计算机图形学-三维图形变换与投影
计算机图形学中的透视和投影变换
计算机图形学中的透视和投影变换计算机图形学是机器图像处理和计算机视觉的理论基础，主要研究计算机生成的三维图形的数学表示和渲染技术。
在计算机生成的三维图形中，透视和投影变换是非常重要的技术，它们可以使三维图形更加直观逼真地呈现出来。
本文将对透视和投影变换进行详细讲解。
一、透视变换透视变换是一种三维立体图像转换为二维平面图像的方法，它可以模拟出现实中的透视效果。
在透视变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维场景模型。
在建立三维场景模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定观察点位置和视线方向。
观察点是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从观察点指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行透视变换。
在透视变换中，需要用到透视投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并使得远离观察点的物体变得更小。
透视变换可以使得生成的二维平面图像更加逼真，同时也可以减少计算量，提高渲染效率。
但是透视变换也有一些缺点，例如不能完全保持原图像的形状和大小，因此在实际应用中需要进行调整。
二、投影变换投影变换是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，它可以用于生成平面图像、制作立体影像和建立虚拟现实等应用。
在投影变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维物体模型。
在建立三维物体模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定相机位置和视线方向。
相机位置是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从相机指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行投影变换。
在投影变换中，需要用到投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并保持原图形的形状和大小。
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学第五章图形变换
第五章图形变换重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换， 二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变 换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的 三维平面（因此得名齐次空间）。
点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。
所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换 是多到一的变换。
例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。
将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。
图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。
新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换 比例变换 陡转变换 对称变换 错切变换 仿肘变换 复合变换平移变换 比例变换 旋转变换 绕空间任意轴離转 对称变换 蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
图形的投影与变换
图形的投影与变换在我们的日常生活中，图形无处不在。
无论是建筑物的外观，还是艺术作品的构图，图形都扮演着重要的角色。
而对于图形的投影与变换，我们或许并不陌生。
在本文中，我们将探讨图形的投影与变换的概念、应用以及相关的数学原理。
一、图形的投影图形的投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在现实生活中，我们经常会观察到物体在光线照射下产生的投影。
例如，太阳光照射在建筑物上，形成了建筑物在地面上的投影。
在数学中，我们可以通过投影矩阵来描述图形的投影过程。
图形的投影可以分为平行投影和透视投影两种形式。
平行投影是指在投影过程中，光线是平行于投影平面的。
透视投影则是指在投影过程中，光线是从一个点出发的，即观察者的位置。
图形的投影不仅在建筑设计中有着重要的应用，还在计算机图形学中扮演着关键的角色。
在计算机图形学中，我们可以通过投影矩阵将三维物体投影到二维屏幕上，从而实现虚拟现实、游戏等领域的应用。
二、图形的变换除了投影之外，图形的变换也是图形学中的重要概念。
图形的变换包括平移、旋转、缩放等操作，可以改变图形的位置、方向和大小。
平移是指将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离。
旋转是指将图形绕着旋转中心旋转一定的角度。
缩放则是指改变图形的大小，可以放大或缩小图形。
图形的变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。
例如，在三维建模中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变模型的位置和形状。
在计算机动画中，图形的变换可以实现物体的运动和变形。
三、图形的投影与变换的数学原理图形的投影与变换涉及到一些数学原理。
投影矩阵是描述图形投影的数学工具，可以将三维物体投影到二维平面上。
在计算机图形学中，投影矩阵可以通过矩阵乘法来实现。
图形的变换也可以通过矩阵来描述。
平移、旋转和缩放操作可以分别表示为平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。
通过矩阵乘法，我们可以将图形的变换表示为一个矩阵乘法的组合。
除了矩阵乘法之外，还有一些其他的数学原理与图形的投影与变换密切相关。
计算机图形学第六章三维变换与投影.ppt
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
Tx，Ty，Tz是平移参数。
P’
（6-3）
6.2.2 比例变换
比例变换的坐标表示为：
x'
y'
xSx yS y
z' zS z
因此，三维比例变换矩阵为：
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
Sx，Sy，Sz是比例系数
A’ A
（6-4）
6.2.3 旋转变换
三维基本几何变换是指将 P(x, y点, z) 从一个坐标 位置变换到另一个坐标位置 P'(的x, y过, z'程) 。三维基 本几何变换和二维基本几何变换一样是相对于坐 标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比 例、旋转、反射和错切5种变换。因为三维变换 矩阵的推导过程和二维变换矩阵的推导过程类似， 这里只给出结论。
关于y轴反射变换的坐标表示为：
xy''
x y
z' z
因此，关于y轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
（6-9）
3、关于z轴的反射
关于z轴反射变换的坐标表示为：
x' y'
x y
z' z
因此，关于z轴的三维反射变换矩阵为：
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
（6-7）
6.2.4 反射变换
三维反射可以分为：关于坐标轴的反射和 关于坐标平面的反射两类。
计算机图形学--第八讲 图形的三维几何变换
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
投影变换(计算机图形学)资料
2009-2010-2:CG:SCUEC
10
正投影之三视图
当投影面与某个坐标轴垂直 时，得到的空间物体的投影 为正投影（三视图）
1. 三视图分为正视图、侧视图
和俯视图.
