第八章__非线性控制系统分析(二)
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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
《自动控制原理》第八章 非线性控制系统分析
第八章 非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述1. 研究非线性控制理论的意义以上各章详细地讨论了线性定常控制系统的分析和设计问题。
但实际上，理想的线性系统并不存在，因为组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性。
以随动系统为例，放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图8-l(a)所示；执行元件电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电机才会转动，存在着死区，而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图8-1(b)所示；又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图8-1(c)所示。
在图8-2所示的柱形液位系统中，设H 为液位高度，Q i为液体流入量，Q o 为液体流出量，C 为贮槽的截面积。
根据水力学原理0Q k H = (8-1)其中比例系数k 是取决于液体的粘度和阀阻。
液位系统的动态方程为0i i dH CQ Q Q k H dt =-=-显然，液位H 和液体输入量Q i 的数学关系式为非线性微分方程。
由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。
一般地，非线性系统的数学模型可以表示为：(,,...,,)(,,...,,)n m n m d y dy d r dr f t y g t r dt dt dt dt =(8-3)其中f(·)和g(·)为非线性函数。
当非线性程度不严重时，例如不灵敏区较小、输入信号幅值较小、传动机构间隙不大时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围内时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。
例如，设图8—2液位系统的液位H 在H 0附近变化，相应的液体输入量Q i 在Q i0，附近变化时，可取ΔH =H −H 0，ΔQ i =Q i −Q i0,对√H 作泰勒级数展开。
自动控制原理第八章非线性控制系统
稳定性定义
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
感谢您的观看
THANKS
自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
自动控制原理(8-2)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。
A1，B1按下式计算：
1 2π 2 π A1 = ∫ y (t ) cos ωt dωt = ∫y (t ) cos ωt dωt π 0 π 0
1 2π 2 π B1 = ∫ y (t ) sin ωt dωt = ∫y (t ) sin ωt dωt π 0 π 0
二、典型非线性特性的描述函数
1.理想继电器特性
x(t ) A sin t
M y(t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
斜对称、奇函数→A0=A1=0
若非线性环节特性为输入的奇函数，则直流分量为
零。 当 f ( x) =－f ( －x) 时，则有
π π y (t + ) = f [ A sin ω(t + )] = f [ A sin (π + ωt )] ω ω = f( －A sin ωt ) = f ( －x) =－f ( x) =－y (t )
函数N也为零，故死区特性描述函数为：
2k k N 0
2 a a a arcsin 1 X X X
( X a) (X a )
4.死区饱和特性
0,
0 ≤ ωt ≤ ψ1 π ψ 2 ≤ ωt ≤ 2
y (t ) = K ( A sin ωt－Δ), ψ1 ≤ ωt ≤ ψ 2 K (a－Δ)，
Δ ψ1 = arcsin A
ψ 2 = arcsin a A
由于y(t)为奇函数，所以A0=0，A1=0，而y(t)又为半
《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析
K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
自动控制原理第8章_非线性控制系统分析
2 2 4
B1 1 3 2 N ( A) A A 2 16
8.2.3 典型非线性特性得描述函数
1.饱和特性的描述函数
X(t) X(t)
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b ω t 1 2
X(t)是单值奇函数，所以A1=0
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入 的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反 映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅 相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
8.2.2描述函数
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
1
e(t)
0
4kA 4ka sin2 d π π
1
2
1
0
4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
2k a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A
8.1.4
继电器特性
8.1.4
