2020版试吧高中全程训练计划数学文周周测14

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2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)模拟考(一)

模拟考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西一检]设集合M ＝{x ||x －1|≤1}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，则M ∩∁R N ＝( )A ．[1,2]B ．[0,1]C ．(－1,0)D ．(0,2)答案：B解析：M ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x ＞1或x ＜－1}，∴M ∩∁R N ＝{x |0≤x ≤1}，故选B.2．[2019·陕西模拟]已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.12B.22C. 2 D ．1答案：B解析：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i(1－i )2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.3．要计算1＋12＋13＋…＋12 017的结果，如图所示的程序框图的判断框内可以填( )A ．n <2 017B ．n ≤2 017C ．n ＞2 017D ．n ≥2 017答案：B 解析：通过分析知，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S ＝1，n ＝1＋1＝2，第2次循环，S ＝1＋12，n ＝2＋1＝3，……当n ＝2 018时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值．所以结合选项知，判断框内的条件应为n ≤2 017.故选B.4．[2019·广西柳州高中模拟]根据如下样本数据( )得到了回归方程y＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a <0，b >0C ．a >0，b <0D ．a <0，b <0答案：C解析：由表格数据可知y 与x 是负相关关系，所以b <0，且当x ＝0时，y >0，所以a >0，故选C.5．[2019·江西红色七校联考]下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题答案：A解析：当a >1时，1a <1；而1a <1时，如a ＝－1，1a <1，但“a >1”不成立，所以a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，p ∨q 为真命题时，p ，q 中至少有一个为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 错误．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”是真命题，所以綈p 是假命题，故D 错误．故选A.6．[2018·全国卷Ⅰ]在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3答案：C解析：如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵ AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴ ∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴ ∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝ AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴ V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.故选C.7．[2019·江西联考]已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋m 2≥0，x ＋y －1≥0，若目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[0，3]C ．[－3，0]D ．[－3，3]答案：D解析：将z ＝－2x ＋y 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和目标函数在z ＝0时的直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向左上方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 增大，由图象可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧ x －y ＋m 2＝0，x ＋y －1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－m 22，1＋m 22，则－2×1－m 22＋1＋m 22≤4，解得－3≤m ≤3，故选D.8．已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n ＝( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1)C.83(4n －1)D.43(3n －1)答案：C解析：设数列{a n }的公差为d (d ∈Z )，由题意，得a n ＝3＋(n－1)d ，由a 3>a 1＋3，a 4<a 2＋5可得⎩⎨⎧2d >3，2d <5，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋1.因为a n ＝log 2b n ，即2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1＝8×4n －1，所以数列{b n }是以8为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选C. 9．[2019·河南开封模拟]函数f (x )＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案：D 解析：由解析式可知函数为偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝1＋ln x ，即0<x <1e 时，函数f (x )单调递减；当x >1e ，函数f (x )单调递增．故选D.10．[2019·四川绵阳南山中学二诊]若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案：B解析：圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，得圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|－2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立，故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4·a b ≤0，由直线l 的斜率k ＝－a b ，则上式可化为k 2＋4k ＋1≤0，解得－2－3≤k ≤－2＋ 3.故选B.11．[2019·广西两校联考(二)]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2答案：A解析：解法一由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A ＝－b 2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C ＝21tan C ＋3tan C，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法二由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.12．[2019·安徽淮南模拟]已知函数f (x )＝x 2e x ，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2＋e 24，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8e 2，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4e 2＋e 24 答案：B解析：f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2.∴当x <－2或x >0时，f ′(x )>0；当－2<x <0时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝4e 2，当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝0.∵f (x )＝x 2e x ≥0，∴作出f (x )的大致图象如右图所示．令f (x )＝t ，则当t ＝0或t >4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 只有1个解；当t ＝4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有2个解；当0<t <4e 2时，关于x 的方程f (x )＝t 有3个解．∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞∪{0}上有1解，显然t ＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解， ∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4e 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫4e 2，＋∞上各有1个解，∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 24.故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·云南玉溪模拟]若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为________．答案：6＋2 3解析：根据几何体的三视图，得出该几何体是高为1的正三棱柱，其底面为边长等于2的正三角形，∴它的表面积为3×2×1＋2×12×22×32＝6＋2 3.14．在△ABC 中，若(AB→－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状为________．答案：等边三角形解析：(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB→－2AC →·AB →＝0.(AC →－2AB →)⊥AC →，即(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，所以AB →·AB →＝AC →·AC →＝2AB →·AC→，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，所以∠A ＝60°，所以△ABC 为等边三角形． 15．[2019·广东广州联考]过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若|AF |＝6，|BF |＝3，则p 的值为________．答案：4解析：由题意，得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝12，所以p ＝4.16．[2019·湖北荆州质检]函数f (x )＝ln x －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x )＝1x －x －1>0可解得0<x <5－12.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)[2019·江西南昌三校第三次联考]已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3，cos A ＋1)，n ＝(sin A ，－1)，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的值．解析：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝3sin A ＋(cos A ＋1)×(－1)＝0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. ∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2×6332＝423， ∴b ＝423.18．(本小题满分12分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，得到数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数分别为2,3,11,14,11,9.(1)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；(2)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在[40,50)的概率．解析：(1)∵50名受访职工评分不低于80分的频率为11＋950＝0.4.∴该企业职工对该部门评分不低于80分的概率估计值为0.4.(2)受访职工评分在[50,60)的有3人，分别记为A 1，A 2，A 3. 受访职工评分在[40,50)的有2人，分别记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求概率P ＝110.19．(本小题满分12分)[2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ； (2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩DP ＝P ，所以AB ⊥平面P AD .因为AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3. 20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．(1)证明：k ＜－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0＜m ＜32，故k ＜－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32，于是|F A →|＝ (x 1－1)2＋y 21＝ (x 1－1)2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128. 21．(本小题满分12分)[2019·贵州凯里一中模拟]已知f (x )＝2x ln x －mx ＋2e . (1)若方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在[1，e]上的最小值为－4＋2e ，求实数m 的值．解析：(1)方程f (x )＝0可化为2x ln x ＝mx －2e .令g (x )＝2x ln x ，则g ′(x )＝2(ln x ＋1)．由g ′(x )＞0可得x ＞1e ；由g ′(x )＜0可得0＜x ＜1e .∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，∴g (x )的极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e ，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－ln2，g (e)＝2e ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜g (e)．由条件可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与(e,2e)连线的斜率为2e 2＋2，可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2e 与⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln2连线的斜率为8e －4ln2，而2e 2＋2＞8e －4ln2，结合图象(图略)可得0≤m ＜2e 2＋2时，函数y ＝g (x )与y ＝mx －2e 有交点．∴方程f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，e 上有实数根时，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2e 2＋2.(2)由f (x )＝2x ln x －mx ＋2e 可得f ′(x )＝2ln x －m ＋2， ①若m ≥4，则f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递减，则f (x )的最小值为f (e)＝2e －m e ＋2e ＝－4＋2e ，故m＝2＋4e ，不满足m ≥4，舍去；②若m ≤2，则f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，即f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )的最小值为f (1)＝－m ＋2e ＝－4＋2e ，故m ＝4，不满足m ≤2，舍去；③若2＜m ＜4，则x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22时，f ′(x )＜0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，e m －22上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤e m －22，e 上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫e m －22＝－2e m －22＋2e ＝－4＋2e ，解得m ＝2ln2＋2，满足2＜m ＜4.综上可知，实数m 的值为2ln2＋2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[2019·福州模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．解析：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t 2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，因为l 与曲线没有公共点，即0<t 2<3，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0，所以0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)．(2)由(1)知直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离 d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d 的最大值为t 2＋1＋22，由题设得t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝±2，又t >0，所以t ＝ 2. 23．(本小题满分10分)[2018·全国卷Ⅲ]选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.。

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天天练5 基本初等函数小题狂练⑤一、选择题1．[2019·杭州模拟]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，则( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1) 答案：A解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象开口向上，∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大．∵函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，∴f (2)<f (1)<f (4)，故选A. 2．[2019·昆明模拟]已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4) 答案：B解析：因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述．实数m 的取值范围是0≤m ≤4.3．[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x ) 答案：B解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．[2019·丰台模拟]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1,3]上的值域为( )A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 答案：B解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．[2019·辽宁省实验中学分校月考]函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 答案：C解析：函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因此2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．故选C.6．[2019·云南昆明第一中学月考]已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案：D解析：由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．[2019·福建连城朋口中学模拟]若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞) 答案：B解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.综上所述，1<a <2.故选B. 8.[2019·重庆第八中学月考]函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，c >0B ．a >0，c <0C ．a <0，c >0D ．a <0，c <0 答案：A解析：由f (0)＝0，得b ＝0，f (x )＝axx 2＋c .由x >0时，f (x )>0，且f (x )的定义域为R ，故a >0，c >0.故选A.二、非选择题9．(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.02723-×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝________.答案：102解析：(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.027－23×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝(lg2)2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋1＋[(0.3)3]23-×9＝(lg2＋lg5)2＋1＋10.09×9＝1＋1＋100＝102.10．若函数y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．答案：(－4，＋∞)解析：函数y＝x2＋bx＋2b－5的图象是开口向上，以直线x＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4，所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．11．[2019·江西自主招生]方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解为__________________．答案：0解析：由方程log3(1＋2·3x)＝x＋1可得1＋2·3x＝3x＋1，化简可得3x＝1，故x＝0.12．[2019·浙江新昌中学、台州中学等校联考]约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N.现在已知2a＝3,3b＝4，则ab＝________.答案：2解析：∵2a＝3,3b＝4，∴a＝log23，b＝log34，∴ab＝log23·log34＝ln3ln2·ln4ln3＝ln4ln2＝2.课时测评⑤一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x 2＋x －2，则f (0)＋f (1)＝( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 答案：A解析：由于函数f (x )为奇函数，故f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－2)＝1，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝1.故选A.2．[2019·江西赣州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋4)，x ≤0，则f (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．log 23 D ．2 答案：B解析：∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋4)， ∴x ≤0时函数是周期为4的周期函数．∵－2 018＝－504×4－2，∴f (－2 018)＝f (－2)．又f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)＝log 22＝1.故选B.3．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14. 4．[2019·福州名校联考]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案：C解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.5．[2019·广西两校联考(二)]已知函数f (x )＝121,02,0x x log x x ⎧⎫⎛⎫≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪>⎪⎪⎩⎭则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221log 6＝2－21log 6＝22log 6＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.6．[2019·西安质检]若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案：D解析：通解因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，5－12≤m <2.优解分别取m ＝－2,2,0检验，可排除A ，B ，C ，从而选D.7．[2019·河南周口模拟抽测调研]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213-，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3513-，c ＝log 3232，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案：B解析：∵y ＝x 13-是单调递减函数，且0<12<35，∴a >b >1.∵c ＝log 3232＝1，∴c <b <a .故选B.8．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案：D解析：方法1：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎨⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)．故选D.方法2：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.二、非选择题9．已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝log7|x－2|解的个数是________．答案：7解析：由于函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4.在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log7|x－2|的图象，从图象中不难看出，其交点个数为7.10．[2019·山东烟台海阳一中模拟]已知函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________．答案：[2,4]解析：函数f(x)＝2|x－2|－1的对称轴为直线x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4]．11．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f(x)＝e x－(1e)x，且y＝e x是增函数，y＝－(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练3

天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练6

天天练6函数图象及应用小题狂练⑥一、选择题1．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移1个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．3．[2019·湖北四地七校联考]函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )答案：A 解析：函数y ＝ln|x |－x 2的定义域为{x |x ≠0}且为偶函数，所以排除选项B ，D.又当x >0时，y ＝ln x －x 2，y ′＝1x －2x ，令y ′＝0，解得x ＝22，或x ＝－22(舍去)．则当0<x <22时，函数y＝ln|x |－x 2单调递增；当x >22时，函数y ＝ln|x |－x 2单调递减．故选A.4．[2019·咸宁模拟]已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是图中的( )答案：B 解析：通解因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，曲线y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.5．[2019·重庆六校联考(一)]函数f (x )＝sinπx x 2的大致图象为( )答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπx x 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足，故选D.6．[2019·福建省高三毕业班质量检查测试]已知a ＝0.40.3，b＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，则( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <b <c答案：A解析：通解因为函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，所以0<0.30.4<0.30.3<1<0.3－0.2.又0<0.30.3<0.40.3<1，a ＝0.40.3，b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，所以b <a <c .故选A.优解因为a 10＝0.43＝0.064，b 10＝0.34＝0.008 1，c 10＝0.3－2＝1009>1，所以b <a <c .故选A.7．[2018·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e >1，排除C 选项．故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案：D解析：|f (x )|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2.综上，－2≤a ≤0.故选D.二、非选择题9．[2019·烟台模拟]如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为____________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a >0)，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.答案：133解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，所以a ＝b ＝2，又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.11．[2019·泰安四校联考(一)]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案：6解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.12．[2019·山西大同一中模拟]已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|，若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围为____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54 解析：因为f (x )＝(x ＋1)|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥1，1－x 2，x <1，在同一平面直角坐标系内作出y ＝f (x )，y ＝x ＋m 的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x 2＋x ＋m －1＝0，Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ＝0，解得m ＝54，当y ＝x ＋m 过点(1,0)时m ＝－1，方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知－1<m <54，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54.课时测评⑥一、选择题 1．[2019·重庆一诊]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案：D解析：与曲线y＝e x图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.2．[2019·广东广州普通高中模拟]定义域为R的函数f(x)＝ax2＋b|x|＋c(a≠0)有四个单调区间，则实数a，b，c满足() A．b2－4ac>0且a>0 B．b2－4ac>0C．－b2a>0 D．－b2a<0答案：C解析：此函数为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x<0时，f(x)＝ax2－bx＋c.只要当x>0时，顶点在y轴的右侧，f(x)就有四个单调区间，所以－b2a>0.故选C.3．[2019·石家庄摸底考试]现有四个函数：①y＝x·sin x，②y ＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①答案：A解析：函数①y＝x·sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C，D；对于函数④y＝x·2x，y′＝2x(1＋x ln2)，x>0时，y′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝x·2x对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y＝x·|cos x|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B，故选A.4．[2019·洛阳统考]已知f(x)＝(x－a)·(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是()答案：A 解析：由函数f (x )的大致图象可知3<a <4，－1<b <0，所以g (x )的图象是由y ＝a x (3<a <4)的图象向下平移－b (0<－b <1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A 中的图象，故选A.5．[2019·安徽宿州第一次教学质量检测]函数y ＝x 3e x (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )答案：B 解析：方法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x (e x )2＝x 2(3－x )e x ，当x <3时，y ′>0，当x >3时，y ′<0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.方法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B. 6.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：B解析：令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a >1，又当x >－b a 时，f (x )>0，故a >0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.7．[2018·全国卷Ⅲ]函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案：D 解析：方法1：f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为－∞，－22∪0，22，f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为－22，0∪22，＋∞，f (x )单调递减．故选D.方法2：当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝12时，y＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C选项．8．[2019·山东安丘一中段考]已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()答案：C解析：观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．二、非选择题9．[2019·江苏扬州模拟]不等式2－x≤log2(x＋1)的解集是______________．答案：{x|x≥1}解析：画出y＝2－x，y＝log2(x＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x|x≥1}．10．已知点M，N分别是函数f(x)，g(x)图象上的点，若M，N关于原点对称，则称M，N是一对“关联点”．已知f(x)＝－x2＋4x－2，g(x)＝－x2－4x，则函数f(x)，g(x)图象上的“关联点”有________对．答案：2解析：令y＝－x2－4x，得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，表示圆心为(－2,0)，半径为2的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，再作出函数f(x)的图象，由图可知，满足条件的“关联点”有2对．11．作出函数y＝|x2－2x－1|及y＝|x|2－2|x|－1的图象．解析：解法一：当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1当x2－2x－1<0时，y＝－(x2－2x－1)步骤：(1)作出函数y＝x2－2x－1的图象(2)将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y＝|x2－2x－1|的图象．解法二：当x≥0时y＝x2－2x－1当x<0时y＝x2＋2x－1即y＝(－x)2－2(－x)－1 步骤：(1)作出y＝x2－2x－1的图象；(2)y轴右方部分不变，再将右方以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝|x|2－2|x|－1的图象．。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 14

答案：4
解析：由题意得ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝24k＋4(k∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4.
12．[2019·南昌模拟]已知f(x)＝cos2x＋acos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－4]
解析：f(x)＝cos2x＋acos＝1－2sin2x－asinx在上是增函数，y＝sinx在上单调递增且sinx∈.令t＝sinx，t∈，则y＝－2t2－at＋1在上单调递增，则－≥1，因而a∈(－∞，－4]．
故选C.
3．[2019·沈阳质检]已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间为()
2．[2019·云南大理模拟]函数f(x)＝3sin在x＝θ处取得最大值，则tanθ＝()
A．－B.
C．－D.
答案：D
解析：由题意，函数f(x)＝3sin在x＝θ处取得最大值，∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴tanθ＝.故选D.
3．[2019·河北大名县月考]函数y＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是()
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
答案：C
解析：①y＝sin，图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝sin2x图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为π.故选C.
10．[2019·上海长宁区延安中学模拟]函数y＝tan的单调递增区间为________．
答案：(k∈Z)

