灰色系统预测
灰色预测理论详解
单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管 复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过 这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始 数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照 某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成 列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去 发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生 成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞 彭
敬
李云飞
吕连磊 苗成林
沈 聪
目录
灰色系统理论简介以及发展 灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验 案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年 创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信 息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有 原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已 受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、 环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、 图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中 得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态 势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模 方 程用来获得增量信息。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
灰色预测
(5)
x (1) (1) 由于 x (1) (i) 的两个时刻的值，因此， t 涉及到累加列 x
x(i ) (i) 替换为 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将
2 灰色系统的模型
1 (i ) [ x (i ) x (i ) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（5）写为矩阵表达式
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求 作精度检验。
则(6)式的矩阵形式为
y BU
ˆ a T 1 T ˆ U ( B B) B y ˆ u
(6)’
方程组(6)’的最小二乘估计为 (7)
2 灰色系统的模型
ˆ ˆ 把估计值 a与u 代入（4）式得时间响应方程
ˆ ˆ u ˆ u ˆ (1) (k 1) x(1) (1) e ak x ˆ ˆ a a
类似地有
x(1) (3) x (1) ( N ) (0) x (3),..., x (0) ( N ). t t
于是，由式（3）有
ì x ( 0) (2) + ax (1) (2) = u , ï ï ï ï ( 0) ï x (3) + ax (1) (3) = u , ï ï í ï .............................. ï ï ï ( 0) ï x (N ) + ax (1) (N ) = u . ï ï î
2 灰色系统的模型 把 ax
(1)
(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u
灰色预测与决策
灰色预测与决策灰色系统中的预测与决策部分主要包括序列算子生成；GM 预测模型即GM(1,1)，GM(1，N),GM(0，N),GM(2,1),Verhulst及GM(r,h)模型和离散灰色模型等；灰色系统预测；灰色关联分析；灰色聚类评估；灰色决策模型等内容。
我们知道灰色系统理论是研究少数据，贫信息不确定性问题的新方法，是通过对原始数据的挖掘、整理中寻求其变化规律。
而且传统的GM(1,1)模型利用的数据是近指数，低增长的数据，所以就需要我们对数据进行处理。
这里可以用缓冲算子、初值化生成算子、均值化生成算子、区间值化生成算子减少干扰或函数变换即对数变换、平移变换、开方变换、余弦函数变换、正切函数变换、负指数函数变换、幂函数变换、中心位似函数变换等缩小级比偏差，使数据适于建模。
1、灰色预测部分:1)、数据经过以上的处理后，基本适于建模，传统的预测模型有GM(1,1)模型，其原始形式如下： ()()b k ax k x =+)()(10，其基本形式如下：()()b k az k x =+)()(10， 此方程是用均值()()k z 1代替()()k x 1，使得数据更平滑，其中()()()()()()k x k x k z 111121)(+-=，叫做方程的背景值，-a 是发展系数，b 是灰作用量。
这里的a,b 是利用最小二乘法求出来的。
白化方程为：()()b k ax dtdx =+)(11 时间响应函数为：()()()()a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1111)( 时间响应序列为：()()()a b e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∧1)1(01 还原值是：()()()()()()()()()ak a e a b x e k x k x k x -∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=1110110 模型的求解是先用最小二乘法将a,b 求出，再利用白化微分方程求出解。
灰色理论系统预测
灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。
目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。
2灰色系统的基本原理2.1灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。
