连续型随机变量课件
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连续性随机变量分布函数PPT详解
1
f ( x)dx
b
dx (b a)
∴ =1/(b-a).
a
d 1
d c
(2) P{c X d}
dx
c ba ba
（一）均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0, else
则称X在(a, b)上服从均匀分布，记为 X ~ U (a, b)
易知， f ( x) 0,
a
f ( x)dx
0
20
③ F(a) = F(a)
④ F(a) = 2F(a) 1
练习
2.设X为连续型随机变量，其分布函数为：
F
(
x)
A
Be
2
x
,
x0
C,
x0
求:(1)A ,B,C (2) f(x) (3) P{-2<X<1}
练习
3、设X与Y 同分布，X 的概率密度为
f
(
x)
3 8
x
2
Z的概率密度： x
1
x2
e2
2
Z的分布函数：(x) x
y ( x)
y
1 t2 e 2 dt
2
(x)
(x)
xx 1
x 0 x
x
29
标准正态分布N(0, 1)
(x)
密度函数记为 (x),
分布函数记为 (x).
(1) (0) 1 , 2
( x)
1 (x)
x 0 x
x
(2) ( x) 1 (x)
2
3 P{ X C } 3F (C ) 3(C 3) 2
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
第三章 连续型随机变量
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分布函数的性质（2） 使用分布函数计算以下概率： P{ξ(ω)≥x}＝1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x) P{ξ(ω)≤x}＝F(x＋0) P{ξ(ω)＞x}＝ 1 - P{ξ(ω) ≤ x} ＝ 1-F(x＋0) P{ξ(ω)＝x}＝ P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x} ＝ F(x＋0)－F(x) 对于离散型随机变量 P(ξ＝ai)＝pi 来说， ξ(ω)的分布函数为
p ( y ) F ( y )
p ( x ) p ( y x ) d x （3.55）
由对称性可知
p ( y ) F ( y )
p ( y x ) p ( x ) d x （3.56）
由（3.35）和（3.36）给出的运算称为卷积，通常 记为：
n
服从 N ( i , i2 ) 分布的随机变量，则
n n
i 1
i
仍然是
一个服从 N ( , 2 ) 的随机变量，并且其参数为
i 1
i
,
2
i 1
2 i
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多维随机变量函数的分布（7-4）
（二）商的分布
设（ξ, η）是一个二维随机变量，密度函数为
F ( x ) P ( ( ) x )
ai x
P ( ( ) a i )
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例3.1 等可能的在[a，b]上投点，以ξ表示落点的位置， 则ξ的分布函数为： 当x＜a时， F ( x ) P ( ( ) x ) 0 当a＜x＜b时，
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
北京工业大学《概率论与数理统计》课件 第2章 连续性随机变量
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率密度函数
△ 均匀分布 △ 指数分布 △ 正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量 X 的概率密度为
则称 X 服从区间[a, b]上的均匀分布，记作 X ～U[a, b]。(注: 有时也记作X～U(a, b) )
若X ～ U[a, b]，则对于满足 a≤c≤d≤b 的 c 和 d，总有
例2.3.4 假设某地区成年男性的身高(单位: cm) X～N(170,7.692), 求该地区成年男性的身 高超过175 cm的概率。
解 根据假设X～N(170 ,7.692), μ=170， a=175, σ= 7.69。由(2.3.15) 式的后一式，得
小结
本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、 概率密度函数及其性质；然后介绍三种常用的 连续型随机变量：均匀分布，指数分布和正态 分布；给出了三种分布应用的例子。
概率密度曲线可用来准确地刻画 X 的概率 分布情况。
2.3. 2 概率密度函数 定义2.3.1 若存在非负可积函数 f(x), 使
随机变量X落入任意区间(a, b]的概率
则称 X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密 度函数，简称概率密度或密度。
对概率密度的进一步解释： 若 x 是 f(x) 的连续点，则有
且 f (μ+c) ≤ f (μ)， f (μ-c)≤ f (μ). 故 f(x)以 x=μ为对称轴，并在 x =μ处达到最大 值
对
当 x→ ∞时，f(x) → 0。 这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴 近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。
对
可以证明： x =μσ
为 y = f (x) 曲线的两个拐点的横坐标。
常见的连续型随机变量
第五节 常见的连续型随机变量
7
例 1（续）
所以，
PB P10 X 15 P25 X 30
P40 X 45 P55 X 60
15
1 dx 30
1
45
dx
1
60
dx
1
dx
10 60
25 60
40 60
55 60
1 3
．
第五节 常见的连续型随机变量
8
例2
设随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，求方程
上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1（续）
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 ．
令 B 被带往甲地 ．
开往甲地汽车的到达时间：
7:00， 7:15， 7:30， 7:45， 8:00； 开往乙地汽车的到达时间：
7:10， 7:25， 7:40， 7:55， 8:10．
k!
k 0, 1, , n, ．
设随机变量T 的分布函数为 FT t ．
则当 t 0 时， FT t 0 ；
第五节 常见的连续型随机变量
18
例 4（续）
当 t 0时， FT t PT t 1 PT t
1 P在长度为 t 的时间间隔内随机事件 A 没发生
1 PX 0 1 et ．
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
由于随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布，所以
的密度函数为
f
x
1 9
0
3 x6
其它 ．
第五节 常见的连续型随机变量
9
例 2（续）
第8讲连续型随机变量-概率统计
通常我们都是给出连续型随机变量的概率密度函数 p(x)，我 们可以用积分的方法求出概率。 ⑴ 落入集合G的概率公式为：
（2）落入区间内的概率：
知道密度函数求 分布函数，一定 要画图。
（3）分布函数为：
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
kx 1 p x 0 0 x 2, 其他.
