2、绝对值不等式的解法
第4讲含有两个绝对值的不等式的解法
第4讲 含有两个绝对值不等式的解法【课型】新授课【教学目标】【预习清单】【知识梳理】一.去绝对值的原则：{)0(,)0(≥<-=a a a a a二．画含有两个绝对值函数的图像：利用零点分段讨论法去掉绝对值转化成一个分段函数去画。
三．含有两个绝对值不等式的解法1.|)(x f |>|)(x g |型不等式的解法：两边平方2.|)(x f |＋|)(x g |≥)(x h 型不等式的解法：利用零点分段法求解 【引导清单】考向一： 含有两个绝对值函数图像的画法【例1】已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求f (x ))的值域．【解】(1)由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤－13，5x －1，－13<x ≤1，x ＋3，x >1.y ＝f (x )的图象如右图所示．（2）由图像可知函数函数f (x )在31-=x 处取最小值38-，所以f (x ))的值域为[),38[+∞- ＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 考向二：含两个绝对值不等式解法【例2】解下列不等式：（1）|2x －1|－|x －2|＜0 （2）|2x －1|＜|x |＋1.【解】（1）原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2（2x －1）－（x －2）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，（2x －1）－（2－x ）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，（1－2x ）－（2－x ）＜0，解得：－1＜x ＜1.∴原不等式的解集为(－1，1)；（2）①当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1解之得x ＞0，与x ＜0矛盾，此时无解；②当0≤x ＜12时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解之得x ＞0，又∵0≤x ＜12，从而有0＜x ＜12；③当x ≥12时，原不等式化为2x －1＜x ＋1，∴x 12≤x ①②③知，原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．【训练清单】【变式训练1】已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|＞1的解集．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32， y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故|f (x )|＞1的解集为),5()3,1()31,(+∞-∞ 【变式训练2】已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .解不等式f (x )<|x |＋1；【解】因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1， 得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． 【巩固清单】1.解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7.【解】因为|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）＋（x ＋3），x ≥2，－（x －2）＋（x ＋3），－3≤x <2，－（x －2）－（x ＋3），x <－3.所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＋1>7或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x <2，5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2x －1>7.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <－4或x >3}． 不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10【解】法一 当x ≤－3时，原不等式可化为5－x －x －3≥10，即2x ≤－8，∴x ≤－4，此时不等式的解集为{x |x ≤－4}．当－3<x ≤5时，原不等式可化为5－x ＋x ＋3≥10，此时无解．当x >5时，原不等式可化为x －5＋x ＋3≥10，解得x ≥6，此时不等式的解集为{x |x ≥6}．综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－4或x ≥6}3．已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）分析()y f x =和()y g x =的最值情况【解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下： 34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下： （2）由图像可知f (x )有最小值0，没有最大值；g (x )有最小值-4，最大值4。
高考数学含绝对值的不等式的解法
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1（0）
A3（200） A4（300）
A2（100） B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
作业：
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
2、绝对值不等式的解法
x 2 解集为 ,3 即 ( x 1) ( x 2) 5
2 x 1 同理： ( x 1) ( x 2) 5
x 1 或 ( x 1) ( x 2) 5
即3 5, 矛盾， 解集为
|ax+b|>c
ax+b<-c或ax+b>c
并
|x|的几何意义：数轴上的点x与原点之间的距离.
|x-a|的几何意义： 数轴上的点x与点a之间的距离.
x a x b c和 x a x b c 型不等式
例 1
解不等式x 1 x 2 5
①
-2
②
1
③
分区间讨论 ： 当x 2, 时， 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
此时, 得{x | 1 x 3} {x | x 2} {x | 1 x 2};
(3)当x 3时, x 1 0, x 3 0,
原不等式变形为( x 1) ( x 3) 2 x,即x 4.