继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 , 0 , (t ) 0 a e ( t ) m a , e x(t ) bsign[e(t )], e(t ) a b , e(t ) m a, e (t ) 0 (t ) 0 b , e(t ) m a, e
（6）气动或液压滑阀的搭接段。 放大器的输出饱和或输出限幅
8.1.3
B1 1 3 2 N ( A) A A 2 16
8.2.3 典型非线性特性得描述函数
1.饱和特性的描述函数
X(t) X(t)
kA sin t 0 ω t 1 x(t ) ka b ω t 1 2
X(t)是单值奇函数，所以A1=0
非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A的函数， 一般也是频率的函数，因此，描述函数一般记为
N ( A, j )
非线性元件的描述函数或等效幅相频率特性与输入 的正弦振荡的振幅A有关，这是非线性特性本质的反 映。它与线性环节的情况正好相反，线性环节的幅 相特性（频率特性）与正弦输入的幅值无关。
8.2.2描述函数
4 B1 [ kA sint sinω td (ω t ) ka sinω td (ω t )] π
1
e(t)
0
4kA 4ka sin2 d π π
1
2
1
0
4kA 1 1 4ka ( sin 2 1 ) cos 1 2 4
2k a a a A[arcsin( ) 1 ( )2 ] A A A
8.1.4
继电器特性
8.1.4
继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 , 0 , (t ) 0 a e ( t ) m a , e x(t ) bsign[e(t )], e(t ) a b , e(t ) m a, e (t ) 0 (t ) 0 b , e(t ) m a, e
（6）气动或液压滑阀的搭接段。 放大器的输出饱和或输出限幅
8.1.3
第八章_非线性控制系统分析
非线性系统在不同初始
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
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许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。
自动控制原理 第8章习题解答(非线性系统分析)
(−∞ , −1) 段，方向向左，分别绘于上图 (a) (b) 上。 N
对于图
(a) 所示情形，G (
jω )
与
−
1 N
无交点，非线性系统不会产生自持振荡，
该非线性系统也是稳定的；
对于图 (b) 所示情形，G ( jω ) 与 − 1 有两个交点，其中交点 A 是稳定交点，
N
该非线性系统会产生自持振荡。
2 时， N(A)取极值。
2
−1
= − π ≈ −0.39
N ( A) A= 2
8
2
( ) （4）计算自振参数
− 1 =G N ( A)
jωg
A1 = 12.72 ，A2 = 0.503
即：系统将产生自振，振荡角频率为 ωg = 1 rad s ，振幅为 A = 12.72
12
【解】（1）将系统方框图化为标准结构
分析可得， ∆1 = 0.5
11
得系统等效方框图为：
（2）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 1
G( jω) =
10
=5
ω ⋅ ( 1+ ω 2 )2 ω =ωg
−0.39
（3）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
计算可得，当 A =
2e0 =
解得：
∆1
=
∆ k
+α
4
习题8.4 设有非线性控制系统，其中非线性特性为斜率 k = 1的饱
和特性。当不考虑饱和特性时，闭环系统稳定。试分析该非线性控制系统 是否有产生自持振荡的可能性。 【解】不考虑饱和因素时，稳定的线性系统的开环频率响应形式有多种，例如：
AB
考虑饱和因素，斜率为 k = 1的饱和特性的 − 1 曲线分布在负实轴上
对于图
(a) 所示情形，G (
jω )
与
−
1 N
无交点，非线性系统不会产生自持振荡，
该非线性系统也是稳定的；
对于图 (b) 所示情形，G ( jω ) 与 − 1 有两个交点，其中交点 A 是稳定交点，
N
该非线性系统会产生自持振荡。
2 时， N(A)取极值。
2
−1
= − π ≈ −0.39
N ( A) A= 2
8
2
( ) （4）计算自振参数
− 1 =G N ( A)
jωg
A1 = 12.72 ，A2 = 0.503
即：系统将产生自振，振荡角频率为 ωg = 1 rad s ，振幅为 A = 12.72
12
【解】（1）将系统方框图化为标准结构
分析可得， ∆1 = 0.5
11
得系统等效方框图为：
（2）绘出线性部分的 G ( jω)曲线
与负实轴的交点处，ωg = 1
G( jω) =
10
=5
ω ⋅ ( 1+ ω 2 )2 ω =ωg
−0.39
（3）绘出非线性部分的
−
1 N
曲线
计算可得，当 A =
2e0 =
解得：
∆1
=
∆ k
+α
4
习题8.4 设有非线性控制系统，其中非线性特性为斜率 k = 1的饱
和特性。当不考虑饱和特性时，闭环系统稳定。试分析该非线性控制系统 是否有产生自持振荡的可能性。 【解】不考虑饱和因素时，稳定的线性系统的开环频率响应形式有多种，例如：
AB
考虑饱和因素，斜率为 k = 1的饱和特性的 − 1 曲线分布在负实轴上
131209第8章非线性控制系统分析
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M
sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
自动控制原理第8章
第八章 非线性控制系统分析 y0=［0.5 1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
end
plot(x1+y1′, x2+y2′, ′∶′)
第八章 非线性控制系统分析 y0=［-0.8 -1］′ c=v＼y0
y1=zeros(1, length(t))
y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
