曲线积分与曲面积分(答案word

第十章 曲线积分与曲面积分

(一)

1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112

2=-+='+=

所以()()2211

=-+=+⎰⎰dx x x dx y x L

。

2．解：L 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=θθsin 212

1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤

则()ϕθθcos 12||2

1

sin 2121cos 212

22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a a a a y x

2cos ||12cos 212||212θθa a =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+=

||21cos 2sin 22

2

2

2

a a a d y x ds =⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=θθθ

所以⎰

⎰

=+πθθ

20

22

22

cos 21d a ds y x L

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

⎰⎰πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a

220222sin 22sin

221a a =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=π

ππθ

θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+=

'+'=2222sin cos

故()

()()[]

⎰

⎰-++=+π20

2

2

222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L

()()⎰

+=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ππ

ππ20

2

3220

42

33321242a t t a dt t t a 4．解：如图⎰

⎰

⎰

⎰++++++=3

2

22

2

21

2

22

2L y x L y x L y x L

y x ds

e

ds e

ds e

ds e

1L ：⎩⎨⎧==0y x x ，a x ≤≤0，dx dx ds =+=201

2L ：⎩⎨⎧==x y x x ，a x 220≤

≤，dx dx ds 2112=+= 3L ：⎩⎨⎧==t

a y t a x sin cos ，40π

≤≤x ，

()()adt dt t a t a dt y x dx =+-='+'=2222cos sin

∴⎰⎰

⎰⎰++=+40

22

20

22

2π

adt e dx e

dx e ds e

a a x

a

x

L

y x

2424|220

20

-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=a e ae e

e a a

a x

a x ππ

5．解：()t t a y x 443

43

43

4sin cos +=+ ()()

2

2

2

2

22cos sin

3sin cos

3t

t a t

t a dt y x ds ++-=

'+'=

tdt t a dt t t a cos sin 3cos sin 9222==

∴()

⎰⎰+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+2044373434cos sin sin cos 3π

tdt t t t a ds y x L 37

2063

7

4sin 616cos 61

3a t t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π

6．解：()()adt dt a t a t a dt z y x ds 2cos sin 222222=

++-=

'+'+'=

∴()()⎰⎰

⎰

=+=+ππ2020

22

22

222222sin cos dt t a adt t a t a t a ds y x z L

320323

8|312ππa t a ==。

7．解：()⎰⎰⎰

---=

=='

=1

11

1

5

1

14

2

2

5

4

5

1

22y dy y dy y y y xydx L

8．解：直线段AB 的方程为

1

23z

y x ==，化成参数方程为 t x 3=，t y 2=，t z =，t 从1变到0

故ydz x dy xy dx x L

2233-+⎰

()()

()[]

dt t t t t t ⎰

⋅-⋅+⋅=0

1

2

2

32322333

4

878701

3-

==⎰dt t 9．解：直线的参数方程为

t x +=1，t y 21+=，t z 31+=(10≤≤t )

()⎰

-+++L

dz y x ydy xdx 1

()()()[]⎰-+++++++=1

121132121dt t t t t

()⎰=+=1

13146dt t

10．解：()()⎰---L

dy y dx y a 92

()[]()()[]{}⎰

------=π20

sin cos 1cos 1cos 12dt t a t a a t a t a a

()

()⎰

⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--=--=ππ20

220

2

22sin 212cos 121sin cos cos

1dt t t a dt t t t a ππ220

22

1

a dt a ==⎰

11．解：1)原式()()[]

⎰-++=21

22

2dy y y y y y

()334221312122

1

3421

23=

⎪⎭⎫

⎝⎛++=++=⎰

yh y y dy y y y 2)原式()()[]()()()[]{}

⎰

++-+++++++=2

10

222212114112dt t t t t t t t t

()

⎰+++=10

2329510dt t t t

1213122935410229354101

22424=⎪⎭⎫

⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=t t t t dt t t t

12．解：1）L 的方向余弦53cos α

，5

4

cos β ()()()()⎰⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=+L L ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P ,54,53,, 2）()dx x ds 2

21+=，2

411cos x dx dx +==

α