2. 对应的投影平面分别与x轴， y 轴，z轴垂直。
三视图
三视图常用于工程制图，因为在其上可以测量距离和
角度。但一个方向上的视图只反映物体的一个侧面，只有 将三个方向上的视图结合起来，才能综合出物体的空间结 构和形状。
2009-2010-2:CG:SCUEC
4
投影变换的概念
近平面
远平面 Z
X
投影平面 V′ U′
窗口 X′ Y′
Y 投影线
视点
透视投影
视点：三维空间中任意选择的一个点，亦称为投影中心 投影平面：不经过视点的任意一个平面 投影线：从视点向投影平面的引出的任意一条射线
2009-2010-2:CG:SCUEC
x
xq zc
yq
0
0 zc
xc yc
0 0
y z
xp
xq q
,
yp
yq q
q 0
0
1
zc
1
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
平行投影
平行投影可以看成投影中心移向无穷远时的极限情况。
设给定的投影方向为（ xd , yd , zd ）。在要投影的对象附近任取一点
（xs , ys , zs），以此点为起点作一射线，其指向是投影方向的反方向，
oz 和 轴的单位方向向量为 (a11, a12 , a13 ) 、 (a21, a22 , a23 ) 和
(a31, a32 , a33 ) ，那么从坐标系oxyz到 o xyz 的变换是
图形变换透视投影ppt课件
视称为一点透视，亦称平行透视。为了取得较好
的效果，取X q0 。（让灭点位于Ｙ轴的负半轴
上）
Y
ppt课件.
12
１.透视变换矩阵
同样道理，当 p 0,q=r=0时，则产生 的一个灭点在Ｘ轴上(1/p,0,0)处。在 这种情况下，所有平行于Ｘ轴的直线 将延伸交于该点。
当 r 0,p=q=0时，则产生的一 个灭点在Ｚ轴上(0,0,1/r)处。在这 种情况下，所有平行于Ｚ轴的直线将 延伸交于该点。
3、与三个坐标轴都相交且不含有任何坐标轴的平面作为投影平 面的话，该平面上的投影一定是三点投影。
ppt课件.
18
透视投影
• 灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于
一点，称为灭点.
灭– 主点灭的点个:平数行?于坐标轴的平行线的灭点。 • 一点透视 • 两点透视 • 三点透视
特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度 感强，看起来更加真实。
0010 0001
= [ x/(qy+1) y/(qy+1) z/(qy+1) 1] （齐次化）
ppt课件.
10
１现在.透来对视Ｙ变的取换值矩情阵况进行讨论：
当 y = 0 （在XOZ坐标平面内） [x’ y’ z’ 1] = [x 0 z 1]
当 y∞ [x’ y’ z’ 1] = [0 1/q 0 1]
ppt课件.