此时, 得{x | x 3} {x | x 4} {x | x 4}; 将(1)、 (2)、 (3)的结果取并集 ,
解集为
-3 2
2,
综上所述可知原不等式 的解集为
， 3 2，
解不等式 x 1 x 2 5
构造函数图像法 ： 将原不等式转化为x 1 x 2 5 0 构造函数y x 1 x 2 5
2 x 6, 即y - 2, 2x - 4 , x -2 -2 x 1 x 1
1.3.2绝对值不等式的解法
复习：如果a>0，则
绝对值不等式公式大全
绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。
1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。
-当x<0时，x，=-x。
2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。
-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。
2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。
-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。
3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。
3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。
3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。
4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。
5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。
解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。
6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。
这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。
但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。
高中数学：绝对值不等式的常见解法
高中数学：绝对值不等式的常见解法
解不等式
解法1：利用绝对值的定义
原不等式等价于（I）或（II）
解（I）得
解（II）得
所以原不等式的解集为。
解法2：利用平方法
原不等式可化为两边平方得解得，所以原不等式的解集为。
解法3：利用绝对值的性质
原不等式等价于
即
解<1>得，或
解<2>得
所以原不等式的解集为。
解法4：零点分区间讨论
原不等式等价于
即等价于
或
或
解<1>得，解<2>得，<3>的解集是，所以原不等式的解集为。
解法5：图象法
原不等式等价于。
在直角坐标系中分别画及的图象。
由图可知，原不等式的解集为。
▍ ▍
▍。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
初中数学教案：绝对值不等式的解法
初中数学教案：绝对值不等式的解法绝对值不等式是初中阶段数学中非常重要的概念之一，不仅在初中数学中，也会涉及到高中数学、甚至是大学数学中的一些想法。
在初中数学教案中，绝对值不等式的解法也是一个非常重要的部分，涉及到了不等式的基本应用和数学知识点的理解。
下面我们将详细探讨初中数学教案中的绝对值不等式的解法。
一、绝对值不等式的定义在初中数学教案中，我们常常说到绝对值不等式，那么什么是绝对值不等式呢？通俗来讲，绝对值不等式就是用来描述数值大小关系的不等式表达式。
其基本形式如下：|f(x)|≤a 或者|f(x)|≥a其中，f(x)是一元函数，a是正数。
二、绝对值不等式的解法1.范围首先在解绝对值不等式时，需要求得变量x的取值范围，然后根据取值范围得出相应的解法。
在求取变量x的取值范围时，需要根据不等式中绝对值符号的正负性情况以及a的取值情况来进行不同情况的讨论。
① |f(x)|≤a如果a>0，则有- a≤f(x)≤a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有0≤f(x)≤a，所以x ∈[b,c]，其中0≤b≤c≤a。
当f(x)＜0时，有-a＜f(x)＜0，所以x∈(d,e)，其中-a<d<e<0。
综合起来，得到x∈[b,c]∪(d,e)。
② |f(x)|≥a如果a≥ 0，则有f(x)≥a或f(x)≤- a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有f(x)≥a，所以x∈[f,g]，其中g≥f≥a。
当f(x)＜0时，有f(x)≤- a，所以x∈(-h,-i]∪[i,h)，其中-i≤h＜i≤-a。
综合起来，得到x∈(-h,-i]∪[f,g]∪[i,h)。
2.常规解法另一种常规的解法是将绝对值符号去掉。
当然，在去掉绝对值符号后需要分别考虑函数f(x)≥0和f(x)＜0两种情况。
如果函数f(x)≥0，则有：f(x)≤a 或f(x)≥-a如果函数f(x)＜0，则有：-f(x)≤a 或-f(x)≥-a通过两种情况的判断，最终得到的解法可以修正前面所得到的结论。
15-16版: 2 绝对值不等式的解法
8
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 绝对值不等式的解法
例1 (1)解不等式|x＋3|＋|x－3|＞8；
解 方法一 由代数式|x＋3|、|x－3|知，－3和3把实数集分为三个 区间：x＜－3，－3≤x＜3，x≥3.
当x＜－3时，－x－3－x＋3＞8，
即x＜－4，此时不等式的解集为{x|x＜－4}．① 当－3≤x＜3时，x＋3－x＋3＞8，此时不等式无解②
2 绝对值不等式的解法
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分层训练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
一、基础达标
1．如果1x＜2 和|x|＞13同时成立，那么 x 的取值范围是( )
2 绝对值不等式的解法
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3．|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义； (2)利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每 个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之； (3)通过构成函数，利用函数的图象.
2 绝对值不等式的解法
2 绝对值不等式的解法
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(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围． 解 由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4. |x－1|＋|x－5|－a＞0， ∴a＜4，∴a的取值范围是(－∞，4).
