灰色系统预测
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上图表明生成数列X是单调递增数列。
3.2灰色系统预测模型建立
1.数列预测GM<1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray<灰色），m表示model<模型），Gm<1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。xHAQX74J0X
Gm<1，1）建模过程和机理如下：
记原始数据序列 为非负序列
0.0662
1.80%
残差平方和
=0.0151085
平均相对误差
=1.0625%
计算X与 的灰色关联度
=
=1.7855
=1.8144
=0.04535
=0.9902＞0.90
精度为一级，可以用
预测。
例2
某大型企业1997-2000年四年产值资料
年份
1997
1998
199
2000
产值<万元）
27260
29547
灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM<1，1）模型，GM<1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型<G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。RTCrpUDGiT
其中，
其相应的生成数据序列为
其中，
为 的紧邻均值生成序列
其中，
称 为Gm(1,1>模型，其中 ，b是需要通过建模求解的参数，若 为参数列，且
，
则求微分方程 的最小二乘估计系数列，满足
称 为灰微分方程， 的白化方程，也叫影子方程。
如上所述，则有
1.白化方程 的解或称时间响应函数为
2.Gm(1,1>灰微分方程 的时间响应序列为
其时间响应式为
由此得模拟序列
=<27260，29553，32336，35381）
检验：
残差序列为
=<0，-6，75，7）
平均相对误差
模拟误差 ，精度一级
计算 与 的灰色关联度
=11502
=11429.5
=72.5
精度为一级
计算均方差比
所以， ，均方差比值为一级
计算小误差概率
所以，
小误差概率为一级，故可用
解：
对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
方程为
及时间响应式
求 的模拟值
=(1.67,2.962,4.474,6.202,8.311>
还原出 的模拟值，由
得
=<1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）
计算X与 的灰色关联度
=
=0.2585
=0.0885
=0.94＞0.90
精度为一级，关联度为一级，可以用
精度检验等级参照表
指标临界性
精度等级
相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.50
0.80
三级
0.10
0.70
0.65
0.70
四级
0.20
0.60
0.80
0.60
一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。
5应用举例
例1
设原始序列
建立Gm(1,1>模型，并进行检验。
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。DXDiTa9E3d
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。p1EanqFDPw
系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
2.3灰色系统的基本原理
公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为 ，其数据见下表：
序号
1
2
3Βιβλιοθήκη Baidu
4
符号
数据
1
2
3
4
将上表数据作图得
上图表明原始数据 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为 ,并且jLBHrnAILg
得到数据如下表所示
序号
1
2
3
4
符号
数据
1
3
4.5
7.5
3.取 ，则
4.还原值
2.系统综合预测GM<1，N）模型P134
4灰色系统模型的检验
定义1.
设原始序列
相应的模型模拟序列为
残差序列
相对误差序列
1.对于k＜n,称 为k点模拟相对误差，称 为滤波相对误差，称 为平均模拟相对误差；
2.称 为平均相对精度， 为滤波精度；
3.给定 ，当 ，且 成立时，称模型为残差合格模型。
灰色关联分析
灰色统计
灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。5PCzVD7HxA
3.1灰色系统理论的建模思想
进行预测，2001-2005年预测值为
=<38713，42359，46318，50712，55488）
例3
预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值
年份
2001
2002
2003
2004
2005
总产值
1.67
1.51
1.03
2.14
1.99
建立Gm(1,1>模型的白化方程，预测2006-2018工业总产值。
定义2
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，则称模型为关联合格模型。
定义3
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为残差序列。
为 的均值，
为 的方差，
为残差均值，
为残差方差，
1.称 为均方差比值；对于给定的 ，当 时，称模型为均方差比合格模型。
2.称 为小误差概率，对于给定的 ,当 时，称模型为小误差概率合格模型。
5>还原出 的模拟值，由
得
=<2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）
6）误差检验
序号
实际数据
模拟数据
残差
相对误差
2
3.278
3.2318
0.0462
1.41%
3
3.337
3.3541
-0.0171
0.51%
4
3.390
3.4811
-0.0911
2.69%
5
3.679
3.6128
解：1）对 作1-AGO，得
[D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Generating Operator]LDAYtRyKfE
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
3）确定模型
及时间响应式
4>求 的模拟值
=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538>
32411
35388
试建立Gm(1,1>模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1>模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。Zzz6ZB2Ltk
解：设时间序列为
=<27260，29547，62411，35388）
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
对参数列 作最小二乘估计，得
设
由于
可得Gm(1,1>模型的白化方程
进行预测。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。b5E2RGbCAP
3.2灰色系统预测模型建立
1.数列预测GM<1，1）模型
灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray<灰色），m表示model<模型），Gm<1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。xHAQX74J0X
Gm<1，1）建模过程和机理如下：
记原始数据序列 为非负序列
0.0662
1.80%
残差平方和
=0.0151085
平均相对误差
=1.0625%
计算X与 的灰色关联度
=
=1.7855
=1.8144
=0.04535