在进行投影前位置 不合适产生的结果
22
(两2点)两透点视图透的视生图成的方法生是成：
先使立体绕Ｚ轴旋转一个角度，以使得立体上 原平行于坐标平面XOZ和YOZ的表面与投影面XOZ 产生一定的倾斜角（成角透视）；向XOZ投影面作 透视投影。
计算机图形学第5章投影变换
5.3 斜平行投影
斜平行投影：是指投影射线方向不与投影平面垂直 的平行投影。若投影方向用矢量［A，B，C］表 示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成
以Z=0（Zo=0）的平面作为投影平面时，射线与 投影面的交点满足t=-Zo/C，所以投影点的坐标是: Xp=Xo－A· Zo/C和Yp=Yo－B· Zo/C。这些变 换关系可写成： [xp yp zp 1]=[xo yo zo 1]· Mob
设投影线与x轴及y轴的夹角相等，则A'O=B'O 即
另给一约束条件，设原用户坐标系中z方向单位 长度的投影长度是k，即
解上述方程 组： ， ， 。从而可以确定投影变换矩阵H。
，
3、正三轴测投影 正三轴测投影：投影线与各坐标轴夹角全不 相等，使得物体中三个与坐标轴平行的三条边各 以不同比例缩小的正轴测投影，如图所示。
在观察坐标系中的正投影是去掉z分量，上述三点 到坐标原点的长度是 ,按正等轴测投影的 要求，原用户坐标系中x、y和z方向单位长度 的投影长度应相等：A'O=B'O、C'O=B'O 即
解上述方程 组： ，
，
，
，
所以正等轴测投影变换矩阵为：
2、正二轴测投影 正二轴测投影：投影线与各坐标轴的夹角中 有两个相等，使得物体中有两个与坐标轴平行的 边等比例缩小的正轴测投影，如图所示。
二、投影的分类
平行投影可根据投影方向与投影面的夹角分 成两类：正平行投影和斜平行投影。当投影 方向与投影面的夹角为 90°时，得到的投影 为正平行投影，否则为斜平行投影 , 如下图 所示。
5.2 正平行投影
正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线 与投影平面垂直。正平行投影根据投影面与坐标轴 的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投 影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为 三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。 否则，得到的投影为正轴测投影，如下图所示。
计算机形学中的几何变换与投影算法基础
计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。
通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。
本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。
一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。
在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。
在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。
平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。
2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。
在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。
旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。
3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。
在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。
缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。
计算机图形学-三维图形变换与投影96页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
ENDLeabharlann 16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
二维与三维几何关系形的变换与投影
二维与三维几何关系形的变换与投影几何关系形的变换与投影是数学中的重要内容，它们在二维和三维几何中起着至关重要的作用。
本文将探讨二维和三维几何关系形的变换与投影，并分析它们在实际应用中的意义。
一、二维几何关系形的变换与投影在二维几何中，形的变换是指通过平移、旋转、镜像等操作，改变二维图形的位置、方向和形状。
投影则是指将三维物体在一个平面上的投影结果。
这些变换和投影在计算机图形学、工程绘图等领域中扮演着重要的角色。
首先，平移变换是指将图形沿着指定的方向平行移动一定的距离，而不改变其形状和方向。
平移变换可以用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过平移变换(Tx, Ty)后的坐标可以表示为：Tx = x + aTy = y + b其中a和b分别代表平移的距离。
通过平移变换，我们可以改变二维图形的位置，使其适应不同的要求。
其次，旋转变换是指将图形按照一定中心点旋转一定的角度，使其方向和形状发生变化。
旋转变换同样可以使用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过旋转变换后的坐标可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中θ代表旋转的角度。
