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浙江省温州市2021届新高考三诊数学试题含解析

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2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题(解析版)

2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题(解析版)

2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题一、单选题1．已知集合{14},{25}A xx B x x =<<=≤≤∣∣，则RAB =（ ）A ．{12}xx <≤∣ B ．{12}x x <<∣ C ．{24}x x ≤<∣ D ．{45}xx ≤≤∣ 【答案】B【分析】首先求出集合B 的补集，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{14},{25}A xx B x x =<<=≤≤∣∣，所以()(),25,R B =-∞+∞所以()R1,2A B =故选：B2．在平面直角坐标系中，不等式组10,10,1x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】先画出区域，求出顶点坐标，再求面积.【详解】作出可行域如图所示：不等式所表示区域即为三角形ABC ，由1=01=0x y x y +-⎧⎨-+⎩，求得C (0,1),同理可求：A (1,2), B (1,0), 所以1121122ABC S AB h =⨯⨯=⨯⨯=△ 即平面区域的面积是1.故选：C3．已知,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，则“//l β”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系、面面关系的性质定理及判定定理判断可得；【详解】解：因为,αβ是两个不重合的平面，直线l α⊥，若//l β，则存在直线a β⊂，满足//l a ，因为l α⊥，所以a α⊥，所以αβ⊥，故充分性成立； 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂，或//l β，故必要性不成立； 所以“//l β”是“αβ⊥”的充分不必要条件； 故选：A4．已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若515S =，且123,,1a a a +成等比数列，则（ ）A ．1100,45a S ==B ．1100,90a S ==C ．1101,100a S ==D ．1101,55a S ==【答案】D【分析】结合题中所给的条件，利用等差数列通项公式和求和公式以及三数成等比数列的条件，列出等量关系式，求得其首项和公差，进一步求其前10项和，从而得到正确答案.【详解】因为{}n a 是递增等差数列，515S =， 所以1545152a d ⨯+=，即123a d +=，① 由123,,1a a a +成等比数列，所以2111()(21)a d a a d +=++，整理得2221111122a a d d a a d a ++=++，即21d a =，②①②联立求得111d a =⎧⎨=⎩，或139d a =-⎧⎨=⎩（舍去）所以101091011552S⨯=⨯+⨯=， 故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，正确解题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，以及三数成等比数列的条件.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列条件使得ABC 无法唯一确定的是（ ）A ．3,15,25aBC ==︒=︒ B ．3,4,40a b C ===︒ C ．3,4,40a b A ===︒D ．3,4,40a b B ===︒【答案】C【分析】对于A ：用正弦定理判断；对于B ：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A 、B ，进行判断； 对于C ：由正弦定理4sin 40sin =3B ⨯，根据大边对大角，这样的角B 有2个，进行判断；.对于D ：由正弦定理计算3sin 40sin =4A ⨯，由大边对大角，这样的角A 有1个，进行判断.【详解】对于A ：∵3,15,25a B C ==︒=︒，∴A =140°， 由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==， ∴33sin sin15,sin =sin 25sin sin140sin sin140a ab Bc C A A =⨯=⨯=⨯⨯ ∴ABC 唯一确定；故A 正确. 对于B ：∵3,4,40a b C ===︒，由余弦定理，可得：=2524cos40c -由正弦定理：sin sin sin a b c A B C ==，有：34sin sin 40A B==可以求出角A 、B ，∴ABC 唯一确定；故B 正确. 对于C ：∵3,4,40a b A ===︒ 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin 40sin B=，∴4sin 40sin =3B ⨯， ∵3,4,a b ==∴a b <∴40A B =<,这样的角B 有2个，所以ABC 不唯一，故C 错误.对于D ：∵3,4,40a b B ===︒ 由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，有：34sin sin 40A =， ∴3sin 40sin =4A ⨯， ∵3,4,a b ==∴a b <∴40AB <=,这样的角A 有唯一一个， ∴角C 唯一，所以ABC 唯一，故D 正确. 故选：C【点睛】判断三角形解的个数的方法：（1）画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数： ①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

浙江省温州市2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(),A A Ax y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．5【答案】C 【解析】 【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3B y πα=+，2A B y y +=33sin cos 2αα+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+= 132sin sin cos 22ααα-+=33sin cos 3sin()3226πααα+=+≤，当3πα=时，取得等号.故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题. 2．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-【答案】C 【解析】 【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即21V 122222ππ=••-•••=-，故选C. 【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 3．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．4．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=u u u r u u u r，则()2AE AC +u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=u u u r u u u r，可求1x y +=，而222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r+=+++，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =u u u r ，(2,2)AC =u u u r ，由2AE AC ⋅=u u u r u u u r，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AE AC x y u u u r u u u r +=+++224()8x y x y =++++22213x x =-+=21252()22x -+，所以当12x =时，2()AE AC +u u u r u u u r 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为2c ，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，可得：=，可得b c =，ba =C 的渐近线方程为y =．故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题. 6．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.7．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x -+=-+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.8．52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =，则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 9．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】 【分析】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|2020}A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 10．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32 D ．34【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积. 【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×3＝3，故答案为A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．311【答案】C 【解析】 【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937. 故选：C 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 12．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确． 考点：复合函数求值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省温州市高三9月高考适应性测试数学试题word版含解析