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练14

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷学业水平训练1.计算sin 105°cos 75°的值为__________解析：sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.答案：142.已知sin θ＝－35，3π＜θ＜7π2，则tan 2θ＝__________．解析：因为sin θ＝－35，3π＜θ＜7π2，所以cos θ＝－45，tan 2θ＝sin 2θcos 2θ＝2sin θcos θ2cos2θ－1＝247.答案：2473.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝__________．解析：由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝tan α＝22.答案：224.化简2＋cos 2－sin21 的结果是________．解析：2＋cos 2－sin21＝ 2＋1－2sin21－sin21＝3cos 1. 答案：3cos 15.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．解析：原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π<4<32π，∴cos 4<0，且sin 4<cos 4. ∴原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. 答案：－2sin 46.已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝__________．解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan 2α＝－43，又tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43，解得tan α＝－12或tan α＝2，又α是第二象限的角，∴tan α＝－12.答案：－127.已知0<x <π2，化简：lg (cos x tan x ＋1－2sin 2x2)＋lg [2cos(x －π4)]－lg (1＋sin 2x )．解：原式＝lg (sin x ＋cos x )＋lg (sin x ＋cos x )－lg (1＋sin 2x )＝lg（sin x ＋cos x ）21＋sin 2x＝lg 1＋sin 2x 1＋sin 2x ＝0.8.已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值．解：由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α， ∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0. ∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.[高考水平训练]1.．__________＝1＋cos θ＋sin θ1－cos θ＋sin θ，则3＝θ2tan 知已 2cos2θ2＋sin θ2sin2θ2＋sin θ原式＝∴，3＝θ2tan ∵解析： 2cos2θ2＋2sin θ2cosθ22sin2θ2＋2sin θ2cosθ2＝.13＝1tanθ2＝1＋tanθ2tan2θ2＋tan θ2＝ 13答案：2.．________为的值)α2＋2π3cos(则，13＝)α－π6sin(若，π2＝α＋π3＋α－π6∵解析： .13＝)α－π6sin(＝)α＋π3cos(∴ 1－)α＋π3(22cos ＝)α2＋2π3cos(∴ .79＝－1－2)13(×2＝ 79－答案： 3.cosx sin 32＋x 4sin ＝y 求函数上的单调递增区间．]π，0[在的最小正周期和最小值，并写出该函数x 4cos －x x 4cos －x cos x sin 32＋x 4sin ＝y 解： xsin 23＋)x 2cos －x 2)·(sin x 2cos ＋x 2(sin ＝ xcos 2－x sin 23＝ )12·x cos 2－32·x 2(sin 2＝．)π6－x 2sin(2＝；π＝2π2＝T 故函数的最小正周期当且仅当2x －π6＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π6，k ∈Z 时，y 有最小值－2；．]π，π56[和]π3，[0为上的单调增区间]π，[0在函数的值．sin 2x ＋2sin2x1－tan x，求7π4＜x ＜7π12，35＝)x ＋π4cos(知．已4 2sin xcos x ＋2sin2x1－sin x cos x＝sin 2x ＋2sin2x 1－tan x因为解：法一： 2sin xcos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x ＝2sin x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x cos x＝．)x ＋π4tan(x sin 2＝1＋tan x 1－tan x·x sin 2＝ .π2＜π4＋x ＜5π6所以，7π4＜x ＜7π12又因为，0＞35＝)x ＋π4os(c 而，45＝－)x ＋π4sin(以所，π2＜π4＋x ＜3π2所以 .43＝－)x ＋π4tan(以所 )x 2＋π2cos(－＝x sin 2为又因 1＋)x ＋π4(22cos －＝⎣⎡⎦⎤2（π4＋x ）cos －＝ .725＝1＋1825＝－ )x ＋π4tan(x sin 2＝所以原式 .2875＝－)43－(×725＝ .π2＜π4＋x ＜5π6所以，7π4＜x ＜7π12因为法二：，0＞35＝)x ＋π4cos(为又因，45＝－)x ＋π4sin(以所，π2＜π4＋x ＜3π2所以 ⎩⎨⎧cos x －sin x ＝352，cos x ＋sin x ＝－452，所以⎩⎨⎧cos （π4＋x ）＝35，sin （π4＋x ）＝－45，所以 ⎩⎨⎧sin x ＝－7102，cos x ＝－210，所以.725＝)210－(×)2710－(×2＝x cos x 2sin ＝x sin 2，7＝x tan 以所1＋tan x1－tan x·x sin 2＝原式，由法一知 .2875＝－1＋71－7×725＝。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练18

天天练18 平面向量的数量积及应用小题狂练⑱一、选择题1．[2019·遂宁模拟]给出下列命题： ①AB →＋BA →＝0；②0·AB →＝0；③若a 与b 共线，则a ·b ＝|a ||b |；④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A解析：①∵AB →＝－BA →，∴AB →＋BA →＝－BA →＋BA →＝0，∴该命题正确；②∵数量积是一个实数，不是向量，∴该命题错误；③∵a 与b 共线，当方向相反时，a ·b ＝－|a ||b |，∴该命题错误；④当c 与a 不共线，且a ·b ≠0，b ·c ≠0时，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，∴该命题错误．故正确命题的个数为1.故选A.2．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－5)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，3316B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，3316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，－3316D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，－3316 答案：A解析：设出c 的坐标，利用平面向量的垂直关系和平行关系得出两个方程，联立两个方程求解即可．设c ＝(x ，y )，由c ⊥(a ＋b )，得c ·(a ＋b )＝(x ，y )·(3，－2)＝3x －2y ＝0， ①又b ＝(2，－5)，a －c ＝(1－x,3－y )，且b ∥(a －c )，所以2(3－y )－(－5)×(1－x )＝0. ②联立①②，解得x ＝118，y ＝3316，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫118，3316.故选A.3．[2018·全国卷Ⅱ]已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0 答案：B解析：a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3. 故选B.4．[2019·安徽马鞍山模拟]已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－2)，且a ⊥b ，则|a －b |＝( )A. 5 B ．5 C.10 D ．10 答案：C解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(2,1)·(m ，－2)＝2m －2＝0，∴m ＝1，∴b ＝(1，－2)，∴a －b ＝(1,3)，则|a －b |＝1＋9＝10，故选C.5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD 中，A (－1,2)，C (2,1)，则BA →·AC→＝( ) A ．5 B ．－5 C ．－10 D ．－102 答案：B解析：设菱形ABCD 的对角线交于点M ，则BA→＝BM →＋MA →，BM →⊥AC →，MA →＝－12AC →，又AC →＝(3，－1)，所以BA →·AC →＝(BM →＋MA →)·AC →＝－12AC →2＝－5.6．[2019·沈阳质量检测(一)]已知平面向量a ＝(－2，x )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3 答案：B解析：由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，x －3)·(1，3)＝－3＋3x －3＝0，即3x ＝6，解得x ＝23，故选B.7．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．－322 B ．－3 5 C.322 D ．3 5 答案：C解析：因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD →＝(5,5)，又AB→＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 8．[2019·泰安质检]已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为( )A.77B.78C.714D.5714 答案：D 解析：不妨设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a ·b ＝－12，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52，又|a |＝1，|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝7，所以a 与2a－b 夹角的余弦值为a ·(2a －b )|a |·|2a －b |＝521×7＝5714.二、非选择题9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝23，则|b |＝________.答案：4解析：∵|2a ＋b |＝23，|a |＝1，∴(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×|b |×cos120°＋b 2＝4－2|b |＋b 2＝12，整理得b 2－2|b |－8＝0，解得|b |＝4或|b |＝－2(舍去)，∴|b |＝4.10．[2019·长春质量监测(一)]已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.答案：2 解析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2.11．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________. 答案：－15 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 12．[2019·湖北四地七校联考]已知平面向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2.若平面向量m 满足m ·a ＝m ·b ＝1，则|m |＝________.答案：213解析：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，A (1,0)，B (－1，3)．设m ＝(x ，y )，由m ·a ＝m ·b ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，－x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝233.∴|m |＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.课时测评⑱一、选择题 1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝( ) A.35 B ．±35C ．±45D ．±925 答案：B解析：根据a ＋λb 与a －λb 垂直，可得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，整理可得a 2－λ2·b 2＝0，即λ2＝|a |2|b |2＝3252＝925，所以λ＝±35，选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC→＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：A解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC→＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.3．[2019·安徽蚌埠模拟]已知非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，〈m ，n 〉＝60°.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2 答案：B解析：∵非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，〈m ，n 〉＝60°，∴cos 〈m ，n 〉＝12.又∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝t m ·n ＋n 2＝t |m ||n |×12＋|n |2＝t 3|n |2＋|n |2＝0，解得t ＝－3.故选B. 4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC 中，G 为重心，记a ＝AB→，b ＝AC →，则CG →＝( ) A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 答案：A解析：∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，∴CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .故选A.5．[2019·河南天一大联考测试]已知在等边三角形ABC 中，BC ＝3，BN →＝2BM →＝23BC →，则AM →·AN →＝( ) A ．4 B.389C ．5 D.132 答案：D解析：根据题意，AM →·AN →＝AB →＋13BC →AC →＋13CB →＝AB →·AC →＋13AB →·CB →＋13AC →·BC →－19BC →2＝|AB →|·|AC →|cos π3＋13BC →·(AC →－AB →)－19BC →2＝92＋29BC →2＝132.故选D.6．[2019·广东五校协作体模拟]已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)．若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2 答案：A解析：根据题意，对于向量a ，b ，若|a ＋b |＝|a －b |，则|a ＋b |2＝|a －b |2，变形可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0.又由向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，得λ(λ＋2)＋1＝0，解得λ＝－1.故选A.7．[2019·上饶模拟]已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝|OB→|＝2，若OC →＝2OA →＋OB →，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：C解析：根据题意，由OC→＝2OA →＋OB →，可得OC →－OB →＝BC →＝2OA→，则|BC →|＝2|OA →|＝4，由AB →＝OB →－OA →，可得|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝OB →2－2OA →·OB →＋OA 2＝4，故|AB →|＝2，由AC →＝OC →－OA →＝(2OA →＋OB →)－OA →＝OA →＋OB →，得|AC →|2＝|OA →＋OB →|2＝OA →2＋2OA →·OB →＋OB→2＝12，可得|AC →|＝2 3.在△ABC 中，由|BC →|＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝23，可得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2，则△ABC 为直角三角形．故选C.8．[2019·福州四校联考]已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34 D.32 答案：D解析：解法一 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b＋t 2b 2.∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D.解法二 ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴向量a ，b 的夹角为120°.在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(t ∈R )，∴a ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 2，32t ，∴|a ＋c |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D.二、非选择题9．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的中点，则AB →·AD→＝________.答案：6解析：解法一由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22，∴AB →·AD→＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·CD →＝|AB →|·|AC →|cos45°＋|AB →|·|CD →|＝cos45°＝22×2×22＋22×1×22＝6.解法二建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)，D (－1,0)，∴AB →＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB →·AD →＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.10．[2019·安徽皖西高中教学联盟模拟]平面向量a 满足(a ＋b )·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________．答案：π6解析：∵(a ＋b )·b ＝7，∴a ·b ＋b 2＝7，∴a ·b ＝7－4＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝323＝32，〈a ，b 〉∈(0，π) ∴〈a ，b 〉＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，AB →·AC→＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积S .解析：(1)因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.(2)cos A ＝cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24，因为AB →·AC →＝bc cos A ＝1，所以bc ＝6＋ 2. 又sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文) 模拟考(二)

模拟考(二)高考仿真模拟冲刺卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩(∁RB)＝()A．[2,5] B．(2,5]C．[－1,2] D．[－1,2)答案：B解析：通解由题得A＝[－1,5]，B＝[－2,2]，则∁R B＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A∩(∁R B)＝(2,5]，故选B.优解当x＝2时，|x|＝2,2∉∁R B，排除A，C；当x＝0时，|x|＝0,0∉∁R B，排除D，故选B.2．[2019·广西柳州联考]已知复数z在复平面内对应的点是(1，－2)，i为虚数单位，则z＋2z－1＝()A．－1－i B．1＋iC．1－32i D．1＋32i答案：D解析：z＋2z－1＝3－2i－2i＝1＋32i，故选D.3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A．2 014 B．2 015C．2 016 D．2 017答案：D解析：分析程序框图可知，当i为偶数时，S＝2 017，当i 为奇数时，S＝2 016，而程序在i＝0时跳出循环，故输出的S为2 017，故选D.4．[2019·陕西模拟]某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是()A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21答案：D解析：因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，则分别应抽取的人数是7,14,21.故选D.5．[2019·福建南平模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A.16B.13C.23 D ．1答案：B解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.∴S △ABC ＝12·AB ·BC ＝12×12＝12.因此V ＝13·S △ABC ·P A ＝13×12×2＝13.故选B.6．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案：C解析：如图，△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段R ′Q ′，即AB ，而R ′Q ′＝RQ ，由⎩⎨⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1,1)，由⎩⎨⎧ x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)， |AB |＝|QR |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.7．若数列{a n }满足(2n ＋3)a n ＋1－(2n ＋5)a n ＝(2n ＋3)·(2n ＋5)lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，且a 1＝5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋3的第10项为( ) A ．2 B ．3C ．1＋lg99D ．2＋lg99答案：A解析：由(2n ＋3)a n ＋1－(2n ＋5)a n ＝(2n ＋3)(2n ＋5)lg1＋1n 可得a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，记b n ＝a n 2n ＋3，则b n ＋1－b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，由累加法得b n ＝lg n ＋1，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋3的第10项为b 10＝lg10＋1＝2，选A.8．[2018·全国卷Ⅰ]右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案：A解析：∵ S △ ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝π8BC 2， ∴ S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ，S Ⅱ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴ S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总. ∴ p 1＝p 2.故选A.9．[2019·山西太原模拟]函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )答案：D 解析：函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B 、C.取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0，故选D.10．[2019·南阳模拟]已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，其圆心为(a ，b )，故3a －b ＋3＝0，即b ＝3a ＋3，(a ，b )到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝|3a ＋b |3＋1＝|3a ＋b |2＝|3a ＋3a ＋3|2，因为圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，故d ＋1＝|3a ＋3a ＋3|2＋1＝1＋3，得到|2a ＋1|＝2，解得a ＝－32或a ＝12(舍去)，故b＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝－32，故a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝3.选C. 11．[2019·石家庄一检]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3C ．2 D.2＋1答案：B解析：由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，∴|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，∴2a ＝4c －23c ，∴e ＝c a ＝2＋3，故选B.12．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C 解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上．13．[2019·石家庄高中毕业班模拟考试(一)]命题：∃x0≥1，x20－2x0－3<0的否定为________．答案：∀x≥1，x2－2x－3≥0解析：特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为∀x≥1，x2－2x－3≥0.14．[2019·南昌市第二次模拟]从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．若该产品的这项指标值在[185,215)内，则该产品的这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为________．答案：0.79解析：由频率分布直方图知，指标值在[185,215)内的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79，故该企业这种产品在这项指标上的合格率约为0.79.15．[2019·武汉调研]在钝角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，则c的取值范围是________．答案：(1，7)∪(5,7)解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1<c<7，①若∠C为钝角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝25－c224<0，解得c>5，②若∠A为钝角，则cos A＝b2＋c2－a22bc＝c2－76c<0，解得0<c<7，③结合①②③可得c的取值范围是(1，7)∪(5,7)．16．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．答案：8π解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝12·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r ＝23，h ＝2，所以圆锥的体积为13πr 2·h ＝13π×(23)2×2＝8π.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(一)必考题：共60分17．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{an }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{an }的通项公式；(2)记Sn 为{an }的前n 项和．若Sm ＝63，求m .解析：(1)设{an }的公比为q ，由题设得an ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故an ＝(－2)n －1或an ＝2n －1.(2)若an ＝(－2)n －1，则Sn ＝1－(－2)n 3. 由Sm ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若an ＝2n －1，则Sn ＝2n －1.由Sm ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.18．(本小题满分12分)[2018·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)解：增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．19．(本小题满分12分)[2019·广东广州二模]在三棱锥P－ABC中，△P AB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°.(1)求证：AB⊥PC；(2)若PB＝4，BE⊥PC，求三棱锥B－P AE的体积．解析：(1)证明：因为△P AB是等边三角形，∠APC＝∠BPC＝60°，所以△PBC≌△P AC，可得AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD，CD，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB . 因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PDC .因为PC ⊂平面PDC ，所以AB ⊥PC . (2)因为△PBC ≌△P AC ，BE ⊥PC ，所以AE ⊥PC ，AE ＝BE . 由已知PB ＝4，在Rt △PEB 中， BE ＝4sin60°＝23，PE ＝4cos60°＝2. 因为BE ⊥PC ，AE ⊥PC ，EA ∩EB ＝E ，所以PE ⊥平面ABE .因为AB ＝4，AE ＝BE ＝23，所以△ABE 的面积S ＝12AB ·BE 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝4 2. 因为三棱锥B －P AE 的体积等于三棱锥P －ABE 的体积，所以三棱锥B －P AE 的体积V ＝13S ·PE ＝13×42×2＝823. 20．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥0.解析：(1)解：f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x ，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是 2x －y －1＝0.(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e ≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x .令g (x )＝x 2＋x －1＋e x ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1. 当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝0. 因此f (x )＋e ≥0.21．(本小题满分12分)[2019·新疆乌鲁木齐联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA →＋OB →＝tOP →，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围．解析：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)>0，解得k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2.由OA →＋OB →＝tOP →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2t (1＋2k 2)，－4k t (1＋2k 2)，代入椭圆C 的方程得t 2＝16k 21＋2k 2. 由263<t <2得14<k 2<12， ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k2＝22(1＋2k 2)2＋11＋2k2－1.令u ＝11＋2k2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23， ∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253. ∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[2018·全国卷Ⅲ]选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解析：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4.23．(本小题满分10分)[2019·南宁模拟]已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4.解析：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0<x <1时，1－x ≥3－2x ，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－23}．(2)解法一 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4， ∴m ＝4，即a ＋b ＝4. 又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a ＋a ≥2b ，∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．解法二 ∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a (b ＋a )≥(a ＋b )2，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2aa ，即a ＝b ＝2时等号成立．。