2 绝对值不等式的解法
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规律方法 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值的 不等式(组)，为此往往需要分区间进行讨论去绝对值符号；有些绝 对值不等式利用绝对值的几何意义解起来更快速．
2 绝对值不等式的解法
1234
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该不等式解集为∅. 所以原不等式的解集为(1,4)．
高考数学一轮复习第二章不等式第三节绝对值不等式学案解析版
第三节 绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法： 不等式 a ＞0 a ＝0a ＜0|x |＜a {}x |－a ＜x ＜a ∅∅ |x |＞a{}x |x ＞a 或x ＜－a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . [小题体验]1．不等式|2x －1|＞3的解集为________． 答案：{x |x ＜－1或x ＞2}2．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为________． 答案：{}x |x ≥13．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________． 解析：∵|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8， 即函数y 的最小值为8. 答案：81．对形如|f (x )|＞a 或|f (x )|＜a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，13，则实数a ＝________. 解析：由|ax －2|＜3，得－1＜ax ＜5， ∵－53＜x ＜13，∴a ＝－3.答案：－32．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x ＞12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12＜x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x ＜－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x ＜－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.3．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二 绝对值不等式的证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·成都外国语学校模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f ab |a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．[由题悟法]证明绝对值不等式主要的3种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a .f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用]已知定义域为R 的奇函数f (x )＝x |x ＋m |. (1)解不等式f (x )≥x ；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1,1＋a ]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤2成立，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )＝x |x ＋m |是定义域为R 的奇函数， 所以m ＝0，即f (x )＝x |x |.(1)由x |x |≥x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 2≥x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2≥x ，即x ≥1或－1≤x ≤0，所以不等式f (x )≥x 的解集为[－1,0]∪[1，＋∞)．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，则f (x )在R 上单调递增，所以f (x )在[1,1＋a ]上单调递增，所以f (1＋a )－f (1)≤2，即(1＋a )|1＋a |－1≤2，又1＋a ＞1，故可得0＜a ≤ 3－1，所以实数a 的取值范围是(0，3－1]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：选D 当ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D.2．设集合A ＝{x ||4x －1|＜9，x ∈R}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx ＋3≥0，x ∈R ，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞B ．(－3，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，52C ．(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－3，－2]解析：选A 由题意得A ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，52，B ＝(－∞，－3)∪[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.3．不等式|x ＋2|＞3x ＋145的解集是( )A ．(－3，－2)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)解析：选D 不等式即为5(x ＋2)＞3x ＋14或5(x ＋2)＜－(3x ＋14)，解得x ＞2或x ＜－3，故选D.4．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为____________． 解析：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，x －1－x －5＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，－4＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，2x ＜8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞5，4＜2，故原不等式的解集为{x |x ＜1}∪{x |1≤x ＜4}∪∅＝{x |x ＜4}． 答案：{x |x ＜4}5．不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集为________．解析：不等式|x (x －2)|＞x (x －2)的解集即x (x －2)＜0的解集，解得0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州联考)不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：选D 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x 2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，1＋x 2＞0，解得0≤x ＜1或x ＜0且x ≠－1.故选D.2．已知a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令a ＝0，b ＝2，则|a |＋|b |＞1成立，但推不出b ＜－1；反之，若b ＜－1，则|b |＞1，又|a |≥0，所以|a |＋|b |＞1.所以“|a |＋|b |＞1”是“b ＜－1”的必要不充分条件．3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C. (－∞，－5]∪[7，＋∞)D. (－∞，－4]∪[6，＋∞)解析：选D 当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3＜x ＜5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．