基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元_岑松
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Aij = Bij = Dij =
0 Cij =
t 2
(16a,b,c)
0 k12C55 0 k1k 2C45
n
0 k1k 2C45 2 0 k2 C44
(17)
Qijk (tk − tk −1 ) ∫ −t 2 Qij dz = ∑ k =1
3
如图 2，根据 Timoshenko 梁理论，层合梁的挠 度 w，转角 ψ s 和剪应变γ的公式如下[8]： d w = wi (1 − r ) + w j r + (ψ si −ψ sj ) F2 2 (20a) d − Γ (1 − 2δ ) F3 2 (20b) ψ s = ψ si (1 − r ) +ψ sj r + 3(1 − 2δ ) ΓF2
第 19 卷第 1 期 2002 年 2 月
工
程
力
学
Vol.19 No. 1 Feb. 2002
ENGINEERING
MECHANICS
文章编号： 1000-4750(2002)01-001-08
基于一阶剪切变形理论的 新型复合材料层合板单元
岑 松 1，龙驭球 2，姚振汉 1
(1. 清华大学工程力学系，北京 100084；2. 清华大学土木系，北京 100084)
t 2
Qij zdz =
∑
∑
(10)
∫ −t 2
t2
Qij dz = ∑ Qijk (tk − tk −1)
k =1
n
(i , j = 4,5)
(19)
tk 为第 k 层板上表面的 z 坐标， t0 = -t/2， tk =t/2。t
其中
为板的厚度。 2.2 Timoshenko 层合梁理论
基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元
Q44 τ 23 = τ 13 k 0 0 γ 23 Q55 k γ 13 k
Q11k Q12 k Q 22k Q16 k Q26k Q 66k Q44k Q 45k Q55 k
图1 Fig.1
复合材料层合板中面上的位移和内力 Forces and displacements at the mid-plane of a laminated composite plate
板的总应变
基金项目：清华大学基础研究基金项目(JC1999002)，国家自然科学基金(59878022)，中国博士后科学基金 作者简介：岑 松(1972.8)，男，工学博士，博士后，从事计算力学研究方向 龙驭球(1926.1)，男，工学学士，教授，中国工程院院士，从事结构工程研究方向 姚振汉(1939.4)，男，工学博士，教授，清华大学固体力学研究所所长，从事固体力学研究方向
自由度定义如下： ae = [u1 v1 w1 ψ x1 ψ y1 M u2 v 2 w2 ψ x2 ψ y 2
图2
Fig.2
复合材料层合梁单元
The Timoshenko laminated composite beam element
u3 v3
w3 ψ x3 ψ y3 M u4 v4
w4 ψ x4 ψ y 4 ]T
———————————————
收稿日期：2001-08-20
２．１ 复合材料层合板的一阶剪切变形理论 如图 1 所示线弹性任意 n 层层合板中任一点(x, y, z)的位移为： u( x , y , z ) = u 0 ( x, y ) − zψ x ( x , y ) 0 (1) v ( x , y , z ) = v ( x , y ) − zψ y ( x , y ) w( x, y, z ) = w( x , y )
k k
A11 A12 A16 A= A12 A22 A26 , B = A16 A26 A66 D11 D12 D16 D= D12 D22 D26 D16 D26 D66 C55 C45 Cs = = C45 C44
γ =δΓ
其中 4 2 2 4 (Q11d ) k = Q11k lkd + 2(Q12 k + 2Q66 k )lkd mkd + Q22 k mkd (23)
lkd = cos(θ k − θ d ),
n k =1
mkd = sin(θ k − θ d )
(24) (25)
2 2 2 Cd = ( k12ld + k2 md ) ∑ (Q55d )k (tk − tk −1)
其中
2 2 (Q55 d ) k = Q55 k ld + Q44 k md
(20c)
