初中数学教程三角形全等的条件

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三角形全等的判定+性质+辅助线技巧

三角形全等的判定+性质+辅助线技巧都在这里了，请收好！在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。

有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。

王老师这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。

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2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

完整版三角形全等的判定

完整版三角形全等的判定在数学的世界里，三角形全等的判定是一个非常重要的知识点。

它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象力的关键。

接下来，让我们深入探讨三角形全等的判定方法。

三角形全等，简单来说就是两个三角形的形状和大小完全相同。

要判定两个三角形全等，有以下几种常见的方法。

第一种是“边边边”（SSS）判定法。

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如说，有三角形 ABC 和三角形DEF，AB 等于 DE，BC 等于 EF，AC 等于 DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

为什么“边边边”能够判定三角形全等呢？我们可以通过制作两个三边长度分别相等的三角形模型，然后将它们叠放在一起，会发现它们能够完全重合，这就直观地说明了“边边边”判定法的正确性。

第二种是“边角边”（SAS）判定法。

如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB 等于 DE，∠A 等于∠D，AC 等于 DF，那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。

这个判定法也很好理解。

想象一下，我们先确定一条边的长度和一个夹角的大小，然后以这条边的一个端点为顶点，按照给定的夹角和另一条边的长度画出第二条边，最后连接两个端点，得到的三角形是唯一确定的。

接下来是“角边角”（ASA）判定法。

当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A 等于∠D，AB 等于 DE，∠B 等于∠E，那么三角形ABC 与三角形 DEF 全等。

同样地，我们可以通过实际操作来理解这个判定法。

先确定一条边，然后分别以这条边的两个端点为顶点，按照给定的两个角的大小画出另外两条边，得到的三角形也是唯一确定的。

还有“角角边”（AAS）判定法。

如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5种判定三角形全等的方法

5种判定三角形全等的方法判定三角形全等是几何学中的重要内容之一，意味着两个三角形的所有对应的边和角都相等。

全等的三角形具有相同的形状和大小，并且可以完全重合。

在此文章中，我们将介绍五种常用的判定三角形全等的方法。

方法一：SSS法（边边边法）SSS法是最简单和常用的方法之一、根据SSS法，如果两个三角形的对应边长度相等，则它们是全等的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF 的三条边AB、BC、AC对应相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。

方法二：SAS法（边角边法）SAS法是另一种常用的方法，根据SAS法，如果两个三角形的两个对应边和它们之间的夹角相等，则它们是全等的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应边AB、DE相等，且它们之间的夹角ABC和DEF相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。

方法三：ASA法（角边角法）ASA法是另一种常用的方法，根据ASA法，如果两个三角形的两个对应角和它们之间的一对对应边相等，则它们是全等的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应角∠ABC和∠DEF相等，且对应边AB和DE 相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。

方法四：AAS法（角角边法）AAS法是另一种常用的方法，根据AAS法，如果两个三角形的两个对应角和它们之间的一对对应边夹角相等，则它们是全等的。

例如，如果三角形ABC和三角形DEF的一对对应角∠ABC和∠DEF相等，且对应边AB之间的夹角与DE之间的夹角相等，则可以判定三角形ABC和三角形DEF是全等的。