第八章 非线性控制系统分析 a=［1 1 1］ n=length(a)-1 p=roots(a) v=rot90(vander(p)) y0=［0 0］′ c=v＼y0 y1=zeros(1, length(t)) y2=zeros(1, length(t)) for k=1∶n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t) y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t) end plot(x1+y1′, x2+y2) hnd=plot(x1+y1′, x2+y2′) set(hnd, ′linewidth′, 1.3) hold on
第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法 系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式, 以解
决稳定性问题为中心, 对系统实施有效的控制。由于非线性系
非线性控制系统分析
图中相轨迹表示 x + x + x = 0系统在某一初始条件下的运 动轨迹. 此系统有一对实部为负的共轭复根, 因此在任 何一对初始条件激励下, 其自由运动均呈率减振荡形式 不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面 的原点, 这种奇点叫稳定的焦点. 3. 由相平面图求时间解 x (t ) 曲线 在 x x 相平面上得到的是表示 x 与 x 间函数关系的 相轨迹曲线, 但在工程上分析系统时, 往往希望得到比 较直观的 x 关于时间 t 的函数图象, 因此要利用相平面 上的相轨迹曲线来确定 x (t ) 的曲线图形. 下图表示相轨迹曲线中的某一段. 若A点对应的时 刻为 t 0 , 求B点对应的时刻 t A ( x0 , x0 ) B ( xk , xk ) x 可在AB段沿相轨迹运动的方 c ( xi 1 , xi 1 ) d ( xi , xi ) x 取若干个点 0 ( x0 , x0 ), L , ( xi 1 , xi 1 ), ( xi , xi ), L , ( xk , xk )
奇点的概念, 请参阅. (2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 二阶系统一般形式的微分方程如下:
设
x = f ( x, x )
(11)
(12 )
d x f ( x, x ) = 式(11)又可化为: dx x d x/ dx 正是相轨迹方程的导函数,
当 x, x 取不同值时,
2. 相轨迹作图法 先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法. (1)解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程, 然后由相轨 迹方程绘制相平面图, 此方法仅用于简单的一﹑二阶线 性系统或分段线性系统. (a)线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为: ( 4) T x+ x = 0 (3) 相轨迹方程为: x = x / T 设初始条件: x ( 0 ) = x0 , x ( 0 ) = x0 / T, 当T>0,相轨迹如下图 系统从任一初始点出发, 均将沿相轨 B ( x0 ' , x0 ' ) x A( x0 , x0 ) 迹收敛于原点. 当T<0, 相轨迹如图 x 中绿线所示. 系统从任一初始点出发 0 B ( x0 ' , x0 ' ) A( x0 , x0 ) 均将沿相轨迹发散至无穷.
第八章非线性控制系统的分析
否则，必须考虑死区的影响。而在工程实际中，有时为了提高系统的抗干扰能力，
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
非线性控制系统分析(第八章)
xdx / dx x
x
x 0 x ，则有
g ( x ) x, h ( x ) x
1 )dx xdx ( x 2 x 0 ) 2 g( x x0 x0 2 x x 1 2 2 h( x )dx xdx ( x x 0 ) x0 x0 2
x
2
三、相平面法（6）
整理后得
2 2 x 2 x 2 ( x0 x0 )
2 0 x x 2 0
该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、 为半径的圆，见下图。
3
三、相平面法（7）
2、相轨迹绘制的等倾线法
等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微 分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得 尤为实用。 基本思想：是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨 迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘 制相轨迹。 对于相轨迹微分方程 dx f ( x, x )
6
三、相平面法（10）
使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点： 1）坐标轴 x 和 x 应选用相同的比例尺，以便于根据等倾线 斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。 2）在相平面的上半平面，由于 x＞0 ，则 x 随 t 增大而增 加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面 x 0，则 x 随 t 增大而减小，相轨迹的走向应由右向左。 3）除系统的平衡点外，相轨迹与 轴的相交点处切线斜率 x 应为 或 ，即相轨迹与轴垂直相交。
n
k
k 当等倾线位于第Ⅰ，Ⅲ象限时， 0 ，则 a 0 。故在第Ⅰ 象限，c 增大，c 减小；在第 Ⅲ象限，c 减小，c 增大。在 第Ⅱ（或第Ⅳ）象限，两条特 殊相轨迹将该象限划分 A, 2）
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自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