(26) (27)
ld = cosθ d ,
md = sinθ d
来自百度文库
容易证明，当总厚度 t → 0 时， δ → 0 ，这样 γ → 0 ，不存在剪切闭锁问题。
3
单元列式
如图 4 所示任意四边形 4 结点层合板单元，其
摘
要：基于一阶剪切变形理论 (FSDT)，本文构造一种新型的 20 自由度 (每结点 5 个自由度 )，四边形复合
材料层合板单元，适合于任意铺设情形的层合板的计算。它是按如下方式构造的： (1) 单元每边的转角和 剪应变由 Timoshenko 层合厚梁理论来确定； (2) 对单元域内的转角场和剪应变场进行合理的插值；(3) 引入 平面内双线性位移场来体现层合板面内与弯曲的耦合作用。 本文单元， 记为 TMQ20， 不存在剪切闭锁现象， 在计算单层的各向同性板时可以退化为文 [1]中优质的中厚板单元 TMQ 。在文 [2]中将给出本文单元对于层 合板问题的详细数值算例。 关键词： 有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论 (FSDT)； Timoshenko 层合梁 中图分类号： TB33, TU33 文献标识码： A
这里 σ1k 和 σ 2 k 是第 k 层板两个主轴方向的正应力；
τ 12 k 是第 k 层板面内剪应力； τ 23 k 和 τ 13 k 是第 k 层板
横向剪应力。 ε1k、ε 2 k、γ 12 k、γ 23 k 和 γ 13 k 是上述应力 所对应的应变。 E1k 和 E2 k 分别为平行于材料纤维方 向(轴 1)和垂直于材料纤维方向(轴 2)的杨氏弹性模 量；G12 k 是面内剪切模量；G23 k 和 G13 k 是横向剪切 模量； µ12 k 为主泊松比。 于是，第 k 层板在 xoy 坐标系下，即偏轴的应 力应变关系为： σ x Q11 Q12 Q16 ε x σ k = σ y = Q12 Q22 Q26 ε y = Qk ε (9) τ xy Q16 Q26 Q66 γ xy
3 + (Q12k − Q22k + 2Q66k )lk mk 3 = (Q11k − Q12k − 2Q66k )lk mk 3 + (Q12k − Q22k + 2Q66k )lk mk 2 2 = (Q11k + Q22k − 2Q12k − 2Q66k )lk mk 4 4 ) + Q66k (lk + mk 2 2 = Q44k lk + Q55k mk = (Q55k − Q44 k )lk mk 2 2 = Q44k mk + Q55k lk
∫ ∫
τ τ z k = yz τ xz k k 2Q k1k 2Q45 γ yz = 2 44 = Csk γ 2 k1k 2Q45 k1 Q55 k γ xz
1 n 2 2 Qijk (tk − tk −1 ) (i, j = 1, 2,6) (18) −t 2 2 k =1 t 2 1 n 3 3 − tk Qij z 2dz = Qijk (tk −1 ) −t 2 3 k =1
2
工
程
力
学
4 2 2 4 = Q11klk + 2(Q12 k + 2Q66 k )lk mk + Q22k mk 2 2 4 4 ) = (Q11k + Q22k − 4Q66k )lk mk + Q12k (lk + mk 4 2 2 4 = Q11k mk + 2(Q12k + 2Q66k )lk mk + Q22k lk 3 = (Q11k − Q12 k − 2Q66k )lk mk
2κ xy ]T ∂ψ y ∂y ∂ψ x ∂ψ y T − − ] ∂y ∂x
(5)
此外，板的横向剪应变场为 ∂w ∂w γ = [γ xz γ yz ]T = [ −ψ x − ψ y ]T ∂x ∂y
(6)
对于第 k (k=1, 2,…, n) 层板，相对于材料主轴 (轴 1 和轴 2)坐标系，即正轴的应力应变关系为： σ1 Q11 Q12 0 ε1 σ 2 = Q12 Q22 0 ε 2 τ 0 Q66 (7a,b) 12 k 0 k γ 12 k
层合板的本构关系可表示为： 0 N A B ε σp = = = C pε p M B D κ T = Cs γ
(13) (14)
Q12k = Q22 k
(8)
其中 N 为中面膜力； M 为板的弯矩； T 为横向剪力； A 为拉伸刚度； B 为弯拉耦合刚度； D 为弯曲刚度； C s 为剪切刚度，
(28)
其中
2 Γ = d (− wi + w j ) −ψ si −ψ sj 6λ δ = 1 + 12λ Dd λ = Cd d 2 F2 = r (1 − r ) F3 = r (1 − r )(1 − 2r )
