2020年全国中学生物理竞赛模拟试题

（1）对于瞬时的 ：
· cos −
对时间取平均值：
cos
−
所以入射光光强和透射光光强为：
−
−
（2）穿过 个偏振片后，光强变为（按照比例）：
‴
cos −
其中，角度满足： −
对于给定的 ，直接考察其最大值比较复杂，考虑取对数：
ln ‴ m⸳‴ ⸳
ln cos
考察
ln cos 在
的二阶导数：
sin cos
䁛䁛 已知电子的静质量为 0.511MeV/c2，质子的静质量为 938MeV/c2 （1） 计算质子和电子在太阳核心的动能平均值 t，和 t （2） 分别计算一个波长为λ的光子分别被以平均速率运动的质子和电子散射后的最大波 长改变量Δλ（提示：太阳内部的粒子近似可以视作非简并费米子气体，服从玻尔兹 曼统计规律；这一问中，考虑第一问的结果是有益的） （3） 经典理论认为，电子是一个均匀带电的小球，总静电能和静止质量对应的能量相等，
过一个理想的偏振片，用角度参量 来标记其透振方向，试求出透射光强关于 的表 达式，并给出光强的极大值和对应的 七．（70 分）在太阳的内部，是有质子和电子组成的等离子体，温度高达 Ꚁ 0 和 Ꚁ6 0 t / 的高密度，由太阳内部产生的光子，往往自由程特别小，所以光子在太阳内部要 经过大量的散射以后才能出射，假设太阳内部产生光子的核反应方程式为：
t cos
t→
tan
由于仅有一个交点，可以得到：
tt
t
t cos
代入：
t
t
tan
t
tan
黑t
解得：
t tan
tan t
t
t
arctan 四． （1）首先考虑是否纯滚，临界条件：
mgsinθ − f mac fR Iβ
t
滑动条件： m‴
纯滚条件： t
于是得,当
⸳ 时纯滚，反之滑动
（1.1） 此种情况下显然有滑动，当乒乓球到达斜面底端时速度记为t
２０２０年全国中学生物理竞赛模拟考试试题
参考答案
一．24+11 （1）设有长度为 的铁链落在传送带上，相对运动带来的摩擦力为：
− 水平方向，由动量定理：
− 注意到：
代入可得：
等号两边同乘以 积分可得：
−
t
t鲀 −
t，有：
t t−
代入条件得到：
t
−
解得： （2）满足的方程仍然变为： 积分可得：
− 雅黑 −
上式中，已经利用了：
ln 黑
得到： 黑
ln
三．假想被挖去空间相当于 和 −磁场抵消产生，在被挖去空间内，其电场可以写作两者的
叠加。先考察大圆的贡献，由电磁感应定律，对于给定区域：
·
‴−
·
−
− 故合电场为：
这里利用了 和 的正交性以及矢量加法定理 由牛顿第二定律：
t −黑
t
直接类比抛体运动，可以得到： t sin
，半短轴为 ）
三．（40 分）如图所示，在半径为 R 的圆形区域区域内，划出一个半径为 R/ ，且与大圆相 切的小圆区域。余下的区域内有匀强变化的磁场，磁感应强度平行于圆柱的中轴，且垂直于
纸平面向外。B 随着时间的变化率为 t 是一个正的常量。图中的 O,O 分别为大圆和小圆
的圆心，N 为两圆的切点。一个质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子，从 O 进入小圆区域， 初速度和发射的方位角已标注于图上，该粒子相切地经过 OMN 中的某点，然后从 N 离开小 圆的区域，试问v0, 各应该取何值
sin
sin
−
− sin
sin cos sin cos
sin
tan
cos
−
该三角方程对应的解为：
可以解出 ：
arctan arctan
arctan
arctan
arctan arctan
arctan
arctan
−
分别代入光强的表达式可得： − −
1,3 给出了光强极大值和对应的夹角−
七．4+18+12+4+4+10+4+12 （1）由能均分定理：
雅
‴ 雅 ，故要 4 块
偏振片。（2 分）
方案：分别需要 4 和 3512，对应第一个偏振片与光的偏振方向呈 雅 和 雅
，之
后每个都和前一个呈 雅 和 雅
（2 分）
（3）设偏振片的夹角为 ，则由马吕斯定律可得：
cos
cos
−
引入函数
cos
cos
t
cos sin
cos
sin
利用三角函数公式，进一步化为：
m‴
m‴
m‴ 那么有（交叉项在平均意义下是 0）：
cos
cos
cos
cos cos t
t
由于给定了密度，那么数密度为（电子质量相对质子质量可以忽略）：