4．不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤1}解析：选A 当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x ＝1； 当x －1＜0时，原不等式化为x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. 综上，－2≤x ≤1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1}，故选A.5．(2018·长沙六校联考)设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围为( )A ．(－3,1)B ．(－3,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B ∵f (x )＜0的解集是(－1,3)， ∴a ＞0，f (x )的对称轴是x ＝1，且ab ＝2. ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增． 又∵7＋|t |≥7,1＋t 2≥1，∴由f (7＋|t |)＞f (1＋t 2)，得7＋|t |＞1＋t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 故选B.6．已知函数f (x )＝|x ＋6|－|m －x |(m ∈R)，若不等式f (x )≤7对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围为________．解析：由绝对值三角不等式得f (x )＝|x ＋6|－|m －x |≤|x ＋6＋m －x |＝|m ＋6|，由题意得|m ＋6|≤7，则－7≤m ＋6≤7，解得－13≤m ≤1，故m 的取值范围为[－13,1]．答案：[－13,1]7．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围为____________． 解析：由|x －2|＜a 得2－a ＜x ＜a ＋2， 由|x 2－4|＜1，得3＜x 2＜5， 所以－5＜x ＜－3或3＜x ＜ 5. 因为a ＞0，所以由题意得⎩⎨⎧3≤2－a ，a ＋2≤ 5.解得 0＜a ≤5－2，故正数a 的取值范围为(0，5－2]． 答案：(0，5－2]8．(2018·杭州五校联考)已知不等式|x 2－4x ＋a |＋|x －3|≤5的x 的最大值为3，则实数a 的值是____________．解析：∵x ≤3，∴|x －3|＝3－x .若x 2－4x ＋a ＜0，则原不等式化为x 2－3x ＋a ＋2≥0. 此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集， ∴x 2－4x ＋a ＜0不成立． 于是，x 2－4x ＋a ≥0，则原不等式化为x 2－5x ＋a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x ＋a －2＝(x －3)(x －m )＝x 2－(m ＋3)x ＋3m ，比较系数，得m ＝2，∴a＝8.答案：89．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 10．(2018·杭州质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2＜x ≤4时，显然不等式成立， 当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤112. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·金丽衢十二校联考)设a ，b 为实数，则“|a －b 2|＋|b －a 2|≤1”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122≤32⇔a 2－a ＋14＋b 2－b ＋14≤32⇔a 2－a ＋b 2－b ≤1⇔b 2－a＋a 2－b ≤1，令b 2－a ＝x ，a 2－b ＝y ，则|x |＋|y |≥|x ＋y |≥x ＋y ，所以|x |＋|y |≤1⇒x ＋y ≤1，故充分性成立，必要性不成立，故选A.2．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |(a ＞1)．(1)若不等式f (x )≥2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥52，求a 的值； (2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －1，x ≥a ，a －1，1≤x ＜a ，－2x ＋a ＋1，x ＜1，当x ≥a 时，由2x －a －1≥2，解得x ≥a ＋32＝52；当x ＜1时，由－2x ＋a ＋1≥2，解得x ≤a －12＝12. 综上得a ＝2.(2)由x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，可得2|x －1|＋|x －a |≥1.当x ≥a 时，只需3x －2－a ≥1恒成立即可，此时只需3a －2－a ≥1⇒a ≥32；当1≤x ＜a 时，只需x －2＋a ≥1恒成立即可，此时只需1－2＋a ≥1⇒a ≥2；当x ＜1时，只需－3x ＋2＋a ≥1恒成立即可，此时只需－3＋2＋a ≥1⇒a ≥2.综上可得，a 的取值范围为[2，＋∞)．。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
绝对值不等式的解法(二)
法一:几何法，-5<x≤-1，或1≤x<5
一般化：
a≤|x|≤b a≤x≤b或 -b≤x≤-a
(b>a>0)
法二:转化法，把连不等式转化为不等式组求解,
| x | 1 | x | 5
法三:是去绝对值法，通过分两种情况去掉绝对值.
x 0
x 0
1 x 5 ① 或 1 x 5 ②
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.
x 3 原不等式等价于 (x 3) (x 1) 1 ①
或
1 x (x 3)
3
(x
1)
1②或x
1 (x 3)
(
x
1)
③
1
方法2：数形结合法.
（4）形如问题：不等式| x+2 | + | x | >a恒 成立，求a的取值范围.
有两种方法：数形结合法，零点分段法. 用数 形结合法最简单.
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5.
解: 法1：由原不等式得 1≤2x-1<5 或 –5<2x-1≤-1 即 2≤2x<6 或 –4<2x≤0. 解得 1x<3 或 –2< x ≤0. ∴ 原不等式的解集为{x|-2<x≤0 或 1≤x<3}
变题：解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 法2：原不等式等价于
（1）形如1≤| 2x-1|<5不等式的解法：有三种. 方法1：几何法，也可看作公式法.
由原不等式得 1≤2x-1<5或 –5<2x-1≤-1
方法2：转化法. 原不等式等价于
| 2x 1| 5 | 2x 1| 1
方法3：零点分段法（去绝对值）.
绝对值不等式解法
(2)当1 x 2时, 原不等式可化为( x 1) ( x 2) 2,
5 (3)当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 得x , 2 5 2 x . 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
1 2显然成立,1 x 2.
ax b 0 ax b 0 | ax b | c(c 0) 或 ax b c (ax b) c
例1
解不等式|3x-1|≤2
解：原不等式等价于
1 原不等式的解集为{x | x 1} 3
2 3x 1 2 1 x 1 3
练:1. 解不等式|2-3x|≥7 解：原不等式等价于
2 3x 7或2 3x 7
5 x 或x 3 3 5 原不等式的解集为{x | x 或x 3} 3
2.解不等式 | 2 x 5 | 7 x
解：原不等式可化为
2x 5 7 x或2x 5 (7 x)
(2)当 2 x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 即3 5, 显然不成立,此时无解.