2021届浙江省温州市高三9月高考适应性测试数学试题word版含解析

2021届浙江省温州市高三9月高考适应性测试数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，,，故选A.2. 已知，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为，高为，体积为，四棱锥体积为，所以该几何体体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.4. 若实数，满足约束条件则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出表示的可行域，由，得，由，得，平移直线，当直线经过时分别取得最小值，最大值，故的取值范围是，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是公差不为0的等差数列，是以公比不为的等比数列，由等比数列的性质，可得成等比数列，可得，故选D.6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由导函数的图象可知，函数，先减再增，可排除选项，又知的根为正，即极值点为正，所以可排除，故选C.7. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的边长为，椭圆的焦点在正方形的内部，，又正方形的四个顶点都在椭圆上，，，，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，构造出关于的不等式，最后解出的范围.8. 已知的边的垂直平分线交于，交于，若，，则的值为（）A. 3B.C.D.【答案】B【解析】因为的垂直平分线交于，所以，，故选B.9. 已知函数，则下列命题错误的是（）A. 函数是奇函数，且在上是减函数B. 函数是奇函数，且在上是增函数C. 函数是偶函数，且在上是减函数D. 函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A【解析】函数，，在上递减，在上递增，在上递增，命题“函数是奇函数，且在上是减函数”错误，故选A.10. 如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，在（）A. B. C. D.【答案】D【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. __________．【答案】【解析】，故答案为.12. 双曲线的焦点在轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为__________，渐进线方程为__________．【答案】 (1). (2).13. 已知直线：与圆：交于，两点（其中是坐标原点），则圆心到直线的距离为__________，点的横坐标为__________．【答案】 (1). 1 (2). 3【解析】圆：,,由点到直线的距离公式可得到直线的距离为，由，得，的横坐标为，故答案为 1，3.14. 如图，四边形中，、分别是以和为底的等腰三角形，其中，，，则__________，__________．【答案】 (1). 2 (2).【解析】设，在内，，在内，，可得，,由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知（，），则的最大值为__________．【答案】0【解析】，，当时等号成立，所以的最大值为，故答案为.【易错点晴】本题主要考查幂指数的运算、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 设向量，，且，，则的最大值是__________；最小值是__________．【答案】 (1). 9 (2). 1【解析】设的夹角为，由，可得，化简得，可得，即的最大值是，最小值是，故答案为.17. 已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________．【答案】【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是,故答案为 .三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）；（2），（）．【解析】试题分析：（1）将代入，由两角和的余弦公式结合特殊角的三角函数可得结果；（2）将展开与相乘后利用余弦的二倍角公式以及辅助角公式可得，根据周期公式可得的最小正周期，根据利用正弦函数的单调性，解不等式即可得到单调递增区间.试题解析：（1）．（2）．所以，的最小正周期为，当（）时，单调递增，即的单调递增区间为（）．【方法点睛】本题主要考查两角和的余弦公式、余弦的二倍角公式以及辅助角公式、三角函数的单调性，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19. 如图，四面体中，，平面平面．（1）求的长；（2）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，根据面面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得结果；（2）过作于点，则有平面，连接，可以证明为与平面所成的角，根据余弦定理可得，勾股定理得，从而可得.试题解析：（1）∵，，，∴，又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，∵，∴.（2）由（1）可知平面，过作于点，连接，则有平面，∴平面平面，过作于点，则有平面，连接，则为与平面所成的角．由，，得，∴，又∵，∴，又∵，∴．20. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．【答案】(1) 的单调递增区间为和；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果.试题解析：（1）∵，令，解得或，又由于函数的定义域为，∴的单调递增区间为和．（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，因此，当时，恒有，即．21. 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）（1）根据抛物线的定义知，，∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用表示，换元后利用基本不等式可得结果.试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，∵，∴，∴．（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，∵，即，∴，即，∴，∴，，，，∴，令，，则．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.22. 已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．。

2021年浙江省温州市高考数学适应性试卷(三模)(附答案详解)

2021年浙江省温州市高考数学适应性试卷(三模)(附答案详解)