⸳
由于电子和质子速度都极小，可以相对光子当作静止，对应的平均自由程：
有：
t‴
t‴
雅
⸳ t‴
雅 ⸳t
黑
试求出电子的半径 re
（4） 为了考虑太阳内部的光线需要多久才能从太阳内部出射，后面我们将考虑两种经典 的模型来进行计算，之前的计算表明粒子的热运动动能实际上可以几乎忽略不计。 第一种模型的考虑来自于光波长的变化，若认为太阳内部的光子从波长可以根据正 负电子湮灭进行近似估计，而出射光子可以根据维恩位移定律进行近似估计，试计 算出太阳核心光子的波长和脱离太阳表面以后光子的波长
（5） 使用合理的近似，光子需要散射多少次才能从太阳内部出射 （6） 为了具体知道光子究竟需要多久才能从内部出来，假想一束光照在一根管道中，管
道中有数密度分别为 , ，半径为 , 的静止小球，设小球的半径是小的，且能完
全吸收光子，证明：光强沿着管道的分布将会变为䁛 λ的形式，并给出λ的表达式 （7） λ被叫做平均自由程，统计意义上每经过λ将会发生一次散射，请计算太阳核心的平
为始终紧绷。且题给参数满足：
λt
1. 求出铁链刚刚到达匀速运动状态时，留在传送带上的铁链长度
2. 在刚刚达到匀速运动状态时，传送带突然静止，求出末态留在传送带上的铁链长度
二. （35 分）考察平面上一长为 t 的均匀带电导线 AB，以 AB 的中点为原点，AB 为 x 轴建 立平面直角坐标系。 1. 试证明，任意一点 P 的电场强度方向沿着∠APB 的角平分线 2. 求出平面上的电场线方程 3. 求出平面上的等势面方程，计算长轴旋转椭球体的电容（已知长轴旋转椭球的半长轴为
四．（40 分）乒乓球（可处理为匀质球壳）在倾角为θ的斜面上方 h 高处，从静止向下运动， 而后通过斜面底部很小的圆弧段，无碰撞地进入水平地面继续运动。已知乒乓球与斜面之间 和乒乓球与地面之间的摩擦因数为μ。
1. 在以下两种情况下求乒乓球最终质心速度：（1）设μ=tanθ/2 （2）设μ=tanθ/3 2. 本小问中将乒乓球视为一质点，所有接触点均光滑，显然在地面系中能量守恒。设
tan
− cos t是上凸函数，用琴生不等式：
ln cos
ln cos −
求一阶导数可得：
ln ‴
ln cos −
ln
ln cos
sin
cos
ln ln cos
tan
对于
− ，有：
得到：
− 黑
→
−
黑
−
对于 雅
雅
；
雅 情况需要确定是 3 还是 4。对于 3
的情况cos
雅黑 ‴ 雅 ，对于 4 的情况cos
,
0 sin cos h
，在 , 平面上，相当于一长度在周期变化的方向恒定的矢量，且方向
与 呈 角。若有一个偏振片与 轴呈 角，根据马吕斯定律则该线偏振光穿过偏振片之后强
度将会变为原来的cos h
倍。在穿过偏振片的过程中，偏振片还有吸收作用，使得电
场强度变为 0，如果我们用电磁波的能流密度来平均值标记光强，能流密度的定义为：
均自由程的数值并计算光子从内部到出射到外部需要多久（参考数据：质子半径为 r 8Ꚁ 0 6 太阳半径为 쳌 6Ꚁ 6 0 t ，假设其除去核以外的内部构造 和核完全相同） （8） 另一个模型为醉汉走路模型，请你证明二维随机游走的质点（步长为 t），走过 步 以后到原点距离的期望值为 t，借此重新计算需要多久才能到达我们眼睛里
暗
‴⸳⸳ t ⸳
‴ ⸳⸳ t ‴⸳
t ‴ ⸳⸳
亮
t
⸳
（2.1）以椭圆中心为原点，x 轴为实轴，y 轴为虚轴
光线方程
⸳ 记 r1 为入射点到光源距离 根据椭圆得几何光学性质
sin
‴⸳
t ⸳t
由以上诸式得到最大的
‴⸳
故
⸳
(2.2)
m‴ ‴ ⸳⸳
代入得到
m ⸳
⸳
‴⸳ m‴
⸳
六．5+19+21
⸳ sin
⸳ ‴⸳
m‴
t
Δ
‴⸳
mΔ
Δ‴
m‴
显然若只考虑 W1，体系动能变化量Δ
，两者并不相等，与 1 中类似地考虑转角处
的受力即可得
m‴ t，两者相加后显然能量守恒
五．
（1.1）记光线与轴线负方向夹角为θ，与入射点法线（此处即径向）夹角为
t
‴⸳ ‴⸳
(1.2)
arcsin t ‴ ⸳ t 记
‴ ⸳⸳
积分得
t ‴ ⸳⸳
−
t
−
得到：
雅黑
雅黑 −
得到： 雅黑 −
二． （1）利用直线型均匀分布电荷可以等效为圆环电场来证明 （2）利用几何关系，因为是角平分线所以会形成双曲线（费马原理）