2022《试吧》高中全程训练计划·数学(文)周周测函数综合 Word版含解析

函数综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y ＝1x 2－4的定义域为( ) A ．(－∞，－2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 2．(2021·南昌摸底)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg |x|D ．y ＝2x3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg (2－x )，x ＜1，10x －1，x ≥1，则f(－8)＋f(lg 40)＝( )A ．5B ．6C ．9D ．22 4．(2021·湖北八校二联)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．25．(2021·江西八校联考)已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2011)，则{a n }的前2022项之和为( )A ．0B ．1 008C ．2 016D ．4 0326．函数f (x )＝log 2|2x －1|的图象大致是( )7．(2022·新课标全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 8．若方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图像可能是( ) 9．(2021·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a10．(2021·华南师大附中测试)函数y ＝cos4x 2x 的图象大致是( )11．(2021·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．[－4，－2]∪[0，＋∞) C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 12．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，假如f (m －2)＋f (2m －3)＞0，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(1，53) B ．(－∞，53) C ．(1,3) D ．(53，＋∞) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．(2021·银川一中月考)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，19≤x ≤9，则f (x )的最小值为__________． 14．若一次函数f (x )的定义域为[－3,2]，值域为[2,7]，则f (x )＝________. 15．(2021·山西监测)有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |，其中在(0,1)内单调递减的函数的序号是__________．16．(2021·福建质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a ，x ≥1ln (1－x )，x ＜1有两个零点，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)假如幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．18.(本小题满分12分)设g(x)＝mx2＋x＋1.(1)若g(x)的定义域为R，求m的范围；(2)若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m的范围．19．(本小题满分12分)函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)写出函数f(x)的值域和单调区间．21．(本小题满分12分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要连续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝x2200＋mx＋n(m，n是常数). 如图是依据多次试验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．(1)求出y关于x的函数表达式；(2)假如要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)推断函数f(x)的奇偶性与单调性．(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．1．D x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2.2．C 函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，排解A ；函数y ＝－x 3为奇函数，排解B ；函数y ＝－lg|x |为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；函数y ＝2x 既不是奇函数也不是偶函数，排解D.综上所述，选C.3．B f (－8)＋f (lg40)＝1＋lg10＋10lg40－1＝2＋4010＝6，故选B.4．C 由f (x ＋1)＝f (1－x )得f (－x )＝f (x ＋2)，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4，所以f (31)＝f (4×8－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－log 22＝－1，故选C.5．C ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 又∵函数f (x )在[1，＋∞)上单调，且数列{a n }的公差不为0，f (a 6)＝f (a 2011)，∴a 6＋a 2011＝2，∴a 1＋a 2022＝a 6＋a 2011＝2，∴S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝2022，故选C. 6．C f (－x )＝log 2|2－x －1|≠log 2|2x －1|＝f (x )，即f (－x )≠f (x )，所以f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故D 不正确；x ＜0时0＜2x ＜1，所以－1＜2x －1＜0，所以0＜|2x －1|＜1，所以f (x )＝log 2|2x －1|＜0，故B 不正确．当0＜x ＜1时，1＜2x ＜2，所以0＜|2x －1|＜1，所以f (x )＝log 2|2x －1|＜0，故A 不正确，故选C.7．A 由于a ＝243＝423＞323＝b ，c ＝2513＝523＞423＝a ，所以b ＜a ＜c ，故选A.梳理总结：比较大小经常需要依据三个数的结构，联系相关的指数函数、对数函数、幂函数的单调性来推断，假如两个数的指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；假如指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；假如涉及对数，则考虑对数函数的单调性．8．D 对题中所给的四个图像，要使方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，只须将函数y ＝f (x )的图像向下平移2个单位，平移后看哪个图像与x 轴的负半轴有交点，相当于原函数y ＝f (x )在y 轴左侧的图像与直线y ＝2有交点，由此可知正确选项为D.9．C 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1其图象过原点，且关于y 轴对称，x ∈(－∞，0)时单调递减．当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x －1单调递增，又a ＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，则f (0)＜f (log 0.53)＜f (log 25)，即c ＜a ＜b .10．A 明显函数y ＝cos4x2x 不是偶函数，排解C ，D ，当x →＋∞时，y →0，排解B ，故选A.11.C 依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0g (x )≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．A 由于f (x )是奇函数，且为减函数，∴f (m －2)＋f (2m －3)＞0⇒f (m －2)＞－f (2m －3)＝f (3－2m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜3－2m －1＜m －2＜1－1＜3－2m ＜1⇒⎩⎨⎧m ＜531＜m ＜31＜m ＜2⇒1＜m ＜53.13．－14解析：由于19≤x ≤9，所以－2≤log 3x ≤2，则f (x )＝(log 3x ＋2)(log 3x ＋1)＝log 23x＋3log 3x ＋2＝(log 2x ＋32)2－14，则当log 3x ＝－32，即x ＝39时，f (x )min ＝－14.梳理总结：将函数转化为关于log 3x 的二次函数为解答本题的突破口． 14．x ＋5或－x ＋4解析：设y ＝kx ＋b ，则当k ＞0时⎩⎨⎧－3k ＋b ＝2，2k ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝5；当k ＜0时⎩⎨⎧－3k ＋b ＝7，2k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4.15．②④解析：幂函数y ＝x 12在(0,1)内单调递增，排解①；函数y ＝21－x＝12x －1在(0,1)内单调递减，②正确；函数y ＝ln(x ＋1)在(0,1)内单调递增，排解③；函数y ＝|1－x |＝1－x ，x ∈(0,1)单调递减，④正确．16．[1，＋∞)解析：当x ＜1时，明显函数f (x )存在唯一零点x ＝0，所以当x ≥1时，函数f (x )存在唯一零点，又由于y ＝x 在[1，＋∞)上单调递增且值域为[1，＋∞)，所以a 的取值范围为[1，＋∞)．解后反思：分段函数的零点要分别在每一段的定义域内求解． 17．解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0，∴－1<p <3.5分又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.10分18．解析：(1)由题知f (x )＝mx 2＋x ＋1≥0恒成立， ①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1≥0不恒成立；②当m ≠0时，要满足题意必有⎩⎨⎧ m ＞0，Δ＝1－4m ≤0，∴m ≥14.综上可知，m 的范围为[14，＋∞).6分(2)由题知，f (x )＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ①当m ＝0时，f (x )＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；②当m ≠0时，要满足题意必有⎩⎨⎧m ＞0，Δ＝1－4m ≥0，∴0＜m ≤14.综上可知，m 的范围为[0，14].12分19．解析：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.6分∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值.12分 20．解析：(1)当x >2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4.∵f (x )的图象过点A (2,2)，∴f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x >2，∴f (－x )＝－2(－x －3)2＋4.又由于f (x )在R 上为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－2(－x －3)2＋4，即f (x )＝－2(x ＋3)2＋4，x ∈(－∞，－2).6分(2)函数f (x )图象如图所示．由图象观看知f (x )的值域为{y |y ≤4}．单调增区间为(－∞，－3]，[0,3]．单调减区间为[－3,0]，[3，＋∞).12分21．解析：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．22．解析：(1)由于f (x )＝e x－(1e )x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－(1e )x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数.6分 (2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t＋1 2)2≤(x＋12)2min⇔(t＋12)2≤0⇔t＝－12.即存在实数t＝－12，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立.12分。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练14

天天练14 三角恒等变换小题狂练⑭一、选择题1．[2018·全国卷Ⅲ]若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89 答案：B解析：∵sin α＝13，∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B.2．[2019·成都一诊]已知α为第二象限角，且sin2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75 C.15 D ．－15 答案：B解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝－2425，即1－2sin αcos α＝4925，所以(cos α－sin α)2＝4925，又α为第二象限角，所以cos α<sin α，则cos α－sin α＝－75.故选B.3．化简2cos x ＋6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 答案：B解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .故选B.4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案：D解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝32，故选D.5．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229 C.229 D.429 答案：A解析：∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429.6．[2019·四川联考]已知角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋2 2 答案：A 解析：由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3－2 2.故选A.7．[2019·山西省名校联考]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 答案：C解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1，故选C. 8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则sin2α的值为( ) A.118 B ．－1718 C.1718 D ．－118 答案：B解析：∵3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴3(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α－sin α≠0，∴cos α＋sin α＝26. 两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B. 二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰中学月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin 2x 2＝sin x －3(1－cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则f (x )的最大值与最小值分别为2－3，－3，因而f (x )的最大值减去最小值等于2.课时测评⑭一、选择题1．[2019·贵阳监测]sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tan α＋1tan α＝103，α∈π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210 C.3210 D.7210 答案：A解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1.∴由tan α＋1tan α＝103，解得tan α＝ 3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝22×－21＋9＝－210.故选A.3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cos α＝55，则tan α－π4＝( )A.13 B ．3C ．－13 D ．－3 答案：A解析：因为α是锐角，cos α＝55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin αcos α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝13，故选A. 4．[2019·广东潮州模拟]若cos2αsin α－cos α＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.12 B ．－12C.24 D ．－24 答案：C解析：∵cos2αsin α－cos α＝cos 2α－sin 2αsin α－cos α＝－(cos α＋sin α)＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24.故选C. 5．已知在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝( )A.33 B ．－33C.233 D.－233 答案：B解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－π2＝－13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝sin A cos π6＋cos A sin π6＋cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－33.故选B.6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14 D ．0 答案：A解析：由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3. 两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35 答案：A解析：由tan2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A.8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos2x2＝sin x ；④sin x ＝cos y⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 答案：A解析：因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为 1－cos2x2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.二、非选择题9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋θ＝________. 答案：2解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0， ∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2sin 11π10cos θ－cos 11π10sin θ＝0，∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5sin θ－cos 2π5cos θ＝0.等式两边同时除以cos 2π5cos θ，得tan 2π5＋tan θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π5tan θ－1＝0，∴tan 2π5＋tan θ1－tan 2π5tan θ＝2，即tan 2π5＋θ＝2. 10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案：3解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，196π，∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解析：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0.由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050.。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测3