2021年浙江省温州市高考数学适应性试卷（三模）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U为实数集R，集合A={x∈R|x>√3}，集合B={0,1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {0}B. {0,1}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2.已知z=−12+√32i，i为虚数单位，则z2+z=()A. 1B. −1C. √3iD. −√3i3.若实数x，y满足约束条件{x≥0x−y−3≥0x+2y≤0，则z=x−2y()A. 有最小值4B. 有最小值6C. 有最大值4D. 有最大值64.已知x，y为实数，则“x>0，y>0”是“x+y2≤√x2+y22”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若轴截面为正方形的圆柱内接于半径为1的球，则该圆柱的体积为()A. √2πB. √2π2C. √2π4D. √2π66.已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2,p)，η+2ξ=1，且P(ξ≤1)=34，则D(η)的值为()A. 0B. 1C. 2D. 37.函数f(x)=e x+e−xax2+bx+c的图象如图所示，则()A. a<0，b=0，c<0B. a<0，b<0，c=0C. a>0，b=0，c>0D. a>0，b=0，c<08.如图，等腰直角三角形ABC在平面α上方，∠BAC=90°，若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能的是()A. B. C. D.9.如图，点A，B，C在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点F在AB上，AC与x轴交于点D，|AF|=|AD|，AB⊥BC，则|FD|=()A. 3√2B. 4C. 2√3D. 310.已知向量a⃗,b⃗ 夹角为π3，向量c⃗满足|b⃗ −c⃗|=1且a⃗ +b⃗|b⃗|=a⃗ +c⃗|c⃗ |，则下列说法正确的是()A. |b⃗ |+|c⃗|<2B. |a⃗|+|b⃗ |>2C. |b⃗ |<1D. |a⃗|>1二、单空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设a=log23，b=log92，则4a=______ ，ab=______ ．12.已知圆C经过点A(1,0)、B(4,0)、D(0,2)，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为______ ，直线l的方程为______ ．13.已知(1+x)4(1−mx2)=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，若a4=−11，则m=______ ，a1+a3+a5=______ ．14.已知S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，且a m=4log3a k+3，则a n=______ ，m+k的最小值为______ ．15.已知A，F是离心率为2的双曲线x2a2−y2b2=1的右顶点和右焦点，记A，F到直线bx−ay=0的距离分别为d1，d2，则d1d2=______ ．16.如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，cosB=−35，a=5，b=4√5，若点D在线段AC上，且BD⊥BC，则BD=______ ．17.已知关于x的方程|x−a|+|x−b|=|x−c|+|x−d|有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数a，b，c，d∈{1,2，3，4，5，6}，且|a−b|=|c−d|，则a，b，c，d的可能取值共有______ 种.(请用数字作答)三、解答题（本大题共5小题，共68.0分）)]．18.已知函数f(x)=cosx⋅[sinx−sin(x+π3(1)求y=f(x)图象的对称轴；]时，求y=f(x)的值域．(2)当x∈[0,π2AD= 19.如图，四棱台ABCD−EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH=DH=12 1．(1)求证：AE//平面BDG；(2)若平面BDG∩平面ADH=m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．20. 已知正项数列满足a 1=1，a 2=2，且对任意的正整数n ，1+a n+12是a n 2和a n+22的等差中项．(1)证明：{a n+12−a n 2}是等差数列，并求{a n}的通项公式； (2)设b n =√a n 2n−1(n ∈N ∗)，S n 为{b n }前n 项和，证明：S n <2√2−4b n+2(n ∈N ∗)．21. 如图，A ，B 是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右顶点，点P 是椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =m 于M ，N 两点.直线AP ，BP 的斜率分别记为k 1，k 2．(1)求k 1⋅k 2的值；(2)若线段PB 的中点Q 恰好在以MN 为直径的圆上，求m 的取值范围．−1,g(x)=ax3+2xcosx．22.已知函数f(x)=2+x2e x(1)当x∈[t,+∞)时，f(x)≥−x恒成立，求实数t的取值范围；2,+∞)时，对任意的x∈R，[2f(x)+x][2g(x)+x]≥0恒成立，求整(2)当a∈(nπ6数n的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】解：∵A ={x ∈R|x >√3}，∴∁R A ={x|x ≤√3}， 由图象可知阴影部分对应的集合为B ∩(∁R A)， ∴B ∩(∁R A)={0,1}． 故选：B ．由图象可知阴影部分对应的集合为B ∩(∁R A)，然后根据集合的基本运算即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z =−12+√32i ，∴z 2=(−12+√32i)2=14−√32i −34=−12−√32i ，则z 2+z =−12−√32i −12+√32i =−1．故选：B ．由已知求得z 2，再由复数代数形式的加法运算得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y −3=0x +2y =0，解得A(2,−1)，由z =x −2y ，得y =x 2−z 2，由图可知，当直线y =x 2−z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为4． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：①当x >0，y >0时，∵x 2+y 2≥2xy ，∴2(x 2+y 2)≥(x +y)2，∴x+y 2≤√x 2+y 22，∴充分性成立，②当x =−6，y =−8时，√x2+y 22=5√2，x+y 2=−7，满足x+y 2≤√x2+y 22，∴必要性不成立，∴x >0，y >0是x+y 2≤√x2+y 22的充分不必要条件，故选：A ．根据基本不等式的性质和举实例，再结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．5.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、球的表面积和体积 【解析】解：作轴截面如图，由已知可得AC =2，则AB =BC =√2， 可得圆柱的底面半径为√22，高为√2，∴该圆柱的体积为V =π×(√22)2×√2=√2π2．故选：B ．由题意画出轴截面图，由球的半径可得圆柱的底面半径及高，再由圆柱的体积公式求解． 本题考查球的内接圆柱体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【知识点】n 次独立重复试验与二项分布【解析】解：因为随机变量ξ～B(2,p)，且P(ξ≤1)=34，所以P(ξ=2)=1−P(ξ≤1)=C 22⋅p 2=p 2=14，解得p =12， 计算D(ξ)=2×12×(1−12)=12． 由η+2ξ=1，所以η=−2ξ+1， 所以D(η)=(−2)2×D(ξ)=4×12=2． 故选：C ．根据随机变量ξ～B(2,p)且P(ξ≤1)=34求出p 的值，计算D(ξ)的值，再根据η+2ξ=1求出D(η)的值．本题考查了随机变量的概率与方差计算问题，是基础题．7.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：函数图象关于y 轴对称，是偶函数， 则b =0，此时f(x)=e x +e −x ax +c，f(0)=2c <0，得c <0，由ax 2+c ≠0，得ax 2≠−c ，得x 2≠−ca >0， 得a >0， 故选：D ．根据函数图象关于y 轴对称，得到函数是偶函数，以及利用函数值进行判断判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和应用，利用函数的对称性，结合偶函数的性质是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】解：若BC⊥α，则形成的旋转体在平面α内的投影如选项D所示；若BC//α，则形成的旋转体在平面α内的投影为正方体；若BC与α所成的角的取值范围是(0,π2)时，则形成的旋转体在平面α内的投影如选项A，B所示；投影不会出现选项C的形状．故选：C．对直线BC与平面α的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得到答案．