(21)
图4 Fig.4 四边形 4 结点层合板单元 4-node quadrilateral laminated composite plate element
N = [ Nx M = [M x Ny My N xy ]T , M xy ]T , T = [Tx Ty ]T B11 B 12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66
E2 k = 1 − µ12k µ 21k
(15a,b,c)
Q66k = G12 k , Q44k = G23k , Q55k = G13k
(11)
lk = cosθ k ,
mk = sin θ k
(12)
其中 θ k 为第 k 层板 x 轴与材料主轴 1 的夹角。 k12 ,
2 k1 k 2 和 k 2 为剪切修正系数。
其中
Q11k E1k = , 1 − µ12 k µ 21k µ 21k E1k µ12k E2k = Q21k = , 1 − µ12k µ21k 1 − µ12 k µ 21k
1
引言
2
基本理论
复合材料层合板壳结构在现代工业中有着非 常广泛的应用，而有限元法是计算这类复杂结构的 有效手段。目前，用于复合材料层合板分析的单元 主要基于下列理论： l 基于 Kirchhoff 假设的经典层合板理论(CLT)； l 一阶剪切变形理论(FSDT) l 高阶剪切变形理论 l 叠层理论(Layerwise) 由于一阶剪切变形理论比较简单，适用于薄板 到中厚板较大的范围，所以一直受到特别的重视， 不断有研究者提出新的单元模式[3~5]。 文[1] 从 Timoshenko 厚梁理论出发，成功地将 著名的薄板单元 DKQ[6] 发展为基于一阶剪切变形 理论的中厚板单元 TMQ 。本文利用了上述成果， 将平面内双线性位移场引入 TMQ 单元中，将其发 展为适用于任意铺设情形的复合材料层合板单元 TMQ20。
(2) 0 其中ε 和κ 分别为中面面内应变场和板的曲率场， ε = [ε x ε y γ xy ]T (3)
0 0 T ε 0 = [ε 0 x ε y γ xy ] = [
ε = ε 0 + zκ
∂u0 ∂x
∂v 0 ∂y
∂u0 ∂v 0 T ] + ∂y ∂x
(4)
κ = [κ x κ y ∂ψ x = [− ∂x −
0 Cij =
t 2
(16a,b,c)
0 k12C55 0 k1k 2C45
n
0 k1k 2C45 2 0 k2 C44
(17)
Qijk (tk − tk −1 ) ∫ −t 2 Qij dz = ∑ k =1
3
如图 2，根据 Timoshenko 梁理论，层合梁的挠 度 w，转角 ψ s 和剪应变γ的公式如下[8]： d w = wi (1 − r ) + w j r + (ψ si −ψ sj ) F2 2 (20a) d − Γ (1 − 2δ ) F3 2 (20b) ψ s = ψ si (1 − r ) +ψ sj r + 3(1 − 2δ ) ΓF2
第 19 卷第 1 期 2002 年 2 月
工
程
力
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Vol.19 No. 1 Feb. 2002
ENGINEERING
MECHANICS
文章编号： 1000-4750(2002)01-001-08
基于一阶剪切变形理论的 新型复合材料层合板单元
岑 松 1，龙驭球 2，姚振汉 1
(1. 清华大学工程力学系，北京 100084；2. 清华大学土木系，北京 100084)
t 2
Qij zdz =
∑
∑
(10)
∫ −t 2
t2
Qij dz = ∑ Qijk (tk − tk −1)
k =1
n
(i , j = 4,5)
(19)
tk 为第 k 层板上表面的 z 坐标， t0 = -t/2， tk =t/2。t
其中
为板的厚度。 2.2 Timoshenko 层合梁理论
基于一阶剪切变形理论的新型复合材料层合板单元
Q44 τ 23 = τ 13 k 0 0 γ 23 Q55 k γ 13 k
Q11k Q12 k Q 22k Q16 k Q26k Q 66k Q44k Q 45k Q55 k
图1 Fig.1
复合材料层合板中面上的位移和内力 Forces and displacements at the mid-plane of a laminated composite plate