周周测3导数及应用测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·长沙模拟]知足f(x)＝f′(x)的函数是( )A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝0答案：D解析：假设f(x)＝0，那么f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．应选D.2．[2019·东城模拟]假设直线y＝－x＋2与曲线y＝－e x＋a相切，那么a 的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．－4答案：A解析：由于y′＝(－e x＋a)′＝－e x＋a，令－e x＋a＝－1，得切点的横坐标为x ＝－a，因此切点为(－a，－1)，进而有－(－a)＋2＝－1，故a＝－3.3．已知函数f(x)＝14x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，那么函数k＝g(t)的大致图象是( )答案：A解析：由于f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(－x )＝－f ′(x )，故f ′(x )为奇函数，即g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、D ，又当t ＝π2时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π4－sin π2＝π4－1<0，排除C ，应选A.4．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷]作曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线，假设切线在y 轴上的截距小于0，那么x 0的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案：C解析：由题意知y ′＝e x ，因此切线的斜率k ＝e x 0，由题意得⎩⎨⎧y －y 0＝e x 0(x －x 0)，y 0＝e x 0，故切线方程为y ＝x e x 0＋(1－x 0)e x 0，由题意得(1－x 0)e x 0<0，因为e x 0>0，因此1－x 0<0，即x 0>1，应选C.5．[2019· 湖南长沙长郡中学模拟]设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处切线l 2，使得l 1⊥l 2，那么实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 答案：D解析：f ′(x )＝－e x －1，∵e x＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ，∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，那么⎩⎨⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.应选D.6．设函数f(x)＝e x(x3－3x＋3)－a e x－x(x≥－1)，假设不等式f(x)≤0有解，那么实数a的最小值为()A.1e B．eC．1－1e D．e－1答案：C解析：∵f(x)＝e x(x3－3x＋3)－a e x－x≤0有解，∴a≥x3－3x＋3－xe x有解．令g(x)＝x3－3x＋3－xe x，那么g′(x)＝3x2－3＋x－1e x＝(x－1)⎝⎛⎭⎪⎫3x＋3＋1e x，故当x∈[－1,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在[－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(1)＝1－3＋3－1e ＝1－1e，∴a≥1－1 e，∴实数a的最小值为1－1 e.7．[2019·山东济南一中模拟]已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，那么实数a的取值范围是()A．[－3，3]B．(－3，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)答案：A解析：函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3，∴实数a的取值范围是[－3，3]．应选A.8．[2019·南昌调研]已知函数f(x)是概念在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，假设对任意的x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，那么() A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)答案：A解析：依照题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意的x >0都有2f (x )＋xf ′(x )>0成立，那么当x >0时，有g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]>0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是概念在R 上的偶函数，那么f (－x )＝f (x )，那么有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，那么有g (－2)＝g (2)，且g (2)<g (3)，那么有g (－2)<g (3)，即有4f (－2)<9f (3)．应选A.9．[2019·昆明调研]假设函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2，关于任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，3]D ．(－∞，4] 答案：D解析：f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x 2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0<g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，因此当a ≤－1时，知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1<x <4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4<h (1)＝5，g (2)＝8<h (2)＝10，g (3)＝16<h (3)＝17，因此－1<a ≤4时，亦知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln2－2x －2，那么F ′(x )＝2x ＋1·(ln2)2－2>0，因此F (x )＝2x ＋1·ln2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，因此f ′(x )≥f ′(4)＝32ln2－10>0，因此函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，因此f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6>0，即a >4时，不知足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]，应选D.10．[2019·河北石家庄二中模拟]已知对∀x ∈(0，＋∞)，不等式ln x ＋1≥m －n x (n >0)恒成立，那么mn 的最大值是( )A ．1B ．－1C ．eD ．－e 答案：C解析：不等式ln x ＋1≥m －n x 可化为ln x ＋1－m ＋nx ≥0，令F (x )＝ln x ＋1－m ＋n x (x >0)，那么F ′(x )＝1x －n x 2＝x －nx2，因此当x ＝n 时，F (x )min ＝ln n ＋2－m ，那么ln n ＋2－m ≥0⇒m ≤2＋ln n (n >0)．因此m n ≤2＋ln nn .令G (n )＝2＋ln n n ，那么G ′(n )＝－1－ln n n 2＝0，可得n ＝1e ，故G (n )max ＝2－11e＝e ，即m n ≤2＋ln n n ≤e.因此mn 的最大值为e .应选C.11．[2019·河南安阳模拟]已知函数f (x )＝x 33＋x 22与g (x )＝6x ＋a 的图象有3个不同的交点，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，272B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，272C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－272，223D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－272，223 答案：B解析：原问题等价于函数h (x )＝x 33＋x 22－6x 的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点．h ′(x )＝x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)，当x ∈(－∞，－3)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(－3,2)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增．函数h (x )的图象，如图．又h (－3)＝272，h (2)＝－223，数形结合可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，272.应选B.12．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]已知函数f (x )＝e x ln x (x >0)，假设对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∃k ∈[－a ，a ](a >0)，使得方程f (x )＝k 有解，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，e e ]B ．[e e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．[e 1e，e e]答案：B解析：f ′(x )＝e xln x ＋e x x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .令g (x )＝ln x ＋1x ，那么g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴当0<x <1时，g ′(x )<0，当x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增．∴g (x )≥g (1)＝1，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 1e ，e e . ∵对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∃k ∈[－a ，a ](a >0)，使得方程f (x )＝k 有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧－e 1e≥－a ，e e≤a ，a >0，解得a ≥e e ，∴实数a 的取值范围是[e e ，＋∞)．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·广西陆川中学月考]假设函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，那么实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2ln2－2)解析：函数f (x )＝x 2－e x －ax ，因此f ′(x )＝2x －e x －a .因为f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，因此f ′(x )＝2x －e x －a >0，即a <2x －e x 有解．令g (x )＝2x －e x ，那么g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝2－e x ＝0，得x ＝ln2，因此当x <ln2时，g ′(x )＝2－e x >0，当x >ln2时，g ′(x )＝2－e x <0，那么当x ＝ln2时，g (x )max ＝2ln2－2，因此a <2ln2－2.14．曲线y ＝f (x )＝x log 2x 在点(1，f (1))处的切线方程为__________________．答案：y ＝1ln2(x －1)解析：因为y ＝x log 2x ，因此y ′＝log 2x ＋1ln2，当x ＝1时，y ′＝1ln2，y ＝0，故曲线y ＝x log 2x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝1ln2(x －1)．15．假设f (x )＝x sin x ＋cos x ，那么f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f (2)的大小关系为________(用“<”连接)．答案：f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2解析：函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)，又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x )<0.因此f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (2)>f (3)＝f (－3)．16．[2019·西安八校联考]已知函数f (x )＝ln x －ax 2，假设f (x )恰有两个不同的零点，那么a 的取值范围为______________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e解析：函数f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2x .当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，那么函数f (x )不可能有两个不同的零点．当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝12a，当0<x <12a时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >12a时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因此f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12a ＝ln 12a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12a 2＝－12ln2a －12，又当x →0＋时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，于是要使函数f (x )恰有两个不同的零点，故需知足－12ln2a －12>0，即ln2a <－1，因此0<2a <1e ，即0<a <12e ，因此a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)[2019·河北衡水调研(四)]已知函数f (x )＝12x 2－a ln x .(1)假设函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线只是第四象限且只是原点，求实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋2x ，假设g (x )在[1，e]上不单调且仅在x ＝e 处取得最大值，求实数a 的取值范围．解析：(1)由f ′(x )＝x －a x ，得f ′(1)＝1－a .因为f (1)＝12，因此函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －12＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋a －12. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a －12>0，解得12<a ≤1，因此实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. (2)g ′(x )＝x －a x ＋2＝x 2＋2x －a x(x >0)，设h (x )＝x 2＋2x －a (x >0)．若g (x )在[1，e]上不单调，那么h (1)h (e)<0，即(3－a )(e 2＋2e －a )<0，解得3<a <e 2＋2e.同时g (x )仅在x ＝e 处取得最大值，因此g (e)>g (1)，即12e 2－a ＋2e>52，解得a <e 22＋2e －52. 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，e 22＋2e －52. 18．(本小题总分值12分)[2019·贵阳市检测]已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．解析：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的概念域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－x x 2，∴f ′(x )>0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x >1， ∴f (x )＝1－1x －ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)．∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.19．(本小题总分值12分)[2019·河北衡水武邑中学调研]设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x e x －x －1.(1)假设关于x 的方程f (x )＝x 2－103＋m 在区间[1,3]上有解，求m 的取值范围；(2)当x >0时，g (x )－a ≥f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)方程f (x )＝x 2－103＋m ，即为ln x －x 2＋103＝m . 令h (x )＝ln x －x 2＋103(x >0)，那么h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ≤0在x ∈[1,3]恒成立，故h (x )在[1,3]上单调递减．∵h (1)＝73，h (3)＝ln3－173， ∴当x ∈[1,3]时，h (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln3－173，73， ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln3－173，73. (2)依题意，当x >0时，g (x )－f (x )≥a 恒成立．令F (x )＝g (x )－f (x )＝x ·e x －ln x －x －1(x >0)，那么F ′(x )＝(x ＋1)·e x－1x －1＝(x ＋1)x ·(x ·e x －1)．令G (x )＝x ·e x －1，那么当x >0时，G ′(x )＝(x ＋1)·e x >0，∴函数G (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵G (0)＝－1<0，G (1)＝e －1>0，∴G (x )存在唯一的零点c ∈(0,1)，且当x ∈(0，c )时，G (x )<0，当x ∈(c ，＋∞)时，G (x )>0，那么当x ∈(0，c )时，F ′(x )<0，当x ∈(c ，＋∞)时，F ′(x )>0，∴F (x )在(0，c )上单调递减，在(c ，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (c )＝c e c －ln c －c －1.由G (c )＝0得c e c －1＝0，c e c ＝1，两边取对数得ln c ＋c ＝0，∴F (c )＝0，∴F (x )≥F (c )＝0，∴a ≤0，即实数a 的取值范围是(－∞，0]．20．(本小题总分值12分)已知函数f (x )＝|x e x |.(1)当x <0时，判定函数f (x )的单调性；(2)假设函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋2的零点个数为4，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝|x e x |，因此f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≥0，－x e x ，x <0.当x<0时，f′(x)＝－(e x＋x e x)＝－(1＋x)e x，当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x <0时，f ′(x )<0；因此f (x )在(－∞，－1)上是增函数；在(－1,0)上是减函数．(2)当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0，因此f (x )在[0，＋∞)上是增函数；由(1)知，当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值f (－1)＝1e . 易知f (x )≥0，令f (x )＝m ，那么m ≥0.那么当0<m <1e时，方程f (x )＝m 有3个解(如下图)；当m ＝0或m >1e时，方程f (x )＝m 有1个解；当m ＝1e时，方程f (x )＝m 有2个解．因为函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋2的零点个数为4，因此关于x 的方程[f (x )]2＋tf (x )＋2＝0有4个解．因此关于m 的方程m 2＋tm ＋2＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上有1个解，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上有1个解．记h (m )＝m 2＋tm ＋2，那么应知足⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，1e 2＋t e ＋2<0，解得t <－2e 2＋1e. 因此实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2e 2＋1e . 21．(本小题总分值12分)[2019·湖南永州模拟]已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝ax 2＋1，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )在区间[1，e]上的单调性；(2)已知a ∉(0，e)，假设对任意x 1，x 2∈[1，e]，有f (x 1)>g (x 2)，求实数a 的取值范围．解析：(1)函数f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x .①当a ≤0时，1－ax >0，f ′(x )>0，∴f (x )在[1，e]上单调递增．②当0<a ≤1e时，1a ≥e ，f ′(x )≥0，∴f (x )在[1，e]上单调递增． ③当1e <a <1时，1<1a <e ，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递增，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 时，f ′(x )<0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递减． ④当a ≥1时，1a ≤1，f ′(x )≤0，∴f (x )在[1，e]上单调递减．综上所述，当a ≤1e 时，f (x )在[1，e]上单调递增；当1e <a <1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上单调递减；当a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递减． (2)g ′(x )＝2ax ，依题意，x ∈[1，e]时，f (x )min >g (x )max 恒成立．已知a ∉(0，e)，那么当a ≤0时，g ′(x )≤0，∴g (x )在[1，e]上单调递减，而f (x )在[1，e]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ，∴g (x )max ＝g (1)＝a ＋1.∴－a >a ＋1，得a <－12. 当a ≥e 时，g ′(x )>0，g (x )在[1，e]上单调递增，而f (x )在[1，e]上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ，∴g (x )max ＝g (e)＝a e 2＋1，∴1－a e>a e 2＋1，得a <0，与a ≥e 矛盾．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 22．(本小题总分值12分)[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)假设f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2. 解析：(1)f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，那么f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，因此f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②若a ＞2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．(2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a ＞2. 由于f (x )的两个极值点x 1，x 2知足x 2－ax ＋1＝0，因此x 1x 2＝1，不妨设x 1＜x 2，那么x 2＞1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，因此f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2＜0. 设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0. 因此1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.。

2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练22

天天练22 数列求和小题狂练○22一、选择题1．[2019·广东中山华侨中学模拟]已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72 答案：B解析：∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∵a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2. ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.2．[2019·广东中山一中段考]数列112，214，318，4116，…，n 12n ，…的前n 项和等于( )A.12n ＋n 2＋n 2 B ．－12n ＋n 2＋n 2＋1C ．－12n ＋n 2＋n 2 D ．－12n ＋1＋n 2－n 2答案：B解析：设数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12n ，是一个等差数列与一个等比数列对应项的和的形式，适用分组求和，所以112＋214＋318＋4116＋…＋n 12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n (1＋n )2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋n 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .故选B.3．[2019·山东济南月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a 1 008，a 1 010)在直线x ＋y －2＝0上，则S 2 017＝( )A ．4 034B ．2 017C ．1 008D ．1 010 答案：B解析：因为点(a 1 008，a 1 010)在直线x ＋y －2＝0上，所以a 1 008＋a 1 010＝2，S 2 017＝(a 1＋a 2 017)×2 0172＝(a 1 008＋a 1 010)×2 0172＝2×2 0172＝2 017，故选B. 4．[2019·甘肃张掖月考]数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n ＋1＋n 的前2 017项的和为( )A. 2 018＋1B. 2 018－1C. 2 017＋1D. 2 017－1 答案：B解析：通过已知条件得到1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，裂项累加得S 2 017＝2 017＋1－ 2 017＋2 016＋1－ 2 016＋…＋2－1＝ 2 018－1，故选B.5．[2019·资阳诊断]已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124 答案：C解析：由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.6．[2019·辽宁省实验中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，a n＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( )A ．130B ．120C ．55D ．50答案：C解析：由题意知数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，得a n ＝2n ，所以b n ＝log 22n ＝n ，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以其前10项和S 10＝10×(1＋10)2＝55，故选C.7．[2019·河北“五个一名校联盟”(二)]已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：A解析：∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2B ．2n ＋1－n ＋2C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2 答案：D解析：因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，①2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，② 所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.二、非选择题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n－1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31＝________.答案：－76解析：因为S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3)，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，S n ＝⎩⎨⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，S 15＝29，S 22＝－44，S 31＝61，S 15＋S 22－S 31＝－76. 10．[2019·福建莆田月考]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝________.答案：18解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.11．[2019·江苏徐州模拟]已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝6，若a 1，a 3，a 7成等比数列，则S 8的值为________．答案：88解析：由题意得a 23＝a 1a 7，∴(6＋d )2＝(6－d )(6＋5d )，∴6d2＝12d .∵d ≠0，∴d ＝2，所以a 1＝6－2＝4，S 8＝8×4＋12×8×7×2＝88.12．[2019·惠州调研(二)]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案：n ·2n －1 解析：a n ＋1－2a n ＝2n两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n2，∴a n ＝n ·2n －1.课时测评○22一、选择题1．[2019·九江十校联考(一)]已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(10,6)的定直线l 上，则数列{a n }的前19项和S 19＝( )A ．110B ．114C ．119D ．120 答案：B解析：因为点(n ，a n )(n ∈N *)在经过点(10,6)的定直线l 上，故数列{a n }为等差数列，且a 10＝6，所以S 19＝(a 1＋a 19)×192＝2a 10×192＝19×a 10＝19×6＝114，选B. 2．[2019·辽宁沈阳质量监测]已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n＋1a n ＝2，则其前100项和为( ) A ．250 B ．200 C ．150 D ．100 答案：D解析：当n ＝2k －1时，a 2k ＋a 2k －1＝2，∴{a n }的前100项和＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D. 3．[2019·益阳市、湘潭市调研]已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017 答案：B解析：由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.b n ＝log 2a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.故选B.4．[2019·黑龙江大庆模拟]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天，共走378里．”请问第四天走了( )A ．12里B ．24里C ．36里D ．48里答案：B 解析：设第一天走a 1里，则每天走的里数组成的数列{a n }是以a 1为首项，以12为公比的等比数列，由题意得S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192(里)，∴a 4＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝192×18＝24(里)，故选B.5．[2019·湖南郴州质量监测]在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项和 S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100 答案：D解析：因为数列{a n }是等差数列，a 4＝5，a 7＝11，所以公差d ＝a 7－a 47－4＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3，所以b n ＝(－1)n (2n －3)，所以b 2n －1＋b 2n ＝2，n ∈N *.因此数列{b n }的前100项和S 100＝2×50＝100，故选D.6．[2019·浙江杭州模拟]若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1a 1＋a 2＋…＋a n ，则数列{b n }的前n 项和T n 为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)C.n －1n ＋2D.34－2n ＋3(n ＋1)(n ＋2)答案：B 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n (n ＋2)，所以b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2，故T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)，故选B.7．[2019·合肥质检(一)]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( )A ．22 018－1B ．32 018－6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫122 018－72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫132 018－103 答案：A解析：∵3S n ＝2a n －3n ，∴当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，∴a 1＝－3.当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，∴a n ＝－2a n －1－3，∴a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ，∴a n ＝(－2)n －1，∴a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.8．[2019·大连模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：D解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由已知可得⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式相减可得12T n ＝3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，又当n →＋∞时，12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10，故选D.二、非选择题9．已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________.答案： 2 018－1解析：由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12，∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n .S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1. 10．[2019·广东深圳月考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a 2＝2，S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，则S n ＝________.答案：2n －1解析：∵S n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )，则S n ＋2＋1＝2(S n ＋1＋1)．由a 1＝1，a 2＝2，可得S 2＋1＝2(S 1＋1)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)对任意的n ∈N *都成立，∴数列{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n ＋1＝2n ，即S n ＝2n －1.11．[2019·江西南昌模拟]在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解析：(1)∵a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列， ∴(2a 2＋2)2＝5a 3·a 1，整理得d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4，当d ＝－1时，a n ＝10－(n －1)＝－n ＋11；当d ＝4时，a n ＝10＋4(n －1)＝4n ＋6. 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ， ∵d <0，∴d ＝－1，a n ＝－n ＋11，当n ≤11时，a n ＝－n ＋11≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，a n ＝－n ＋11<0，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110.综上，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测5

周周测5三角函数综合测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－3，y)为其终边上一点，且sinα＝2y4，那么y的值为( )A. 3 B．－5 C. 5 D.3或5答案：C解析：由题意知|OP|＝3＋y2，那么sinα＝y3＋y2＝2y4，那么y＝0(舍去)或3＋y2＝22，得y＝±5，又α为第二象限角，因此y>0，那么y＝5，应选C.2．[2019·湖北武汉蔡甸区实验高中月考]已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，α，β为锐角三角形的内角，那么( )A．f(cosα)>f(cosβ) B．f(sinα)>f(sinβ)C．f(sinα)<f(cosβ) D．f(sinα)>f(cosβ)答案：C解析：∵奇函数y ＝f (x )在[－1,0]上为单调递减函数，∴f (x )在[0,1]上为单调递减函数，∴f (x )在[－1,1]上为单调递减函数．又∵α，β为锐角三角形的两内角，∴α＋β>π2，∴π2>α>π2－β，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β>0，∴f (sin α)<f (cos β)．应选C.3．[2019·山东烟台模拟]假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，那么cos 2π3＋2α＝( )A ．－79B ．－13C.13D.79 答案：A解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos π3－2α＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－79.应选A.4．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，那么( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案：B解析：∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos2x －1－cos2x 2＋2＝32cos2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.5．[2019·辽宁丹东教学质量监测]假设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，x 03和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0，7π6上都是单调递增函数，那么实数x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8 答案：B解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，在原点周围的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，因此⎩⎨⎧x 03≤π6，2x 0≥2π3，解得π3≤x 0≤π2，应选B.6．[2019·广州调研]将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，那么φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3 答案：A解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，因此2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.7．[2019·武汉模拟]已知f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，那么函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 3C ．－12D ．－32答案：B解析：由已知得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，令2x ＋θ＋π6＝k π，k ∈Z ，其中x＝π2为方程的一个解，代入得θ＝(k －1)π－π6，k ∈Z ，又0<θ<π，因此θ＝5π6，因此f (x )＝－2sin2x ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上单调递减，因此f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－ 3.8．[2019·河北省五校联考]已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么以下关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度取得C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2答案：C 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3不单调，故D 错误．应选C.9．[2019·吉林梅河口五中月考]假设tan(α＋80°)＝4sin420°，那么tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C.319D.37 答案：D解析：由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan (α＋80°)－tan60°1＋tan (α＋80°)tan60°＝23－31＋23×3＝37.应选D.10．[2019·南宁联考]假设角α知足sin α＋2cos α＝0，那么tan2α＝( ) A ．－43 B.34C ．－34 D.43答案：D解析：解法一由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43，应选D. 解法二由题意知，sin α＝－2cos α，tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，应选D.11．[2019·黄冈质检]已知α＋β＝π6，且3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，那么tan α＝( )A ．－33B. 3C ．－ 3D ．3 3 答案：D解析：由3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0得，3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－23 ①，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，即3(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β ②，由①②得tan α＝33，应选D.12．已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部份图象如下图，以下说法正确的选项是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称C ．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度取得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋ 3答案：D解析：由函数图象可知，A ＝2，设最小正周期为T ，那么T 4＝π3－π12＝π4，因此T ＝π，因此2πω＝π，即ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，又|φ|<π2，因此φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.关于选项A ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝2sin(－π)＝0，因此f (x )的图象不关于直线x ＝－2π3对称，即选项A 不正确；关于选项B ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－2，因此f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，即选项B不正确；关于选项C ，因为将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度取得函数图象对应的解析式为y ＝2sin2x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即选项C 不正确；关于选项D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，因此2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－2，3]，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋3，选项D 正确．应选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的极点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝________.答案：－12解析：解法一由已知可得cos θ＝12，sin θ＝32，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θcosπ3－sin θsin π3＝12×12－32×32＝－12.解法二由已知可得θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＋π3＝－12. 14．[2019·浙江绍兴诸暨中学模拟]3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.答案：－4 3解析：原式＝3sin12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos24°sin24°＝43sin (12°－60°)sin48°＝－4 3.15．[2019·惠州二调]已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________.答案：－55解析：解法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.解法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55.16．[2019·江西赣州崇义中学月考]函数f (x )＝sin x 在区间(0,10π)上可找到n个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，那么n 的最大值等于________．答案：10解析：设f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n ＝k ，那么条件等价为方程f (x )＝kx 在(0,10π)上的根的个数．作出函数y ＝f (x )和y ＝kx 的大致图象，由图可知函数y ＝kx 与y ＝f (x )的图象在区间(0,10π)上最多有10个交点，即n 的最大值为10，故答案为10.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)[2019·福建惠安惠南中学月考]已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．解析：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α) ＝2(cos α＋sin α)＝2413.18．(本小题总分值12分)[2019·安徽合肥检测]已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4＝k π＋π2，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x)图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上的单调递增；同理，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上单调递减． 19．(本小题总分值12分)[2019·湖北襄阳四校模拟联考]设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)假设f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解析：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310. 20．(本小题总分值12分)[2019·山西芮城中学模拟]已知向量m ＝(3sin ωx －cos ωx,1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12，设函数f (x )＝m ·n ，假设函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称且ω∈[0,2]．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象．解析：(1)f (x )＝(3sin ωx －cos ωx,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12 ＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，∴2ωπ3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝32k ＋1，k ∈Z .又∵ω∈[0,2]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π＋π2≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z .(2)列表如下：∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象如图：21．(本小题总分值12分) [2019·黑龙江哈尔滨六中月考]已知函数f (x )＝cos2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将取得的图象横坐标变成原先的2倍(纵坐标不变)，取得y ＝g (x )的图象．假设函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y ＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 因此函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得g 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再将取得的图象的横坐标变成原先的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x 的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象，作直线y ＝a.依照图象知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.22．(本小题总分值12分)[2019·江苏常州]如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部份，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式； (2)假设将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变成原先的14(纵坐标不变)，取得函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解析：(1)由函数f (x )的图象可知A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. (2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，取得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变成原先的14(纵坐标不变)，取得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， ∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测10