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自动控制原理
第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
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自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
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B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16
描述函数的基本概念
1 2π 1 2π A A3 3 = sin ωt + sin ωt sin ωtd (ωt ) y( t )sin ωtd (ωt ) ∫ ∫ 4 π 0 π 0 2
A12 + B12
)
B1 + jA 1 = A
描述函数表征了非线性环节对于正弦响应中基波分量 的传递特性(变幅移相能力) 当非线性环节中不含储能元件(无惯性)时，描述函数 只与输入信号幅值A有关，与输入信号频率ω无关 比较：线性环节(系统)的频率特性与A无关，与ω有关
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自动控制原理
自动控制原理
第八章
典型非线性特性的描述函数
间隙(滞环)特性
A12 + B12 −1 A 1 N ( A) = ∠tg ( A ≥ a) A B1 4kA a 2 a [( ) − ] A1 = A A π 2a 2a a kA π a 2 −1 [ + sin (1 − ) + 2(1 − ) B1 = −( ) ] π 2 A A A A
x = A sin ωt
M
x = A sin ωt
M
∆
k
y1 + y = y1 + y2 + y2
k
y
∆
∆
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自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(2) 非线性特性的串联
x
N1(A)
x1
N2(A)
y
x
N(A)
y
N ( A) ≠ N1 ( A) ⋅ N 2 ( A)
先求等效非线性特性(与串联次序有关)； 再求等效非线性特性的描述函数。
饱和特性
N ( A) = 2k
π
[sin
−1
a a a 2 + 1− ( ) ] A A A
( A ≥ a)
死区特性
a a 2 2k π −1 a N ( A) = − [ − sin 1− ( ) ] π 2 A A A ( A ≥ a)
死区饱和特性
2k s s 2 a a 2 −1 s −1 a N ( A) = [sin − sin + 1− ( ) − 1− ( ) ] A A A A A A π ( A ≥ s)
第八章
描述函数的基本概念
当非线性特性y= f (x)为输入x的奇函数 (即f (x)关于原 点对称)，则y(t)为t的奇对称函数，即y(t)= –y(t + π/ω) 此时，A0=0 若非线性特性y= f (x)是单值奇函数，则y(t)为t的奇 函数，即y(t)= –y(–t)，则 A1 = 0, N ( A) = B1 (实函数) A 若非线性特性y= f (x)是非单值奇函性系统的简化
y e y
解 ： x = k ( e − e0 )
y=M
e > e0 x≥a a e = + e0 k
等效非线性特性:
M, e > ∆ y = 0, − ∆ ≤ e ≤ ∆ − M , e < − ∆
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令 a = k ( e − e0 ) a 即 ∆ = + e0 k
2 0
1
2π
0
y (t ) sin ωt d ωt
y= f (x)是单值奇函数 A1= 0
=
4
π
π 4 4M 2 y ( t ) sin t d t ω ω M sin t d t = = ω ω ∫ ∫
N(A ) =
B1 = A
4M πA
π
0
π
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第八章
典型非线性特性的描述函数
具有复变增益 的比例环节 (1) 变增益线性系统的稳定性分析 K 频域法 奈氏判据
设G(s)的极点均位于s 的左半平面，即P=0 闭环特征方程： 1 + KG ( jω ) = 0
G ( jω ) = − 1 + j0 K
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
1 + KG ( jω ) = 0 闭环特征方程： G ( jω ) = − + j 0 K 由奈氏判据： 当奈氏曲线G(jω)不包围(–1/K, j0) 点时，系统闭环稳定； 1 1 − − 当G(jω)包围(–1/K, j0)点时，系统不 K K2 1 稳定； 当G(jω)穿过(–1/K, j0)点时，系统 临界稳定，产生等幅振荡。 若K在一定范围内可变，K1≤K≤K2， 则：点线段 当G(jω)包围该线段时，系统不稳定 当G(jω)不包围该线段时，系统稳定
= A 2.5, = N ( A) 1.67 y A=2
N ( A) = 1.25
可变增益(与A有关)的放大器 物理意义： B1 y (t ) ≈ y1 (t ) = B1 sin ωt = ⋅ A sin ωt
A N ( A) ⋅ x(t )
= A 1,= N ( A) 0.69
0
x
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(2) 饱和非线性特性的描述函数
kx, − a ≤ x ≤ a y ( x) = ka, x≥a −ka, x ≤ −a
x(t ) = A sin ωt
a ϕ1 = arcsin 由 A sin ϕ1 = a A kA sin ωt , 0 ≤ ωt ≤ ϕ1 y (t ) = π , < ≤ ϕ ω ka t 1 2
自动控制原理
第八章
非线性系统的简化