本题考查了旋状体的投影问题，解题的关键是对直线BC与α的位置关系进行分类讨论，考查了空间想象能力，属于基础题．9.【答案】B【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：点A，B，C在抛物线y2=4x上，故设B(t02,2t0),A(t12,2t1),C(t22,2t2)，则k AC=2t1+t2，故直线AC的方程为2x−(t1+t2)+2t1t2=0，令y=0，解得D(−t1t2,0)，由于直线AB的方程为2x−(t1+t0)y+2t1t0=0，且过点F(1,0)，所以t1t0=−1，因为AB⊥BC，所以k AB⋅k BC=2t0+t1⋅2t0+t2=−1，又|AF|=|AD|，则k AB+k AC=2t0+t1+1t1+t2=0，所以t02+(t1+t2)t0+t1t2=−4且t0+2t1+t2=0，又t1t0=−1，结合t0+2t1+t2=0，可得−1+2t12+t1t2=0，即2t12=1−t1t2，由t02+(t1+t2)t0+t1t2=−4，可得1−t1(t1+t2)+t13t2=−4t12，所以t12+t13t2=−4t12，解得t1t2=−5，则点D(5,0)，故|FD|=4．故选：B．设点A，B，C的坐标，然后求出直线AC，AB的方程，将|AF|=|AD|和AB⊥BC转化为斜率表示，得到两个关系式，结合直线AB 过点F ，进行化简整理，求出D 的坐标，从而求出|DF|．本题考查了直线与抛物线位置关系的运用，两条直线垂直的充要条件的运用，两点间斜率公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．10.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：根据题意，将等式a⃗ +b ⃗ |b ⃗|=a ⃗ +c ⃗|c ⃗ |两边同时平方可得，a⃗ 2+2a ⃗ ⋅b⃗ +b ⃗ 2|b⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗2|c ⃗ |2，交叉相乘可得，a ⃗ 2b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ 2⋅c ⃗ +b ⃗ 2c ⃗ 2=a ⃗ 2c ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ 2+b ⃗ 2c ⃗ 2， 移项化简可得，a ⃗ 2(b ⃗ 2−c ⃗ 2)+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0， 即得a ⃗ 2(b ⃗ +c ⃗ )(b ⃗ −c ⃗ )+2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，∴a ⃗ ⋅(b ⃗ −c ⃗ )⋅[a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )+2b ⃗ ⋅c ⃗ ]=0， 根据题意可知，a ⃗ ≠0⃗ ， ∴b ⃗ =c ⃗ 或a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ =0∴a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2a ⃗ ⋅c ⃗ ≥a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +2a ⃗ ⋅b ⃗ ⋅c ⃗ =a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ +2b ⃗ ⋅c ⃗ )≥2a ⃗ ⋅(b⃗ 2+c ⃗ 2+2b ⃗ ⋅c ⃗ )=a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )2，又因为|b ⃗ −c ⃗ |=1，所以|b ⃗ |+|c ⃗ |<2，故A 正确． 故选：A ．通过观察选项可知，所求为向量模的结果，因此可以将原等式两边平方，从而得到关于模的运算结果，进而判定最后结论．本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的应用，平面向量模的运算，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．11.【答案】9 12【知识点】对数与对数运算 【解析】解：∵a =log 23， ∴2a =3，4a =9， ∵b =log 92=12log 23，∴ab =12．故答案为：9,12．根据对数的定义可得出2a =3，从而得出4a =9；根据对数的换底公式可得出b =12log 23，然后即可求出ab 的值．本题考查了对数的运算性质，对数的定义，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】(x −52)2+(y −2)2=254 x =0【知识点】圆的标准方程【解析】解：设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， ∵圆C 经过点A(1,0)、B(4,0)、D(0,2)，∴{1+D +F =016+4D +F =04+2E +F =0，得D =−5，E =−4，F =4， 即x 2+y 2−5x −4y +4=0，标准方程为(x −52)2+(y −2)2=254，圆心C(52,2)，∵直线l 与圆C 相切于点B ，∴直线方程为x =0， 故答案为：(x −52)2+(y −2)2=254，x =0．设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，建立方程组进行求解即可．本题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆相切的应用，利用待定系数法是解决本题的关键，是基础题．13.【答案】2 −8【知识点】二项式定理【解析】解：∵(1+x)4(1−mx 2)=(1+4x +6x 2+6x 2+4x 3+x 4)⋅(1−mx 2) =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6， ∵a 4=−6m +1=−11，则m =2．令x =1，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=−16， 令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−⋯+a 6=0， 两式相减除以2，可得a 1+a 3+a 5=−8， 故答案为：2；−8．把(1+x)4展开，根据a 4=−11，求得m ；再分别令x =±1，求出a 1+a 3+a 5的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．14.【答案】3n−1 3【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，故a1=1，∴当n≥2时，有2S n−1=3a n−1−1，∴2a n=3a n−3a n−1⇒a n=3a n−1，∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1，∵a m=4log3a k+3，∴3m−1=4(k−1)+3=4k−1，∴m=log3(4k−1)+1，∴m+k=log3(4k−1)+1+k，在k≥1时单调递增，∴当k=1时，m+k取最小值：3．故答案为：3n−1，3．根据S n为数列{a n}的前n项和，2S n=3a n−1，求得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，进而求解通项公式，再求解结论即可．本题主要考查数列通项公式和前n项和之间关系式的应用，以及通项公式的求解，属于中档题．15.【答案】12【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：A(a,0)，F(c,0)，则d1=22=abc，d2=22=bcc=b，则d1d2=abcb=ac=1e=12，故答案为：12．求出A，F的坐标，利用点到直线的距离公式进行计算即可．本题主要考查点到直线的距离的计算，求出点的坐标，利用距离公式是解决本题的关键，是基础题．16.【答案】52【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用 【解析】解：因为cosB =−35，a =5，b =4√5， 所以sinB =√1−cos 2B =45，可得tanB =−43， 由正弦定理asinA =bsinB ，可得sinA =5×454√5=√55，cosA =2√55，tanA =12， 所以tanC =tan(π−A −B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =−12+(−43)1−12×(−43)=12，因为点D 在线段AC 上，且BD ⊥BC ， 所以tanC =12=BD BC=BD 5，解得BD =52．故答案为：52．由已知利用同角三角函数基本关系式可求tan B 的值，由正弦定理可得sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求tan A ，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切公式可求tanC =12，进而即可求解BD 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】56【知识点】函数的零点与方程根的关系 【解析】解：由题意可得，a ，b 与c ，d 表示的线段不重合，且a 与b 和c 与d 间隔相等，若a ，b 和c ，d 间隔均为1，则有2×(3+2+1)=12种，若a ，b 和c ，d 间隔均为2，则有2×1=2种，又a ，b 可互换，c ，d 也可互换，所以总数为(12+2)×2×2=56种，即a ，b ，c ，d 的可能取值共有56种． 故答案为：56．