华理概率论习题5答案

华东理工大学

概率论与数理统计 作业簿（第五册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十三次作业

一． 填空题：

1． 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为

则

()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。

2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立，1ξ~)6,0(U ，2ξ~)4,0(N ，3ξ~)3(E ，则：

)32(321ξξξ+-E = ____4___，)32(321ξξξ+-D = __20_。

二． 选择题：

设),N(10~ξ，)4,0(~N η，ηξς+=，下列说法正确的是（ B ）。 A. )5,0(~N ς B. 0=ςE C. 5=ςD D. 3=ςD

05.15.025.02.136.0

三． 计算题：

1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧<

<<<+=其他0

2

0,20)(81

),(y x y x y x p

求)(,,ξηηξE E E 。 解：ηξE y y x x x y x y x xp E D

==+=

=⎰⎰⎰⎰6

7

d )(d 81d d ),(2020 3

4

d )(d 81d d ),()(2020=+=

=

⎰⎰⎰⎰y y x xy x y x y x xyp E D

ξη 2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。 解:

),(ηξ～2, (,),(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈⎧=⎨

∉⎩

1

1

014

()2()3y E dy x y dx ξη-+=+=

⎰⎰,

11220111

()2()6

y E dy x y dx ξη-+=+=⎰⎰,

2211161

()()[()]6918

D E E ξηξηξη+=+-+=-=

3. 有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。

解：设1, ,

0, ,

i i i ξ⎧=⎨⎩第站有人下车第站没人下车

则

P P i

==}0{ξ{10个人在第i 站都不下车}10

2011⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，

从而10

20111}1{⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--==i P ξ

于是10

20111}1{1}0{0⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--==⨯+=⨯=i i i P P E ξξξ,

长途汽车停车次数2021ξξξξ+++=Λ，故

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=1020

212019120ξξξξE E E E Λ

第十四次作业

一．填空题：

1．已知9,4==ηξD D ，则当12)(=-ηξD 时，____=ξη

ρ；当4.0=ξη

ρ时，_______)(=+ηξD 。

2. 设二维随机变量)5.0;4,1;4,1(~),(N ηξ，ηξζ-=，则=),cov(ζξ .

二. 选择题：

1. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，记Y X U +=，Y X V -=，则U 与V 必

（ D ）

A. 独立

B. 不独立

C. 相关

D.不相关 2. 设随机变量ξ与η的方差存在且不等于0，则ηξηξD D D +=+)(是ξ与η

（ C ）

A. 独立的充要条件

B. 独立的充分条件，但不是必要条件

C. 不相关的充要条件

D. 不相关的充分条件，但不是必要条件

121

8

.172

三. 计算题：

1. 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为

(1)求ξηρ；(2) ξ与η是否独立？说明理由。

解:

于是,

31313442E ξ=⨯+⨯=, 13313

012388882

E η=⨯+⨯+⨯+⨯=,

再由联合分布得3319

1112338884

E ξη=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,

从而933

cov(,)0422

ξη=-⋅=, 故0ξηρ=

(2)由于3

(1)(0)32P P ξη=⋅==, 而(1,0)0P ξη===, 故,ξη不独立.

2. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为

⎩⎨⎧<<<=其他0

1

03),(x y x y x p

求ξ与η的相关系数。

解: 先分别求出

1

1

203310y E dy x ydx ξη==

⎰⎰, 112

0334y E dy x dx ξ==⎰⎰, 110338y E dy xydx η==⎰⎰,

11230335y E dy x dx ξ==⎰⎰, 112

20135

y E dy xy dx η==⎰⎰,

3333cov(,)1048160ξη=-⋅=

, 23335480D ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 2

1319

58320

D η⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,

故

ξηρ=

==

3. 设二维随机变量),(Y X 的相关系数为XY ρ，而d cY b aX +=+=ηξ,，其中

d c b a ,,,为常量，并且已知0>ac ，试证XY ρρξη=。

证明：XY DY

DX ac Y X ac d cY D b aX D d cY b aX ρρξη=⋅=

+⋅+++=),cov()

()(),cov(

4. 设两个随机变量ηξ,，

5.0,9,4,4,2-====-=ξηρηξηξD D E E ，求

)323(22-+-ηξηξE 。

解

()()()

68

3)(),cov(2)(33

)()(2)(3)323(2

2

2222=-+++-+-+-=-+-ηηηξηξξξηξηξηξηξE D E E E D E E E E ＝

第十四次作业

一. 选择题：

1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。

A 、

11()33y p + B 、13()3y p + C 、1(3(1))3p y + D 、1

3()3

y p - 2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则