通过旋转变换，我们可以改变二维图形的方向，使其具有更灵活的表现形式。
此外，镜像变换是指将图形按照指定的轴线进行对称，使其形状和方向发生反转。
镜像变换同样可以使用矩阵运算表示。
对于一个二维平面上的点(x, y)，经过镜像变换后的坐标可以表示为：x' = xy' = -y通过镜像变换，我们可以在二维图形中实现左右翻转、上下翻转等操作，使其具有更多样的展示效果。
最后，在投影中，我们常用的有平行投影和透视投影两种方式。
平行投影是指将三维物体投影到一个平面上，形成二维图像。
透视投影则是指根据透视原理，将远近物体产生大小不同的投影效果。
这两种投影方式在艺术绘画、建筑设计等领域中被广泛应用。
计算机图形学中的三维变换与投影算法
计算机图形学中的三维变换与投影算法计算机图形学是研究计算机中图形的表示、生成、处理和显示的学科。
在计算机图形学中，三维变换和投影算法是非常重要的技术，它们可以用来对三维物体进行位置、姿态和尺寸的调整，并将其投影到二维画面上。
三维变换是指通过对三维物体的顶点进行一系列变换操作，来改变物体的位置、形状和方向。
常用的三维变换操作包括平移、旋转和缩放。
平移操作改变物体的位置，旋转操作改变物体的方向，而缩放操作改变物体的尺寸。
通过组合不同的变换操作，可以实现复杂的三维物体的变换。
平移是通过将物体的每个顶点按照指定的距离移动来改变物体的位置。
旋转是通过将物体的每个顶点绕着旋转中心按照指定的角度旋转来改变物体的方向。
缩放是通过将物体的每个顶点按照指定的比例因子进行缩放来改变物体的尺寸。
这些变换操作可以通过矩阵运算来进行计算，从而实现对三维物体的变换。
投影是将三维物体投影到二维画面上的操作。
在计算机图形学中，常用的投影算法有平行投影和透视投影。
平行投影是将物体的每个顶点沿着平行于视线的方向进行投影，得到二维画面上的对应点。
透视投影则考虑到物体离视点的距离，并根据投影面和视点的位置关系而调整投影结果。
通过投影操作，可以将三维物体在计算机屏幕上展示出来，从而实现真实感的图形显示。
在实际应用中，三维变换和投影算法被广泛应用于计算机游戏、虚拟现实、计算机辅助设计等领域。
通过三维变换，可以实现物体的动画效果，使得游戏或虚拟现实场景更加逼真。
而通过投影算法，可以实现对物体的观察和测量，帮助设计师更好地进行产品设计和展示。
总结来说，计算机图形学中的三维变换和投影算法是实现三维物体在计算机中显示和操作的关键技术。
通过对物体进行平移、旋转和缩放等变换操作，可以改变物体的位置、方向和尺寸；而通过投影操作，可以将三维物体投影到二维画面上展示出来。
这些技术在计算机游戏、虚拟现实和计算机辅助设计等领域发挥着重要的作用，推动了计算机图形学的发展。
计算机图形学投影变换
Xs Z2
Z1 X
P0 ： 视点 S平面：投影面，屏幕画面 点Qw的透视：P0Qw与平面S的交点
当投影面与某轴垂直时为一点 透视；当投影面平行于某坐标 轴，但与另外两轴不垂直时为 二点透视；否则为三点透视
简单的一点透视投影变换(续)
利用几何关系可得：X s
Z2 Z1 Z2 Zw
Xw
Ys
Z2 Z1 Z2 Zw
Yw
若令用户坐标系(屏幕坐标)的原点在O，则 Z1＝ 0，
上式可简化为：
Xs
Z2 Z2 Zw
Xw
Xw 1 Zw
Z2
讨论：
Ys
Z2 Z1 Z2 Zw
Yw
Yw 1 Zw
Z2
(1) 若 Z2 , 为平行投影， Xs ＝ Xw , Ys ＝ Yw, 结论显然正确
讨论(续)： (2) 上述变换可写为
➢三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都 相交。
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附录C 投影变换
灭点
灭点
灭点
灭点
灭点
(a)一点透视
(b)二点透视
7-20 透视投影
灭点 (c)三点透视
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一、 简单的一点透视投影变换
Ys S
Y
Qw
QsBiblioteka P0ZOQw (Xw, Yw, Zw) Qs (Xs, Ys)
正等测图(等轴测)
分析：对于正等测图OA=OB=OC
z
z
z
C 投影平面
O
B
A
y
x
投影平面 O
y
x
投影平面 O
y
x
z
z
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
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5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
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投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
三视图
三视图
三视图是正投影视图 包括主视图、俯视图和侧视图 投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直 将三维物体分别对正面、水平面和侧平面做正 投影得到三个基本视图
三视图
z
主视图
侧视图
z
0
y
x
0
y
俯视图
x
y
正三棱柱的立体图
正三棱柱的三视图
主视图的形成：
直接向V面（XOZ坐标面）投影；
二维变换
x'
y ' 1 x
a b c d y 1 l m
q p s
abcd对图形作缩放、旋转、对称、错切变换 lm对图形作平移变换 qp对图形作投影变换 s对图形作整体变换 acl对x’起作用，bdm对y’起作用，qps对整体起 作用。
6
三维齐次坐标
对于线框模型的变换，通常是以点变换为基础 三维几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一 个算子，作用到变换前的图形顶点集合的坐标 矩阵上，得到变换后新的图形顶点集合的坐标 矩阵 连接变换后的新的图形顶点，可以绘制出变换 后的三维图形。
