若存在矩阵X ɪℂn ˑn ,使得A X A ＝A ,㊀X A X ＝X ,㊀A X ＝X A 成立,则称A 群可逆,X 为A 的群逆,记为A g ．定理４[７]㊀方阵A 是群逆阵的充分必要条件是r (A ２)＝r (A )．２９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷定理５㊀幂等矩阵的群逆是存在的,并且等于它本身．证㊀设幂等矩阵为A ,则A ２＝A ,由定理４可知A 的群逆存在．利用群逆定义A X ＝X A 和A X A ＝A 可得A X ＝A ,又X A X ＝X ,可得X A ＝X ,故X ＝A ．４㊀幂等矩阵的分解矩阵的分解是矩阵理论中的一个重要课题,文[８]中总结了在向量组的正交化过程中,可得任意可逆的n 阶实矩阵M 都可以分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积:M ＝Q R ．文[９]中得出任意n 阶矩阵A 都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积．受此启发,给出了幂等矩阵的两种分解形式,进一步加强了幂等矩阵与实对称矩阵及满秩矩阵的联系,增强了幂等矩阵的应用背景．定理６㊀设A 是实幂等矩阵,则A 可分解为两个实对称矩阵的乘积．证㊀由性质１和定理１可知,存在可逆矩阵T ,使得T －１A T ＝E r O O O æèççöø÷÷,故A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O O O æèççöø÷÷T T (T T )－１T －１＝S １S ２,(５)其中S １＝T E r O O O æèççöø÷÷T T ,㊀S ２＝(T T )－１T －１＝(T －１)T T －１．显然,S １和S ２都是实对称矩阵．如果将(５)式如下分解A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O æèççöø÷÷E r O ()T －１＝B C ．其中B ＝T E r O æèççöø÷÷,㊀C ＝E r O ()T －１．则可得幂等矩阵的满秩分解的结论:定理７㊀任一秩为r 的n 阶幂等矩阵A 可分解成A ＝B C ,其中B 为秩为r 的列满秩矩阵,C 为秩为r 的行满秩矩阵,且C B ＝E r ．一般的,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,可得L H 是满秩矩阵,当r 较小时,利用特征多项式的降阶公式[１０]能给计算带来很大的方便．定理７告诉我们对与低秩的幂等矩阵A 进行满秩分解A ＝B C ,则C B ＝E r ,由降阶公式可得幂等矩阵的特征值只能为０或１．另外,结合定理１的推论２可得,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,若L H ＝E r ,且A 为对称矩阵,则A 为幂等矩阵．５结㊀㊀论主要论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系,得到了秩为n －１的n 阶幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后给出了将幂等矩阵分解为两个对称矩阵的乘积及将幂等矩阵进行满秩分解的方法．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀龚和林,舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J ]．大学数学,２００９,２５(６):１２６－１２９．３９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广４９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷[２]㊀左可正．每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和[J]．湖北师范学院学报(自然科学版),２００８,２８(４):１９－２１．[３]㊀张慧．对幂等矩阵的研究[J]．陕西科技大学学报,２０１２,３０(６):１３９－１４２．[４]㊀冯福存．矩阵的最小多项式的求解及其应用[J]．宁夏师范学院学报,２０１７,３８(６):２８－３２．[５]㊀北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．３版．北京:高等教育出版社,２００５:１７３－２０３．[６]㊀武玲玲．幂等矩阵线性组合群逆的研究[D]．南宁:广西民族大学,２０１１:２－３．[７]㊀M e y e rC D．M a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i e dl i n e a ra l g e b r a[M]．P h i l a d e l p h i a:S o c i e t y f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s(S I AM)２０００．[８]㊀董庆华,王成伟．幂等矩阵的相似标准型与分解形式[J]．大庆师范学院学报,２０１０,３０(６):４３－４５．[９]㊀刘小川,何美．幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件[J]．山西大同大学学报,２０１１,２７(１):９－１１．[１０]㊀张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京:科学出版社,２０１１:８９－９３．