(1)确定常数a, b
(2)求X的密度函数.
(3)求P(1 X 1), P( X 1).
2
解
(1)根据分布函数的性质有
π F lim (a b arctan x) a b 1, x 2 π F lim (a b arctan x) a b 0. x 2 1 1 此分布称为柯西分布 故 a ,b . 2 π (2) 由(1)知 1 1 F ( x) arctan x ( x ), 2 π 1 故 p( x) F ( x) π (1 x 2 ) ( x ).
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F x
(3)求P 3 X 5 2 2
解：(1) 由 p( x)dx 1, 得 (kx 1)dx 1 0
解得k 1/ 2
2
(2) X的分布函数为
x x0 0dt 0, 0 x x 1 1 2 F x p t dt 0dt ( t 1)dt x x, 0 x 2 0 2 4 2 x 1 0 0dt ( t 1)dt 0dt 1, x2 0 2 2 5/2 5 3 3 5 (3) P X = p( x)dx F F 2 2 3/2 2 2 1 0.9375 0.0625
（2）落入区间内的概率：
知道密度函数求 分布函数，一定 要画图。
（3）分布函数为：
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
kx 1 p x 0 0 x 2, 其他.
(1)确定常数a, b
(2)求X的密度函数.
(3)求P(1 X 1), P( X 1).
2
解
(1)根据分布函数的性质有
π F lim (a b arctan x) a b 1, x 2 π F lim (a b arctan x) a b 0. x 2 1 1 此分布称为柯西分布 故 a ,b . 2 π (2) 由(1)知 1 1 F ( x) arctan x ( x ), 2 π 1 故 p( x) F ( x) π (1 x 2 ) ( x ).
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F x
(3)求P 3 X 5 2 2
解：(1) 由 p( x)dx 1, 得 (kx 1)dx 1 0
解得k 1/ 2
2
(2) X的分布函数为
x x0 0dt 0, 0 x x 1 1 2 F x p t dt 0dt ( t 1)dt x x, 0 x 2 0 2 4 2 x 1 0 0dt ( t 1)dt 0dt 1, x2 0 2 2 5/2 5 3 3 5 (3) P X = p( x)dx F F 2 2 3/2 2 2 1 0.9375 0.0625
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
概率论与统计第二章第三节连续型随机变量
x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入 误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车 时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中 亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x
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第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率分布 二、几种重要的连续型随机变量的概率分布
一、连续型随机变量的概率分布
定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意
x
实数 x，有 F (x) f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度.
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb0Fra bibliotek其它则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
10 f (x) 0.
20
f (x)dx 1.
f (x)
1
0
x
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)
x2 x1
f
(x)dx. (x1
x2 )
0 x1 x2 x
40 若f (x)在点x处连续，则有 F(x) f (x).
f
x
1 30
0 x 30
0 其它
令：B={ 候车时间不超过5分钟 }
则 PB P10 X 15 P25 X 30
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
例6：设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
试求方程
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
随机变量 的密度函数为
0
3 0 3
所以，
c3 8
2
⑵．PX 1 f xdx f xdx f xdx
1
1
2
2 3 4x 2x2 dx 18
2
3 2x2 2 x3
8
3 1
1 2
例2：某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
f
x
1 9
3 x6
0 其它
设：A 方程4x2 4 x 2 0有实根
则 PA P 4 2 4 4 2 0
解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
150
则 PA PX 150 f xdx
150 100 dx 1
100 x2
3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150 小时 }
则
PB
C52
1 3
2
2 3
3
80 243
例3：设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctgx
2
试求 X 的密度函数．
x
解：
设 X 的密度函数为 f x，则
f x Fx 1 1
1 x2
x
例4：设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
PX G f xdx
G
例1设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
f
x
c
4x
2x2
0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵．PX 1．
解： ⑴．由密度函数的性质
f xdx 1
0
2
得 1 f xdx f xdx f xdx f xdx
0
2
2 c 4x 2x2 dx c 2x2 2 x3 2 8 c
间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变 量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
cl
P{c X c l} c f (x)dx
X
X
cl
1 dx
l
.