设图形变换前的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1 y1 z1 1 x y2 z2 1 P 2 xn y n z n 1
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第六章
三维图形基本几何变换矩阵 平行投影 透视投影
三维基本几何 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 投影变换 透视变换 本章小结 习题
三维基本几何变换
三维变换矩阵 三维几何变换
2.关于y轴的反射
变换的坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
3.关于z轴的反射
x' x y' y 变换的坐标表示为： z' z
三维变换矩阵
三维几何变换 三维几何变换是二维几何变换的推广 三维几何变换在齐次坐标空间中可以用 4×4的变换矩阵表示 变换矩阵： a b c p d e f q h i j r l m n s
8
三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后 为p'(x',y',z')。
投影变换
S S S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
投影变换可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的； 平行投影的最大特点是无论物体距离视点多远，投影后 的物体尺寸保持不变。 平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
38
x' x y ' y cos z sin z ' y sin z cos
z
绕x轴旋转 x
0 1 0 cos T 0 sin 0 0
z
0 sin cos 0
0 0 0 1
y
x
y
2. 绕y轴旋转
x z
y
y
三维复合变换
32
三维复合变换
基本几何变换是相对于坐标原点和坐标轴进行 的几何变换 相对于任意点和任意方向的几何变换通过三维 复合变换来实现 对三维图形按顺序进行多个基本变换，即可完 成三维复合变换，复合变换矩阵是每一步变换 矩阵相乘的结果
33
三维复合变换
例子：使三维图形绕J轴旋转θ角 思路：将J轴重合Z轴之后，使立体旋转θ角 ，然后返回
则三维图形基本几何变换有
P' P T
z1 b e h m c f i n p q r s
即：
x1' ' x2 ' xn
' y1' z1 1 x1 ' ' y 2 z 2 1 x2 ' ' y n z n 1 xn
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
变换矩阵为：
4.关于xoy面的反射
x' x y' y z ' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
变换的坐标表示为：
1 0 变换矩阵为： T 0 0
0 0 0 1
x
y
x y
反射变换
三维反射分为两类： 关于坐标轴的反射 关于坐标平面的反射
1.关于x轴的反射
坐标表示为：
变换矩阵为：
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x' x y' y z' z
x
z
y z
h＝0时，错切平面离开x轴， 沿y方向移动bx距离。
x
y
3.沿z方向错切
d＝0，g＝0，b＝0，h＝0
x' x y' y z ' z cx fy
1 0 T 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
z
c＝0时，错切平面离开y轴， x 沿z方向移动fy距离； f＝0时，错切平面离开x轴， 沿z方向移动cx距离。
变换后的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1' y1' z1' 1 ' ' ' x2 y 2 z 2 1 P' ' ' ' xn y n z n 1
变换矩阵为：
a d T g l
b e h m
c f i n
p q r s
三维坐标，右手坐标系
y
x
旋转轴 正的旋转方向 x y->z z y z->x z x->y 三维齐次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)
xh hx, yh hy, zh hz, h 0
标准齐次坐标(x,y,z,1)
7
将三棱柱向xoy面作平行投影得到俯视图。 设三维物体上任一点坐标用P(x，y，z)表示 它在xoy面上投影后坐标为P’(x’，y’，z’) 其中x’=x，y’=y，z’=0。 1 0 0 0
x
'
y'
z ' 1 x
y 0 1 x
y
0 1 0 0 z 1 0 0 0 0 0 0 0 1
x
'
y'
z ' 1 x 0 z 1 x
y
1 0 z 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
主视图投影变换矩阵为：
TV Txoz 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
⑵俯视图
p' x'
y ' z ' 1 p T3 D x
y
a d z 1 h l
b e i m
c f j n
9
p q r s
其中
对图形进行比例、旋转、
反射和错切变换。 对图形进行平移变换。
对图形进行投影变换。
对图形进行整体比例变换。
三维几何变换
S x 因此，三维比例变换矩阵为： 0 T 0 0
这里Sx，Sy，Sz是比例系数
旋转变换
三维旋转一般看作是二维旋转变换的组合