P r o p e r t i e s a n dG e n e r a l i z a t i o no f I d e m p o t e n tM a t r i xF E N GF uＧc u n,㊀C HA N GL iＧh o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a nN i n g x i a７５６０００,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h e s i m p l e p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n tm a t r i c e sa r es u m m a r i z e d,t h e nt h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d t h e r a n g e o f t h e i r e i g e n v a l u e s a r e p r o v e d,a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d r e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s,t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n sb e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n de i g e n v e c t o r so f t h e i r a d j o i n tm a t r i c e s, a n dt h e p r o p e r t i e s o fi d e m p o t e n t m a t r i c e si n g r o u p i n v e r s e s a r e d i s c u s s e d．F i n a l l y,t w o d e c o m p o s i t i o n f o r m s o f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a r e d i s c u s s e d．K e y w o r d s:i d e m p o t e n tm a t r i x;e i g e n v a l u e s;r e a l s y m m e t r i cm a t r i x;m a t r i xd e c o m p o s i t i o n。
幂等矩阵 充分条件(一)
幂等矩阵充分条件(一)幂等矩阵充分条件引言在线性代数中，幂等矩阵是一种特殊的矩阵。
它具有一些特殊的性质和应用。
本文将介绍幂等矩阵的充分条件。
幂等矩阵的定义幂等矩阵指的是一个方阵，它和自身的乘积仍然等于自身。
即对于一个n阶方阵A，满足A * A = A。
充分条件条件一：幂等矩阵的幂等值幂等矩阵必须满足幂等值的要求。
幂等值是指矩阵A的特征值为0或1。
换句话说，对于任意的矩阵A的特征值lambda，满足lambda^2 - lambda = 0。
条件二：幂等矩阵的幂等子空间幂等矩阵还必须满足幂等子空间的要求。
幂等子空间是指矩阵A 的特征值为1对应的特征向量所生成的子空间。
换句话说，对于任意的矩阵A的特征向量v，满足Av = v，则v属于幂等子空间。
条件三：幂等矩阵的特征值分解幂等矩阵的特征值分解必须满足一定条件。
假设矩阵A有n个特征值为1，则对应的特征向量可以组成幂等子空间。
同时，A还必须满足以下条件之一才能进行特征值分解： - A的幂等空间等于幂等子空间，即A的特征值为0对应的特征向量也可以生成幂等子空间。
- A的特征空间等于整个空间，即所有的特征向量可以生成幂等子空间。
应用案例幂等矩阵在实际应用中有一些特殊的用途。
以下是两个常见的应用案例：混合分数模型混合分数模型是一种常见的时序分析方法，用于捕捉变量之间的相关性。
其中，幂等矩阵被广泛用于表示时间相关性矩阵。
网络拓扑分析在网络拓扑分析中，幂等矩阵可以用来描述节点之间的连接关系。
通过幂等矩阵的特征值分解，可以得到网络的拓扑结构和连接模式。
结论幂等矩阵是一种特殊的矩阵，具有一些特殊的性质和应用。
我们通过幂等值、幂等子空间和特征值分解等条件，可以判定一个矩阵是否为幂等矩阵。
同时，幂等矩阵在混合分数模型和网络拓扑分析等领域有广泛的应用。
了解幂等矩阵的充分条件对我们的学习和应用是非常有帮助的。
以上是对幂等矩阵充分条件的相关介绍，希望对读者们有所启发和帮助。
关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文
关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002）1.引言在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。
我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。
文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。
本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。
同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。
而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。
为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。
1.幂等矩阵定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。
显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =；1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵；1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令n ⨯n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；1.1.7所有的幂等矩阵P 都可对角化的：|000A r I U AU -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 1.1.8一个对称的幂等矩阵P 可以表示为T P LL =，其中L 满足T LL I =；1.1.9设有全矩阵()n n I I ⨯=，则1C I n=是一个幂等矩阵； 1.1.10若方阵B 是幂等矩阵，则T B 和B E -也是幂等矩阵；1.1.11若n 阶方阵A 为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n 。