(1) 非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则 等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。
x = A sin ωt
N1(A) N2(A)
y1
+
±
y2
y = y1 ± y2
x = A sin ωt
N(A)
y
N ( A) = N1 ( A) ± N 2 ( A)
π
0
非线性环节的输出y(t)中含有基波(一次谐波)分量及 高次谐波分量
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第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
如果系统的线性部分具有低通滤波特性，则高次谐波 分量通过线性部分后将衰减到很小，因此可以近似认 为当输入正弦信号 x(t) 时，只有 y(t) 的基波分量沿闭环 回路反馈至比较点，其高次谐波分量均忽略不计 若A0=0，则基波分量 (一次谐波分量) N
自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(2) 非线性系统描述函数法分析的应用条件 (i) 非线性系统应简化成一个 非线性环节和一个线性部分 闭环连接的典型结构形式 N
(ii)非线性特性y= f (x)不包含储能元件，且为输入x的 奇函数，或正弦输入下的输出y(t)为t的奇对称函数， 即 y(t)= –y(t +π/ω)，以保证A0=0 (iii)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能（极点 均位于左半S平面；阶数越高，低通滤波性能越好）
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自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
n＝1 ∞
直流分量
第n次谐波分量
其中：
1 A0 = 2π
∫
2π
0
y (t ) dωt
1 2π An = ∫ y (t ) cos nωt dωt π 0 1 2π Bn = ∫ y (t ) sin nωt dωt
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第八章
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，非线性环节在正弦 信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导 出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 非线性系统等效为一个线性系统，可用线性系统理 论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法是一种频域分析方法 主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振问题 是一种近似方法，有一定的限制条件
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第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
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第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
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第八章
非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
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B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16
描述函数的基本概念
1 2π 1 2π A A3 3 = sin ωt + sin ωt sin ωtd (ωt ) y( t )sin ωtd (ωt ) ∫ ∫ 4 π 0 π 0 2
A12 + B12
)
B1 + jA 1 = A
描述函数表征了非线性环节对于正弦响应中基波分量 的传递特性(变幅移相能力) 当非线性环节中不含储能元件(无惯性)时，描述函数 只与输入信号幅值A有关，与输入信号频率ω无关 比较：线性环节(系统)的频率特性与A无关，与ω有关
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第八章
典型非线性特性的描述函数
间隙(滞环)特性
A12 + B12 −1 A 1 N ( A) = ∠tg ( A ≥ a) A B1 4kA a 2 a [( ) − ] A1 = A A π 2a 2a a kA π a 2 −1 [ + sin (1 − ) + 2(1 − ) B1 = −( ) ] π 2 A A A A
x = A sin ωt
M
x = A sin ωt
M
∆
k
y1 + y = y1 + y2 + y2
k
y
∆
∆
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第八章
非线性系统的简化
(2) 非线性特性的串联
x
N1(A)
x1
N2(A)
y
x
N(A)
y
N ( A) ≠ N1 ( A) ⋅ N 2 ( A)
先求等效非线性特性(与串联次序有关)； 再求等效非线性特性的描述函数。
饱和特性
N ( A) = 2k
π
[sin
−1
a a a 2 + 1− ( ) ] A A A
( A ≥ a)
死区特性
a a 2 2k π −1 a N ( A) = − [ − sin 1− ( ) ] π 2 A A A ( A ≥ a)
死区饱和特性
2k s s 2 a a 2 −1 s −1 a N ( A) = [sin − sin + 1− ( ) − 1− ( ) ] A A A A A A π ( A ≥ s)
第八章
描述函数的基本概念