系统信息不完全的情况有以下四种：1.元素信息不完全2.结构信息不完全3.边界信息不完全4.运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。
“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。
信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。
灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。
信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。
新信息对认知的作用大于老信息。
灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab实现
灰色系统预测GM(1,1)模型及其Matlab 实现预备知识(1)灰色系统白色系统是指系统内部特征是完全已知的；黑色系统是指系统内部信息完全未知的；而灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统，灰色系统其内部一部分信息已知，另一部分信息未知或不确定。
(2)灰色预测 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行 预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。
它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。
经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。
因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测是非常成功的。
1 灰色系统的模型GM(1,1)1.1 GM(1,1)的一般形式设有变量X (0)＝{X (0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X (0)进行一次累加(1—AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：X (1)＝{X (1)(k )，k ＝1，2，…，n}其中X (1)(k )＝∑=ki 1X (0)(i)＝X (1)(k －1)+ X (0)(k ) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX )1(十)1(aX ＝u (2)即GM(1,1)模型。
上述白化微分方程的解为(离散响应)： ∧X (1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e -＋au(3)或∧X (1)(k )＝(X (0)(1)－a u ))1(--k a e ＋au (4)式中：k 为时间序列，可取年、季或月。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测模型讲解
6.2
序列算子与灰色序列生成
公理 6-1（不动点公理） D 为序列算子，则 D 满足
设 X 为系统行为数据系列，
x(n)d=x(n)
公理 6-2（信息充分利用公理） 系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x(k),k=1,2,…,n 都应充分的参与算子 作用的全过程。 公 理 6-3 （ 解 析 化 、 规 范 化 公 理 ） 任意的 x(k)d,(k=1,2,…,n), 皆 可 由 一 个 统 一 的 x(1), x(2) ,…,x(n)的初等解析式表达。
1 x ( k ) n0
x ( k 1) x ( k 1)
x (n ) x(n )
T
T
x(k )
新弱化算子
x ( k )d
1 [kx ( k ) ( k 1) x ( k 1) nx ( n )] ( n k )( n k 1) 2 k 1, 2, , n
6.2
序列算子与灰色序列生成
定义 6-5 设 X 为系统行为数据系列，D 为作用于 X 的算子，X 经过算子 D 作用后所 得序列记为
XD x1d , x2d , , xnd
称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。 序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 D1,D2,D3 皆为序列算子，我们称 D1D2 为二 阶算子，并称
第6章 灰色系统预测
定义 2 设 X
(0)
ˆ 为原始序列， X
( 0)
为相应的模拟序列，
(0)
为残差序列，则
1 n ( 0) 1 n (0) 2 2 x x (k ) ， S1 ( x (k ) x ) n k 1 n k 1
灰色预测
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的
方法。计算关联度需先计算关联系数。
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.3 灰色预测模型
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1) i 0 k
X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)}
1.2 灰色预测的概念
(2) 累减生成数(IAGO) 是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)} (1) 对 X 做一次累减生成，得生成序列 X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)} 其中 x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1) 规定 x(1) (0) 0 累加生成与累减生成之间的关系如下图所示： 1-AGO IAGO
X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)}
灰色系统预测模型实验
实验四1． 实验项目名称 灰色系统预测模型 2．实验目的要求掌握灰色系统检验方法，尤其是GM(1.1)模型 2． 实验环境使用灰色系统理论建模软件 4．实验内容与实验步骤1.灰色预测时关于残差、关联度、方差比和小误差概率的检验准则M(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。
（1）残差检验：对模型值和实际值的残差进行逐点检验。
