解析几何解答题专练

解析几何解答题专练

19．（本小题14分）

已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20

P ，和点

212Q ⎛-- ⎝⎭

，.

（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；

（Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB

的取值范围．

解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22

221x y a b

+=（0a b >>），

将点)20

P ，和点21Q ⎛

- ⎝

⎭

，

代入，得

22

2

2

11

12a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得

2221

a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.

故椭圆G 的标准方程为2

212

x y +=.

（Ⅱ）圆2

C 的标准方程为2

22

x

y +=， 设()1

1

,A x y ，()2

2

,B x y ，

则直线AT 的方程为1

1

2x x y y +=，直线BT 的方程为2

2

2x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得

设1s m =（1

04s <≤）

，则AB CD

=

设()3

1632f s s s =+-，则()()2

269661160

f s s

s '=-=-≥，

故()f s 在10,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB

的取值范围是(.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C :

22

22

1(0)x y a b a b +=>>

离心率2

e =

，短轴长为．

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，

过原

点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别

与y 轴

交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

19．（本小题共14分） （

Ⅰ）由短轴长

为

，

得

b = ………………1分

由2

c e a a ===，得2

24,2

a

b ==． ∴

椭圆C

的标

准方程为

22

142

x y +=． (4)

分

（Ⅱ）以

MN

为直径的圆过定

点

(F ． ………………5分

证明如下：设0

(,)P x y ，则0

0(,)Q x y --，且

22

00

142

x y +=，即2

2

0024

x

y +=， ∵

(2,0)

A -，∴直线

PA

方程为：

0(2)2

y y x x =

++，

∴00

2(0,)2y M x +

……………6分 直线

QA

方程为：

0(2)2

y y x x =

+-，

∴00

2(0,)2

y N x -， ………………7分 以

MN

为

直径的圆为

00

0022(0)(0)()()022

y y x x y y x x --+-

-=+-

………………10分

【或通过求得圆心0

20

2(0,)4x y O x '-，020

4||4y r x =-得到圆的方程】

即

2

2

2

0002200440

44

x y y x y y x x +-+=--，

∵2200

42x y -=-，

∴

220

220x x y y y ++

-=， (12)

分 令0y =，则2

20

x -=

，解得x =∴以

MN

为

直

径

的

圆

过

定

点

(F ． …………14分

19．（本小题满分14 分） 已知椭圆C ：()22

221x y a b a b

+=>>0的一个焦点为F (2，0)，离心率

为

过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段 AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于M ，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。