华理概率论习题5答案

华东理工大学概率论与数理统计 作业簿（第五册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第十三次作业一． 填空题：1． 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为则()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。

2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立，1ξ~)6,0(U ，2ξ~)4,0(N ，3ξ~)3(E ，则：)32(321ξξξ+-E = ____4___，)32(321ξξξ+-D = __20_。

二． 选择题：设),N(10~ξ，)4,0(~N η，ηξς+=，下列说法正确的是（ B ）。

A. )5,0(~N ς B. 0=ςE C. 5=ςD D. 3=ςD05.15.025.02.136.0三． 计算题：1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)(81),(y x y x y x p求)(,,ξηηξE E E 。

解：ηξE y y x x x y x y x xp E D==+==⎰⎰⎰⎰67d )(d 81d d ),(2020 34d )(d 81d d ),()(2020=+==⎰⎰⎰⎰y y x xy x y x y x xyp E Dξη 2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。

解:),(ηξ～2, (,),(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩11014()2()3y E dy x y dx ξη-+=+=⎰⎰,11220111()2()6y E dy x y dx ξη-+=+=⎰⎰,2211161()()[()]6918D E E ξηξηξη+=+-+=-=3. 有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。

设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。

解：设1, ,0, ,i i i ξ⎧=⎨⎩第站有人下车第站没人下车则P P i==}0{ξ{10个人在第i 站都不下车}102011⎪⎭⎫⎝⎛-=，从而1020111}1{⎪⎭⎫ ⎝⎛--==i P ξ于是1020111}1{1}0{0⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⨯+=⨯=i i i P P E ξξξ,长途汽车停车次数2021ξξξξ+++=Λ，故⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=1020212019120ξξξξE E E E Λ第十四次作业一．填空题：1．已知9,4==ηξD D ，则当12)(=-ηξD 时，____=ξηρ；当4.0=ξηρ时，_______)(=+ηξD 。

2. 设二维随机变量)5.0;4,1;4,1(~),(N ηξ，ηξζ-=，则=),cov(ζξ .二. 选择题：1. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，记Y X U +=，Y X V -=，则U 与V 必（ D ）A. 独立B. 不独立C. 相关D.不相关 2. 设随机变量ξ与η的方差存在且不等于0，则ηξηξD D D +=+)(是ξ与η（ C ）A. 独立的充要条件B. 独立的充分条件，但不是必要条件C. 不相关的充要条件D. 不相关的充分条件，但不是必要条件1218.172三. 计算题：1. 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为(1)求ξηρ；(2) ξ与η是否独立？说明理由。

解:于是,31313442E ξ=⨯+⨯=, 13313012388882E η=⨯+⨯+⨯+⨯=,再由联合分布得33191112338884E ξη=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,从而933cov(,)0422ξη=-⋅=, 故0ξηρ=(2)由于3(1)(0)32P P ξη=⋅==, 而(1,0)0P ξη===, 故,ξη不独立.2. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<=其他0103),(x y x y x p求ξ与η的相关系数。

解: 先分别求出11203310y E dy x ydx ξη==⎰⎰, 1120334y E dy x dx ξ==⎰⎰, 110338y E dy xydx η==⎰⎰,11230335y E dy x dx ξ==⎰⎰, 11220135y E dy xy dx η==⎰⎰,3333cov(,)1048160ξη=-⋅=, 23335480D ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 2131958320D η⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,故ξηρ===3. 设二维随机变量),(Y X 的相关系数为XY ρ，而d cY b aX +=+=ηξ,，其中d c b a ,,,为常量，并且已知0>ac ，试证XY ρρξη=。

证明：XY DYDX ac Y X ac d cY D b aX D d cY b aX ρρξη=⋅=+⋅+++=),cov()()(),cov(4. 设两个随机变量ηξ,，5.0,9,4,4,2-====-=ξηρηξηξD D E E ，求)323(22-+-ηξηξE 。

解()()()683)(),cov(2)(33)()(2)(3)323(222222=-+++-+-+-=-+-ηηηξηξξξηξηξηξηξE D E E E D E E E E ＝第十四次作业一. 选择题：1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。

A 、11()33y p + B 、13()3y p + C 、1(3(1))3p y + D 、13()3y p - 2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则),max(ηξζ＝ 的分布函数 )(z F ζ等于 （ B ） A ．)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξC ．)]()([21z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+二. 计算题 1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。

解: ⎩⎨⎧<≥--=⎩⎨⎧<≥≤≤-=≤=00)()(00}{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ故()⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=000)()(21)(y y y p y p yy p ξξη＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他4041y y2. 设ηξ、 是两个相互独立且均服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛21,0N 的随机变量，求|)(|ηξ-E 。

解: 由已知条件可得：)1,0(~N ηξ-，所以ππππηξ2e 22d e22d e 21|||)(|0222222=-==⋅=-+∞--∞+-∞+∞-⎰⎰x x x x x x x E3. 已知随机变量ηξ、 的概率分布分别为412141}{101i x P =-ξξ2121}{10j y P =ηη而且1}0{==ξηP 。

(1)求ηξ、 的联合概率分布；(2)问ηξ、 是否独立？ (3)求), max(ηξζ=的概率分布。

解: 由于(0)1P ξη==,可以得到(1,1)(1,1)0P P ξηξη=-=====,从而1(0,1)(1)2P P ξηη=====, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=-===-=,1(1,0)(1)4P P ξηξ=====, (0,0)(0)(0,1)0P P P ξηξξη====-===, 汇总到联合分布列,即(2)由于(,)()()P i j P i P j ξηξη==≠=⋅=,故,ξη不独立. (3)1(0)(1,0)(0,0)4P P P ζξηξη===-=+===, 3(1)(1,1)(0,1)(1,0)(1,1)4P P P P P ζξηξηξηξη===-=+==+==+===4．设随机变量ηξ、 相互独立，其密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧<<=-0)(,0101)(y y e y p x x p yηξ其他 求ηξ+ 的概率密度函数。

解: 由,ξη相互独立得联合密度函数为, 01,0,(,)0, ,y e x y p x y -⎧≤≤>=⎨⎩其他密度函数中非零部分对应的(,)x y 落在区域D 中,利用卷积公式,当1z ≥时,1()()(1)z x z p z edx e e ζ---==-⎰,当01z <<时,()0()1zz x z p z e dx e ζ---==-⎰,当0z ≤时,()0p z ζ=,故 (1), 1,()1, 01, 0, 0. z ze e z p z e z z ζ--⎧-≥⎪=-<<⎨⎪≤⎩5. 电子仪器由4个相互独立的部件)4,3,2,1(=i L i 组成，连接方式如图所示。

设各个部件的使用寿命i ξ服从指数分布)1(E ，求仪器使用寿命ζ的概率密度。

1L 3L2L 4L解: 设各并联组的使用寿命为)2,1(=j j η，则},m ax {},,m ax {},,m in{43221121ξξηξξηηηζ=== 由i ξ独立同分布知21,ηη也独立同分布。

现⎩⎨⎧≤>-=-0e 1)(x x x F xξ 所以 ⎩⎨⎧≤>-==-000)e 1()()(22y y y F y F y ξη 从而[][]⎩⎨⎧≤>--=⎪⎩⎪⎨⎧≤>---=--=---000)e 2(e 1000)e 1(11)(11)(22222z z z z z F z F z z z ηζ ⎩⎨⎧≤>--==∴---000)e 2)(e 1(e 4)(2z z z p z z z ζ。