方法五：HL法（斜边-高法）HL法是另一种常用于判定直角三角形全等的方法，根据HL法，如果两个直角三角形的斜边和高相等，则它们是全等的。

在此方法中，由于直角三角形的一个内角为90度，因此通过比较两个直角三角形的斜边和高就足够判断它们的全等性。

这五种方法是判定三角形全等的基本方法，可以结合使用，根据具体的题目情况选择合适的方法进行判定。

三角形全等的条件

3. 培养独立思考和解决问题的能力，提高自己的推理能力和思维水平；
4. 多看一些几何学的经典著作和文献，了解最新的研究成果和应用前景。
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三角形全等的证明方法总结
• 证明方法总结：三角形全等的证明方法包括直接证明法、间接证明法、反证法等。其中，直接证明法是最基本的方法，它通过直接利用三角形全等的条件来证明两个三角形全等；间接证明法则是通过证明两个三角形符合三角形全等的条件来证明它们全等；反证法则是在假设两个三角形不全等的情况下，通过推理得出矛盾，从而证明两个三角形全等。在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的证明方法。
03
在证明两个三角形全等时，要注意对应顶点、对应边、对应角的顺序。
02
三角形全等的判定定理
SAS定理
总结词
边角边定理，适用于两个三角形全等
详细描述
如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等
AAS定理
总结词
角角边定理，适用于两个三角形全等
详细描述
如果两个三角形的两角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等
2023
《三角形全等的条件》
目录
• 三角形全等的定义 • 三角形全等的判定定理 • 三角形全等的证明方法 • 三角形全等的应用 • 总结与展望
01
三角形全等的定义
三角形全等的定义
两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边分别相等。用符号“≌”表示两个三角形全等。
三角形全等的重要性
在三角函数中的应用
01
在三角函数中，三角形全等可以用来证明一些恒等式或者不等式。
02
利用三角形全等，可以将一些复杂的恒等式或者不等式进行化

全等三角形判定定理

二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角＿相等＿＿＿＿
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿相等＿＿
注意：
1、斜边、直角边公理（HL ）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS 、SAS 、ASA 、AAS 适用于任何三角形，包括直角三角形。

三、角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。

P 在AOB ∠的平分线上
PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ∴PD PE =
四、角平分线的判定
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E
且PD PE = ∴P 在AOB ∠的平分线上
（或写成OP 是AOB ∠的平分线）。

三角形全等的判定方法6种

三角形全等的判定方法6种
1、SSS（Side-Side-Side）（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

2、SAS（Side-Angle-Side）（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

3、ASA（Angle-Side-Angle）（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

4、AAS（Angle-Angle-Side）（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

5、RHS（Rightangle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）（又称HL定理（斜边、直角边））：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

（它的证明是用SSS原理）
下列两种方法不能验证为全等三角形：
1、AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能证全等，但能证相似三角形。

2、SSA（Side-Side-Angle）（边边角）：其中一角相等，且非夹角的两边相等。

《三角形全等的判定》知识清单

《三角形全等的判定》知识清单一、三角形全等的概念两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

二、三角形全等的判定方法1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

这个判定方法是三角形全等判定的基础，因为三条边确定了，三角形的形状和大小也就确定了。

2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

需要注意的是，这里的角必须是两条边的夹角。

3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

同样，这里的边必须是两个角的夹边。

4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

这一判定方法是由“角边角”推导而来的。

三、直角三角形全等的特殊判定方法1、“斜边、直角边”（HL）对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

比如在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，∠C ＝∠F ＝ 90°，AB ＝ DE，AC ＝ DF，那么直角三角形 ABC 全等于直角三角形 DEF。

四、三角形全等判定的应用1、证明线段相等如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。

三角形的全等条件

三角形的全等条件一、前言三角形作为初中和高中数学中的重要内容，其全等条件一直是一个重点和难点。

全等条件是三角形的相似、互异、重叠等问题的基础，因此在初中和高中阶段学生的数学学习里有着重要的地位。

这篇文章将为大家介绍三角形的全等条件，从基本定义开始，详细讲解五种常用的全等条件，希望能够帮助读者更好地掌握全等条件。

二、三角形的基本属性和定义在介绍全等条件之前，我们先来了解一下三角形的基本属性和定义。

三角形是由三条线段组成的，其中任意两边之和大于第三边。

三角形有三个内角和三个外角（外角之和为360度）。

在三角形中，我们通常通过边长和角度来描述它。

三、全等定义什么是全等？全等是指两个东西相等，没有任何差异。

在三角形中，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，那么就称它们为全等三角形。

四、全等条件在学习中，我们通常通过几何的方法来判断两个三角形是否全等，也就是找到它们的全等条件。

下面是五种常用的全等条件：1. SSS准则（边-边-边相等法则）：如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。

2. SAS准则（边-角-边相等法则）：如果两个三角形的两条边和它们夹夹的角度相等，那么它们是全等的。

3. ASA准则（角-边-角相等法则）：如果两个三角形的两个角和它们夹的边长相等，那么它们是全等的。

4. RHS准则（直角边-斜边-直角边相等法则）：如果两个三角形的一条直角边和斜边分别相等，那么它们是全等的。

5. SAA准则（边-角-角相等法则）：如果两个三角形的两个角和一条边的对应角度相等，那么它们是全等的。

五、应用实例接下来，我们通过实例来解释上述五种全等条件的应用。

1. SSS准则例题：已知三角形ABC的三条边分别为AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm；三角形DEF的三条边分别为DE=3cm，DF=4cm，EF=5cm。

证明三角形ABC和三角形DEF全等。

解：我们已知三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等，因此根据SSS准则，它们是全等的。

全等的判定条件

全等的判定条件
全等的判定条件是指在平面几何中，判断两个三角形是否全等的条件。

全等的意思是两个三角形的所有对应边和对应角都相等。

在平面几何中，有以下四种判定条件可以用来判断两个三角形是否全等：
1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形
全等。

2. SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个
三角形全等。

3. ASA判定法：如果两个三角形的一条边和两个夹角分别相等，则这
两个三角形全等。

4. RHS判定法：如果两个三角形的一条直角边和另一条边分别相等，
则这两个三角形全等。

需要注意的是，这四种判定法只能用于判断两个三角形是否全等，不
能用于判断两个三角形是否相似。

相似的意思是两个三角形的对应角
度相等，但对应边的长度不一定相等。

在实际应用中，全等的判定条件可以用来解决各种几何问题，例如计算三角形的面积、判断两个图形是否重合等。

因此，学好全等的判定条件对于学习和应用平面几何知识都非常重要。

三角形全等的条件要点全析

三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中．第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②．第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面．即：已知中间条件结论综合法分析法例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ．证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法—边一角对应相等一边SAS一角SAS或AAS两角对应相等一边ASA或AAS两边对应相等一角SAS 一边SSS11．如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）．在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ，则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。

三角形证全等的方法

三角形证全等的方法
，答案限定在300字以内
三角形的全等的概念是指：三角形的三条边都是等长的，而且三个内角也都相等。

依据此概念，用简单易懂的话来说就是：若一个三角形三条边都是等长的，而且其三个内角也都是相等，则这三角形就是全等三角形。

为了证明一个三角形是全等的，必须满足以下五点：
第一，三条边的长度要相等，且这三条边的长度要大于其中任意两条边的和；
第二，在三角形中，两边必须相加大于第三条边；
第三，三条边构成的三个外角要相等；
第四，三条边构成的三个内角也要相等；
第五，必须构成一个封闭图形（即内角之和为180°）。

若上述五条条件全部满足，则证明该三角形就是一个全等三角形。

全等三角形判定方式和解释

全等三角形判定方式和解释一、全等三角形的基础概念全等三角形是指两个三角形能够完全重合，它们的形状和大小都相等。

全等关系是三角形的一种重要性质，它在几何学中有广泛的应用。

二、全等三角形的判定方式1. 边边边（SSS）判定法如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, AC = DF。

解释：这个判定法是基于三角形的定义和性质。

在平面几何中，三角形的定义是一个由三条边和三个角构成的闭合二维多边形。

因此，如果两个三角形的三条边长度相等，那么它们的角度一定相等，从而它们的形状和大小都相等。

2. 边角边（SAS）判定法如果两个三角形的两边长度相等，并且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, 且∠BAC = ∠DEF。

解释：这个判定法也基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一边的长度都受到与其所夹的两个角的影响。

因此，如果两个三角形的两条边长度相等，并且这两条边所夹的角相等，那么它们的形状和大小一定相等。

3. 角边角（ASA）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AB = DF。

解释：这个判定法同样基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。

因此，如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度相等，那么它们的形状和大小一定相等。

4. 角角边（AAS）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且其中一个角所对的一边相等，则这两个三角形全等。

