随机过程结业论文

2 定理3：L2 a，T同胚L (, F , P ) (1) (2) ut(1)，ut(2) L2 a，T ，若Tu t =Tu t
ut(1) -ut(2) =T(ut(1) -ut(2) )=0
证： 由定理2知T是双射且T连续 T可逆 又 u t K Tu t
2 L2 a，T L (, F , P )
t 0

s
0
v vs d ds
t 0
= （
0 t 0 t
t
t
0 t
vs v dsd 2
s 0

s
0
v vs d ds
0
vs v d 2 v vs d ）ds
令f (t , s )
t 0 t 0

t
0
vs v d 2 v vs d
0 0 0 T T T
T( u t ) = u t dBt = u t dBt = Tu t
0 0 2 2 2有界性 u t L2a，T， Tu t =[E（ u t dBt） ] =[E（ ut2 dt） ] 2 = ut 0 0 T 1 T 1
T
T
T = sup
u t L2 a，T
若{ut(n ) }为L2 lim T(ut(n ) )=T( lim ut(n ) ) a，T中cauchy列，则有：
n n （n） （n） i.e. lim u t dBt = lim u t dBt n 0 0 n T T
定理2：T是双射 证：1 T是满射 T是有界线性算子，设y0 =Tu t = u t dBt
的投影，记F1 = （F） = E（F FT ）
2 F1 L （ ，FT，） 2 F可以进行正交分解，F=F1 F2 ,F2 L （ ，F，）
E (F1 ) E ( E (F FT )) E (F )
（1） ˆ 积分表示定理及其推广知：唯一u t，u 由上面Ito L2 t a，T 使
E ( E (F FT ) FT ) =E (F FT ) （此式由条件期望的平滑性也易得到）
ˆ 公式要定义一个Ito ˆ 过程 X t = X 0 + us dBs vs ds 我们知道Ito
0 0 t
t
t
【[1] 112 定义 5】
，
ˆ 公式时大部分都是令vs =0，既然如此为什么在定义Ito ˆ 过程 但是我们在运用Ito 中要 vs ds项呢？这说明dBs与ds之间有某种不可忽略的关系，现在我们来讨论这
2 0 0 0 0
t
t
1 2
t
t
1 2
=
=
0 t 0 t 0
t
t
0 t
vs v dsd ds
0
t
0
vs v dsd t
t s s 1 2 1 2 0 0 0
2 Bs dBs 2 ( v d d ) (vs ds d s ) =2
0 T
[0,1] T( u t )= y 0
A:={ y0 [0,1]} ， 显然A在L2 (, F , P)某个开集中稠密 T的象不是第二纲集
【[2] p147 —148 由Banach开映射定理
定理 2.1】
，我们有：
（1）算子T的值域是整个空间L2 (, F , P) （2）K 0, s.t. y L2 (, F , P)，有u t L2 a，T 满足Tu t =y 且 u t K Tu t (令K =1即可) T是满射 2 T是单射 T是等距映射 ut(1) =ut(2) T是双射
0 s 0
s
( （ vs v d 2 v vs d ）ds ) ( f (t , s ) ds )
0
f (t , t )
t
0
f ds t
t t 0 0