板的总应变
基金项目：清华大学基础研究基金项目(JC1999002)，国家自然科学基金(59878022)，中国博士后科学基金 作者简介：岑 松(1972.8)，男，工学博士，博士后，从事计算力学研究方向 龙驭球(1926.1)，男，工学学士，教授，中国工程院院士，从事结构工程研究方向 姚振汉(1939.4)，男，工学博士，教授，清华大学固体力学研究所所长，从事固体力学研究方向
自由度定义如下： ae = [u1 v1 w1 ψ x1 ψ y1 M u2 v 2 w2 ψ x2 ψ y 2
图2
Fig.2
复合材料层合梁单元
The Timoshenko laminated composite beam element
u3 v3
w3 ψ x3 ψ y3 M u4 v4
w4 ψ x4 ψ y 4 ]T
———————————————
收稿日期：2001-08-20
２．１ 复合材料层合板的一阶剪切变形理论 如图 1 所示线弹性任意 n 层层合板中任一点(x, y, z)的位移为： u( x , y , z ) = u 0 ( x, y ) − zψ x ( x , y ) 0 (1) v ( x , y , z ) = v ( x , y ) − zψ y ( x , y ) w( x, y, z ) = w( x , y )
k k
A11 A12 A16 A= A12 A22 A26 , B = A16 A26 A66 D11 D12 D16 D= D12 D22 D26 D16 D26 D66 C55 C45 Cs = = C45 C44
γ =δΓ
其中 4 2 2 4 (Q11d ) k = Q11k lkd + 2(Q12 k + 2Q66 k )lkd mkd + Q22 k mkd (23)
lkd = cos(θ k − θ d ),
n k =1
mkd = sin(θ k − θ d )
(24) (25)
2 2 2 Cd = ( k12ld + k2 md ) ∑ (Q55d )k (tk − tk −1)
其中
2 2 (Q55 d ) k = Q55 k ld + Q44 k md
(20c)
(26) (27)
ld = cosθ d ,
md = sinθ d
来自百度文库
容易证明，当总厚度 t → 0 时， δ → 0 ，这样 γ → 0 ，不存在剪切闭锁问题。
3
单元列式
如图 4 所示任意四边形 4 结点层合板单元，其
摘
要：基于一阶剪切变形理论 (FSDT)，本文构造一种新型的 20 自由度 (每结点 5 个自由度 )，四边形复合
材料层合板单元，适合于任意铺设情形的层合板的计算。它是按如下方式构造的： (1) 单元每边的转角和 剪应变由 Timoshenko 层合厚梁理论来确定； (2) 对单元域内的转角场和剪应变场进行合理的插值；(3) 引入 平面内双线性位移场来体现层合板面内与弯曲的耦合作用。 本文单元， 记为 TMQ20， 不存在剪切闭锁现象， 在计算单层的各向同性板时可以退化为文 [1]中优质的中厚板单元 TMQ 。在文 [2]中将给出本文单元对于层 合板问题的详细数值算例。 关键词： 有限元；复合材料层合板；一阶剪切变形理论 (FSDT)； Timoshenko 层合梁 中图分类号： TB33, TU33 文献标识码： A
这里 σ1k 和 σ 2 k 是第 k 层板两个主轴方向的正应力；
τ 12 k 是第 k 层板面内剪应力； τ 23 k 和 τ 13 k 是第 k 层板
横向剪应力。 ε1k、ε 2 k、γ 12 k、γ 23 k 和 γ 13 k 是上述应力 所对应的应变。 E1k 和 E2 k 分别为平行于材料纤维方 向(轴 1)和垂直于材料纤维方向(轴 2)的杨氏弹性模 量；G12 k 是面内剪切模量；G23 k 和 G13 k 是横向剪切 模量； µ12 k 为主泊松比。 于是，第 k 层板在 xoy 坐标系下，即偏轴的应 力应变关系为： σ x Q11 Q12 Q16 ε x σ k = σ y = Q12 Q22 Q26 ε y = Qk ε (9) τ xy Q16 Q26 Q66 γ xy
3 + (Q12k − Q22k + 2Q66k )lk mk 3 = (Q11k − Q12k − 2Q66k )lk mk 3 + (Q12k − Q22k + 2Q66k )lk mk 2 2 = (Q11k + Q22k − 2Q12k − 2Q66k )lk mk 4 4 ) + Q66k (lk + mk 2 2 = Q44k lk + Q55k mk = (Q55k − Q44 k )lk mk 2 2 = Q44k mk + Q55k lk
