高二数学立体几何单元测试题

高二数学立体几何第一二章测试卷必修 2

班级 编号 姓名 得分：

一、 选择：12×5=60分

1、经过空间任意三点作平面

（ ）

A ．只有一个

B ．可作二个

C ．可作无数多个

D ．只有一个或有无数多个

2、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）

A ．cm 77

B ．cm 27

C ．cm 55

D ．cm 210

3．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n

C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β

D ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β

4．在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=- （ ）

A ．60°

B ．90°

C ．105°

D ．75°

5、在正方体1111

ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）

A 、11AC AD ⊥

B 、11D

C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角

D 、11AC 与1B C

成60o 角

6、如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．90° B ．45° C ．60°

D ．30°

7、异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）

A ．[30

°，90°] B ．[60°，90°] C ．[30°，60°] D ．[60°，120°] 8、PA 、PB 、PC

是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB

所成角的余弦值是

（ ）

A ．

2

1

B ．

2

2

C ．

3

6

D ．33

9、如图，PA ⊥矩形ABCD ，下列结论中不正确的是（ ） A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD

C ．P

D ⊥BD

D ．PA ⊥BD

B

A

10、设M

是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，

则这两个圆的面积比值为： ( )

（Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）34

11、如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射

影必在（ ）

（A ）直线AB 上 （B ）直线BC 上 （C ）直线AC 上 （D ）△ABC 内部 12、．（08

年海南卷12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正

视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视

图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为 （ ） A. 22

B. 32

C. 4

D. 52

一、 填空：4×4=16分

13、长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球 的表面积是

14、已知球内接正方体的表面积为S ，则球体积等于 .

15、若AC 、BD 分别是夹在两个平行平面? 、? 间的两条线段，且AC ＝13，BD ＝15，AC 、BD 在平面? 上的射影长的和是14，则? 、? 间的距离为 ．

16、从平面?外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与?分别成45?和30?角，则?APB 的最大值、 最小值分别是 。

三、计算证明：

17、（12分）在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足PD

CP

QD AQ NB CN MB AM ====k .求证：M 、N 、P 、Q 共面. 18、（12分）已知长方体的长宽都是4cm ，高为2cm ．

（1）求BC 与''C A ，'AA 与'BC ，D A '

与'BC 所成角的余弦值；

（2）求'AA 与BC ，'AA 与CD ，'

AA 与'CC 所成角的大小． 19、（12分）ABCD 是边长为1的正方形，N M ,分别为BC DA ,上的点，且AB MN //，沿MN 将正方形折成直二面角CD MN AB -- （1）求证：平面⊥ADC 平面AMD ；

（2）设x AM =)10(<

20、(14分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O

是底ABCD 对角线的交点.

求证：（１）//1O C 面11AB D ；(2）1AC ⊥面11

AB D ．

21、(10分)如图，平面α∥平面β，点A 、C ∈α，B 别在线段AB 、CD 上，且FD CF EB AE =

，求证：EF ∥β22、（14分）设棱锥M －ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如图，△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．

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19、解：（1）MN ⊥AM ，MN//CD ∴CD ⊥AM 又CD ⊥DM ∴CD ⊥平面ADM ∴平面ADC ⊥平面ADM

(2)∵MN//CD MN ⊄平面ADC CD ⊂平面ADC ∴MN//平面ADC ∴M 、N 到平面ADC 的距离相等

过M 作MP ⊥AD ∵平面ADM ⊥平面ADC ∴MP ⊥平面ADC ∵MN ⊥DM MN ⊥AM ∴∠AMN=900

在Rt △ADM 中,2

2)1()1(x x x x MP -+-=

∴1

22)1(2

+--=

=x x x x MP y

20、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =I

连结1AO ，Q 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴P 且 11A C AC =

又1,O O 分别是

11,A C AC 的中点，11O C AO ∴P 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴⊂P 面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴1C O P 面11AB D

（2）1

CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A C B D ⊥Q ， 1111B D AC C ∴⊥面

1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AB ⊥， 又1111D B AB B =I ∴1A C ⊥面11AB D 21、略

22、(14分) 解：如图，∵ AB ⊥AD ，AB ⊥MA ∴ AB ⊥平面MAD,设E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则EF ∥AB ∴ EF ⊥平面MAD, ∴ EF ⊥ME 设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC

都相切的球， 由对称性可设O 为△MEF 的内心，

则球O 的半径r 满足：r ＝

2S △MEF

ME ＋EF ＋MF

设AD ＝EF ＝a ，∵ S △MAD ＝1,∴ ME ＝2

a

，MF ＝

a 2

＋( 2

a

)2

A