t
0
vt v d 2 v vt d vt v d
t
0 Bt 2 =2 Bs dBs t
同胚
L （，F，）
2 T
同构（ T）
2 L （ ，FT，）
E（F FT ） 0F 0
（1） 由E (F1 ) E (F )得：E ( （u t -u t ）dBt )=0 0 （1） （1） 由F1 F2 （F1，F2） =0得：E ( u t dBt （u t -u t ）dBt )=0 0 0 T T
1 是自伴算子 2 L F，F （ ，F，） ）（ ）即E（ F F ） ） （ F，F = F， F =E（F F ) E ( E (F F ) F) E ( E (F F ) F
T T
2 是幂等算子 = 得到：
2
i.e. T 1 y K y
满足Lipschitz条件，从而T 1连续
ˆ 积分表示定理）设F L2 (, FT , P)，则唯一的u t L2 （Ito a，T , 使F=E(F)+ u t dBt
0 T 【[1] p116 定理 7】 T
由此定理我们知道令F-E(F)=F L2 (, FT , P )，F= u t dBt
关键词：随机积分、有阶线性算子、表示定理、Brown 运动、条件
期望、算子列
+
正文：
称随机过程{u t t 0, T }是可测的是指它作为二元函数(s,w) u s (ω)在乘积空间上0, T 关于乘积 —代数B[0，T] F可测。 记 L2a，T : {u t u t 可测适应且E（ u t 2dt）<,t 0, T }
由投影算子理论我们得到关于条件期望的以下结论： 2 L 定理5：F，F （ ，F，）则 ) E ( E (F F ) F) 1. E ( E (F FT ) F T 2.E ( E (F FT ) FT ) =E (F FT ) 证： 是投影算子
【[2] =1，且 是自伴算子又是幂等算子 263 定理 3.1】
0
由（**）式dBt vt dt d t 的结论，我们可以 ˆ 随机积分转化为我们熟悉的重积分来计算。 将Ito
1 2
ˆ 随机积分中的应用。 最后我们来讨论积分算子列在Ito 定理6：设f 为L2 a,T 上的有界线性泛函，则存在定义于 (,F , )上的BM ，使对一切ut L2 a,T 有f (ut ) ut dBt
0
ˆ 积分表示定理的推广）：设F L (, F , P )，则唯一的 定理4（Ito
2
u t L2 a，T ,使F= u t dBt
0
T
证：T是双射， F L2 (, F , P)，唯一的u t L2 a，T , s.t. F= u t dBt
0 T
投影算子
2 2 设F L （ ，F，），条件期望E（F FT ）是F在L （ ，FT，）中
1 2
1 2
（**）式dBt vt dt d t 的应用：不定积分的计算 例：Bt 2 =2 Bs dBs t 2 Bs dBs
0 0 t t
1 2
由dBt vt dt d t 得：Bt = vs ds d s
0 0
1 2
t
t
1 2
Bt ( vs ds d s ) ( v d d s )
0
之间的关系。 （里斯定理）对于Hilbert空间H上的每一个有界线性泛函f , 必存在唯一的u H， 使得下面的表示成立: f ( x ) ( x , u )且 f = u 反之，对任一元素u H由等式f ( x) ( x, u ) 定义了H 上的一个有界线性泛函。 E T 是Hilbert空间L2 a，T上的有界线性泛函
T 0
易知
2 L2 a，T L (0, T )
以下我们均将 ut (ω) 看成一元函数
ut (ut ut (ω))
设算子T :
2 L2 a，T L (, F, P)
u t u t dBt
0
T
,
ˆ 积分。 Bt 是BM , u t dBt 是Ito
0
T 0
T
（1） （2） （1） （2） （1） （2） 定义L2 =E（ u ）,u L2 a，T 空间上的内积（u t ，u t ） t .u t dt t ，u t a，T ,
Tu t ut
=1
3闭算子
（n） 若u t L2a，T，则简单过程序列u s.t （n） lim E（ u t -u dt） =0 【[1] p105 t n 0 T 2 引理 1】

LБайду номын сангаас
2 a，T
是闭空间，于是T是闭算子
对于线性算子来说，有界性与连续性等价， T为连续性算子，所以有以下结论：
dBt dBt (vt dt d t ) vt d t 2vt dt d t dt dt
2 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
dBt dt (vt dt d t ) dt vt dt dt d t dt 0 dt dt 0
范数 1 , u t 范数 2 , y
1
[E（ u t 2 dt）] 2 ; 定义L2 (, F, P)上的内积（y1，y 2） =E(y1y 2 )
0
T
1
2
（Ey 2）2
1
2 在此内积下L2 a，T 和L (, F, P )是Hilbert空间
定理1：T是L2a，T 到L2 (, F , P)的闭的有界线性算子。 证：1线性性 T(ut(1) +ut(2) )= (ut(1) +ut(2) )dBt ut(1) dBt ut(2) dBt Tut(1) Tut(2)
2 唯一的vt L2 a，T , vt 1 ( E vt dt 1)， 0 T 【[2] 243 定理 1.1】
s.t. E T (ut ) E ut dBt =(ut , vt )=E ut vt dt
0 0
T
T
（*）
定义d t d t =dt ，我们约定： 0 t s dt ds 0 t s 1 1 dt t s 2 d t d 2s 0 t s dt d s 0 由（*）式dBt 与dt之间有如下关系式： dBt =vt dt d t （**） ˆ公式中的乘法规则：dBt dBt dt , dt dt 0 Ito dBt dt dt dBt 0 ˆ公式中的乘法规则是相容的： 下面验证（**）式与Ito
F u t dBt
0
T
（1） F1 u t dBt 0
T
2 对于u t L2 （ ，F，），F1 = （F） = E（F FT ）与 a，T ，F L 2 u t 对应，对于F1 L （ ，FT，），唯一 u t L2 a，T与之对应。
L
2 a，T
随机过程结业论文
题目：有界线性算子理论在随机积分中的应用
院 班 学
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2011 年 07 月 02 日
有界线性算子理论在随机积分中的应用
ˆ 随机积分定义了一个从 L2 ,T 空间到 L2(Ω,F, P)的等距映射， Ito 摘要： a
我们将它看成一个积分算子 T，研究该算子的性质从而得到随机积分 的一些性质并作相关的应用。容易知道积分算子 T 是有界线性的、连 续的、闭的，从而得到积分与极限可以交换。进一步，我们可以证明 该算子是一个双射，其逆算子存在且连续，所以 L2a ,T 空间和 L2(Ω,F, P) 空间同胚。由于这两个空间是 Hilbert 空间，由里斯定理或 Hilbert 空 间的对偶理论知道有界线性泛函的表示， 进而得到 Ito 公式相关结论。 在 Hilbert 空间中我们定义了投影算子得到了关于条件期望的两个公 式。最后，我们利用表示定理和强算子理论（一致有界性）探索用极 限处理随机积分的另一种途径。