复变函数

• 联系
• u = u(x,y), v = v(x,y) • 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数

结构
• 相同点：
• 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
• 不同点：
• 基本实变函数 • xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) • 基本复变函数 • zn, z1/n,exp(z),ln(z) • 原因 • cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
解析函数

定义

点解析
• 函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
• 函数f(z)在区域B上每一点都解析

性质

调和性
• 解析函数的实部与虚部都是调和函数， • 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0

正交性
• 解析函数的实部与虚部梯度正交， • 即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 • 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
解析函数

应用



例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方 程。 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一 个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C
0 0
充要条件
• 偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 • 满足C-R条件
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
0

意义
• 可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
x x0 y y0
• 典型例子：
• |x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； • |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数

映射
• 相同点
• 在形式上：y = f(x), w = f(z)
• 不同点
• 在变量上：z = x+iy, w = u+iv • 在描述上： • 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； • 复变函数不能用一个图形完全表示。
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
复变函数的导数

典型情况

初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。 法则：
• 复变函数的求导法则与实变函数完全相同；

导数的计算
• u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] • u = exp(x) cos y , • v = exp(x) sin y
• 性质
• 不对称性 • 周期性 • exp(z+2i)= exp(z) • 无界性 • 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
1 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
20 4

三角函数
• 定义
• w = sin(z)
0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
• 分析
• u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) • u = sin(x)ch(y) , • v = cos(x)sh(y)

特点

无序性
• 复数无大小

矢量性
• 复数有方向
复数

运算

加减法
• (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
• r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
• [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) • [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复变函数

100 50 10 5 0 -5 0 5 10 -10 -5 0 -50 -100 -10
基本Leabharlann Baidu数

二次函数
• 定义
• w = z2
• 分析
• u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 • u = x2 -y2 , • v = 2xy
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
数学物理方法
复变函数论
复变函数论
复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结

复数

数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数

复数

复数的表示

代数表示
• z = x + iy
• x = Real(z), y = Imagine(z)

复共轭
• z = x + iy → z* = x – iy • z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
复变函数

概念

定义
• 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 • 实变函数：f:x→y • 复变函数：f:z→w

举例
• • • • f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)
• 性质
• • • • 对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
复变函数的导数

基本概念
实变函数 复变函数
z z0
极限 连续 导数
x x0
lim f ( x) A
lim f ( z ) A
x x0
lim f ( x) f ( x0 )

三角表示
• z = r (cosφ + i sinφ)
• r = |z|, φ= Arg(z)

指数表示
• z = r exp(iφ)
• exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数

几何表示

关系
• • • • x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
• 性质
• • • • 对称性 无周期性 无界性 单值性
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 5 0
10
复变函数
5

指数函数
• 定义
• w = exp(z)
2.5 0 -2.5 -5 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
• 分析
z z0
lim f ( z ) f ( z0 )
f ( x ) lim f ' ( x0 ) x x0 x
f ( z ) lim f ' ( z0 ) z z0 z
复变函数的导数

可导条件


C-R条件
• ux = vy • vx = -uy
分析

f ( z) f ( z) f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y lim
复变函数

更多的例子
• • • • • • • • • • • w w w w w w w w w w w = = = = = = = = = = = az2 az2 + bz +c 1/(az + b) √(az + b) Ln(az + b) sin z Arccos z ∑ an zn ∑ an sin(nωz) ∏(1-z2/n22) ∫exp(-z2)dz
解析函数



例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热 流量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
• 性质
• • • • 对称性 无周期性 无界性 单值性
复变函数

2000 1000 0
10 5 0 -5 -5 5 10 -10
三次函数
• 定义
• w= z3
-1000 -2000 -10 0
• 分析
• u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 • u = x3 – 3xy2 , • v = 3x2y - y3
解析函数




例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
2

对数函数
• 定义
• w = Ln(z)
1.5 1 0.5 0 1 2 3 4 5 1 4 3 2
• 分析
• u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ • u = ln r, • v=φ
• 性质
• • • • 对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ|
本章小结

复变函数

定义：两个复数集合之间的映射； 特点：定义域和值域为2维；
• 定义域出现复连通现象； • 不能用一个图形完全描述； • 极限存在的要求提高；

分析：可以分解成2个二元实函数； 满足CR条件； 实部和虚部都是调和函数，相互正交。

解析函数

复 变 函 数
有理函数
复变函数的分类
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
无理函数
级数
无穷乘积
整式
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数

分析与比较

定义域和值域
• 相同点：
• 都是数集
• 不同点：
• 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； • 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。


例子：
• (sin2z)’ = 2 sin z cos z • [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) • (z3)” = 6 z
复变函数的导数

导数的意义

微商表示
• f’(z) = dw/dz

模：
• |f’(z)|= |dw|/|dz|

幅角：
• Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)