首先按模型计算(1)ˆ(1)xi +，将(1)ˆ(1)xi +累减生成(0)ˆ()x i ，最后计算原始序列(0)()x i 与(0)ˆ()x i 的绝对残差序列及相对残差序列，并计算平均相对残差。
给定α，当φα<，且n φα<成立时，称模型为残差合格模型。
（2）关联度检验:即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。
按前面所述的关联度计算方法，计算出(0)ˆ()x i 与原始序列(0)()x i 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。
（3）后验差检验:即对残差分布的统计特性进行检验。
若对于给定的00C >，当0C C <时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的00P >，当0P P >时，称模型为小残差概率合格模型。
若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。
2.实验的基本程序、基本步骤和运行结果现在已知我国从2002年-2013年的每年的专利申请量的数据，试建立灰色预测模型并且预测2014年我国的专利申请量的情况。
2.1在excel 表格中输入以下数据2.2计算并累加设时间序列为X(0)=（x(0)(1), x(0)(2), x(0)(3)，x(0)(4)………………………………. x(0)(12)）=（205396，251238，278943，345074…………… 1505574）计算并累加X(0)的1-AGO序列为(累加)(1)(1)(1)(1)(1)x(1)(12)）得到下图2.3对X(1)做紧邻均值生成令Z(1)（k）=（0.5x(1)(K)+0.5X(1)(K-1)），k=1,2,3,4…….13;2.4计算灰微分方程打开灰色系统理论建模软件，找到GM(1.1)模型，在第一行输入205396,251238,278943,345074,383157,470342,586734,717144,877611,1109428,1411080, 1792177,2083483得到方程X (0)(K)-0.2099Z (1)(K)=138316.4494即模型的方程为X^(k+1)=1044777.462*e 0.2140k-839381.4621 2．5估计值运算（1）由预测公式，计算X^(1)，在E2中输入=($C$2-$E$11/$E$12)*EXP(-$E$12*(B2-1))+$E$11/$E$12，复制到E3:E7中；（2）累减生成X^(0)，在F7中输入=E7-E6，复制到F3，在F2中输入=E2-0；3.模型检验3.1检验一：残差和相对残差检验 原始序列X (0)=（x (0)(1), x (0)(2), x (0)(3)，x (0)(4)………………………………. x (0)(12)） 相应的银行模拟序列(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆ(1)(2)(3)..............(12)XX X X X =+++ 残差为X (0)-(0)ˆX，得出残差序列如下相对残差（X (0)-(0)ˆX）/X (0)由平均相对残差为0.7551％，而第12期残差为1.2707％，均远小于5%，因此模型较好，预测精度高。
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。
J 是关于a , b的二元函数。
由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。
什么是灰色预测法
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
编辑本段灰色预测的类型1、数列预测。
对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定义为数列预测。
例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的水平。
另一个是这一水平所发生的时间。
2、灾变预测。
对发生灾害或异常突变时间可能发生的时间预测称为灾变预测。
例如对地震时间的预测。
3、系统预测。
对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。
例如市场中替代商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。
4、拓扑预测。
将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
编辑本段为了弱化原始时间序列的随机性在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
灰色系统理论在预测领域的应用
灰色系统理论在预测领域的应用一、灰色系统理论概述灰色系统理论是一种针对缺乏数据或信息不完全不确定性问题的理论，对于这些问题的预测或者决策提供了一种方法。
它是中国学者陈纳德于1982年提出的，并且在中国获得了成功地应用，成为国际上新兴的研究方向之一。
灰色系统理论建立在不确定性信息的基础上，所处理的数据量较小，数据来源不确定，但灰度值分布比较明显，比如股市、气候、疾病等领域，这些领域数据都存在不确定性，所以适合应用灰色系统理论。
二、灰色系统模型灰色系统理论主要应用灰色系统模型进行分析。
灰色系统模型的本质是一种数学模型，它通过数学方法，整合有限的信息资源、利用有限的数据，建立出一组模型来描述这些问题，使模型能够更好地反映系统的特性。
灰色系统模型的优点是能够利用少量的数据来预测未来的趋势，并且减少对数据的要求。
而与其他预测模型相比，灰色系统模型所需的数据量是最少的。
三、灰色系统理论在预测领域的应用1、天气预测天气预测是大众常关心的话题，气象数据来源复杂，计算分析复杂，灰色模型的应用可以充分利用气象数据的6倍次方分之一的样本数据量，减少数据对模型的要求，提高预测准确度。
较为实用的天气预测模型是GM(1,1)模型。
该模型具有计算简单、便于实施等优点，当然准确率上还有提升空间。
2、金融市场预测金融市场变化快速，灰色系统理论模型可以很好地利用各种现有的市场状况进行预测。
在股票交易市场中，常用的灰色系统理论是GM(1,1)模型，根据历史数据和市场情况，进行分析建立模型，进行未来趋势预测等。
3、疾病预测疾病预测是一项重要的医学组成部分，它可以早期发现疾病，及时采用有效的预防措施来遏制疾病的蔓延。
灰色系统理论可以根据病毒在人群中的传染力和人口迁移等因素，对流行病的发展趋势进行预测，更加准确地早期预测传染病的流行。
4、能源预测能源预测一直是复杂的问题，而灰色系统理论的应用可得以解决。