易知，a，b与c，d表示的线段不重合，且a与b和c与d间隔相等，作出图象，分a，b和c，d间隔均为1以及a，b和c，d间隔均为2两种情况讨论，再结合a，b可互换，c，d也可互换，即可得出答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅[sinx−sin(x+π3)]=cosx(sinx−12sinx−√32cosx)=12sinxcosx−√32cos2x=14sin2x−√34cos2x−√34=12sin(2x−π3)−√34，令2x−π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=5π12+ kπ2，k∈Z，∴函数f(x)的图象的对称轴是直线x=5π12+ kπ2，k∈Z．(2)由x∈[0,π2]，可得2x−π3∈[−π3,2π3]，∴sin(2x−π3)∈[−√32,1]，∴f(x)∈[−√32,2−√34]，∴f(x)的值域为[−√32,2−√34].【知识点】两角和与差的三角函数公式、三角恒等变换【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为f(x)=12sin(2x−π3)−√34，进而根据正弦函数的性质可求出f(x)的对称轴；(2)根据x的范围可求出2x−π3的范围，结合正弦函数的图象即可求出sin(2x−π3)的范围，进而求出f(x)的范围，即f(x)的值域．本题考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：连接AC交BD于点M，连接GM，EM，由已知得AMGE为平行四边形，∴AE//MG，又AE⊄平面ADH，MG⊂平面BDG，∴AE//平面BDG．(2)由(1)知AE//平面BDG ，又AE ⊂平面ADH ，∴由线面平行的性质定理得AE//m ， ∴MG//m ，故直线m 与平面BCG 所成角即为直线MG 与平面BCG 所成角， 设直线m 与平面BCG 所成角为θ，M 到平面BCG 的距离为h ， ∵EH =DH =12AD =1，∴GC =√2， 又BC ⊥CG ，∴S △BCG =12×BC ×CG =√2，又S △MBC =1，∴由V G−MBC =V M−BCG ，得13×S △MBC ×HD =13×S △BCG ×ℎ， 解得ℎ=√22，又MG =AE =√2，∴sinθ=ℎMG =12， ∴直线m 与平面BCG 所成角的正弦值为12．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定【解析】(1)连接AC 交BD 于点M ，连接GM ，EM ，推导出AMGE 为平行四边形，AE//MG ，由此能证明AE//平面BDG ．(2)由AE//平面BDG ，利用线面平行的性质定理得AE//m ，从而MG//m ，故直线m 与平面BCG 所成角即为直线MG 与平面BCG 所成角，利用等体积法能求出直线m 与平面BCG 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：正项数列满足a 1=1，a 2=2，对任意的正整数n ，1+a n+12是a n 2和a n+22的等差中项， 可得2(1+a n+12)=a n 2+a n+22， 化为(a n+22−a n+12)−(a n+12−a n 2)=2，所以{a n+12−a n 2}是首项为a 22−a 12=3，公差为2的等差数列， 则a n+12−a n 2=3+2(n −1)=2n +1，则a n2=a 12+(a 22−a 12)+...+(a n 2−a n−12)=1+3+5+...+(2n −1)=12n(1+2n −1)=n 2，由于a n >0，可得a n =n ；(2)证明：由√n +1−√n =√n+1+√n >√n+1+√n+2==√n +2−√n +1，所以2√n +1>√n +√n +2，2√n+12n−1>√n+√n+22n−1， 所以√n 2<√n+12−√n+22， 又b n =√n2n−1， S n =√121−1+√222−1+...+√n2n−1<√221−2−√321−1+√320−√42+...+√n+12n−2−√n+22n−1=2√2−√n+22n−1． =2√2−4√a n+22n−1=2√2−4b n+2．即有S n <2√2−4b n+2(n ∈N ∗)．【知识点】数列求和方法【解析】(1)由等差数列的中项性质和数列的恒等式，运用等差数列的定义，可得证明，由等差数列的通项公式可得a n ； (2)先推得√n 2n−1<√n+12n−2−√n+22n−1，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 本题考查等差数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和和不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设点P 的坐标为P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1(−2<x 0<2)，由已知可得A(−2,0)，B(2,0)， 所以k 1k 2=y 0x 0+2⋅y 0x 0−2=y 02x 02−4=1−x 024x 02−4=−14．(2)由题意可知直线AP 的方程为：y =k 1(x +2)， 则M(m,k 1(m +2))，由{y =k 1(x +2)x 24+y 2=1，得(1+4k 12)x 2+16k 12x +16k 12−4=0， 所以−2⋅x P =16k 12−41+4k 12，所以x P =2−8k 121+4k 12，y P=4k11+4k 12， 所以PB 的中点Q(21+4k 12,2k 11+4k 12)，当直线QM 的斜率存在时，由题意知k OM ⋅k 2=−1， 又k 1k 2=−14，所以k OM =4k 1， 所以k 1(m+2)−2k 11+4k 12m−21+4k 12=4k 1，化简得m =21+4k 12+23，所以m ∈(23,83)，当直线QM 的斜率不存在时，m =21+4k 12∈(0,2)，综上所述，m 的取值范围为(0,2)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义 【解析】(1)设点P 的坐标为P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1(−2<x 0<2)，再计算k 1k 2即可得出答案．(2)由题意可知直线AP 的方程为：y =k 1(x +2)，则M(m,k 1(m +2))，联立直线AP 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x P ，进而可得y P ，即可得出Q 点坐标，分两种情况：当直线QM 的斜率存在时，当直线QM 的斜率不存在时，m 的取值范围．本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)依题意，2+x 2e x −1≥−x2对任意x ∈[t,+∞)均成立，即(x −2)e x +x +2≥0对任意x ∈[t,+∞)均成立，令ℎ(x)=(x −2)e x +x +2，则ℎ′(x)=(x −1)e x +1，ℎ′′(x)=xe x ， 易知当x <0时，ℎ′′(x)<0，当x >0时，ℎ′′(x)>0， ∴ℎ′(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增， ∴ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， ∴ℎ(x)在R 上单调递增， 又ℎ(0)=0，∴当x ≥0时，ℎ(x)≥0恒成立，即f(x)≥−x2恒成立， ∴t ≥0，即实数t 的取值范围为[0,+∞)；(2)由(1)知，当x ∈[0,+∞)时，f(x)≥−x2恒成立，即2f(x)+x ≥0恒成立，当x ∈(−∞,0]时，2f(x)+x ≤0恒成立，而2g(x)+x =2ax 3+4xcosx +x 为R 上的奇函数，所以要使当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈R，[2f(x)+x][2g(x)+x]≥0恒成立，只需当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，2g(x)+x=2ax3+4xcosx+x≥0恒成立即可，即当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，m(x)=2ax2+4cosx+1≥0恒成立即可，若n≤0，则a可取1π2，此时始终有m(π)=2×1π2×π2−4+1=−1<0，不合题意，故n>0，若当n=1时满足题意，即对a∈(π6,+∞ ),x∈[0,+∞)，都有m(x)=2ax2+4cosx+1≥0成立，①当x∈[0,π2]时，m(x)>0显然成立；②当x∈(π2,3π4]时，m(x)>2×π6×(π2)2+4×(−√22)+1>0，符合题意；③当x∈(3π4,+∞)时，m(x)>2×π6×(3π4)2−4+1>0，符合题意．综上，整数n的最小值为1．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)依题意，(x−2)e x+x+2≥0对任意x∈[t,+∞)均成立，令ℎ(x)=(x−2)e x+x+2，对ℎ(x)求导可知当x≥0时，ℎ(x)≥0恒成立，由此可得t的范围；(2)由于2f(x)+x≥0在[0,+∞)上恒成立，2f(x)+x≤0在(−∞,0]上恒成立，而2g(x)+x=2ax3+4xcosx+x为R上的奇函数，故问题转化为当a∈(nπ6,+∞)时，对任意的x∈[0,+∞)，m(x)=2ax2+4cosx+1≥0恒成立即可，首先判断当n≤0时，不合题意，再验证当n=1时符合题意，即可求得满足条件的n的最小整数值．本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及转化思想，考查推理能力及运算求解能力，属于难题．。

