2、绝对值不等式的解法

2、绝对值不等式的解法
❖复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a
O
a
x
|x|<a
-a
O
a
x
|x|>a
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
式 的 解 集 是 ， 3 2，
例5 解不等式x Biblioteka Baidu x 2 5
解法2： 当x 2,时， 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
解得x 3,此时不等式的解集为 ,3
当 2 x 1时,原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
即3 5,矛盾， 此时不等式的解集为
4
2
(2)x2 3 4 | x | .
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
类型 |ax+b|<c
化去绝对值后 -c<ax+b<c
|ax+b|>c
ax+b<-c或ax+b>c
集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c},
交
{x|ax+b<-c}∪
并 {x|ax+b>c},
2x 6, x -2
y - 2,
-2 x 1
2x - 4 ,
x 1
-3
O
2x
作 出 函 数 图 象，
-2
由图象可知原不等式的解 集 为 ,3 2,
（2）x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
练习：P20第8题(2)
2 3
.
8.解不等式:
(2) x 2 x 3 4
解 :当x 3时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4,
解 得x
5 2
,即
不
等
式
组
x x
3 2
x3
4
的 解 集 是(,3].
当 3 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4,
即5
4显
然
成
立,
所
以
不
等
式
组x32
x
2 x
3
4
的 解 集 为(3,2).
当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为( x 2) ( x 3) 4,
即x
3 2
,
不
等
式
组
x x
2 2
x3
的 解 集 是[2,). 4
综 上 所 述, 原 不 等 式 的 解 集 是R.
(3) x 1 x 2 2
8.(2)解不等式x 2 x 3 4
作业：P20第7题、第8题(1)(3)
补充练习：解不等式： （1）1<|2x+1|≤3. （2）||x-1|-4|<2. （3）|3x-1|>x+3.
答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7}
（3） {x | x 1 或x 2} 2
的 2
解 集 是(1,2).
当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为x 1 x 2 2,即x 5 , 2
所
以
不
等
式
组
x x
2 1
x2
的 2
解
集
是2,
5 2
.
综 上 所 述, 原 不 等 式 的 解 集 是 1 , 5 . 2 2
解 :当x 1时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 1) ( x 2) 2,
解 得x
1 2
,即
不
等
式
组
x x
1 1
x2
的 2
解
集
是
1 2
,1.
当1 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为( x 1) ( x 2) 2,
即1
2显
然
成
立,
所
以
不
等
式
组1xx1
2 x
2
②分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
c0 或 ax(axbb)0
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7
补充例题：解不等式
(1) 1 (3 | x | 1) 1 | x | 3
当x 1时,原不等式可以化为( x 1) ( x 2) 5,
解得x 2,此时不等式的解集为 2, 综上所述可知原不等式的解集为 ， 3 2，
例5 解不等式x 1 x 2 5
解 法3： 将 原 不 等 式 转 化 为x 1 x 2 5 0 构 造 函 数y x 1 x 2 5， 即 y
课堂练习：P20第6题
（2）x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
例5 解不等式x 1 x 2 5
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
作业 P20第7题第(1)解不等式1 3x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不等式组 3x 4 1 3x 4 6
即3x643x
1或3x 46
4
1
x
1或x 10 x 3
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故原
不
等式的
解
集 为
10 3
,
5 3
1,
数 都 不 是 原 不 等 式 的 解。 将 点A向 左 移 动1个 单 位 到 点A1， 这 时 有A1 A A1B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点B1， 这 时 也 有B1 A B1B 5， 从 数 轴 上 可 以 看 到 点A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点A， B的 距 离 之 和 都 小 于5； 点A1的 左 边 或 点B1的 右 边 的 任 何 点 到 点A，， 的 距 离 之 和 都 大 于。 故 原 不 等