灰色系统理论可以将能源消耗的趋势和变化因素进行分析，建立一个科学、可靠的能源预测模型。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
(完整版)灰色预测模型
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
灰色系统战略预测模型
i?1
对于非负数据，累加次数越多，则随机性弱化越多， 当累加次数足够大后，可认为时间序列已有随机序列变 为非随机序列了。一般随机序列的多次累加序列，大多 可用指数曲线逼近。
上标0表示原始时间序列，记生成列为：X(1)={X(1)(1), X(1)(2), X(1)(3), ... ,X(1)(n)}
? ? ? k
式中： X ?1??k ?? X ?0??i? ? X (1) (k ? 1) ? X (0) (k )
? ? ? i?1
k
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加，有： X ?m ??k ?? ?? X ?m?1? i
灰色系统理论研究宗旨为强调信息优化，研究现实规律;概率与 数理统计:强调统计数据与历史关系，研究历史的统计规律;模糊理论 则是强调先验信息，依赖人的经验，研究经验认知的表达规律。
灰色系统理论与概率、模糊理论的对 比
“灰色”“概率”“模糊”理论的区别
指标 内涵 基础 依据 手段 特点 要求 目标 思维方式 信息标准
灰色系统理论的提出
灰色系统 (Greysystem) 是邓聚龙在 20世纪 70年代末、 80年代初体提出的。人们通过概率与 数理统计，解决样本量大、数据多但缺乏明显规 律的问题，即“大样本不确定性”问题；人们用 模糊数学处理人的经验与认知先验信息的不确定 性问题，即“认知不确定性”问题。而灰色系统 理论(简称灰理论 Greysystem) 则是针对既无经验， 数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性” 问题提出的。
灰色系统 小样本不确定
灰朦胧集 信息覆盖
生成 少数据 允许任意分布 现实规律 多角度 最少信息
概率论 大样本不确定
康托集 概率分布
统计 多数据 要求典型分布 历史统计规律 重复再现 无限信息
灰色预测
′ X 2 = (1,1.063,1.1227,1.1483)
′ X 3 = (1,.097,1.0294,1.0294 )
′ X 4 = (1,1.0149,0.805,0.7 )
第二步： 第二步 求序列差 ∆ 2 = (0,0.1155,0.1992,0.2335)
∆ 3 = (0,0.0225,0.1059,0.1146)
1 1 1 1 1
计算BTB,(BTB)-1和BTYn
− 42.45 − 74.6 − 42.45 − 74.6 −108.05 −143 −179.65 T * −108.05 B B = 1 1 1 1 1 −143 −179.65
X 3 = (3.4,3.3,3.5,3.5) X 4 = (6.7,6.8,5.4,4.7 )
参考序列分别为X 1 ，被比较序列为 X 2 , X 3 , X 4 试求关联度。
以
X 1 为参考序列求关联度
第一步：初始化，即将该序列所有数据分
别除以第一个数据。得到：
X 1′ = (1,0.9475,0.9235,0.9138)
ˆ ˆ X (1) (i ) 累减生成 X (0 ) (i ),
ˆ 然后计算原始序列X (0 ) (i )与 X (0 ) (i ) 的绝对误差序列及相
对误差序列。
ˆ ∆(0 ) (i ) = X (0 ) (i ) − X (0 ) (i )
∆(0 ) (i ) φ (i ) = (0 ) ×100% X (i )
∆ 4 = (0,0.0674,0.1185,0.2148)
第三步： 第三步 求两极差
M = max max ∆ i (k ) = 0.2335
灰色系统预测
1 预测方法介绍预测方法可分为定性和定量预测两种。
定性预测是依据预测者对预测对象有关情况的了解和分析，由预测者根据实践经验和主观判断做出的预测，可分为市场调研法、专家预测法、主观概率法、交叉影响法等。
该方法主要用于对预测对象的未来性质、发展趋势和转折点进行预测。
定量预测是以大量的历史观察值为主要依据，建立适当的数学模型进行预测，推断和估计预测目标的未来值。
预测精度和把握度较高，克服了定性分析不足。
具体方法包括相关因素预测法和时间序列预测法。
1．相关因素预测常用预测方法为一元线性回归法和多元线性回归法。
两者均需要建立线性回归模型进行预测。
线性回归模型一般是用于测定经济现象之间在数量上变化的一般关系，运用最小二乘法，计算出经济指标在时间上的变化关系和发展趋势。
在搜集数据齐全的基础上，构建线性回归模型，再由最小二乘法计算回归系数，最后由建立的线性回归模型预测未来年的指标结果。
2.时间序列预测时间序列预测是针对已知的历史数据进行分析，建立时间序列模型预测。
常用方法有指数平滑法、灰色预测法。
指数平滑法是移动平均法的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权重比较远期观测值的权重要大。
根据平滑次数不同，指数平滑可分为一次指数平滑、二次指数平滑等。
如果实际数据具有较为明显的变动趋势时，采用一次指数平滑直接预测。
当时间序列的变动出行直线变动趋势时，采用一次指数平滑预测具有明显的滞后偏差，因此需要在一次指数平滑基础上进行二次指数平滑，利用滞后偏差规律找出数据的变化趋势，然后建立直线趋势预测模型，这便是二次指数平滑法。
灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
最常用的灰色预测模型是GM(1,1)模型。
G 表示Gray （灰色），M 表示Model （模型），GM （1，1）表示1阶的、1个变量的灰色模型。
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序号
1
2
3
4
符号
数据
1
2
3
4
将上表数据作图得
上图表明原始数据 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为 ,并且jLBHrnAILg
得到数据如下表所示
序号
1
2
3
4
符号
数据
1
3
4.5
7.5
定义2
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，则称模型为关联合格模型。
定义3
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为残差序列。
为 的均值，
为 的方差，
为残差均值，
为残差方差，
1.称 为均方差比值；对于给定的 ，当 时，称模型为均方差比合格模型。