数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AC = DF。

解释：这个判定法也是基于三角形的性质。

在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。

三角形的全等条件

三角形的全等条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常重要的几何图形。

而判断两个三角形是否全等，有着特定的条件。

这些条件就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开三角形全等的神秘之门。

首先，让我们来了解一下什么是三角形的全等。

简单地说，如果两个三角形能够完全重合，那么它们就是全等的。

这意味着它们的三条边和三个角都分别相等。

全等三角形的第一个条件是“边边边”（SSS）。

也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

想象一下，我们有两个三角形，它们的三条边长度完全一样。

就好像我们用三根同样长度的木棍分别搭成了两个架子，这两个架子的形状肯定是一模一样的，能够完全重合。

接下来是“边角边”（SAS）条件。

当两个三角形的两条边及其夹角分别相等时，这两个三角形全等。

比如说，我们有两个三角形，其中两条边的长度相等，并且这两条边所夹的角也相等。

就像是一个固定了两条边和它们之间夹角的框架，无论怎么摆，形状都是确定的，所以这样的两个三角形也是全等的。

然后是“角边角”（ASA）条件。

如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等。

可以这样理解，当我们确定了三角形的两个角和它们之间的那条边，就相当于确定了三角形的形状和大小，所以这样的两个三角形必然全等。

还有“角角边”（AAS）条件。

当两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等时，这两个三角形全等。

这就好比我们知道了三角形的两个角，以及其中一个角所对的边，也就能够确定这个三角形的形状和大小了。

除了以上这些常见的全等条件，还有一个特殊的情况，那就是直角三角形的全等条件。

对于直角三角形，除了可以使用上述的一般条件外，还有“斜边、直角边”（HL）条件。

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等。

这些全等条件在解决实际问题中非常有用。

比如，在测量、建筑、制图等领域，我们经常需要判断两个三角形是否全等，以便进行精确的计算和设计。

初中数学三角形全等的判定

初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线技巧说到初中数学，上学时最头疼的就是几何的证明题了，不知道大家对这块的知识掌握的如何呢？今天，给大家分享关于初中数学中三角形相关的一些答题技巧，希望能够帮助到大家三角形全等的证明1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：缺条边的条件：构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

判定三角形全等的四种方法

判定三角形全等的四种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，而判定三角形之间是否全等是几何学中常见的问题。

在几何学中，全等是指两个或多个图形的全部对应部分都相等。

判定三角形全等的方法有很多种，其中常用的有四种，分别是SSS、SAS、ASA和AAS。

一、SSS（边边边）方法SSS方法是指通过三角形的三条边的相等关系来判定三角形是否全等。

当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

例如，已知两个三角形的边长分别为a、b、c和x、y、z，如果a=x、b=y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。

二、SAS（边角边）方法SAS方法是指通过三角形的两边和夹角的相等关系来判定三角形是否全等。

当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

例如，已知两个三角形的边长分别为a、b，夹角为C，和x、y，夹角为Z，如果a=x、b=y、C=Z，则可以判定这两个三角形全等。

三、ASA（角边角）方法ASA方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。

当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。

四、AAS（角角边）方法AAS方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。

当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。

通过以上四种方法，我们可以判定两个三角形是否全等。

在实际应用中，判定三角形全等可以帮助我们解决一些几何问题，例如计算图形的面积、判断图形的相似性等。

在学习几何学时，掌握这些方法是非常重要的。

除了以上四种方法，还有一些其他方法可以用来判定三角形全等，例如HL方法、RHS方法等。

三角形全等的判定

三角形全等的判定+性质+辅助线技巧三角形全等的判定+性质+辅助线技巧在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”两大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。

有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。

豆姐这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

三角形全等的证明至少需要三个条件(包含两个要素：边和角)，其中必须有边的条件。

缺个角的条件：缺条边的条件：四、构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定三角形全等的方法

判定三角形全等的方法三角形全等是几何学中重要的概念之一，它指的是两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。

判定三角形全等的方法有多种，下面将逐一介绍这些方法。

一、SSS全等定理。

SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

这是最直观的判定方法之一，也是最简单的方法之一。

例如，当三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

二、SAS全等定理。

SAS全等定理是指当两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别与另一个三角形的一条边和与其相邻的两个角相等时，这两个三角形全等。

这个定理也是常用的判定方法之一。

例如，当三角形ABC的一条边AB和与其相邻的两个角A、B分别与三角形DEF的一条边DE和与其相邻的两个角D、E相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

三、ASA全等定理。

ASA全等定理是指当两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边分别与另一个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边相等时，这两个三角形全等。

这个定理也是常用的判定方法之一。

例如，当三角形ABC的两个角A、B和夹在它们中间的一条边AB分别与三角形DEF的两个角D、E和夹在它们中间的一条边DE相等时，可以断定三角形ABC全等于三角形DEF。

四、HL全等定理。

HL全等定理是指当两个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边分别与另一个直角三角形的一条直角边和与其相邻的一条直角边相等时，这两个直角三角形全等。

这个定理适用于直角三角形的情况，也是常用的判定方法之一。

例如，当直角三角形ABC的一条直角边AB和与其相邻的一条直角边BC分别与直角三角形DEF的一条直角边DE和与其相邻的一条直角边EF相等时，可以断定直角三角形ABC全等于直角三角形DEF。