c ba ba
a
0
l
l
bx
均匀分布的分布函数
若随机变量X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
0
其它
试求 X 的分布函数．
解：
x
当x 0时，Fx f tdt 0
x
0
x
当0 x 1时，Fx f tdt f tdt f tdt
0
x
tdt
x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx f tdt
0
1
x
f tdt f tdt f tdt
0
1
1 tdt x 2 tdt 1 x2 2x 1
2
0
1
x
当x 2时，Fx f tdt
0
1
2
x
f tdt f tdt f tdt f tdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt 1
0
1
综上所述，可得随机变 量 X 的分布函数
0
x0
x2
Fx
x2
2 2x
1
0 x 1 1 x 2
2
1
2 x
二.几种重要的连续型随机变量的概率分布
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x
b
1
a
a xb
确是密度函数．
0
其它
说明 ⑴．类似地，我们可以定义
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布．
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区
0
a
1 n
所以有 PX a 0
说明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f x，
则 X 在任意区间G（G可以是开区间,也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
注意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！
我们不能认为：
PX a f a ！
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a，
有
PX a 0
证明：
PX a
lim Pa n
1 n
X
a
a
lim f xdx n
1
a a
xa a xb
bx
F (x) 1
a0 b
x
例5：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一 班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之 间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率．
解：
设该乘客于7时X分到达此站．
则 X 服从区间 0， 30上的均匀分布．
其密度函数为
一、连续型随机变量的概率分布 二、几种重要的连续型随机变量的概率分布
一、连续型随机变量的概率分布
定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意
x
实数 x，有 F (x) f (t)dt,
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度.
1．均 匀 分 布
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb0Fra bibliotek其它则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]
密度函数的验证
设X ~ 区间a， b上的均匀分布， f x是其密度函数，
则有：
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定．
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
10 f (x) 0.
20
f (x)dx 1.
f (x)
1
0
x
30 P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1)
f (x)
x2 x1
f
(x)dx. (x1
x2 )
0 x1 x2 x
40 若f (x)在点x处连续，则有 F(x) f (x).
f
x
1 30
0 x 30
0 其它
令：B={ 候车时间不超过5分钟 }
则 PB P10 X 15 P25 X 30
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
例6：设随机变量 服从区间 3， 6上的均匀分布，
试求方程
4x2 4 x 2 0
有实根的概率．
解：
随机变量 的密度函数为
0
3 0 3
所以，
c3 8
2
⑵．PX 1 f xdx f xdx f xdx
1
1
2
2 3 4x 2x2 dx 18
2
3 2x2 2 x3
8
3 1
1 2
例2：某电子元件的寿命（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
f
x
1 9
3 x6
0 其它
设：A 方程4x2 4 x 2 0有实根
则 PA P 4 2 4 4 2 0
解： 设：A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换}
150
则 PA PX 150 f xdx
150 100 dx 1
100 x2
3
检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5
重Bernoulli试验．
B={ 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150 小时 }
则
PB
C52
1 3
2
2 3
3
80 243
例3：设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctgx
2
试求 X 的密度函数．
x
解：
设 X 的密度函数为 f x，则
f x Fx 1 1
1 x2
x
例4：设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
PX G f xdx
G
例1设 X 是连续型随机变量，其密度函数为
f
x
c
4x
2x2
0
0x2 其它
求：⑴．常数c； ⑵．PX 1．
解： ⑴．由密度函数的性质
f xdx 1
0
2
得 1 f xdx f xdx f xdx f xdx
0
2
2 c 4x 2x2 dx c 2x2 2 x3 2 8 c
间的长度成正比，而与 该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变 量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
cl
P{c X c l} c f (x)dx
X
X
cl
1 dx
l
.
c ba ba
a
0
l
l
bx
均匀分布的分布函数
若随机变量X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
0
其它
试求 X 的分布函数．
解：
x
当x 0时，Fx f tdt 0
x
0
x
当0 x 1时，Fx f tdt f tdt f tdt
0
x
tdt
x2
0
2
x
当1 x 2时，Fx f tdt
0
1
x
f tdt f tdt f tdt
0
1
1 tdt x 2 tdt 1 x2 2x 1
2
0
1
x
当x 2时，Fx f tdt
0
1
2
x
f tdt f tdt f tdt f tdt
0
1
2
1
2
tdt 2 tdt 1
0
1
综上所述，可得随机变 量 X 的分布函数
0
x0
x2
Fx
x2
2 2x
1
0 x 1 1 x 2
2
1
2 x
二.几种重要的连续型随机变量的概率分布
a
b
b
a
1 ba
dx
1．
由此可知，f
x
b
1
a
a xb
确是密度函数．
0
其它
说明 ⑴．类似地，我们可以定义
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布；
区间a， b上的均匀分布．
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机 变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上 取值的概率与该子区
0
a
1 n
所以有 PX a 0
说明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我
们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f x，
则 X 在任意区间G（G可以是开区间,也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间）上取值的概率为，
注意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！
我们不能认为：
PX a f a ！
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a，
有
PX a 0
证明：
PX a
lim Pa n
1 n
X
a
a
lim f xdx n
1
a a
xa a xb
bx
F (x) 1
a0 b
x
例5：设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一 班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之 间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过 5分钟的概率．
解：
设该乘客于7时X分到达此站．
则 X 服从区间 0， 30上的均匀分布．
其密度函数为