2.称 为小误差概率，对于给定的 ,当 时，称模型为小误差概率合格模型。
进行预测。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
32411
35388
试建立Gm(1,1>模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1>模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。Zzz6ZB2Ltk
解：设时间序列为
=<27260，29547，62411，35388）
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
对参数列 作最小二乘估计，得
设
由于
可得Gm(1,1>模型的白化方程
灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM<1，1）模型，GM<1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
其中，
其相应的生成数据序列为
其中，
为 的紧邻均值生成序列
其中，
称 为Gm(1,1>模型，其中 ，b是需要通过建模求解的参数，若 为参数列，且
，
则求微分方程 的最小二乘估计系数列，满足
称 为灰微分方程， 的白化方程，也叫影子方程。
如上所述，则有
1.白化方程 的解或称时间响应函数为
2.Gm(1,1>灰微分方程 的时间响应序列为
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。p1EanqFDPw
系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
2.3灰色系统的基本原理
公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。DXDiTa9E3d
精度检验等级参照表
指标临界性
精度等级
相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.50
0.80
三级
0.10
0.70
0.65
0.70
四级
0.20
0.60
0.80
0.60
一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。
5应用举例
例1
设原始序列
建立Gm(1,1>模型，并进行检验。
3.取 ，则
4.还原值
2.系统综合预测GM<1，N）模型P134
4灰色系统模型的检验
定义1.
设原始序列
相应的模型模拟序列为
残差序列
相对误差序列
1.对于k＜n,称 为k点模拟相对误差，称 为滤波相对误差，称 为平均模拟相对误差；
2.称 为平均相对精度， 为滤波精度；
3.给定 ，当 ，且 成立时，称模型为残差合格模型。
公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型<G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。RTCrpUDGiT
解：1）对 作1-AGO，得
[D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Generating Operator]LDAYtRyKfE
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
3）确定模型
及时间响应式
4>求 的模拟值
=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538>
其时间响应式为
由此得模拟序列
=<27260，29553，32336，35381）
检验：
残差序列为
=<0，-6，75，7）
平均相对误差
模拟误差 ，精度一级
计算 与 的灰色关联度
=11502
=11429.5
=72.5
精度为一级
计算均方差比
所以， ，均方差比值为一级
计算小误差概率
所以，
小误差概率为一级，故可用
0.0662
1.80%
残差平方和
=0.0151085
平均相对误差
=1.0625%
计算X与 的灰色关联度
=
=1.7855
=1.8144
=0.04535
=0.9902＞0.90
精度为一级，可以用
预测。
例2
某大型企业1997-2000年四年产值资料
年份
1997
1998
199
2000
产值<万元）
27260
29547
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。b5E2RGbCAP
解：
对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
方程为
及时间响应式
求 的模拟值
=(1.67,2.962,4.474,6.202,8.311>
还原出 的模拟值，由
得
=<1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）
计算X与 的灰色关联度
=
=0.2585
=0.0885
=0.94＞0.90
精度为一级，关联度为一级，可以用
5>还原出 的模拟值，由
得
=<2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）
6）误差检验
序号
实际数据
模拟数据
残差
相对误差
2
3.278
3.2318
0.0462
1.41%
3
3.337
3.3541
-0.0171
0.51%4Leabharlann 3.3903.4811
-0.0911
2.69%
5
3.679
3.6128
进行预测，2001-2005年预测值为
=<38713，42359，46318，50712，55488）
例3
预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值
年份
2001
2002
2003
2004
2005
总产值
1.67
1.51
1.03
2.14
1.99
建立Gm(1,1>模型的白化方程，预测2006-2018工业总产值。
灰色关联分析
灰色统计
灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。5PCzVD7HxA
3.1灰色系统理论的建模思想
上图表明生成数列X是单调递增数列。
3.2灰色系统预测模型建立
1.数列预测GM<1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray<灰色），m表示model<模型），Gm<1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。xHAQX74J0X
Gm<1，1）建模过程和机理如下：