逆矩阵的几种常见求法

逆矩阵的几种常见求法

潘风岭

摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较.

关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换．

1． 相关知识

1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ．

定义2 设()ij n n A a ⨯=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵

11

2111222212n n n

n

nn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

称为A 的伴随矩阵，记为A *.

伴随矩阵有以下重要性质

AA *= A *A=A E.

注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理

设A 是数域P 上的一个n n ⨯矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式，

则

11122()10n n n

nn f A A a a a A A E -=-++

++

+-=（）（）

(证明参见[1]）

． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件

1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）;

1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）；

1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）；

1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）；

1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ⨯矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ⨯初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ⨯初等矩阵.（证明参见[1]）

2．矩阵的求逆

2.1 利用定义求逆矩阵

对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.

事实上只需证AB E =或BA E =即可，若AB E =，则ABA A BA E =⇒=，同样可

由BA E =得到AB E =.

例1 设n 级矩阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆.并求它的逆矩阵

()

1

2A E -+.

证明 由220A A E --=，得()()3240A E A E E -++=， 即

()()1324A E A E E ⎡⎤

--+=⎢⎥⎣⎦

或

()()1234

A E A E E ⎡⎤

+--=⎢⎥⎣⎦

由定义可知，

2A E +

可逆，且

()

()1

1

234

A E A E -+=-

-. 例2 设A ，B 是n 级方阵，若A+B 与A-B 可逆，试证明A B B A ⎛⎫

⎪⎝⎭可逆，并求其

逆矩阵．

证明 令

A B D B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，

由假设知

0,0A B A B +≠-≠，

那么

00A B A B B A B

B

D A B A B B A B A A A B

++=

===+-≠+-， 即D 可逆. 再令

1

213

4D D D D D -⎛⎫= ⎪⎝⎭

， 由

1DD E -=，

即

123

400D D A B E

D D B A

E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 可得

()13132424

10(2)0(3)(4)AD BD E BD AD AD BD BD AD E +=⎧⎪

+=⎪⎨

+=⎪⎪+=⎩

由（1）+（2）和（1）-（2） 可解得

()1

131

13(5)()

(6)

D D A B D D A B --+=+-=-

由（5），（6）解得

()()()()1111

1311,22D A B A B D A B A B ----⎡⎤⎡⎤=

++-=+--⎣⎦⎣

⎦ 类似由（3），（4）可解得

2341,.D D D D ==

()()()()()()()()1111

1

111

12A B A B A B A B A B B A A B A B A B A B --------⎡⎤

++-+--⎛⎫⎢

⎥∴= ⎪⎢⎥+--++-⎝⎭⎣

⎦

. 2.2 利用伴随矩阵*A 求逆矩阵

例3 已知1

12,.10A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭求

解 因为

*02211A A -⎛⎫

==- ⎪-⎝⎭

，

， 所以

*011

12

2A A ⎛⎫ ⎪==

⎪-⎝⎭

-1A