周周测10立体几何综合测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·贵州黔东南州模拟]假设某几何体的三视图如下图，那么那个几何体的直观图能够是( )答案：D解析：选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选择C的俯视图不符合要求，通过观看，选项D知足要求，应选D.2．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②假设点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，那么A，B，C，D，E共面；③假设直线a，b共面，直线a，c共面，那么直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中假设A，B，C三点共线，那么A，B，C，D，E五点不必然共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．3．[2019·云南大理模拟]给出以下命题，其中正确的两个命题是( )①直线上有两点到平面的距离相等，那么此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，那么n∥α；④a，b是异面直线，那么存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④D．②与④答案：D解析：直线上有两点到平面的距离相等，那么此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，那么直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．4．[2019·济宁模拟]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，那么以下表达正确的选项是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案：C解析：关于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；关于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，因此AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；关于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，因此AE⊥B1C1，故C正确；关于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，因此A1C1与平面AB1E相交，故D错误．5．[2019·江西景德镇模拟]将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起取得空间四面体ABCD(如图2)，那么在空间四面体ABCD中，AD 与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案：C解析：在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，因此AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，因此AD⊥BC，且AD与BC异面，应选C.6.如下图，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的选项是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案：B解析：关于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.关于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.关于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．7．[2019·河北衡水模拟]如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是()A．π＋42＋4 B．2π＋42＋4C．2π＋42＋2 D．2π＋22＋4答案：B解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下图，其表面积S ＝2×12π×12＋π×1×1＋2×12×2×1＋(2＋2＋2)×2－2×1＝2π＋42＋4.应选B.8．[2019·安徽质检]某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A ．1 B.12C.13D.14 答案：C 解析：解法一该几何体的直观图为四棱锥，记为四棱锥S －ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，因此S 四边形ABCD ＝1，因此V S－ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13，应选C. 解法二由三视图易知该几何体为锥体，因此V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，因此V ＝13Sh ＝13，应选C.9．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．那么以下结论中不正确的选项是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN答案：D解析：显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，那么MC∥HB，又HB⊥AN，因此MC⊥AN，因此A正确；由题意易患GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，因此GB∥平面AMN，因此B正确；因为AB∥CD，DM⊥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，因此平面DCM∥平面ABN，因此D正确．10．[2019·西城模拟]在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为2，那么点M到平面ABC的距离为()A.12 B.3 2C．1 D.32答案：A解析：在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝3，∴△AMC 为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，那么AD⊥CM，设AD的延长线交BC于E，那么AD＝32，DE＝36，CE＝33.依照题意知，折起后的图形如下图，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝33，连接AE，那么AE2＝CA2＋CE2－2CA·CE cos∠ECA＝23，于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE ＝E，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝34，AE＝63，∴由V A－BCM＝V M－ABC，可得13×34×63＝1 3×12×2×1×h，∴h＝12，应选A.11．[2019·成都一诊]如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，那么直线BE与平面PAC所成的角为()A．60°B．30°C．45°D．90°答案：A解析：如图，正四棱锥P－ABCD中，依照底面积为6可得，BC＝ 6.连接BD，交AC于点O，连接PO，那么PO为正四棱锥P－ABCD的高，依照体积公式可得，PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，因此PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，因此BD⊥平面PAC，连接EO，那么∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝3，因此PA＝2，OE＝12PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝3，因此tan∠BEO＝BOOE＝3，即∠BEO＝60°.12．[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，那么α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334 B.233C.324 D.32答案：A解析：如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都别离与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如下图，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，那么正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×12×22×22sin60°＝334.应选A.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·龙岩质检]如图是一个空间几何体的三视图，那么该几何体的表面积为________．答案：64＋4π解析：由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面确实是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.因此该几何体的表面积为4×4×2＋2×4×4＋12×4π×22－π×22＝64＋4π.14．[2019·广东百校联盟联考]如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，那么异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．答案：15 5解析：不妨设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如下图，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，那么BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．在△OEC中，边长EC＝5，OC＝2，OE＝3，由余弦定理可得cos∠OEC＝3＋5－223×5＝155.即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为155.15．[2019·益阳市、湘潭市高三调研考试]已知三棱锥S－ABC的极点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，那么此三棱锥的体积为________．答案：33 2解析：如图，设O1为△ABC的中心，连接OO1，故三棱锥S－ABC的高h＝2OO1，三棱锥S－ABC的体积V＝13×2OO1×S△ABC，因为OO1＝22－(3)2＝1，因此V＝13×2×1×34×32＝332.16.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，记折起后A为A1.假设M为线段A1C的中点，连接BM，那么在△ADE翻折进程中，以下结论正确的有________(填正确结论的序号)．①MB是定值；②点M在圆上运动；③必然存在某个位置，使得DE⊥A1C；④MB∥平面A1DE老是成立的．答案：①②④解析：如图，取DC的中点N，连接MN，NB，那么MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE ＝∠MNB是定值，MN＝12A1D为定值，NB＝DE为定值，依照余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，因此MB是定值，①正确；因为B 是定点，由①知MB是定值，因此M在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD知足AC⊥DE时，DE⊥A1C，其他情形不存在，③不正确．因此①②④正确．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F别离是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)如下图，连接CD1、EF、A1B，∵E、F别离是AB和AA1的中点，∴FE∥A1B且EF＝12A1B.∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF与CD1可确信一个平面，即E、C、D1、F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝12CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．18．(本小题总分值12分)[2019·江苏宿迁模拟]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N别离是AC，B1C1的中点．求证：(1)MN∥平面ABB1A1；(2)AN⊥A1B.证明：(1)取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P别离是AC，AB的中点，因此PM∥BC，且PM＝12BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1.因为N是B1C1的中点，因此PM∥B1N且PM＝B1N.因此四边形PMNB1是平行四边形，因此MN∥PB1，而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，因此MN∥平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，因此BB1⊥平面A1B1C1.又因为BB1⊂平面ABB1A1，因此平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.又因为∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，因此B1C1⊥B1A1.又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，因此B1C1⊥平面ABB1A1.又因为A1B⊂平面ABB1A1，因此B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，因此AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，因此A1B⊥平面AB1N，而AN⊂平面AB1N，因此A1B⊥AN.19．(本小题总分值12分)[2019·山东菏泽模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，△BCD，△PAD都是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且AD＝2AB＝4，CD＝2 3.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)E是AP上一点，当BE∥平面PCD时，求三棱锥C－PDE的体积．解析：(1)证明：因为AD＝4，AB＝2，BD＝23，因此AD2＝AB2＋BD2，因此AB⊥BD，∠ADB＝30°.又因为△BCD是等边三角形，因此∠BDC＝60°，因此∠ADC＝90°，因此DC⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，因此CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，因此平面PCD⊥平面PAD.(2)过点B作BG∥CD交AD于点G，连接GE.因为BG∥CD，BG⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，因此BG∥平面PCD.当BE∥平面PCD时，因为BG∩BE＝B，因此平面BEG∥平面PCD.因为EG⊂平面BEG，因此EG∥平面PCD.又平面PAD∩平面PDC＝PD，因此EG∥PD，因此PEPA ＝DG DA.在直角三角形BGD中，BD＝23，∠BDG＝30°，因此DG＝23cos30°＝3，因此PEPA ＝DGDA＝34，在平面PAD内，过点E作EH⊥PD于点H.因为CD⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，因此CD⊥EH. 因为PD∩CD＝D，因此EH⊥平面PCD，因此EH是点E到平面PCD的距离．过点A作AM⊥PD于点M，那么AM＝32×4＝2 3.由AM∥EH，得EHAM ＝PEPA＝34，因此EH＝332.因为S△PCD＝12×4×23＝43，因此V C－PDE＝V E－PDC＝13×43×332＝6.20．(本小题总分值12分)[2019·陕西省高三教学质量检测试题(二)]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，∠ABC＝90°，侧面A1ABB1⊥底面ABC.(1)求证：AB1⊥平面A1BC；(2)假设AC＝5，BC＝3，∠A1AB＝60°，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解析：(1)证明：在侧面A1ABB1中，∵A1A＝AB，∴四边形A1ABB1为菱形，∴AB1⊥A1B.∵侧面A1ABB1⊥底面ABC，∠ABC＝90°，∴CB⊥平面A1ABB1∵AB1⊂平面A1ABB1，∴CB⊥AB1.又A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC.(2)解法一如图，过A1作A1D⊥AB，垂足为D.∵平面ABC⊥平面A1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，∴A1D⊥平面ABC，∴A1D为三棱柱ABC－A1B1C1的高．∵BC＝3，AC＝5，∠ABC＝90°，∴AB＝4，又AA1＝AB，∠A1AB＝60°，∴△A1AB为等边三角形，∴A1D＝32×AB＝2 3.∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1D＝12×4×3×23＝12 3.解法二在△ABC中，由AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，可得AB＝4.又A1A＝AB，∠A1AB＝60°，∴△ABA1是边长为4的等边三角形，∴S△ABA1＝34×42＝4 3.由(1)知BC ⊥平面ABA 1，∴VC －ABA 1＝13×S △ABA 1×BC ＝13×43×3＝4 3.设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为h ，则VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·h ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13S △ABC ·h ＝3VA 1－ABC ＝3VC －ABA 1＝3×43＝12 3.21．(本小题总分值12分)[2019·昆明市高三温习教学质量检测]如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面MCA 1；(2)假设AB ＝A 1M ＝2MC ＝2，BC ＝2，求点C 1到平面MCA 1的距离．解析：(1)证明：如图，连接AC 1，设AC 1与A 1C 的交点为N ，那么N 为AC 1的中点，连接MN ，因为M 是AB 的中点，因此MN ∥BC 1，又MN ⊂平面MCA 1，BC 1⊄平面MCA 1，因此BC 1∥平面MCA 1.(2)因为AB ＝2MC ＝2，M 是AB 的中点，因此∠ACB ＝90°，在直三棱柱中，A 1M ＝2，AM ＝1，因此AA 1＝3，又BC ＝2，因此AC ＝2，A 1C ＝5，因此∠A 1MC ＝90°.设点C 1到平面MCA 1的距离为h ，因为AC 1的中点N 在平面MCA 1上，因此点A 到平面MCA 1的距离也为h ，三棱锥A 1－AMC 的体积V ＝13S △AMC ·AA 1＝36，△MCA 1的面积S ＝12A 1M ·MC ＝1，那么V ＝13Sh ＝13h ＝36，得h ＝32，故点C 1到平面MCA 1的距离为32. 22．(本小题总分值12分)[2019·四川成都第一次诊断]如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 别离是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 别离在线段DH ，HB 上，且DG GH＝BR RH .将△AED ，△CFD ，△BEF 别离沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．(1)求证：GR ⊥平面PEF ；(2)假设正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径．解析：(1)证明：在正方形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 为直角． ∴在三棱锥P －DEF 中，PE ，PF ，PD 两两垂直．∴PD ⊥平面PEF .∵DG GH ＝BR RH ，即DG GH ＝PR RH ，∴在△PDH 中，RG ∥PD .∴GR ⊥平面PEF .(2)正方形ABCD 边长为4.由题意知，PE ＝PF ＝2，PD ＝4，EF ＝22，DF ＝2 5.∴S △PEF ＝2，S △DPF ＝S △DPE ＝4.S △DEF ＝12×22×(25)2－(2)2＝6. 设三棱锥P －DEF 内切球的半径为r ，那么三棱锥的体积V P －DEF ＝13×12×2×2×4＝13(S △PEF ＋2S △DPF ＋S △DEF )·r ，解得r ＝12. ∴三棱锥P －DEF 的内切球的半径为12.。