幂等矩阵概念
幂等矩阵概念
幂等矩阵是指一个矩阵与自己相乘等于自己的方阵。
具体来说，一个
n×n 的方阵 A 是幂等矩阵，当且仅当 A∗A=A。
幂等矩阵的一个显然的例子是单位矩阵，因为单位矩阵乘以自己的结
果仍然是单位矩阵。
但幂等矩阵并不一定得是单位矩阵。
例如，下面
这个矩阵
⎛
⎛
⎛
1 0
0 0
⎛
⎛
⎛
也是一个幂等矩阵，因为它乘以自己的结果还是它本身。
幂等矩阵在数学和工程学中有许多应用。
例如，在矩阵代数中，幂等
矩阵可以用来形成正交矩阵和投影矩阵。
在计算机科学中，幂等矩阵
也有诸多应用。
例如，在关系型数据库中，幂等矩阵可以用来确保事
务执行的幂等性，即多次执行同一事务所产生的结果与一次执行相同。
除此之外，幂等矩阵还可以用于可重入算法的设计中。
由于在可重入算法中，多次执行该算法的效果将等同于一次执行该算法。
因此，使用幂等矩阵可以确保算法的正确性和可重入性。
总之，幂等矩阵作为一种特殊类型的矩阵，在数学和工程学中有着广泛的应用。
它不仅是理论研究中的基础，也为工程应用和计算机科学中的问题提供了便利。
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用0 引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。
1 主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明：设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A，可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0，命题得证。
推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明：设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中，λ为A的特征值。
命题得证。
定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得：P-1AP=E■ 00 0，其中r=R（A）。
证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■，其中Ji=■。
由此可得J 2=J。
于是有，Ji 2=Ji。
此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。
又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。
命题得证。
定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。
证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。
？琢为其特征值1对应的特征向量。
则有，A？琢=？琢。
由此可得？琢属于A的值域。
反之，对于任意一个A的值域中的向量？琢，总能找到一个向量β，使得Aβ=？琢，于是有A？琢=A2β=β，即？琢=β。
综上可知，幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
（ii）A为一n阶幂等矩阵。
x为其特征值0对应的特征向量，则有Ax=0，即A特征值0对应的特征向量都属于A的核。
幂等矩阵的行列式
幂等矩阵的行列式在线性代数中，幂等矩阵是指一个方阵，其自乘结果等于其本身。
幂等矩阵在多个领域中具有广泛的应用，如图像处理、网络通信等。
本文将介绍幂等矩阵的定义、性质以及一些实际应用。
一、定义幂等矩阵的定义很简单：一个方阵A是幂等的，如果满足A^2=A。
也就是说，将矩阵A乘以自身得到的结果仍然等于A。
幂等矩阵通常用I表示，即幂等矩阵是单位矩阵的一种特殊情况。
二、性质1. 幂等矩阵的行列式为0或1由于幂等矩阵A满足A^2=A，因此可以通过计算A^2-A=0来求解幂等矩阵的行列式。
根据行列式的性质，可以得出幂等矩阵的行列式只能是0或1。
2. 幂等矩阵的特征值为0或1设A是一个n阶幂等矩阵，λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
则有Ax=λx。
将幂等矩阵的定义代入，可以得到A^2x=Ax=A。
即λ^2x=λx，进一步可得λ^2=λ。
由此可知，幂等矩阵的特征值只能是0或1。
3. 幂等矩阵的秩等于其迹矩阵的迹定义为主对角线上元素的和。
对于幂等矩阵A，由于A^2=A，可以得到A^2的迹等于A的迹。
进一步推导可知，幂等矩阵的秩等于其迹。
三、应用1. 图像处理中的二值化在图像处理中，二值化是将灰度图像转化为黑白图像的过程。
幂等矩阵可以用来实现二值化操作。
通过将灰度图像乘以幂等矩阵，可以将所有大于阈值的像素值设为1，小于等于阈值的像素值设为0，从而实现图像的二值化。
2. 网络通信中的数据校验在网络通信中，为了确保数据的完整性和正确性，常常需要对数据进行校验。
幂等矩阵可以用来生成校验码。
通过将数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，得到的结果作为校验码发送给接收端。
接收端将接收到的数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，如果结果与接收到的校验码相等，则说明数据没有被篡改。
3. 数据库中的数据操作在数据库中，幂等矩阵可以用来实现幂等性操作。
幂等性操作是指多次执行操作所产生的结果与执行一次操作所产生的结果相同。
通过将操作矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，可以确保多次执行操作不会对数据库中的数据产生重复的影响。
4、证明：和是幂等矩阵当且仅当是幂等矩阵。
幂等矩阵1、如果A 是幂等阵，证明：A ，),2,1( =k A T 和A E -都是幂等阵。
证：A E A A E A E -=+-=-222)(。