当非线性特性y= f (x)为输入x的奇函数 (即f (x)关于原 点对称)，则y(t)为t的奇对称函数，即y(t)= –y(t + π/ω) 此时，A0=0 若非线性特性y= f (x)是单值奇函数，则y(t)为t的奇 函数，即y(t)= –y(–t)，则 A1 = 0, N ( A) = B1 (实函数) A 若非线性特性y= f (x)是非单值奇函性系统的简化
y e y
解 ： x = k ( e − e0 )
y=M
e > e0 x≥a a e = + e0 k
等效非线性特性:
M, e > ∆ y = 0, − ∆ ≤ e ≤ ∆ − M , e < − ∆
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令 a = k ( e − e0 ) a 即 ∆ = + e0 k
2 0
1
2π
0
y (t ) sin ωt d ωt
y= f (x)是单值奇函数 A1= 0
=
4
π
π 4 4M 2 y ( t ) sin t d t ω ω M sin t d t = = ω ω ∫ ∫
N(A ) =
B1 = A
4M πA
π
0
π
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典型非线性特性的描述函数
具有复变增益 的比例环节 (1) 变增益线性系统的稳定性分析 K 频域法 奈氏判据
设G(s)的极点均位于s 的左半平面，即P=0 闭环特征方程： 1 + KG ( jω ) = 0
G ( jω ) = − 1 + j0 K
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
1 + KG ( jω ) = 0 闭环特征方程： G ( jω ) = − + j 0 K 由奈氏判据： 当奈氏曲线G(jω)不包围(–1/K, j0) 点时，系统闭环稳定； 1 1 − − 当G(jω)包围(–1/K, j0)点时，系统不 K K2 1 稳定； 当G(jω)穿过(–1/K, j0)点时，系统 临界稳定，产生等幅振荡。 若K在一定范围内可变，K1≤K≤K2， 则：点线段 当G(jω)包围该线段时，系统不稳定 当G(jω)不包围该线段时，系统稳定
= A 2.5, = N ( A) 1.67 y A=2
N ( A) = 1.25
可变增益(与A有关)的放大器 物理意义： B1 y (t ) ≈ y1 (t ) = B1 sin ωt = ⋅ A sin ωt
A N ( A) ⋅ x(t )
= A 1,= N ( A) 0.69
0
x
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(2) 饱和非线性特性的描述函数
kx, − a ≤ x ≤ a y ( x) = ka, x≥a −ka, x ≤ −a
x(t ) = A sin ωt
a ϕ1 = arcsin 由 A sin ϕ1 = a A kA sin ωt , 0 ≤ ωt ≤ ϕ1 y (t ) = π , < ≤ ϕ ω ka t 1 2
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非线性系统的简化
(1) 非线性特性的并联 若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则 等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。
x = A sin ωt
N1(A) N2(A)
y1
+
±
y2
y = y1 ± y2
x = A sin ωt
N(A)
y
N ( A) = N1 ( A) ± N 2 ( A)
π
0
非线性环节的输出y(t)中含有基波(一次谐波)分量及 高次谐波分量
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第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
如果系统的线性部分具有低通滤波特性，则高次谐波 分量通过线性部分后将衰减到很小，因此可以近似认 为当输入正弦信号 x(t) 时，只有 y(t) 的基波分量沿闭环 回路反馈至比较点，其高次谐波分量均忽略不计 若A0=0，则基波分量 (一次谐波分量) N
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第八章
描述函数的基本概念
(2) 非线性系统描述函数法分析的应用条件 (i) 非线性系统应简化成一个 非线性环节和一个线性部分 闭环连接的典型结构形式 N
(ii)非线性特性y= f (x)不包含储能元件，且为输入x的 奇函数，或正弦输入下的输出y(t)为t的奇对称函数， 即 y(t)= –y(t +π/ω)，以保证A0=0 (iii)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能（极点 均位于左半S平面；阶数越高，低通滤波性能越好）
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第八章
描述函数的基本概念
y (t ) = A0 + ∑ ( An cos nωt + Bn sin nωt )
n＝1 ∞
直流分量
第n次谐波分量
其中：
1 A0 = 2π
∫
2π
0
y (t ) dωt
1 2π An = ∫ y (t ) cos nωt dωt π 0 1 2π Bn = ∫ y (t ) sin nωt dωt
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第八章
描述函数法
基本思想： 当系统满足一定的假设条件时，非线性环节在正弦 信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导 出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 非线性系统等效为一个线性系统，可用线性系统理 论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法是一种频域分析方法 主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的 稳定性和自振问题 是一种近似方法，有一定的限制条件