2022《试吧》高中全程训练计划·数学(文)周周测月考三立体几何、解析几何 Word版含解析

月考三立体几何、解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么下列命题中正确的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若α⊥β，a ∥α，则a ⊥βC ．若a ⊥α，a ∥β，则α⊥βD ．若a ∥α，b ∥β，则a ∥b 2.如图，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面V AC 与底面垂直，且V A ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A .32B .33C .34D .363．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 4．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的表面积为( )A ．48πB ．323πC ．24πD ．16π 5．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，给出下列五个结论：①SG ⊥平面EFG ；②SD ⊥平面EFG ；③GF ⊥平面SEF ；④EF ⊥平面GSD ；⑤GD ⊥平面SEF.其中正确的是( ) A ．①和③ B ．②和⑤C ．①和④D ．②和④6.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A .π6B .π4C .π3D .π27．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点的个数为( )A ．0或1B ．2C ．1D ．08．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为( )A ．x 2＋3y 22＝1B .x 23＋3y 22＝1C .x 23＋y 22＝1D .x 22＋y23＝19．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)到原点的距离为( )A . 2B .72C ．2D .7410．已知椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1有公共焦点F 1，F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．3B ．2 3C ．3 2D ．2 611．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k(x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512B .⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞C .⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34D .⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 12．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝23π，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|AB||MM 1|的最小值为( )A .433B .33C .233 D . 3 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的第一象限的交点为P.若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为________．14.如图，已知圆锥SO 的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 围着圆锥侧面爬回点B 的最短路程为2，则圆锥SO 的底面半径为________．15．已知双曲线的方程为x 2－y22＝1，过点P(2,1)作直线l 交双曲线于P 1，P 2两点，且点P 为线段P 1P 2的中点，则直线l 的方程为________．16．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E ，F 分别是棱PC ，PD 的中点，给出下列结论：①AB ⊥PD ；②平面PBC ⊥平面PCD ；③S △PCD >S △PAB ；④直线AE 与BF 是异面直线．则正确结论的序号是________．(写出全部正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，在空间几何体A－BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．(1)若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；(2)若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE.18．(本小题满分12分)(1)求经过点A(5,2)，点B(3,2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程；(2)已知圆上的点C(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在这个圆上，若该圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求这个圆的方程．19．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的三视图及直观图如图所示，依据图中所给数据，解答下列问题：(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E，使得EA⊥EB1；(3)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)如图，在组合体中，ABCD－A1B1C1D1是一个长方体，P－ABCD是一个四棱锥．AB＝2，BC＝3，点P∈平面CC1D1D且PD＝PC＝ 2.(1)证明：PD⊥平面PBC；(2)求直线PA与平面ABCD所成角的正切值；(3)若AA1＝a，当a为何值时，PC∥平面AB1D.21．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值；(2)设抛物线的准线与x轴的交点为M，是否存在过点M的直线l交抛物线于A，B两点(点B在点A的右侧)，使得直线AF与直线OB垂直？若存在，求出△AFB的面积，若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12，在x 轴的负半轴上有一点B ，且BF 2→＝2BF 1→. (1)若过A ，B ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？假如存在，求出m 的取值范围，假如不存在，请说明理由．1．C 当两条直线与一个平面所成的角相等，这两条直线的位置关系不能确定，故A 不正确；当两个平面相互垂直时，若一条直线与一个平面平行，则这条直线与另一个平面可能垂直，也可能平行，也可能在这个平面内，故B 不正确；当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行时，这两个平面垂直，故C 正确；当两条直线分别与两个平面平行时，这两条直线的位置关系不能确定，故D 不正确．2．B 设该三棱锥的底面边长为a ，高为h ，则正视图的面积S 1＝12ah ＝23，所以ah ＝43，所以侧视图的面积S 2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ·h ＝12·32ah ＝33. 3．B 依据题意可得BC ∥B 1C 1，故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角．连接A 1B ，在△A 1BC 中，BC ＝A 1C ＝A 1B ＝ 2.故∠A 1CB ＝60°，即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．A由题意画出几何体的图形如图，把A ，B ，C ，D 扩展为三棱柱，上、下底面中心(分别设为F ，E )连线的中点O 到点A 的距离为球的半径．由于AD ＝2AB ＝6，OE ＝3，△ABC 是正三角形，所以AE ＝23 AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝3，所以AO ＝32＋(3)2＝2 3.所以所求球的表面积为4π×(23)2＝48π.5．C 由于SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，所以SG ⊥平面GEF ，故①正确；过平面外一点，垂直于该平面的只有一条直线，所以②错误；由于∠GFE ＝45°，所以③错误；依据①得SG ⊥EF ，易得GD ⊥EF ，又SG ∩GD ＝G ，所以EF ⊥平面GSD ，故④正确；由①知，⑤明显错误．6．A 取棱B 1C 1的中点O ，连接OA ，OA 1，那么∠A 1AO 为所求线面角，易知OA 1＝2，又AA 1＝6，所以在Rt △AA 1O 中，tan ∠A 1AO ＝OA 1OA ＝26＝33，所以∠A 1AO ＝π6.7．B 易知圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝4的距离d ＝4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，故点P (m ，n )在椭圆内，于是过点P 的直线与椭圆必有两个交点．8．A 设点A 在x 轴的上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (c ，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－y 03，又点A ，B 在椭圆E 上，故⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋y 20b 2＝1259c 2＋y 209b 2＝1，化简得c 2＝13，所以b 2＝a 2－c 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋3y22＝1.9．A 由于e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，故x 1＋x 2＝－2ba＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，所以点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2.10．A 易知焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.依据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝12，所以|PF 1||PF 2|＝3.11．D曲线y ＝1＋4－x 2是以点C (0,1)为圆心，2为半径长的圆的上半部分，其图象如图所示，又直线y ＝k (x －2)＋4过定点A (2,4)，令该直线从x ＝2的位置开头绕点A 顺时针旋转，当直线l 经过点B (－2,1)时，与半圆开头有两个交点，直到与半圆相切时，不再满足题意，易知直线过点B 时，斜率k ＝4－12＋2＝34，与半圆相切时，点C 到直线y ＝k (x －2)＋4的距离d 为半圆的半径长2.所以d ＝|－1＋4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.12．D 过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则MM 1为梯形AA 1B 1B 的中位线．设|AF |＝m ，|BF |＝n ，则|AB |2＝m 2＋n 2－2mn cos 23π＝m 2＋n 2＋mn ，|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12(m ＋n )，∴|AB ||MM 1|＝ m 2＋n 2＋mn 14(m ＋n )2＝21－mnm 2＋n 2＋2mn ＝2 1－1m n ＋n m ＋2≥3，当且仅当m ＝n 时等号成立．13.3＋1解析：由题知点P 在以F 1F 2为直径的圆上，则∠F 1PF 2＝90°，而∠PF 1F 2＝30°，故|PF 1|＝3c ，|PF 2|＝c .由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝2a ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1.14.13 解析：该圆锥的侧面开放图为半径长为2的扇形，如图所示，易知一只蚂蚁从点B围着圆锥侧面爬回点B 的最短路程为弦BB ′的长，为2，所以扇形的圆心角为π3.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝π3×2，解得r ＝13.15．4x －y －7＝0解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减，化简可得直线P 1P 2的斜率为y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，故直线l 的方程为4x －y －7＝0.16．①③ 解析：如图，对于①，易知AB ⊥平面P AD ，∵PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；对于②，易知平面PBC 与平面PCD 所成的角为钝角，故②不正确；对于③，S △P AB ＝12×P A ×AB <12×PD ×AB ＝12×PD ×CD ＝S △PCD ，故③正确；对于④，连接EF ，∵EF ∥CD ∥AB ，∴直线EF 与直线AB 共面，∴直线AE 与BF 相交，故④不正确．17．分析：(1)要证明线面平行，即要通过线线平行来证明，可构造平行四边形来查找平行线；(2)要证明面面垂直，可通过线面垂直的性质来证明，即要查找垂直于平面的直线．解：(1)如图所示，取DA 的中点G ，连接FG ，GE .由于F 为AC 的中点，所以GF ∥DC ，且GF ＝12DC . 又DC ∥BE ，CD ＝2BE ＝4，所以EB ∥GF ，且EB ＝GF ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以BF ∥EG .(3分)由于EG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面 ADE .(5分) (2)取DE 的中点H ，连接AH ，CH . 由于△ADE 是边长为2的等边三角形，所以AH ⊥DE ，且AH ＝ 3.在△DHC 中，DH ＝1，DC ＝4，∠HDC ＝60°，依据余弦定理可得HC 2＝DH 2＋DC 2－2DH ·DC cos60°＝12＋42－2×1×4×12＝13，即HC ＝13.在△AHC 中，AH ＝3，HC ＝13，AC ＝4，所以AC 2＝AH 2＋HC 2，即AH ⊥HC .由于⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧AH ⊥DEAH ⊥HC DE ⊂平面BCDEHC ⊂平面BCDE DE ∩HC ＝H，所以AH ⊥平面BCDE .(7分)由于AH ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCDE .(10分)18．分析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依据A ，B 两点在圆上及圆心在直线2x －y －3＝0上即可求解；(2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依据题意利用待定系数法求解．解：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2在直线2x －y －3＝0上， ∴－D ＋E2－3＝0 ①.(2分) 又点A (5,2)，点B (3,2)在圆上， ∴25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0 ②， 9＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0 ③.(4分)由①②③得D ＝－8，E ＝－10，F ＝31，此时D 2＋E 2－4F >0， ∴圆的方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.(6分) (2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意知圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0 ④.(8分) ∵点C (2,3)在圆上， ∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2 ⑤.又圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，圆心(a ，b )到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|a －b ＋1|2，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2⑥.(10分) 由④⑤⑥得a ＝6，b ＝－3，r ＝52或a ＝14，b ＝－7，r ＝244， ∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.(12分)19．分析：(1)依据线面垂直的判定定理即可证明C 1B ⊥平面ABC ；(2)依据线面垂直的性质，结合直角三角形的边长关系即可确定点E 的位置；(3)结合(1)中的结论，求出三棱柱的底面面积和高，代入三棱柱的体积公式可解．解：(1)由三视图可知，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝60°，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BC 1.(1分)在△BCC 1中，由余弦定理得BC 1＝3，则BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1.(2分)又BC ∩AB ＝B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC .(4分) (2)在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上取一点E ，连接BE .由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE ＝A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，可得B 1E ⊥平面ABE .又BE ⊂平面ABE ，所以BE ⊥EB 1.不妨设CE ＝x (0<x <2)，则C 1E ＝2－x ，在△BCE 中，由余弦定理得BE 2＝1＋x 2－x .(6分)在△B 1C 1E 中，∠B 1C 1E ＝120°，由余弦定理得B 1E 2＝x 2－5x ＋7.(7分)在Rt △BEB 1中，由B 1E 2＋BE 2＝BB 21，得(x 2－5x ＋7)＋(1＋x 2－x )＝4，解得x＝1或x ＝2(舍去)．故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1.(8分)(3)由已知可得S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×1＝22.(10分) 由(1)知C 1B ⊥平面ABC ，C 1B ＝3，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ·C 1B ＝22×3＝62.(12分) 20．分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、线面角、线线平行、线面平行、空间向量法等基础学问．本题可以利用综合法求解，也可以利用空间向量法求解．利用空间向量法求解的关键就是建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，进而利用向量的有关学问求解，如：垂直向量的数量积为0，两向量夹角的公式等．解：方法一(综合法) (1)证明：由于PD ＝PC ＝2，CD ＝AB ＝2，所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD ⊥PC .(1分)由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是一个长方体，所以BC ⊥平面CC 1D 1D ，而P ∈平面CC 1D 1D ，所以PD ⊂平面CC 1D 1D ，所以BC ⊥PD .(3分)由于PC ∩BC ＝C ，所以PD ⊥平面PBC .(4分)(2)如图，过P 点作PE ⊥CD 于E ，连接AE .由于平面ABCD ⊥平面PCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以∠P AE 就是直线P A 与平面ABCD 所成的角．(6分) 由于PD ＝PC ＝2，PD ⊥PC ，所以PE ＝1，DE ＝1，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝32＋1＝10，所以tan ∠P AE ＝PE AE ＝110＝1010.所以直线P A 与平面ABCD 所成角的正切值为1010.(8分)(3)当a ＝2时，PC ∥平面AB 1D .理由如下：如图，连接C 1D ，当a ＝2时，四边形CC 1D 1D 是一个正方形，所以∠C 1DC ＝45°，而∠PDC ＝45°，所以∠PDC 1＝90°，所以C 1D ⊥PD .而PC ⊥PD ，C 1D 与PC 在同一个平面内，所以PC ∥C 1D .(10分)而C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，所以PC ∥平面AB 1C 1D ，所以PC ∥平面AB 1D .(12分)方法二(向量法) (1)建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PE ⊥CD 于E ，由题意易得PE ＝1，设棱长AA 1＝a ，则有D (0,0，a )，P (0,1，a ＋1)，B (3,2，a )，C (0,2，a )．(2分)于是PD→＝(0，－1，－1)，PB →＝(3,1，－1)，PC →＝(0,1，－1) 所以PD →·PB →＝0，PD →·PC→＝0.(3分) 所以PD ⊥PB ，PD ⊥PC ，又PB ∩PC ＝P ，所以PD ⊥平面PBC .(4分)(2)易知A (3,0，a )，所以P A →＝(3，－1，－1)，而平面ABCD 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)．所以cos 〈P A →，n 1〉＝－111×1＝－1111.(6分) 所以直线P A 与平面ABCD 所成角的正弦值为1111，所以直线P A 与平面ABCD 所成角的正切值为1010.(8分)(3)由于D (0,0，a )，B 1(3,2,0)，A (3,0，a )，所以DA →＝(3,0,0)，AB 1→＝(0,2，－a )．设平面AB 1D 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧DA →·n 2＝0AB1→·n 2＝0，即⎩⎨⎧3x ＝02y －az ＝0，令z ＝2，可得平面AB 1D 的一个法向量为n 2＝(0，a,2)．(10分)若要使得PC ∥平面AB 1D ，则要PC→⊥n 2，即PC →·n 2＝a －2＝0，解得a ＝2. 所以当a ＝2时，PC ∥平面AB 1D .(12分)21．分析：(1)依据抛物线的定义可解得p 的值，则t 的值易得；(2)设出直线方程，与抛物线的方程联立，结合方程根与系数的关系及垂直条件求出直线方程，进而求出△AFB 的面积．解：(1)由题意及抛物线的定义得3＋p2＝4，则p ＝2，(2分) 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，又点T 在抛物线上，故t 2＝4×3，解得t ＝±2 3.(4分) (2)由(1)易得M (－1,0)，F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在直线l 满足题意，设其方程为x ＝my －1(m ≠0)，将其代入y 2＝4x 得y 2－4my ＋4＝0，所以⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝4，由Δ＝16m 2－16>0，得m >1或m <－1.(6分)又直线AF 与直线OB 垂直，易知直线AF 与直线OB 的斜率都存在，所以k AF ·k OB＝－1，即y 1x 1－1·y 2x 2＝－1，所以y 1y 2x 2(x 1－1)＝4(my 2－1)(my 1－2)＝42－my 2＝－1，故y 2＝6m ，y 1＝23m .(8分)又y 22－4my 2＋4＝0，解得m ＝±355，满足Δ>0，所以满足条件的直线l 的方程为5x ±35y ＋5＝0.(10分) 此时|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪23m －6m ＝705×855＝8145. 又点F 到直线l 的距离d ＝|5＋5|52＋(±35)2＝1070，所以△AFB 的面积S ＝12|AB |d ＝12×8145×1070＝855.(12分)22．分析：(1)由椭圆的离心率得到c 与a 的关系，再结合BF2→＝2BF 1→，推断出过A ，B ，F 2三点的圆的圆心、半径，进而求出a ，b 的值；(2)设出直线l 的方程，与椭圆的方程联立，结合菱形的性质求解即可．解：(1)由题意知c a ＝12，所以c ＝12a ，所以|F 1F 2|＝a .由于BF2→＝2BF 1→，所以F 1为BF 2的中点，又|AF 1|＝|AF 2|＝a ，所以|AF 1|＝|BF 1|＝|F 1F 2|＝a ，所以△ABF 2为直角三角形，∠BAF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆的圆心为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，半径长r ＝|F 1A |＝a . 又过A ，B ，F 2三点的圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －312＋(－3)2＝a ，解得a ＝2或a ＝－65(舍去)，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2)由(1)知F 2(1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.(8分) 若存在点P (m,0)，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，则|PM |＝|PN |，易知|PM |2＝(x 1－m )2＋y 21，|PN |2＝(x 2－m )2＋y 22，所以(x 1－m )2＋y 21＝(x 2－m )2＋y 22，又y 21＝3－34x 21，y 22＝3－34x 22，整理得m ＝18(x 1＋x 2)＝k 23＋4k 2. 由已知条件知k ≠0且k ∈R ，所以m ＝13k 2＋4，故0<m <14，即存在满足题意的点P ，且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(12分)。