证毕2、设A 是幂等阵，问：A -是否幂等矩阵？答：当0≠A ，A A A A -≠==-22)(。
3、问：幂等矩阵是否是对称阵？答：一般不是。
设Tab A =，满足1=T ba ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，发现A 是幂等矩阵；而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212221212111一般不是对称阵。
4、证明：A 和B 是幂等矩阵当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A Z 00是幂等矩阵。
证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22200B A Z 。
A 和B 是幂等矩阵当且仅当A A =2且B B =2当且仅当Z Z =2当且仅当Z 是幂等矩阵。
证毕5、以下命题成立吗？方阵A 是幂等矩阵当且仅当其特征值为0或1。
答：方阵A 是幂等矩阵，则其特征值为0或1。
反之一般不成立。
例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000110111A ，但A A ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0001102212。
6、设A 是特征值为0或1的方阵， 证明：A 幂等矩阵当且仅当A 可对角化。
证：必要性。
因为A 与若当形矩阵J 相似，所以J AT T=-1，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100J JJ ， 其中r r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111 ，()()r n r n J -⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01100 。
发现J J=2，即J 是幂等矩阵。
于是i J 是幂等矩阵，1,0=i ，进而i J 是对角矩阵，1,0=i 。
所以J 是对角矩阵。
即A 可对角化。
充分性。
因为A 可对角化，所以D AT T =-1，其中D 是主对角元是0或1的对角矩阵。
有D D =2，所以A TDT TDTTDT TDT A ====----111212)(。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
幂等矩阵的性质及应用(定稿)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof IdempotentMatrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质.[关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。
This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。
幂等变换和幂等矩阵的性质
幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。
关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。
因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。
所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明：已知n σσ=（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之，1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之，{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变V α∀∈，由（2），存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性，11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=，α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1），V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈，由（1），1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由（1），Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。
幂等矩阵的充要条件及证明
幂等矩阵的充要条件及证明鲁翠仙【摘要】满足A2=A的n阶方阵A称为幂等矩阵,它是矩阵环Mn(K)的一个幂等元,它与空间的分解、不变子空间的研究有密切关系.利用线性空间的理论方法研究幂等矩阵的性质,证明了与它等价的一些充要条件.【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(032)003【总页数】3页(P76-78)【关键词】幂等矩阵;充要条件;证明;方法【作者】鲁翠仙【作者单位】滇西科技师范学院数理系,云南临沧677099【正文语种】中文【中图分类】O151.21幂等矩阵与空间的分解、不变子空间的研究有密切关系，本文利用线性空间的理论方法研究幂等矩阵的性质，分别得到与它等价的一些充要条件。
结论1 设V是域K上的线性空间（可以是无限维），A是V上的一个线性变换，在K[x]中，且，则。
结论2 如果数域K上n级矩阵A满足，那么称A是幂等矩阵。
定理设A是数域K上的n阶矩阵，则下列命题彼此等价：（1）；（2）；（3）证明：数域K上n级矩阵A是幂等矩阵当且仅当证法1 n级矩阵A是幂等矩阵；由于因此从而，由此得出，n级矩阵A是幂等矩阵，证法2 用分别表示数域K上元齐次线性方程，,的解空间。
n级矩阵A是幂等矩阵在中取一个基：，其中；在中取一个基：，其中。
则；于是，从而；想证是W的一个基。
任取。