∫ ∫
τ τ z k = yz τ xz k k 2Q k1k 2Q45 γ yz = 2 44 = Csk γ 2 k1k 2Q45 k1 Q55 k γ xz
1 n 2 2 Qijk (tk − tk −1 ) (i, j = 1, 2,6) (18) −t 2 2 k =1 t 2 1 n 3 3 − tk Qij z 2dz = Qijk (tk −1 ) −t 2 3 k =1
2
工
程
力
学
4 2 2 4 = Q11klk + 2(Q12 k + 2Q66 k )lk mk + Q22k mk 2 2 4 4 ) = (Q11k + Q22k − 4Q66k )lk mk + Q12k (lk + mk 4 2 2 4 = Q11k mk + 2(Q12k + 2Q66k )lk mk + Q22k lk 3 = (Q11k − Q12 k − 2Q66k )lk mk
2κ xy ]T ∂ψ y ∂y ∂ψ x ∂ψ y T − − ] ∂y ∂x
(5)
此外，板的横向剪应变场为 ∂w ∂w γ = [γ xz γ yz ]T = [ −ψ x − ψ y ]T ∂x ∂y
(6)
对于第 k (k=1, 2,…, n) 层板，相对于材料主轴 (轴 1 和轴 2)坐标系，即正轴的应力应变关系为： σ1 Q11 Q12 0 ε1 σ 2 = Q12 Q22 0 ε 2 τ 0 Q66 (7a,b) 12 k 0 k γ 12 k
层合板的本构关系可表示为： 0 N A B ε σp = = = C pε p M B D κ T = Cs γ
(13) (14)
Q12k = Q22 k
(8)
其中 N 为中面膜力； M 为板的弯矩； T 为横向剪力； A 为拉伸刚度； B 为弯拉耦合刚度； D 为弯曲刚度； C s 为剪切刚度，
(28)
其中
2 Γ = d (− wi + w j ) −ψ si −ψ sj 6λ δ = 1 + 12λ Dd λ = Cd d 2 F2 = r (1 − r ) F3 = r (1 − r )(1 − 2r )
(21)
图4 Fig.4 四边形 4 结点层合板单元 4-node quadrilateral laminated composite plate element
N = [ Nx M = [M x Ny My N xy ]T , M xy ]T , T = [Tx Ty ]T B11 B 12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66
E2 k = 1 − µ12k µ 21k
(15a,b,c)
Q66k = G12 k , Q44k = G23k , Q55k = G13k
(11)
lk = cosθ k ,
mk = sin θ k
(12)
其中 θ k 为第 k 层板 x 轴与材料主轴 1 的夹角。 k12 ,
2 k1 k 2 和 k 2 为剪切修正系数。
其中
Q11k E1k = , 1 − µ12 k µ 21k µ 21k E1k µ12k E2k = Q21k = , 1 − µ12k µ21k 1 − µ12 k µ 21k
1
引言
2
基本理论
复合材料层合板壳结构在现代工业中有着非 常广泛的应用，而有限元法是计算这类复杂结构的 有效手段。目前，用于复合材料层合板分析的单元 主要基于下列理论： l 基于 Kirchhoff 假设的经典层合板理论(CLT)； l 一阶剪切变形理论(FSDT) l 高阶剪切变形理论 l 叠层理论(Layerwise) 由于一阶剪切变形理论比较简单，适用于薄板 到中厚板较大的范围，所以一直受到特别的重视， 不断有研究者提出新的单元模式[3~5]。 文[1] 从 Timoshenko 厚梁理论出发，成功地将 著名的薄板单元 DKQ[6] 发展为基于一阶剪切变形 理论的中厚板单元 TMQ 。本文利用了上述成果， 将平面内双线性位移场引入 TMQ 单元中，将其发 展为适用于任意铺设情形的复合材料层合板单元 TMQ20。
(2) 0 其中ε 和κ 分别为中面面内应变场和板的曲率场， ε = [ε x ε y γ xy ]T (3)
0 0 T ε 0 = [ε 0 x ε y γ xy ] = [
ε = ε 0 + zκ
∂u0 ∂x
∂v 0 ∂y
∂u0 ∂v 0 T ] + ∂y ∂x
(4)
κ = [κ x κ y ∂ψ x = [− ∂x −