浙江省温州市2021届新高考数学三模试卷含解析

浙江省温州市2021届新高考数学三模试卷含解析

浙江省温州市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.2．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）A ．1eB．CD ．21e 【答案】A 【解析】 【分析】画出分段函数图像，可得121x x =，由于()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln xg x x=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解. 【详解】由于22123012x x e x e <<<<<<+，1212ln ln 1x x x x -=⇒=,由于()()122222ln f x f x x x x x ==， 令()ln xg x x =，()21x e ∈，， ()()21ln xg x g x x=⇒'-在()1e ，↗，()2e e ，↘ 故()1()max g x g e e==.故选：A 【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.3．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验【详解】由题,21cos2()sin2xf x x -==,则向右平移12π个单位可得,1cos21112()cos22262xg x xππ⎛⎫--⎪⎛⎫⎝⎭==--+⎪⎝⎭cos2[1,1]6xπ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭,()g x∴的值域为[0,1],①错误；当12xπ=时,206xπ-=,所以12xπ=是函数()g x的一条对称轴,②正确；当3xπ=时,226xππ-=,所以()g x的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭,③正确；()sin2[1,1]6g x xπ⎛⎫'=-∈-⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x''∃∈=-=,使得12()()1g x g x''⋅=-,则()g x在1x x=和2x x=处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A．5.45B．4.55C．4.2D．5.8【答案】B【解析】∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩. ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.5．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.6．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A．32- B．32- C ．4- D ．2【答案】D 【解析】推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】()()()221cos 138f x x m x m m =+-+++-，则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()24cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象如下图所示：此时，函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；②当2m =时，()cos 11x +≤，()()()212cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出10f -=，7．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 9．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【分析】在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 11．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷-含答案与解析