由于，因此由于，因此。
从而，由于，因此，从而，因此，设，则，于是，从而，由于线性无关，因此，由上式得，这证明了线性无关。
综上所述得，是W的一个基。
于是因此是幂等矩阵证法1是利用“A是幂等矩阵”，证法2是利用“A是幂等矩阵”，其中W是的解空间。
无论是秩还是维数都是自然数，仅仅利用秩或维数这样的自然数就能刻画幂等矩阵，由此体会到矩阵秩的概念和子空间的概念是多么的深刻。
现在利用线性映射的知识给出第3种证明方法，这种方法要简洁一些。
设V是域K上n维线性空间，A是V上的一个线性变换，证明：A是幂等变换的充分必要条件是证明 V上的线性变换A是幂等变换，考虑域K上的一元多项式，由于，因此据结论1得，，从而A是幂等变换其中倒数第2个的“”理由是：是直和，因此。
幂等变换
摘要幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广.本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化.关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用AbstractIdempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory.This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation.Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章幂等变换的基本概念 (2)第2章幂等变换的性质 (3)2.1 幂等变换的运算性质 (3)2.2 幂等变换与幂等矩阵的关系 (4)2.2.1 幂等变换的特征值与特征向量 (10)2.2.2 幂等变换的特征多项式、秩与迹 (15)2.2.3 幂等变换的对角化 (20)第3章幂等变换的应用 (23)3.1 幂等变换性质的应用 (23)3.2 幂等变换与其它线性变换 (25)结论 (32)参考文献 (33)致谢........................................................................................................... 错误!未定义书签。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂等矩阵
1、如果A 是幂等阵，
证明：A ，),2,1( =k A T 和A E -都是幂等阵。
证：A E A A E A E -=+-=-222)(。
证毕
2、设A 是幂等阵，问：A -是否幂等矩阵？
答：当0≠A ，A A A A -≠==-22)(。
3、问：幂等矩阵是否是对称阵？
答：一般不是。
设T
ab A =，满足1=T ba ，其中⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，
发现A 是幂等矩阵；
而⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2
1
2221
21211
1一般不是对称阵。
4、证明：A 和B 是幂等矩阵当且仅当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=B A Z 00是幂等矩阵。
证：⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=2220
0B A Z 。
A 和B 是幂等矩阵当且仅当A A =2且B B =2
当且仅当Z Z =2
当且仅当Z 是幂等矩阵。
证毕
5、以下命题成立吗？
方阵A 是幂等矩阵当且仅当其特征值为0或1。
答：方阵A 是幂等矩阵，则其特征值为0或1。
反之一般不成立。
例如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000110111A ，但A A ≠⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0001102212。
6、设A 是特征值为0或1的方阵， 证明：A 幂等矩阵当且仅当A 可对角化。
证：
必要性。
因为A 与若当形矩阵J 相似，所以J AT T
=-1
，且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=01
00J J
J ， 其中r r J ⨯⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111 ，()()
r n r n J -⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01100 。
发现J J
=2
，即J 是幂等矩阵。
于是i J 是幂等矩阵，1,0=i ，进而i J 是对角矩阵，1,0=i 。
所以J 是对角矩阵。
即A 可对角化。
充分性。
因为A 可对角化，所以D AT T =-1
，其中D 是主对角元是0或1的对角矩阵。
有D D =2
，
所以A TDT TDT
TDT TDT A ====----11
1
2
12
)(。
证毕
7、问：n 阶幂等矩阵按相似关系来分类，可以分成几类？
答：记r 是幂等矩阵特征值1的个数，n r ≤≤0，所以有1+n 类。
8、设A 是n 阶幂等矩阵，
证明：)()(A tr A r =。
证：根据第6题知，⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=-0001r E AT T ，于是)()(A tr r A r ==。
证毕 9、证明：A 是幂等矩阵当且仅当n A E r A r =-+)()(。
证：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+++E A A E A A A E A A A A E A A A E A
A A 0000002)(212)(211212 得n A A r A E r A r +-=-+)()()(2。
所以A 是幂等矩阵当且仅当A A =2
当且仅当02
=-A A
当且仅当0)(2=-A A r 当且仅当n A E r A r =-+)()(。
证毕。