浙江省温州市2021届新高考三诊数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考三诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c b

C ．a c ＜b c

D ．

11

c c b a

--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数单调性逐项判断即可 【详解】

对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故

11

c c b a

--> ，错误 故选B ． 【点睛】

本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．

2．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边

形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA =AB =O 的表面积

为（ ） A ．

163

π B ．

94

π C ．6π

D ．9π

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得2PG ==，再结合球的性质，求得

球的半径3

2

R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】

由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥，

又由AB =

AG =

在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，

设外接球的半径为R ，

在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32

R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.

【点睛】

本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.

3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5

θ=，则该双曲线的离心

率为（ ） A 5B 5

C ．2

D ．4

【答案】A 【解析】 【分析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】

解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈

又5cos 5θ=，则25sin 5θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率2

15c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭

故选：A. 【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

4．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．

的是

A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段

B ．平面DMN ⊥平面11BC

C B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值

D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】

A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；

B 项利用线面垂直的判定定理；

C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;

D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】

A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；

B 项，如图：

当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂

直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；

C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；

D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.

5．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤

=⨯⎢⎥⎣⎦

，11b a =，

()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）

A ．2

B ．5

C ．7

D ．8

【答案】B 【解析】 【分析】

求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】

解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦

.*

111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，

∴112027[

]a b ＝＝＝，2200[287

]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，

同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝

.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….

∴6n n b b +＝.

故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．