空间向量的坐标运算ppt课件

(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关 义于 建 x,y立 ,z的
方程组 n•a0 n•b0
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
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例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的 单 位 法 向 量 。
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)
∴ A B ( 1 , 2 , 4 ) ,A C ( 2 , 4 , 3 )
设平面 的法向量是 n(x,y,z)
依题意,有 n A B 0 且 n A C 0,即
x 2y 4z 0 2x 4y 3z 0
解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2
方程组 n•a0 n•b0
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
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在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
A
(1).cosSA,OBSAOB 2 10 SAOB 5 2 5
x
y
C
B
所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 10
解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 n （ x ， y ， z ） ，
则 n A B ， n A C （ x ， y ， z ） (2 ,2 ,1 ) 0 ， （ x ， y ， z ） (4 ,5 ,3 ) 0 ,
即24xx52yy3zz00,
取z
1，得
x
y
1 2 1
n (1,1,1), | n | 3
量m 是与平面平行或在平面
内，精则品课有件 nm0
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垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
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例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
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问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
B1
A1B (1 ,0,1 )A , C (1 ,1 ,0)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
C1 A
则 nA1B 0,nAC 0
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
B C
故n=(1,-1,-1)
cosn,B1C1
nB1C1 0 1 0 n B1C1 1 3
直 线 l与 平 面 所 成 的 角 为 (0≤ ≤),sinau；
2
au
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例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
D1
B1C1 (0,1,0),
2
2
求 平 面 A B C 的 单 位 法 向 量 为 (1 ， -2 ， 2 ）
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六、夹角：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那 么 向 量 n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都互
相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
∴平面 的一个法向量是 n(2,1,0)
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问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关 义于 建 x,y立 ,z的
B(3cosα，3sinα，1)，则| |的取值范围是 ( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
解析：∵ ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| |∈[1,5]. 答案：B
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平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
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1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
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2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
，
|AB|＝
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3
3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成精品的课角件 的正弦值为 3 3
D y
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如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z