五、对顶角相等定理。

对顶角相等定理是指当两个三角形的一个角和另一个角分别与另一个三角形的一个角和另一个角相等时，这两个三角形全等。

三角形全等判定法则

三角形全等判定法则“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲三角形全等判定法则啊。

”三角形全等判定法则呢，一共有五个。

第一个是边边边，也就是 SSS。

就是说如果两个三角形的三条边都分别相等，那这两个三角形就全等啦。

比如说啊，有两个三角形，它们的三条边分别都是 5 厘米、6 厘米、7 厘米，那这两个三角形肯定就是全等的咯。

第二个是边角边，即 SAS。

就是如果两个三角形的两条边以及它们的夹角相等，那就全等。

举个例子吧，就像有个三角形 ABC，AB 边是 3 厘米，AC 边是 4 厘米，角 A 是 60 度，另一个三角形 DEF，DE 边是 3 厘米，DF 边是 4 厘米，角 D 也是 60 度，那这两个三角形就是全等的啦。

第三个是角边角，也就是 ASA。

就是如果两个三角形的两个角以及它们夹的边相等，那就全等喽。

比如一个三角形 XYZ，角 X 是 40 度，角 Y 是60 度，XY 边是 5 厘米，另一个三角形 MNP，角 M 是 40 度，角 N 是 60 度，MN 边也是 5 厘米，这俩就全等。

第四个是角角边，AAS。

就是如果两个三角形的两个角以及其中一个角的对边相等，那也全等。

像三角形 ABC，角 A 是 30 度，角 B 是 50 度，BC 边是 6 厘米，三角形 DEF，角 D 是 30 度，角 E 是 50 度，EF 边是 6 厘米，这两个就全等。

最后一个是直角三角形的特殊判定，叫斜边直角边，HL。

就是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边相等，那它们就全等。

比如说一个直角三角形，斜边是 10 厘米，一条直角边是 8 厘米，另一个直角三角形斜边也是10 厘米，一条直角边也是 8 厘米，那它们就是全等的。

在实际应用中呢，这些判定法则可有用啦。

比如说工程师盖房子的时候，要保证一些结构是全等的，那就得用这些法则来测量和判断。

还有我们做数学题的时候，经常会遇到证明两个三角形全等的题目，那就要根据题目给的条件，选择合适的判定法则来证明。

两个三角形全等的充要条件

两个三角形全等的充要条件三角形是几何学中最基本的图形之一，全等三角形是指具有相同的形状和大小的两个三角形。

全等三角形之间存在着一些特定的性质和条件，本文将探讨两个三角形全等的充要条件。

充分条件：1. SSS准则（边边边相等准则）：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。

换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF的边长分别满足AB=DE，BC=EF，AC=DF，那么三角形ABC 和三角形DEF是全等的。

2. SAS准则（边角边相等准则）：如果两个三角形的一边和与其相对的两个角分别相等，那么这两个三角形是全等的。

换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF的边长和角度满足AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，那么三角形ABC和三角形DEF是全等的。

3. ASA准则（角边角相等准则）：如果两个三角形的两个角和它们之间的一条边分别相等，那么这两个三角形是全等的。

换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF的角度和边长满足∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，那么三角形ABC和三角形DEF是全等的。

4. RHS准则（直角边和斜边相等准则）：如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，那么这两个三角形是全等的。

换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF的边长满足∠C=∠F=90°，AC=DF，AB=DE，那么三角形ABC和三角形DEF是全等的。

必要条件：1. 全等三角形的对应边相等：如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的对应边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。

2. 全等三角形的对应角相等：如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的对应角度分别相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

根据这些充要条件，我们可以通过观察和比较两个三角形的边长和角度来判断它们是否全等。

如果满足其中一个充分条件，或者满足两个必要条件，我们就可以得出两个三角形全等的结论。

初中数学教程三角形全等的条件

三角形全等的判定+性质+辅助线技巧

完整版三角形全等的判定

5种判定三角形全等的方法

三角形全等的条件

全等三角形判定定理

三角形全等的判定方法6种

《三角形全等的判定》 知识清单

三角形的全等条件

全等的判定条件

三角形全等的条件 要点全析

三角形证全等的方法

全等三角形判定方式和解释

三角形的全等条件

初中数学三角形全等的判定

判定三角形全等的四种方法

三角形全等的判定

判定三角形全等的方法

三角形全等判定法则

两个三角形全等的充要条件

《三角形全等的判定》知识清单

三角形全等的条件要点全析