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷-含答案与解析

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D125（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D366（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜09（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法（用数字作答）12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a 的取值范围是13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝，b5＝17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是，|AB|+|CD|的最大值是四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x【分析】由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程【解答】解：由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝2，可得渐近线方程为y＝±2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由u＝x ﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B（2，0）时，直线y＝x﹣的截距最小，此时u最大：2，由，解得A（，），直线经过A时，u取得最小值：，所以z＝|x﹣2y|的最大值：2故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC﹣DEF切去一个三棱锥体C ﹣DEF如图所示：所以：V＝＝4故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D36【分析】由已知结合等差数列的和公式可求d，然后结合等差数列的性质即可求解【解答】解：因为{a n}是等差数列，a1＝11，且S5＝S7，∴S7﹣S5＝0，所以a6+a7＝0，所以2a1+11d＝0即d＝﹣2，因为a1＝11＞0，∴a6＞0，a7＜0，则S n的最大值为S6＝6×11+15×（﹣2）＝36故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及性质的应用，属于基础试题6（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由，根据正弦定理可得：＝，化为a＝b反之不成立，即可判断出结论【解答】解：由，根据正弦定理可得：＝，化为：（a﹣b）（a+b+c）＝0，解得a＝b∴△ABC为等腰三角形，反之不成立，可能a＝c，或b＝c∴“”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了正弦定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）【分析】依题意，ξ服从两点分布，可知E（ξ），D（ξ），再求出E（η）和D（η）即可得到结论【解答】解：依题意，随机变量ξ服从两点分布，故E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1﹣p），又η＝|ξ﹣E（ξ）|，所以η的取值为p，1﹣p，且P（η＝p）＝1﹣p，P（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝p（1﹣p）+p（1﹣p）＝2p（1﹣p），D（η）＝E（η2）﹣E2（η）＝[p2（1﹣p）+（1﹣p）2p]﹣[2p（1﹣p）]2＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]，∴E（η）﹣E（ξ）＝2p（1﹣p）﹣p＝p﹣2p2＝p（1﹣2p），可能为正也可能为负，即E（η）和E（ξ）大小关系不确定；∵0＜p＜1，∴D（η）﹣D（ξ）＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]﹣（p﹣p2）＝﹣4p2（1﹣p）2＜0，∴D（η）＜D（ξ）故选：C【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了两点分布，考查了大小比较，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜0【分析】求出原函数的导函数，结合图象可得导函数根的分布，再由二次函数根的分布与系数的关系逐一分析四个选项得答案【解答】解：由f（x）＝（a≠0），得f′（x）＝，令﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c＝0，由图可知该方程一个根在（﹣1，0）之间，一个根大于1 且二次函数g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的图象开口向下，则a＞0，故A错误；g（0）＝b﹣c＞0，故C错误；g（1）＝a﹣c＞0，故B正确；g（﹣1）＝﹣3a+2b﹣c＜0，则3a﹣2b+c＞0，故D错误故选：B【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，考查二次函数根的分布与系数的关系，是中档题9（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D【分析】画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可【解答】解：椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，可得|AF1|＝|AF2|＝a，|PF1|+|PF2|＝2a，若|PF1|＝|PA|，所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，cos∠APF1＝＝，可得：a2＝3c2，所以椭圆的离心率为：故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D【分析】连接BE，以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面VBC与平面VEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解【解答】解：由底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，得Rt△ABC≌Rt△AVC，∴VA＝VC＝BA＝BC设VA＝VC＝BA＝BC＝2，由E为线段AC的中点，可得VE＝EB＝由VE2+BE2＝VB2，可得VE⊥EB以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C（0，，0），B（，0，0），V（0，0，），设F（x，x﹣，0），，，，设平面VBC的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面VEF的一个法向量为，由，取y1＝1，得平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝令f（x）＝当x＝时，f（x）min＝3∴cosθ的最大值为故选：D【点评】本题考查利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力与运算求解能力，关键是建立恰当的空间直角坐标系，是中档题二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有114 种不同安排方法（用数字作答）【分析】分3，1，1和2，2，1两类，每类中用间接法先不考虑甲乙直接用排列组合数公式求出安排方法，再减去甲乙在一个路口的分法，最后把求出的两类相加即可【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有C A﹣C C A＝42种；有两路口分2人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有A﹣C C A＝72种，则由加法原理共有42+72＝114种故答案为：114【点评】本题考查基本原理，排列组合数公式的应用，用间接法解决该题可避免讨论，简化运算，属于中档题12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a的取值范围是【分析】当a＞0时，由函数的单调性可知y＝在（1，2）内的范围，结合题意得到关于a的不等式组求解；当a＝0时，由函数的单调性可知不合题意；当a＜0时，结合对勾函数的性质可确定最值点所满足的范围【解答】解：当a＞0时，y＝在（1，2）上单调递增，可得＜y＜，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则，即f（x）min＝0，得＜a＜；当a＝0时，f（x）＝，在（1，2）上单调递增，不存在最小值，不合题意；当a＜0时，＝，∵x∈（1，2），∴e x∈（e，e2），又（当且仅当，即时取等号），∴若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则e＜＜e2，解得＜a＜∴a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查利用函数在区间内的最值求解参数的范围问题，关键是通过分类讨论的方式根据函数的单调性确定参数在不同范围时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此构造不等式求解结果，属难题13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是【分析】＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号然后分类求解的值，则的最小值可求【解答】解：＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号△ABC三边长分别为3，，，若|BC|＝，则，此时原式＝；若|BC|＝3，则，此时原式＝；若|BC|＝，则，此时原式＝∴的最小值是故答案为：﹣【点评】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有 3 盏灯，塔底层有192 盏灯【分析】设从上向下的灯的数记为{a n}，数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝381，结合等比数列的求和公式可求a1，进而可求【解答】解：设从上向下的灯的数记为{a n}，则数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝381，解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192故答案为：3，192【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝【分析】利用复数的运算法则求出z，再由复数虚部，模的定义即可得出【解答】解：因为z（1+i）＝﹣2+i，所以z＝＝＝＝﹣+i，则z的虚部是，|Z|＝＝，故答案是，【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝﹣64 ，b5＝11【分析】令x＝﹣1可求第一个空，根据b5为x5的系数；求出第二个空【解答】解：∵令（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7；令x＝﹣1可得2×（﹣2）5＝a0+a1+a2+…+a7；即a0+a1+a2+…+a7＝﹣64；∵（x2+1）（x﹣1）5＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，∴b5为x5的系数；含x5的项为：x2•x3•（﹣1）2+1×x5＝11x5；故b5＝11；故答案为：﹣64，11【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，式子的变形是解题的关键，属于中档题17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 2 ，|AB|+|CD|的最大值是【分析】先由弦长最小只需圆心到直线的距离最远⇒弦长|AB|的最小值；然后对直线l1的斜率的情况进行讨论，求得|AB|+|CD|，研究其最大值即可【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1距离d最长，所以直线l1⊥OP，d max＝，所以|AB|min＝2＝2①当直线l1斜率不存在时，由上可知|AB|＝2，|CD|＝4，此时|AB|+|CD|＝6；②当直线l1斜率为0时，可得：|AB|＝4，|CD|＝2，此时|AB|+|CD|＝6；③当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为：y＝k（x﹣），此时直线l2方程为：y＝﹣（x﹣），∵圆心O到直线l1的距离d1＝，∴|AB|＝2＝2＝2＝2，同理|CD|＝2＝2＝2，令＝t，则t∈（0，3），此时|AB|+|CD|＝2（+）＝2＝2，t∈（0，3），易知当t＝时，|AB|+|CD|的最大值为2故答案分别为：2；2【点评】本题主要考查圆中的弦长公式及弦长之和的最值问题，属于中档题四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果（Ⅱ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域【解答】解：（Ⅰ），＝，＝，∴T＝π（Ⅱ），所以所以即所以f（x）的最大值为当，即x＝时，函数f（x）取得最大值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值【分析】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE，证明AF⊥PC，ME ⊥PC，证明BE⊥AC，BE⊥PC推出PC⊥面MBE，说明PC⊥BM（2）过E作EH⊥MB垂足为H，EH即是E到面PBC的距离，通过求解三角形求解即可解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，证明BE⊥PC，推出PC⊥面MBE，即可证明PC ⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，连BO可得PB2＝PO2+BO2，令A到面PBC的距离为h O，通过V A﹣PBC＝V P﹣ABC，求出h O，转化求解AB与面PBC所成角的正弦值解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，通过，推出BM⊥PC，（2）求出面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解AB与面PBC所成角的正弦值【解答】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE∵PA＝AC，∴AF⊥PC，又∵，∴M是CF的中点，∴AF∥ME，ME⊥PC，又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC且二平面交于AC，∴BE⊥面PAC，BE⊥PC又∵ME∩BE＝E，∴PC⊥面MBE，∴PC⊥BM（2）由①知PC⊥面MBE，∴面MBE⊥面PBC且交于MB，∴过E作EH⊥MB垂足为H，EH 即是E到面PBC的距离，∵BE⊥ME，∴，又∵E是AC的中点，∴A到面PBC的距离，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，∵AB＝BC＝2，∴BE⊥AC，CE＝1，又∵面PAC⊥面ABC且交于AC∴BE⊥面PAC，∴BE⊥PC，∵PA＝AC＝2，∠PAC＝120°，又∵，∴，∠PCA＝∠APC＝30°，∵，∴，CM⊥ME，∴PC⊥面MBE，PC⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，∵面PAC⊥面ABC且交于AC，∴PO⊥面ABC，连BO可得PB2＝PO2+BO2，又∵AC＝AP＝2，∠PAC＝120°，∴，，AO＝1，又∵，∴，∴，∴，∴，令A到面PBC的距离为h O，则V A﹣PBC＝V P﹣ABC∴，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，由已知可得，，∴，，∴∴BM⊥PC，（2）由（1）可知，设面PBC的法向量为，则，令y＝1，则，z＝3，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：【分析】（Ⅰ）先由题设条件⇒{}为常数列，进而求得a n，再由题设条件分别求出当n为奇数、偶数时的c n，即可求得a n与c n；（Ⅱ）分别利用放缩法、裂项相消法求证出与即可【解答】解：（Ⅰ）解：由已知可得：，即，∴{}为常数列，∴，又a1＝1，∴又∵，∴（n为奇数）；又∵c2n﹣1，c2n，c2n+1是等比数列，∴，∴c2n ＝（2n﹣1）•（2n+1），∴（n是偶数），综上可得，c n＝（Ⅱ）证明：先证：①当n＝2时，，显然成立；②当n≥3时，，∴n≥3时，，∴＝＝再证：①n＝2时，左边＝，右边＝，成立；②n≥3时，＝＝﹣综上，所以【点评】本题主要考查构造法求数列通项公式及利用放缩法、裂项相消法证明不等式，难度较大21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值【分析】（I）解法一：F（0，1），设，求出PA的方程，PB的方程，通过P在PA，PB上，得到说明直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，通过得x2﹣4kx﹣4m＝0，利用韦达定理，切线方程求出m，即可说明结果（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可【解答】解：（I）解法一：F（0，1），设，则即同理又P在PA，PB上，则，所以所以直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，则由得x2﹣4kx﹣4m＝0，所以x1+x2＝4kx1•x2＝﹣4m，过A的切线方程为，过B的切线方程为，所以交点P的坐标为因为P在直线y＝﹣1上，所以x1•x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1即直线过焦点F（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，则，则，P到AB的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在[2，+∞）上是增函数，则四边形ABRQ面积的最小值为3【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，切线方程的求法以及函数的单调性的判断，最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出h（x）的导数，结合题意得到＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则＝﹣2+，问题转化为8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，构造函数，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（i）若a≤0，则ax﹣2＜0，则f（x）在（0，）递增，在（，+∞），（ii）若0＜a＜，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（iii）若a＝，则f（x）在（0，+∞）递增，（iV）若a＞，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝ax2﹣4x+6lnx+6，h′（x）＝2ax﹣4+＝，若y＝h（x）有2个极值点，则ax2﹣2x+3＝0有2个解x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，且△＝4﹣12a＞0，x1＞0，x2＞0，故0＜a＜，则＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则x1﹣x2＝（x1﹣x2）•＝（x1﹣x2）（+）×＝（t ﹣），∴＝﹣2+，若＞﹣2，则＞，即8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，令m（t）＝8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3，m（3）＝0，m（1）＝0，m′（t）＝8lnt+8﹣6tln3，m′（1）＝8﹣6ln3＞0，m′（3）＝8﹣10ln3＜0，m″（t）＝，故y＝m′（t）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又m′（1）＞0，m′（3）＜0，则在区间（，3）内存在t0使得m′（t0）＝0，函数y＝m（x）在（1，t0）递增，在（t0，3）递减，由m（3）＝0，m（1）＝0，故t∈（1，3）时满足，＝t+2+＝＝，故a＝∈（，），即实数a的范围是（，）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题。