2022《试吧》高中全程训练计划·数学(文)仿真考(三) Word版含解析

仿真考(三) 高考仿真模拟冲刺卷(C)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋2i 2－3i ，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i2．已知条件p ：x ≥1，条件q ：1x <1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，y －2x ＋6≥0，y －12x ≤0，则z ＝x －y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－34．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝－0.2x ＋3.3B.y ^＝0.4x ＋1.5C.y ^＝2x －3.2D.y ^＝－2x ＋8.65．若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A.38 B.245 C.316 D.916 6.右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名同学在一次英语听力测试中的成果(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,87.执行如图所示的程序框图，当输入的x ∈[1,13]时，输出的结果不小于95的概率为( ) A.13 B.1112 C.23 D.16 8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )＝( )A.112B.14C.29D.23 9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.83B.43C.823D.42310．设函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (0)＝1，且3f (x )＝f ′(x )－3，则4f (x )>f ′(x )的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln43，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3，＋∞ 11．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称 D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称12．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若∠MFN 的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P 点的横坐标为( )A ．2 3 B.43 C ．3 D ．4 第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22～23题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＝1－a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －24(n ≥3，n ∈N *)，则a 6＝________.14．已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．15．为了推断高中三班级同学是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名同学，得到如下2×2已知P (K 2≥3.841)≈0.05依据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为__________．16．六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a ＝4cos C ，b ＝1. (1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；(2)若△ABC 的面积为32，求a ，c .18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(常数a >1)的离心率为22，M ，N 是椭圆C 上的两个不同动点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知A (a,1)，B (－a,1)，满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB (k OM 表示直线OM 的斜率)，求|MN |取值的范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x1＋x－a ln(1＋x )(a ∈R )，g (x )＝x 2e mx (m ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值；(2)若a <0，且对任意的x 1，x 2∈[0,2]，f (x 1)＋1≥g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22～23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1的最小值为2. (1)求实数a 的值；(2)若a >0，求不等式f (x )≤4的解集．1．D 本题考查复数的概念、运算．复数z ＝(3＋2i )(2＋3i )13＝i ，则z 的共轭复数是z ＝－i ，故选D.实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数．2．D 本题考查充分条件、必要条件的推断．条件q ：1x <1⇔1－x x <0⇔x <0或x >1，则綈p ：x <1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D.从集合的角度理解充分条件和必要条件：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件．3．B 本题考查线性规划，约束条件对应的平面区域是以点(2,1)，(4,2)和(3,0)为顶点的三角形，当目标函数y ＝x －z 经过点(2,1)时，－z 取得最大值，此时z 取得最小值1，故选B.本题的突破点是弄清目标函数的几何意义．易错点拨：本题中－z 表示直线在y 轴上的截距，当z 最小时，－z 取得最大值，同时目标函数所在直线的斜率与边界直线的斜率大小关系不能弄错．4．A 本题考查线性回归方程的性质．由于x 与y 负相关，所以排解选项B ，C ；又线性回归方程过样本点的中心，线性回归方程过点(3,2.7)，将点(3,2.7)代入选项A ，D 中，只有选项A 符合，故选A.本题依据线性回归方程的性质，x 与y 负相关，则线性回归方程中x 的系数为负数；样本点的中心的坐标是样本平均数，而线性回归方程过样本点的中心．5．C 本题考查等比数列的性质、通项公式．设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 23＝4a 2a 6＝4a 24，又a n >0，则a 3＝2a 4，q ＝a 4a 3＝12，则a 1＋2a 2＝2a 1＝3，a 1＝32，则a 4＝a 1q 3＝32×18＝316，故选C.机敏应用等比数列的性质是解题的关键．学问拓展：等比数列的性质：若{a n }是等比数列，且m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N *，则a m a n ＝a p a q ，特殊地，若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，则a m a n ＝a 2p 在解题中具有广泛的应用．6．C 由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ， ∴x ＝5.又乙组数据的平均数为9＋15＋(10＋y )＋18＋245＝16.8，∴y ＝8.∴x ，y 的值分别是5,8.7．C 本题考查程序框图的识别、算法的意义及几何概型的计算．开头输入x ∈[1,13]，n ＝1；第一次循环时，x ∈[3,27]，n ＝2；其次次循环时，x ∈[7,55]，n ＝3；第三次循环时，x ∈[15,111]，n ＝4；第四次循环时，x ∈[31,223]，n ＝5>4，此时程序结束，输出的数是从31到223的全部数，其中大于或等于95的数的范围在95到223之间，即其概率为P ＝223－95223－31＝128192＝23，故选C.本题利用程序框图计算出的是某一个区间的数，依据这些数在数轴上表示的区间的比值即可计算出概率值．8．C 本题考查条件概率．由题意可得P (AB )＝236＝118，P (A )＝936＝14，由条件概率的公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11814＝29，故选C.本题的突破点是条件概率计算公式的应用．9．A 本题考查三视图、几何体的体积．由三视图可得该几何体是三棱柱ABC －A 1B 1C 1截去一个三棱锥A 1－B 1C 1C 后余下的五面体，三棱柱的底面是以2为直角边的等腰直角三角形，高为2，则该几何体的体积是12×2×2×2－13×12×22×2＝83，故选A.本题的突破点是由三视图得几何体的直观图．10．B 本题考查导数在函数中的应用．设g (x )＝f (x )＋1e 3x ，则g ′(x )＝f ′(x )－3f (x )－3e 3x ，又由于3f (x )＝f ′(x )－3，所以g ′(x )＝f ′(x )－3f (x )－3e 3x＝0，即函数g (x )在R 上为常函数，设g (x )＝f (x )＋1e 3x ＝c (c 为常数)，则f (x )＝c ·e 3x －1，又由于f (0)＝c ·e 3×0－1＝1，所以c ＝2，则f (x )＝2e 3x －1，则f ′(x )＝6e 3x ，则4f (x )>f ′(x )等价于4(2e 3x －1)>6e 3x，解得x >ln23，即4f (x )>f ′(x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23，＋∞，故选B.依据题意合理构造函数是解题的关键．11．B 本题考查三角恒等变换及三角函数的性质．∵f (x )＝a sin x －b cos x ＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，其在x ＝π4处取得最大值，则π4－φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即－φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，∴f (x )＝a 2＋b 2·sin(x －φ)＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4＝a 2＋b 2cos x ，其是偶函数，且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，故选B.本题先要将三角函数进行三角恒等变换化成最简形式，然后观看其性质．12．D 解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．解法一：如图，过点M 作MF ′∥NF 交FP 于F ′，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由MF ′∥NF ，∠1＝∠2得∠1＝∠3，MF ＝MF ′，由MF ′∥NF 得MF ′NF ＝MP NP ，故MF NF ＝MPNP .由椭圆其次定义知e ＝MF a －ex 1＝NF a －ex 2，又a ＝2，e ＝12，∴MF NF ＝2－12x 12－12x 2；又由MP NP ＝x 0－x 1x 0－x 2得2－12x 12－12x 2＝x 0－x 1x 0－x 2，解得x 0＝4，故选D.解法二：令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N (－2,0)，则∠NFM ＝π2，则角平分线FP 所在直线的方程为y ＝x －1，直线MN 的方程为y ＝12(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝x －1，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，∴P (4,3)，故选D.本题的突破点是特殊值法的应用．13.316解析：本题考查数列的通项．由题意可得a 3＝1－a 14＝34，a 4＝1－a 1＋a 24＝1－12＝12，a 6＝1－a 1＋a 2＋a 3＋a 44＝1－1316＝316.本题的突破点是依次赋值，再正确运算即可．14.5π6解析：本题考查平面对量的运算、平面对量垂直的条件．由于(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝|a |2＋|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3＋23×cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝－32，则向量a ，b 的夹角为5π6.两向量垂直，则它们的数量积为零．15．5%解析：K 2的观测值k ≈4.844，这表明小概率大事发生．依据假设检验的基本原理，应当判定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种推断出错的可能性约为5%.16．144解析：本题考查排列组合的应用．∵0,1,2,3,4,5这6个数字中含3个奇数；1,3,5；要使组成的四位数是奇数，则首先要保证其末位是奇数，共有C 13种取法；其次要保证其首位不为0，此时首位只有2,4这2个偶数及剩下的2个奇数可取，共有C 14种取法；剩下还有4个数字，将它们填入中间两个数位中，有A 24种取法；故共有C 13C 14A 24＝144种取法．本题中要求是奇数，因此其最末一位要是奇数，此外首位还不能为0，留意这两点后即可得到结果．17．分析：本题考查同角三角函数的基本关系、余弦定理、三角形面积公式等基础学问，考查运算求解力量，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．(1)利用余弦定理、三角形面积公式求解；(2)利用三角形面积公式，结合平方关系求解．解：(1)∵a ＋1a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋1－c 2)a ，b ＝1， ∴2c 2＝a 2＋1.(2分)又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1.∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝ 3.(4分)∴S △ABC ＝12bc ＝12×1×2＝22.∴△ABC 的面积为22.(6分)(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3a .(8分)∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a ，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0，(10分) ∴a ＝7，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c ＝2.(12分) 18．解：(1)当n ＝1，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 19．解析：(1)证明：由于O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又由于VB ⊄平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：由于AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又由于平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB . 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又由于OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C －VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又由于三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C －VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33.20．分析：本题考查圆锥曲线的方程及直线与圆锥曲线交点问题，考查考生的计算力量及整体代换思想的应用．(1)依据椭圆的离心率，可以直接计算出椭圆的方程；(2)分直线斜率存在与不存在两种状况进行争辩，设出直线方程，联立方程组写出线段|MN |长度表达式，最终求出其取值范围．解：(1)由题意得a 2－1a ＝22，解得a ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(3分)(2)解法一：由(1)得a ＝2，故点A (2，1)，B (－2，1)． ①当MN 的斜率不存在时，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)且y 1>0，则k OM ·k ON ＝－y 21x 21＝k OA ·k OB ＝－12，化简得x 21＝2y 21，由点M (x 1，y 1)在椭圆上得x 212＋y 21＝1.联立方程解得x 1＝±1，y 1＝22，得|MN |＝y 1－(－y 1)＝2y 1＝2(为定值)．(5分)②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 可得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2(t 2－1)＝0，则Δ＝(4kt )2－4(1＋2k 2)·2(t 2－1)＝8(2k 2＋1－t 2)>0，即2k 2＋1－t 2>0，(*)x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2(t 2－1)1＋2k2，(8分) y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝t 2－2k 21＋2k2，又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k OA ·k OB ＝－12，得x 1x 2＋2y 1y 2＝0，即2(t 2－1)1＋2k 2＋2t 2－2k 21＋2k2＝0，解得2t 2＝2k 2＋1，代入(*)得t 2>0，且2t 2＝2k 2＋1≥1，故t 2≥12，且k 2＝2t 2－12，(10分) 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝21＋k 2·2(2k 2＋1－t 2)1＋2k2＝ 2＋1t 2∈(2，2]．综上所述，2≤|MN |≤2.(12分)解法二：由条件得y 1y 2x 1x 2＝－1a 2＝－12，平方得x 21x 22＝4y 21y 22＝(2－x 21)(2－x 22)，即x 21＋x 22＝2，(8分) 又x 21＝2(1－y 21)，x 22＝2(1－y 22)得y 21＋y 22＝1.设y 1＝cos θ，y 2＝sin θ，则|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2x 1x 2－2y 1y 2＝2＋1＋2y 1y 2＝3＋sin2θ，(10分) 当sin2θ＝1时，|MN |max ＝2，当sin2θ＝－1时，|MN |min ＝2，所以2≤|MN |≤2.(12分)21．分析：本题考查导数在函数中的应用，考查考生的分析力量和运算力量．(1)先求导，依据导函数的符号确定函数的单调性，进而求解最值；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解．解：(1)函数f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，(1分)当a ＝1时，f (x )＝x1＋x －ln(1＋x )，f ′(x )＝1＋x －x (1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2，(2分)∴当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0函数f (x )在(－1,0)上单调递增．(3分) ∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，(4分) ∴f (x )max ＝f (0)＝0.(5分)(2)令φ(x )＝f (x )＋1＝x1＋x－a ln(1＋x )＋1，“当a <0时，对任意的x 1，x 2∈[0,2]，f (x 1)＋1≥g (x 2)恒成立”等价于“当a <0时，对任意的x 1，x 2∈[0,2]，φ(x )min ≥g (x )max 恒成立”，(6分)φ′(x )＝1(1＋x )2－a1＋x ＝－ax －a ＋1(x ＋1)2，当a <0时，∀x ∈[0,2]有φ′(x )>0，函数φ(x )在[0,2]上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝1.(7分)g ′(x )＝2x e mx ＋x 2e mx ·m ＝(mx 2＋2x )e mx ，(8分) 若m ＝0，则g (x )＝x 2，当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝4，明显不满足g (x )max ≤1，(9分)若m ≠0，令g ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝－2m ，①当－2m ≥2，即－1≤m <0时，在[0,2]上g ′(x )≥0，g (x )单调递增，此时g (x )max＝g (2)＝4e 2m，由4e 2m≤1，得m ≤－ln2，∴－1≤m ≤－ln2；(10分)②当0<－2m <2，即m <－1时，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2m 上g ′(x )≥0，g (x )单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2m ，2上g ′(x )<0，g (x )单调递减，此时g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝4m 2e2，由4m 2e 2≤1，得m ≤－2e ，∴m <－1；(11分)③当－2m <0，即m >0时，在[0,2]上，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，此时g (x )max＝g (2)＝4e 2m,4e 2m ≤1不成立，综上所述，m 的取值范围是(－∞，－ln2]．(12分)22．分析：本题考查直线的极坐标方程、圆的参数方程以及直线与圆的位置关系等基础学问，考查运算求解力量．考查数形结合思想、化归与转化思想等．(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，再求圆的参数方程；(2)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦长公式求解．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0可知x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.(2分) 令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(4分)(2)C 2：4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.(6分)∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝14，(8分)∴|AB |＝2× 1－116＝152.(10分)23．分析：(1)本题考查含有确定值的函数的最值、不等式的解法等基础学问，考查运算求解力量、分类与整合思想、化归与转化思想等．(1)对a 的不同范围分别去掉确定值转化为分段函数，利用函数单调性、最小值建立关于a 的方程求解；(2)利用零点分区间争辩法去掉确定值，结合函数图象解不等式．解：(1)当a ≥－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋1－a ，x >a ，－12x ＋1＋a ，－2≤x ≤a ，－32x ＋a －1，x <－2，∴f (x )最小值＝1＋a2＝2，a ＝2.(2分)当a ≤－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋1－a ，x >－2，12x －a －1，a ≤x ≤－2，－32x ＋a －1，x <a ，∴f (x )最小值＝－a2－1＝2，a ＝－6.(4分) 综上可知，a ＝2或a ＝－6.(5分)(2)由(1)知，a >0时，a ＝2.不等式f (x )≤4，即|x －2|＋12|x ＋2|≤4.(6分)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x －1，x >2，－12x ＋3，－2≤x ≤2，－32x ＋1，x <－2.(8分)由32x －1＝4得x ＝103；由－12x ＋3＝4得x ＝－2，∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103.(10分)。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测1

周周测1 集合与经常使用逻辑用语一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，那么A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}答案：A解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．应选A.2．[2019·甘肃肃南月考]已知集合P ＝{2,3,4,5,6}，Q ＝{3,5,7}．假设M ＝P ∩Q ，那么M 的子集个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案：B解析：因为P ∩Q ＝{3,5}，因此集合M 的子集个数为4.应选B.3．[2017·全国卷Ⅰ文，1]已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，那么( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <32 D ．A ∪B ＝R答案：A解析：由题意知A ＝{x |x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32.由图易知A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32，A ∪B ＝{x |x <2}，应选A.4．[2019·合肥一检]已知集合M 是函数y ＝11－2x的概念域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，那么M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x <12且y ≥－4 D ．∅答案：B解析：由题意得M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，N ＝[－4，＋∞)，因此M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，12. 5．[2019·广东汕头模拟]已知集合A ＝{0,1,2}，假设A ∩∁Z B ＝∅(Z 是整数集合)，那么集合B 能够为( )A ．{x |x ＝2a ，a ∈A }B ．{x |x ＝2a ，a ∈A }C ．{x |x ＝a －1，a ∈N }D ．{x |x ＝a 2，a ∈N }答案：C解析：由题意知，集合A ＝{0,1,2}，可知{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0,2,4}，现在A ∩∁Z B ＝{1}≠∅，A 不知足题意；{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{1,2,4}，那么A ∩∁Z B ＝{0}≠∅，B 不知足题意；{x |x ＝a －1，a ∈N }＝{－1,0,1,2,3，…}，那么A ∩∁Z B ＝∅，C 知足题意；{x |x ＝a 2，a ∈N }＝{0,1,4,9,16，…}，那么A ∩∁Z B ＝{2}≠∅，D 不知足题意．应选C.6．[2019·广西南宁联考]设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，那么以下关系中正确的选项是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∩N ＝N答案：D解析：由题意可得N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，N ⊆M .应选D.7．已知集合A ＝{4，a }，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4≥0}，假设A ∩(∁Z B )≠∅，那么实数a的值为() A．2 B．3C．2或6 D．2或3答案：D解析：因为B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，因此∁Z B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}．假设A∩(∁Z B)≠∅，那么a＝2或a＝3，应选D.8．[2019·合肥市高三第二次教学质量检测]命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，那么綈p为()A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解答案：C解析：依照全称命题的否定可知，綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，应选C.9．[2019·唐山五校联考]已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，那么()A．(綈p)∨q为真命题B．p∨q为真命题C．p∧q为真命题D．p∧(綈q)为假命题答案：B解析：由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．关于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1>x；当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|，无解，因此命题q是假命题．因此(綈p)∨q ＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－12为假命题，A错误；p∨q为真命题，B正确；p∧q为假命题，C错误；p∧(綈q)为真命题，D错误．选择B.10．[2019·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学联考]关于实数x，y，假设p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，那么p是q的() A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件答案：A解析：由于命题“若x＝3且y＝1，那么x＋y＝4”为真命题，可知该命题的逆否命题也为真命题，即p⇒q.由x≠3或y≠1，但x＝2，y＝2时有x＋y＝4，即qD p.故p是q的充分没必要要条件．应选A.11．[2019·广东深圳第一次调研]设有下面四个命题：p1：∃n∈N，n2>2n；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分没必要要条件；p 3：命题“若x ＝y ，那么sin x ＝sin y ”的逆否命题是“假设sin x ≠sin y ，那么x ≠y ”；p 4：假设“p ∨q ”是真命题，那么p 必然是真命题．其中为真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 1，p 3答案：D解析：∵n ＝3时，32>23，∴∃n ∈N ，n 2>2n ，∴p 1为真命题，可排除B ，C 选项．∵(2，＋∞)⊂(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，x >1是x >2的必要不充分条件，∴p 2是假命题，排除A.应选D.12．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上知足f ′(x )<0，假设命题p ∧(綈q )是真命题，那么实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞) C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 答案：D解析：由题意命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0解集为空集，a ＝0时，不知足题意．当a ≠0时，必需知足：⎩⎨⎧a >0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上知足f ′(x )<0，可得函数f (x )在R 上单调递减，∴0<2a －5<1，解得52<a <3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题，∴p 为真命题，q 为假命题． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，那么实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.应选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．假设⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，那么a 2 018＋b 2 018的值为________．答案：1解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，因此⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝0，a 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2 018＋b 2 018＝1.14．某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，那么班级中既爱好体育又爱好音乐的有________人．答案：26解析：设只爱好音乐的人数为x ，二者都爱好的人数为y ，只爱好体育的人数为z ，作Venn 图如下图，那么x ＋y ＋z ＝55－4＝51，x ＋y ＝34，y ＋z ＝43，故y ＝(34＋43)－51＝26.故答案为26.15．[2019·江西玉山一中月考]已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．假设“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，那么实数m 的取值范围为______．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 解析：关于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，那么g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p ：m ≤－1.∴綈p ：m >－1.关于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12>0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34. 16．[2019·福建闽侯二中模拟]设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.假设綈p 是綈q 的必要不充分条件，那么实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分没必要要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)假设A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)假设A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解析：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.因此实数M 的取值范围是{m |m ＞5，或m ＜－3}．18．(本小题总分值12分)设集合A ＝{x |132≤2－x ≤4}，B ＝{x |x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)假设B ⊆A ，求m 的取值范围．解析：化简集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B 可写为B ＝{x |(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}．(1) x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)当B ＝∅即m ＝－2时，B ⊆A .当B ≠∅即m ≠－2时．(ⅰ)当m <－2 时，B ＝(2m ＋1，m －1)，要B ⊆A ，只要⎩⎨⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5⇒－32≤m ≤6，因此m 的值不存在； (ⅱ)当m >－2 时，B ＝(m －1,2m ＋1)，要B ⊆A ，只要⎩⎨⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上可知m 的取值范围是：{m |m ＝－2或－1≤m ≤2}．19．(本小题总分值12分)[2019·河南南阳第一中学第二次检测]假设集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0,0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎨⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0,2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0,2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0,2]上有解．又∵当x ∈(0,2]时，1x ＋x ≥2当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”，∴－(m－1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．20．(本小题总分值12分)[2019·山东陵县一中月考]已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．假设命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围．解析：因为x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，因此⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2，因此|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8.因此当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，得a 2－5a －3≥3，解得a ≥6或a ≤－1，因此命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，①a >0时，显然有解；②当a ＝0时，2x －1>0有解；③当a <0时，因为ax 2＋2x －1>0有解，因此Δ＝4＋4a >0，解得－1<a <0. 因此命题q 为真命题时，a >－1.又因为命题q 是假命题，因此a ≤－1.因此命题p 是真命题且命题q 是假命题时，实数a 的取值范围为(－∞，－1]．21．(本小题总分值12分)[2019·山东德州模拟]命题p：实数a知足a2＋a－6≥0，命题q：函数y＝ax2－ax＋1的概念域为R，假设命题p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．解析：当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，那么知足题意；若a ≠0，那么有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4. ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”， ①当p 真q 假时，那么⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3； ②当p 假q 真时，那么⎩⎨⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,2)∪(4，＋∞)．22．(本小题总分值12分)[2019·山东潍坊联考]已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m－2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)<－1成立．若是“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解析：若p 为真，那么对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3，∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32. 若q 为真，那么∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1>2成立，即m <x 2－1x 成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，那么g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32， ∴q 为真时，m <32. ∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m <12或m >32，m <32，∴m <12. 综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <12或m ＝32。

