连续型随机变量课件

f
x
1 30
0 x 30
0 其它
令：B={ 候车时间不超过5分钟 }
则 PB P10 X 15 P25 X 30
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
例6：设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
试求方程
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
随机变量 的密度函数为
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
150
则 PA PX 150 f xdx
150 100 dx 1
100 x2
3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150 小时 }
则
PB
C52
间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变 量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
cl
P{c X c l} c f (x)dx
X
X
cl
1 dx
l
.
c ba ba
a
0
l
l
bx
均匀分布的分布函数
若随机变量X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
0
3 0 3
所以，
c3 8
2
⑵．PX 1 f xdx f xdx f xdx
1
1
2
2 3 4x 2x2 dx 18
2
3 2x2 2 x3
8
3 1
1 2
例2：某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率分布 二、几种重要的连续型随机变量的概率分布
一、连续型随机变量的概率分布
定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意
x
实数 x，有 F (x) f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度.
f
x
1 9
3 x6
0 其它
设：A 方程4x2 4 x 2 0有实根
则 PA P 4 2 4 4 2 0
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
10 f (x) 0.
20
f (x)dx 1.
f (x)
1
0
x
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)
x2 x1
f
(x)dx. (x1
x2 )
0 x1 x2 x
40 若f (x)在点x处连续，则有 F(x) f (x).
PX G f xdx
G
例1设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
f
x
c
4x
2x2
0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵．PX 1．
解： ⑴．由密度函数的性质
f xdx 1
0
2
得 1 f xdx f xdx f xdx f xdx
0
2
2 c 4x 2x2 dx c 2x2 2 x3 2 8 c
0
其它
试求 X 的分布函数．
解：
x
当x 0时，Fx f tdt 0
x
0
x
当0 x 1时，Fx f tdt f tdt f tdt
0
x
tdt
x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx f tdt
0
1
x
f tdt f tdt f tdt
0
1
1 tdt x 2 tdt 1 x2 2x 1
2
0
1
x
当x 2时，Fx f tdt
0
1
2
x
f tdt f tdt f tdt f tdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt 1
0
1
综上所述，可得随机变 量 X 的分布函数
0
x0
x2
Fx
x2
2 2x
1
0 x 1 1 x 2
2
Βιβλιοθήκη Baidu 1
2 x
二.几种重要的连续型随机变量的概率分布
注意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！
我们不能认为：
PX a f a ！
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a，
有
PX a 0
证明：
PX a
lim Pa n
1 n
X
a
a
lim f xdx n
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x
b
1
a
a xb
确是密度函数．
0
其它
说明 ⑴．类似地，我们可以定义
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布．
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区
1 3
2
2 3
3
80 243
例3：设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctgx
2
试求 X 的密度函数．
x
解：
设 X 的密度函数为 f x，则
f x Fx 1 1
1 x2
x
例4：设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
0
a
1 n
所以有 PX a 0
说明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f x，
则 X 在任意区间G（G可以是开区间,也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
1
a a
xa a xb
bx
F (x) 1
a0 b
x
例5：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一 班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之 间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率．
解：
设该乘客于7时X分到达此站．
则 X 服从区间 0， 30上的均匀分布．
其密度函数为