(3)当x 1时, 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 2, x 2. 综上所述原不等式的解集为
, 3 2,
并
（2） x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间讨论法 ③构造函数法
例5
A1 -3
解不等式 x 1 x 2 5
A -2 B B1
1
2
x
解法2(分段讨论法) : (1)当x 2时,原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5, 解得x 3, x 3.
课件1：二 绝对值不等式的解法
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例2] 解不等式|x－3|－|x＋1|<1. [思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对 值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函 数，利用函数图象分析求解．
[解] 法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，
f(3)＜5，得
3＜a＜5＋2
21 .
当 0＜a≤3 时，f(3)＝6－a＋1a，由 f(3)＜5，得1＋2 5＜a≤3.
综上所述，a 的取值范围是1＋2 5，5＋2 21.
含绝对值不等式的恒成立问题
[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅，分别求出m的取值范围． [思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意 义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和 最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．
C，P，而B点对应的实数为
1 2
，B点到C点的距离与到A点的
距离之差为1.
由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含B点)
时不等式成立，故不等式的解集为xx>12
.
法二：原不等式⇔①x－<－x－1，3＋x＋1<1
或②－－1x≤－x3<3－，x＋1<1
或③xx≥－33，－x＋1<1.
①的解集为∅，②的解集为x12<x<3
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法
[例1] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．
2、绝对值不等式的解法
2、绝对值不等式的解法1、以选择题的形式考查绝对值不等式的解法，同时常与集合相结合，在集合的交、并、补运算中考查解法。
（重点）2、考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价转化的数学思想。
（重点、难点）1、含绝对值的不等式a x <与a x >的解集想一想：x 的几何意义是什么？2、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法 ①c b ax ≤+⇔ ； ②c b ax≥+⇔ 。
3、c b x a x ≥-+-和c b x a x ≤-+-型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键。
②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想，确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键。
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像（有时需要考查函数的增减性）是解题关键。
题型一 简单的绝对值不等式的解法 【例1】 解下列不等式： （1）2554≥+x ；（2）923<-x（3）321≤-<x【练习1】解下列不等式： （1）x x +>+752；（2）xx 1212≤-题型二 含多个绝对值的不等式的解法 【例2】 解下列不等式： （1）833>-++x x （2）2412>--+x x【练习2】已知关于x 的不等式a x x <-+-43（1）当a=2时，解上述不等式；（2）如果关于x 的不等式a x x <-+-43的解集为空集，求实数a 的取值范围。
求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
题型四 含绝对值不等式的恒成立问题 【例3】 已知不等式m x x >+-+32。
绝对值不等式平方法
绝对值不等式平方法绝对值不等式平方法引言绝对值不等式是初中数学教学中重要的一部分，解绝对值不等式平方法是解决此类问题的关键。
本文将介绍几种常用的解绝对值不等式的方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、绝对值不等式定义绝对值表示一个数到0的距离，即绝对值的定义如下：1.当x≥0时，|x|=x；2.当x<0时，|x|=-x。
二、绝对值不等式基本性质绝对值不等式的解集总是由一些区间组成，其基本性质有：1.若a≤b，则|a|≤|b|；2.若a≥0，则|a|≥0；3.若a≤0，则|a|≥0；4.若a≠0，则|a|>0。
三、解绝对值不等式的方法解绝对值不等式的方法有多种，下面列举几种常用方法：1. 分类讨论法对于绝对值不等式 |x|<a 或 |x|>a，我们可以分成以下几种情况来讨论：1.当a>0时，|x|<a 的解集为 (-a, a)；2.当a<0时，|x|<a 无解；3.当a>0时，|x|>a 的解集为 (-∞, -a) ∪ (a, +∞)；4.当a<0时，|x|>a 的解集为 (-a, a)。
我们需要根据具体的不等式，分类讨论得出解集。
2. 符号法当遇到带有绝对值的不等式，我们可以利用符号的正负来进行分析和求解。
对于绝对值不等式 |x|<a 或 |x|>a，我们可以分成以下几种情况来讨论：1.若a>0，则|x|<a 的解集为 (-a, a)；2.若a<0，则|x|<a 无解；3.若a>0，则|x|>a 的解集为 (-∞, -a) ∪ (a, +∞)；4.若a<0，则|x|>a 的解集为 (-a, a)。
我们需要根据符号的正负将不等式拆解，然后分类讨论得出解集。
3. 化简法当不等式中含有绝对值时，我们可以通过消去绝对值的方式来进行化简，从而求解不等式。
对于绝对值不等式 |x+c|<a 或 |x+c|>a，我们可以进行以下步骤来进行化简：1.当|x+c|<a 时，转化为 -a<x+c<a；2.当|x+c|>a 时，转化为 x+c<a 或 x+c>a。
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2 3
.
