振动与波(Oscillation and Wave)

arctg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
xx
x1
x2
t
结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动
（2）、旋转矢量法 Y t 0时
A
x1 A1 cos(t 1) A2
x2 A2 cos(t 2 )
则AA与
A1 A2 角速度相同
解： （1）不是简谐振动。 原因：皮球受重力作用， mg不随位移而变化。
（2）不是简谐振动。无平衡位置。但是 在竖直平面上的投影的 运动是简谐 运动。
l
T
m
mg
x Acos(t ) 为圆周运动角速率，
A为圆周运动的半径。
（3）是简谐振动。
切向方向
mg sin
m
d2 dt
x
2
(负号表示力指向平衡位置，使 减少）
2 2
T
一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？ 弹簧振子：
k m
T 2
m k
k为弹簧的倔强系数 m为质点质量
由系统本身性质决定，
称固有圆频率（或角 频率）；T称固有周期。
例1：试确定单摆的固有圆频率及周期。
小球受的切向分力： mg sin
小球受的切向加速度：a
l
d 2
dt 2
2
（3）、振幅A、初位相 的确定：
振幅和初相的值是由初始条件决定的；
初始条件：t=0时的初位移 x0 、初速度v0
由：
{
x v
Acos(t ) A sin( t
)
以t=0代入：{
解之：
x0 v0
Acos A sin
A
x02
v02
2
arctg( v0 ) x0
由振动的周期性，可知，只要研究一个周期内不同时刻
故，v比x领先 / 2
（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或 正弦）函数，并使前面的系数同号。
与 x Acos(t ) 比较位相时，
a 2 Acos(t ) 应写成：a 2 Acos(t )
可看出a与x反相。
若比较v与x的位相，v应写成：
v Acos(t ) 则v比x领先 / 2
的函数 (t ) ，即可知整个周期性运动，比用时间t
描述方便、直接。
5、振动的能量： （以弹簧振子为例）
动能：Ek
1 mv2 2
1 mA22 sin2 (t )
2
势能： Ep
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 (t
)
系统机械能：
E
Ek
Ep
1 2
mv2
1 2
kx2
1 mA2 2 sin 2 (t ) 1 kA2 cos2 (t )
其中 I 1 MR2 2
即：d 2x k x 0
dt 2
m
I R2
令2＝ k ＝ k
m
I R2
m M 2
振动方程：
k x l0 cos( m M t)
2
初始条件：
t 0时, x0 l0 , v0 0
A
x02
v02
2
x0
l0
cos1( x0 ) 0
A
例5：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方
周期运动特点：有周期和平衡位置。运动系统经过一周 期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特 定位置附近往复进行。
振动--描写某一系统状态的物理量在一定范围 内作周期性变化，则这系统的运动称为振动。
弹簧振子
X
（一）、简谐振动（Simple harmonic motion）
简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移－时间曲线
结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！
从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分 方程：
1 mv2 1 kx2 E 求导
2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
Q dv d 2x dx v dt dt2 dt
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x dt 2
k m
x
0
一振动是否是简谐振动的判据：
一微小距离 l0 ，然后放手，从放手瞬间开始计时，并
以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求： （1）证明物体作简谐振动。 （2）写出振动方程。
M
R
k
x1 o l0
m
x
T2
R
T1 T1 ar
T2
k
mg
解：选物体、定滑轮、弹簧组成振动系统，受力分析如图
系统平衡时
对物体：mg T1 0
对定滑轮： T1R T2R 0
两振动完全同步
反相： (或(2n 1) ) 两振动步调完全相反
超前： (t 2 ) (t 1)
落后： (t 2 ) (t 1)
X 0 x
t
oA
/2 x
t
X
o
x
X
t
-A
o
3 / 2
x
(X / 2)
t
o 2
x
X (0)
t
oA
例3：判断以下说法是否正确？并说明理由。 （1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时 1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。 （2）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在v(t)曲线的前方， 即x(t)的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移x比
是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。
1、简谐振动的特点： （以弹簧振子为例）
（1）、弹簧振子的振动：
x
振子在弹性力和惯性两因素相互作用 下在平衡位置附近往复运动。
t
（2）、简谐振动运动微分方程： 设振子m在某一位置x,由胡克定律和牛顿第二定律有：
f kx
f
m
d2x dt 2
d2x dt 2
k m
mg
mg sin av切相
d 2x g a x 0 与简谐振动微分方程一致 dt2 l
ga
l
总结：要求会建立一维谐振动的微分方程。
分析振动方向受力
按牛顿第二定律建立方程
振动微分方程
方程变化
4、简谐振动的周相：
（1）、x 定义A：cos(t ) v dx A sin(t )
dt
Vm sin(t )
旋转矢量法优点：形象化，尤其是使 相位和圆频率具体化。
x 用旋转矢量法确定初位相：
v0
t
x
v0
3
2
v0
2
3
x
v0
v0
4
3
x
x
v0 3
2
v0 2
3
v0 4
3
求振动方程步骤： 1、首先确定系统是作简谐振动。
2、据简谐振动方程 x Acos(t ) 确定 A、、
即可。
例4：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳， 绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相 连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动， 并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下
2
2
Q k m 2 1 mA22 1 kA2 A2
2
2
小结： （1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数 值在 0 ~ 1 kA2 之间重复变化。如果振动的周期为T，
则 Ek 和 2E p变化的周期为T/2。
（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时 势能为零，势能最大时，动能为零。 （3）振动的总能量保持不变。
f kx
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
2、简谐振动中的位移、速度和加速度
（1）x、 Acos(t ) A-振幅
v dx A sin(t )
dt
Vm sin(t )
a
dv
A 2
Vm -速度振幅
cos(t )
dt
am cos(t )
am -加速度振幅
（2）、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：
对弹簧： T2 kx1
mg kx1
（ x1 为系统平衡时弹簧伸长量）
当物体拉一微小距离，作振动，取任一时刻，有：
mg T1 ma T1 mg ma
T1R
T2R
I
T1
T2
I
a R2
T2 k (x1 x) （ x1 x 为弹簧总伸长量）
联立方程求得：
kx (m I )a R2
程。
x
4 2
01
v r0 A
t
x
解：由图知A=4。据t 0 时 x A
v0
v0
t 1时 x 0 v0
2
作出旋转矢量图
由矢图量得在初1秒位内相转过了所3以x1振4动co方s(程56：得t 3)
2
5
6
（二）、谐振动的合成 （Superposition of Harmonic Oscillation)
1、同（振动）方向、同频率的两个谐振动的合成
设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
（1）、三角函数法
x x1 x2
A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 ) Acos(t )
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
f kx
d2x dt 2
2
x
0
x Acost
1 m( dx)2 1 kx2 E(恒量) 2 dt 2
6、简谐振动的旋转矢量表示法：
质点P任意时刻位置由
A、 t 确定
质点P在x轴上的投影作简谐振动：