=0.9902＞0.90
精度为一级，可以用
预测。
例2
某大型企业1997-2000年四年产值资料
年份
1997
1998
199
2000
产值<万元）
27260
29547
灰色系统预测
重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM<1，1）模型，GM<1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。
1灰色系统理论的产生和发展动态
1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。
1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。
公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。
2.4灰色系统理论的主要内容
灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型<G，M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。RTCrpUDGiT
其中，
其相应的生成数据序列为
其中，
为 的紧邻均值生成序列
其中，
称 为Gm(1,1>模型，其中 ，b是需要通过建模求解的参数，若 为参数列，且
，
则求微分方程 的最小二乘估计系数列，满足
称 为灰微分方程， 的白化方程，也叫影子方程。
如上所述，则有
1.白化方程 的解或称时间响应函数为
2.Gm(1,1>灰微分方程 的时间响应序列为
其时间响应式为
由此得模拟序列
=<27260，29553，32336，35381）
检验：
残差序列为
=<0，-6，75，7）
平均相对误差
模拟误差 ，精度一级
计算 与 的灰色关联度
=11502
=11429.5
=72.5
精度为一级
计算均方差比
所以， ，均方差比值为一级
计算小误差概率
所以，
小误差概率为一级，故可用
解：
对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
方程为
及时间响应式
求 的模拟值
=(1.67,2.962,4.474,6.202,8.311>
还原出 的模拟值，由
得
=<1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）
计算X与 的灰色关联度
=
=0.2585
=0.0885
=0.94＞0.90
精度为一级，关联度为一级，可以用
精度检验等级参照表
指标临界性
精度等级
相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.50
0.80
三级
0.10
0.70
0.65
0.70
四级
0.20
0.60
0.80
0.60
一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。
5应用举例
例1
设原始序列
建立Gm(1,1>模型，并进行检验。
主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；
研究对象内涵与外延的性质不同。
灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。
“黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。DXDiTa9E3d
2灰色系统的基本原理
2.1灰色系统的基本概念
我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。p1EanqFDPw
系统信息不完全的情况有以下四种：
1.元素信息不完全
2.结构信息不完全
3.边界信息不完全
4.运行行为信息不完全
2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别
2.3灰色系统的基本原理
公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。
公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。
公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。
公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。
公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为 ，其数据见下表：
序号
1
2
3Βιβλιοθήκη Baidu
4
符号
数据
1
2
3
4
将上表数据作图得
上图表明原始数据 没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为 ,并且jLBHrnAILg
得到数据如下表所示
序号
1
2
3
4
符号
数据
1
3
4.5
7.5
3.取 ，则
4.还原值
2.系统综合预测GM<1，N）模型P134
4灰色系统模型的检验
定义1.
设原始序列
相应的模型模拟序列为
残差序列
相对误差序列
1.对于k＜n,称 为k点模拟相对误差，称 为滤波相对误差，称 为平均模拟相对误差；
2.称 为平均相对精度， 为滤波精度；
3.给定 ，当 ，且 成立时，称模型为残差合格模型。
灰色关联分析
灰色统计
灰色聚类
3灰色系统预测模型
灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。5PCzVD7HxA
3.1灰色系统理论的建模思想
进行预测，2001-2005年预测值为
=<38713，42359，46318，50712，55488）
例3
预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值
年份
2001
2002
2003
2004
2005
总产值
1.67
1.51
1.03
2.14
1.99
建立Gm(1,1>模型的白化方程，预测2006-2018工业总产值。
定义2
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，则称模型为关联合格模型。
定义3
设 为原始序列， 为相应的模拟误差序列， 为残差序列。
为 的均值，
为 的方差，
为残差均值，
为残差方差，
1.称 为均方差比值；对于给定的 ，当 时，称模型为均方差比合格模型。
2.称 为小误差概率，对于给定的 ,当 时，称模型为小误差概率合格模型。
5>还原出 的模拟值，由
得
=<2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）
6）误差检验
序号
实际数据
模拟数据
残差
相对误差
2
3.278
3.2318
0.0462
1.41%
3
3.337
3.3541
-0.0171
0.51%
4
3.390
3.4811
-0.0911
2.69%
5
3.679
3.6128
解：1）对 作1-AGO，得
[D为 的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Generating Operator]LDAYtRyKfE
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
3）确定模型
及时间响应式
4>求 的模拟值
=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538>
32411
35388
试建立Gm(1,1>模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1>模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。Zzz6ZB2Ltk
解：设时间序列为
=<27260，29547，62411，35388）
2>对 作紧邻均值生成，令
于是，
，
对参数列 作最小二乘估计，得
设
由于
可得Gm(1,1>模型的白化方程
进行预测。
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。b5E2RGbCAP