8.解不等式:
(2) x 2 x 3 4
解 :当x 3时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4,
解 得x
5 2
,即
不
等
式
组
x x
3 2
x3
4
的 解 集 是(,3].
当 3 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4,
的 2
解 集 是(1,2).
当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为x 1 x 2 2,即x 5 , 2
所
以
不
等
式
组
x x
2 1
x2
的 2
解
集
是2,
5 2
.
综 上 所 述, 原 不 等 式 的 解 集 是 1 , 5 . 2 2
作业 P20第7题第(1)解不等式1 3x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不等式组 3x 4 1 3x 4 6
即3x643x
1或3x 46
4
1
x
1或x 10 x 3
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故原
不
等式的
解
集 为
10 3
,
5 3
1,
8.(2)解不等式x 2 x 3 4
作业：P20第7题、第8题(1)(3)
补充练习：解不等式： （1）1<|2x+1|≤3. （2）||x-1|-4|<2. （3）|3x-1|>x+3.
答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7}
（3） {x | x 1 或x 2} 2
即5
4显
然
成
立,
所
以
不
等
式
组x32
x
2 x
3
4
的 解 集 为(3,2).
当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为( x 2) ( x 3) 4,
即x
3 2
,
不
等
式
组
x x
2 2
x3
的 解 集 是[2,). 4
综 上 所 述, 原 不 等 式 的 解 集 是R.
(3) x 1 x 2 2
当x 1时,原不等式可以化为( x 1) ( x 2) 5,
解得x 2,此时不等式的解集为 2, 综上所述可知原不等式的解集为 ， 3 2，
例5 解不等式x 1 x 2 5
解 法3： 将 原 不 等 式 转 化 为x 1 x 2 5 0 构 造 函 数y x 1 x 2 5， 即 y
4
2
(2)x2 3 4 | x | .
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
类型 |ax+b|<c
化去绝对值后 -c<ax+b<c
|ax+b|>c
ax+b<-c或ax+b>c
集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c},
交
{x|ax+b<-c}∪
并 {x|ax+b>c},
解 :当x 1时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 1) ( x 2) 2,
解 得x
1 2
,即
不
等
式
组
x x
1 1
x2
的 2
解
集
是
1 2
,1.
当1 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为( x 1) ( x 2) 2,
即1
2显
然
成
立,
所
以
不
等
式
组1xx1
2 x
2
2x 6, x -2
y - 2,
-2 x 1
2x - 4 ,
x 1
-3
O
2x
作 出 函 数 图 象，
-2
由图象可知原不等式的解 集 为 ,3 2,
（2）x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
练习：P20第8题(2)
②分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
c0 或 ax(axbb)0
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7
补充例题：解不等式
(1) 1 (3 | x | 1) 1 | x | 3
课堂练习：P20第6题
（2）x a x b c和 x a x b c 型不等式的解法
例5 解不等式x 1 x 2 5
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
数 都 不 是 原 不 等 式 的 解。 将 点A向 左 移 动1个 单 位 到 点A1， 这 时 有A1 A A1B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点B1， 这 时 也 有B1 A B1B 5， 从 数 轴 上 可 以 看 到 点A1与B1之 间 的 任 何 点 到 点A， B的 距 离 之 和 都 小 于5； 点A1的 左 边 或 点B1的 右 边 的 任 何 点 到 点A，， 的 距 离 之 和 都 大 于。 故 原 不 等
式 的 解 集 是 ， 3 2，
例5 解不等式x 1 2 5
解法2： 当x 2,时， 原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
解得x 3,此时不等式的解集为 ,3
当 2 x 1时,原不等式可以化为 ( x 1) ( x 2) 5,
即3 5,矛盾， 此时不等式的解集为
2、绝对值不等式的解法
❖复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a
O
a
x
|x|<a
-a
O
a
x
|x|>a
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。