2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测11

周周测11直线与圆的方程综合测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2019·大庆质检]在平面直角坐标系中，与原点位于直线3x＋2y＋5＝0同一侧的点是( )A．(－3,4) B．(－3，－2)C．(－3，－4) D．(0，－3)答案：A解析：因为3×0＋2×0＋5＝5>0,3×(－3)＋2×4＋5＝4>0,3×(－3)＋2×(－2)＋5＝－8<0,3×(－3)＋2×(－4)＋5＝－12<0,3×0＋2×(－3)＋5＝－1<0，因此选A.2．[2019·广东七校联考(二)]假设过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是( )A．(－2,1)B．(－1,2)C．(－∞，0)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：A解析：解法一∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴直线的斜率小于0，即2a－a－13－1＋a<0，即a－12＋a<0，解得－2<a<1，应选A.解法二当a＝0时，P(1,1)，Q(3,0)，因为k PQ＝0－13－1＝－12<0，现在过点P(1,1)，Q(3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C，D；当a＝1时，P(0,2)，Q(3,2)，因为k PQ＝0，不符合题意，排除B，选A.3．[2019·河南天一大联考段考]以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1)2＝5答案：A解析：由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a,1)代入可得a＝1，即圆心为(1,1)，半径为r＝|2－1＋4|5＝5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，应选A.4．[2019·长春模拟]圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝33x对称的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y－1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案：D解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A (a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，∴a ＝1，b ＝3，∴A (1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.应选D.5．假设两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，那么m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1 答案：C解析：因为l 1，l 2平行，因此1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，因此直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，因此|m＋3|1＋4＝5，得m＝2或m＝－8(舍去)，因此m＋n＝－2，应选C. 6．[2019·安徽黄山屯溪一中月考]假设曲线x2＋y2－6x＝0(y>0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，那么k的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34 答案：C解析：∵x 2＋y 2－6x ＝0(y >0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y >0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k (x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3,0)到直线y ＝k (x ＋2)的距离d ≤3，且k >0，∴|3k －0＋2k |k 2＋1≤3，且k >0，解得0<k ≤34.应选C.7．已知⊙O 1：(x ＋3)2＋y 2＝4，⊙O 2：x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0)，那么“r ＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案：A解析：由题知，⊙O 1的圆心为O 1(－3,0)，半径为2，⊙O 2的圆心为O 2(0,4)，半径为r .假设⊙O 1与⊙O 2相切，那么|O 1O 2|＝r ＋2或|O 1O 2|＝|r－2|，解得r ＝3或7，因此“r ＝3”是“⊙O 1与⊙O 2相切”的充分没必要要条件．8．假设a2＋b2＝2c2(c≠0)，那么直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )A.12B．1C.22D.2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此依照直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，因此弦长为 2.9．[2018·全国卷Ⅲ]直线x＋y＋2＝0别离与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，那么△ABP面积的取值范围是( ) A．[2,6] B．[4,8]C．[2，32] D．[22，32]答案：A解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，那么圆心C(2,0)，r＝2，因此圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得d max＝22＋r＝32，d min＝22－r＝ 2.由已知条件可得AB＝22，因此△ABP面积的最大值为12AB·d max＝6，△ABP面积的最小值为12AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．应选A.10．[2019·贵州遵义航天高级中学月考]在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，那么|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10 答案：D解析：∵在平面内，过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0相交于点M ，∴P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝10，应选D.11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，那么反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案：D解析：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A (2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋50k ＋24＝0，解得k ＝－43或－34.12．[2019·辽宁凌源联考]已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r >0)所得的弦长为14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l ′：(1＋2m )x ＋(m－1)y －3m ＝0过定点P ，假设PM ⊥PN ，那么|MN |的取值范围为( )A ．[2－2，2＋3] B ．[2－2，2＋2] C ．[6－2，6＋3] D ．[6－2，6＋2]答案：D 解析：依题意得2r 2－12＝14，解得r ＝2.因为直线l ′：(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0过定点P ，因此P (1,1)，设MN 的中点为Q (x ，y )，那么OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，因此点Q 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，因此|PQ |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，|MN |的取值范围为[6－2，6＋2]．应选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·黑龙江伊春月考]假设A (2,2)，B (a,0)，c (0，b )(ab ≠0)三点共线，那么1a ＋1b＝________.答案：12解析：因为B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)，因此直线BC 的方程为x a ＋yb＝1，过A (2,2)，因此2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12.14．[2019·安徽庐江四校联考]过点(－1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．答案：x ＋y －1＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距不为零时，设直线的方程为x a ＋ya＝1，将(－1,2)代入得a ＝1，故直线的方程为x ＋y －1＝0；当截距为零时，设直线的方程为y ＝kx ，将(－1,2)代入得k ＝－2，故直线的方程为2x ＋y ＝0.15．[2018·全国卷Ⅰ]直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，那么|AB |＝________.答案：22解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.16．点P 是圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝2上的动点，点Q (2,2)，O 为坐标原点，那么△OPQ 面积的最小值是________．答案：2解析：因为|OQ |＝22，直线OQ 的方程为y ＝x ，圆心(－3,1)到直线OQ 的距离d ＝|－3－1|2＝22，因此圆上的动点P 到直线OQ 的距离的最小值为22－2＝2，因此△OPQ 面积的最小值为12×22×2＝2.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点别离是⎝⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，又设该直线与直线l 1，l 2别离交于A ，B 两点，那么有①⎩⎨⎧y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎨⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0.由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ，因此x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. 故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.18．(本小题总分值12分)已知圆M 通过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.(1)求圆M 的方程；(2)假设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12为圆内一点，求通过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程．解析：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，那么圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，那么圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2.又∵A (1，－2)，B (－1,0)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，D ＋E ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－3.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0.(2)由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为M (1,0)．当直线l 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，现在k PM ＝0－121－2＝12，∴k l ＝－1k PM ＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.19．(本小题总分值12分)已知圆x 2＋y 2＝4上必然点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)假设∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解析：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标可知，P 点坐标为(2x －2,2y)，因为P点在圆x2＋y2＝4上，因此(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，那么ON⊥PQ，因此|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，因此x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.20．(本小题总分值12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)假设直线l过P点且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解析：(1)∵⊙C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4.设l：y＝kx＋5，由直线l被⊙C截得的弦长为43及⊙C的半径r＝4知⊙C的圆心到直线l的距离d＝2，∴|－2k－6＋5|1＋k2＝2，∴k＝34；当k不存在时，直线l为x＝0，知足题意．∴l的方程为y＝34x＋5或x＝0.(2)设弦的中点为M(x，y)，将y＝kx＋5代入⊙C的方程中，得(1＋k2)x2＋2(2－k)x－11＝0.设弦两头点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2k －41＋k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋10＝2k 2－4k 1＋k 2＋10＝12k 2－4k ＋101＋k 2. ∵M 为AB 的中点，∴x ＝x 1＋x 22＝k －21＋k 2，y ＝y 1＋y 22＝6k 2－2k ＋51＋k 2，消去k ，得x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.当k 不存在时，过点P 的弦所在的直线为x ＝0，代入⊙C 的方程，得y 2－12y ＋24＝0，现在点M 的坐标为(0,6)．点M (0,6)知足方程x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0，∴过点P 的⊙C 的弦的中点的轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.21．(本小题总分值12分)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0.(1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解析：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右别离相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.22．(本小题总分值12分)[2019·湖北稳派教育联考]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P (0,1)，假设直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M ，N 两点，且∠MPN 为锐角，求实数m 的取值范围．解析：(1)设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a >0，b ＝0，|a |＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝0，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋m ，x －22＋y 2＝4消去y 整理得 2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0.∵直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M ，N 两点， ∴Δ＝4(m －2)2－8m 2>0，解得－2－22<m <－2＋22，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－m ，x 1x 2＝m 22.∴PM →＝(x 1，y 1－1)，PN →＝(x 2，y 2－1)，依题意得PM →·PN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＝2x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2>0，∴m 2＋(m －1)(2－m )＋(m －1)2>0，整理得m 2＋m －1>0，解得m <－1－52或m >－1＋52.又－2－22<m <－2＋22，∴－2－22<m <－1－52或－1＋52<m <－2＋2 2.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22.。

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周周测14 概率统计、复数、算法初步、推理与证明综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·陕西榆林二中模拟]某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为( )A ．①系统抽样，②分层抽样B ．①分层抽样，②系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样D ．①分层抽样，②简单随机抽样答案：C解析：由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]设z ＝1－i 1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12C ．1 D. 2答案：C解析：∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ， ∴|z |＝1.故选C.3．已知i 是虚数单位，复数z ＝1a －i(a ∈R )在复平面内对应的点位于直线x －2y ＝0上，则复数z 的虚部为( )A ．2B ．3C.15iD.15答案：D解析：z ＝1a －i ＝a ＋i a 2＋1＝a a 2＋1＋1a 2＋1i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a a 2＋1，1a 2＋1，又该点位于直线x －2y ＝0上，所以a ＝2，z ＝25＋15i ，其虚部为15.4．[2019·天津一中月考]用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 能被5整除答案：B解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除．”的否定是“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 都不能被5整除”，故选B.5．[2019·杭州模拟]某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16答案：A解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x ，y )为坐标点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝112.6．[2019·湖北武汉高三调研]一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是() A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．7．[2019·桂林市，百色市，崇左市联合模拟考试]半径为6 cm 的圆形纸板上有一个与之同圆心的半径为1 cm的小圆，现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机落在纸板上，则硬币与小圆无公共点的概率为()A.2125 B.34C.59 D.12答案：A解析：若硬币全落在半径为6 cm的圆形纸板上，则硬币的圆心只能在以圆形纸板的圆心为圆心，半径为5 cm的圆内(包含边界)．若硬币与小圆无公共点，则硬币的圆心在以圆形纸板的圆心为圆心，半径分别为5 cm和2 cm的圆环内(包含边界)，所以硬币与小圆无公共点的概率为π×52－π×22π×52＝2125，故选A.8．[2019·山东省，湖北省部分重点中学质量检测]春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规则是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次，只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次，就可以获得套住的那只玩具鹅．假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为23，且每次掷圆圈的结果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为( ) A.481 B.881C.13D.104243答案：D解析：设“第i 次套住鹅颈”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，则A i 表示“第i 次未套住鹅颈”，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形：A 1A 2A 3，A 1A 2A 3A 4，A 1A 2A 3A 4A 5，而P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝881，P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝8243，故该游客获得一只玩具鹅的概率为827＋881＋8243＝104243，故选D.9．[2019·昆明调研]如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》，其中定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.执行该程序框图，则输出的a ＝( )A ．9B ．16C ．23D ．30答案：C 解析：执行程序框图，k ＝1，a ＝9,9－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤93＝0≠2；k ＝2，a ＝16,16－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤163＝1≠2；k ＝3，a ＝23,23－3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤233＝2,23－5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤235＝3，满足条件，退出循环．则输出的a＝23.故选C.10．[2019·河南濮阳模拟]执行如图所示的程序框图(其中b ＝c mod 10表示b等于c除以10的余数)，则输出的b为()A．2 B．4C．6 D．8答案：D解析：a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a ＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b ＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期．又因为2 017＝6×336＋1，所以当n＝2 017时，b＝8.故选D.11．[2019·贵阳监测]在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A ．15B ．18C ．20D ．25答案：A解析：根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.12．在面积为S (S >0)的平行四边形ABCD 内任取一点M ，则△MCD 的面积小于S 3的概率为( )A.13B.35C.23D.34答案：C解析：设△MCD 边CD 上的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于点F ，当△MCD 的面积等于S 3时，12CD ×ME ＝13CD ×EF ，即ME ＝23EF ，此时过点M 作GH ∥AB ，且分别交AD ，BC 于点G ，H ，则满足△MCD 的面积小于S 3的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的知识得到△MCD 的面积小于S 3的概率P ＝2S 3S ＝23，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2019·西安八校联考]若a ＋b i i (a ，b ，∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.答案：－7解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.14．观察下列等式1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n 个等式可为________．答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n 解析：规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2，…，2n ，分子为1，奇数项为正，偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n 个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 15．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案：16解析：从2,3,8,9中任取两个数分别记为(a ，b )，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共12种情况，其中符合log a b 为整数的有log 39和log 28两种情况，所以P ＝212＝16.16．[2019·济南市高考模拟考试]如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为________．答案：2解析：由茎叶图可知乙运动员的成绩较稳定，且其平均数为88＋89＋90＋91＋92＝90(环)，从而所求方差为5(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＝2.5三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·武汉市高中毕业生调研]某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x－(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)记70分以上为合格，70分及以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成不合格合格合计男生720女生 1 020合计 4 000附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ). 解析：(1)由题意，得：∴x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)．∴这4 000名考生的平均成绩x －为70.5分．(2)2×2列联表如下：K 2＝4 000×(720×1 020－1 180×1 080)21 800×2 200×1 900×2 100＝ 4 000×(540 000)218×22×19×21×108＝4 000×54×5418×22×19×21≈ 73．82>10.828.故有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关．18．(本小题满分12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：∵m >0，∴1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．19．(本小题满分12分)若a >b >c >d >0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a <b ＋c .证明：要证d ＋a <b ＋c ，只需证(d ＋a )2<(b ＋c )2，即a＋d＋2ad<b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad<bc，即ad<bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0，故ad<bc成立，从而d＋a<b＋c成立．20．(本小题满分12分)[2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝521. 21．(本小题满分12分)[2019·广西五校联考]某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y (单位：万件)之间的关系如表：x 1 2 3 4 y 12 28 42 56(1)(2)根据(1)中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数加以说明；(3)建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？参考数据：∑i ＝1n(y i －y －)2＝32.7，5＝2.24，∑i ＝1nx i y i ＝418. 参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 b^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)作出的散点图如图：(2)由(1)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得，x －＝52，y －＝692，∑i ＝14x i y i ＝418,∑i ＝14 (y i －y －)2≈32.7，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14(x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝14x i y i －4x －y －＝418－4×52×692＝73，∑i ＝14(x i －x －)2＝∑i ＝14x 2i －4x－2＝30－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5≈2.24，∴r ＝∑i ＝14(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝14(x i －x －)2∑i ＝14(y i －y －)2＝732.24×32.7≈0.9966.∵y 与x 的相关系数近似为0.9966，说明y 与x 的线性相关程度相当强，∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(3)由(2)知x －＝52，y －＝692，∑i ＝14x i y i ＝418，∑i ＝14x 2i ＝30，∴b^＝∑i＝14x i yi－4x－y－∑i＝14x2i－4x－2＝735，a^＝y－－b^x－＝692－735×52＝－2.故y关于x的回归直线方程为y^＝735x－2，当x＝5时，y^＝735×5－2＝71，∴预测第5年的销售量约为71万件．22．(本小题满分12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：日用水量[0,0.1)[0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.60.7) 频数1324926 5(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析：(1)如图所示．(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为x1＝150×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x2＝150×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．。