浙江省温州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．2．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的值为( ) A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】B 【解析】 【分析】设BM tBC =u u u u v u u u v，通过12AN AM =u u u v u u u u v ，再利用向量的加减运算可得122t t AN AB AC -=+u u u v u u u v u u u v ，结合条件即可得解. 【详解】设BM tBC =u u u u v u u u v，则有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v. 又AN AB AC u u u v u u u v u u u v λμ=+，所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 故选B. 【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,⎛- ⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛= ⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知函数()21x f x x -＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ） A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 5．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23BM ==，∴tan 603AM BM =︒==．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 6．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．max372a c-=r r B ．max372a c-+=r r C ．min37a c+-=r rD ．min37a c-+=r r【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，(3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，(3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 337312a c ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 8．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】设数列的公差为,0d d ≠，125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，解①②可得2d =. 故选：B .本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.11．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M(3，，根据MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM 的方程是y －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M(3，，由MN ⊥l 得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF 的距离为4=故选：C. 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市2021届新高考三诊数学试题含解析

浙江省杭州市2021届新高考三诊数学试题含解析

浙江省杭州市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 2．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.3．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ∆的面积. 【详解】AD 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.ADB ADC π∠+∠=，则ADC ADB π∠=-∠，()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD =∠∠，①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CDADC CAD=∠∠，②①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=， 由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅，215sin 1cos B B ∴=-=， 因此，ABD ∆的面积为1sin 152ABD S AB BD B ∆=⋅=. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.5．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（ ） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:()12EB BC BA =-+,()12FC CB CA =-+ ()()1122EB FC BC BA CB CA +=-+-+1122AB AC AD =+= 故选:B 【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.6．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,9 C ．[]1,8 D ．[]1,9【答案】A 【解析】 【分析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得()()212121212129AB MN O O AO O B O O AO O B AO O B -⎡⎤⋅=++⎡⎤⋅=⎣⎦-⎣⎦++，结合12AO O B +的范围即可求解【详解】 如图，()()()()1122112212121212AB MN AO O O O B MO O O O N O O AO O B O O AO O B ⎡⎤⎡⎤⋅⎣⎦⎣⎦⋅=++⋅++=++-+2221212129O O AO O B AO O B =-+=-+其中[][]1221,211,3AO O B +∈-+=，所以[]2293,910,8AB MN ⋅∈-⎡⎤⎣-=⎦.故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题7．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=为偶函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 8．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C.9．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】C 【解析】 【分析】由5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++知，展开式中2x 项有两项，一项是5(1)x +中的2x 项，另一项是2x与5(1)x +中含x 的项乘积构成. 【详解】由已知，5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++，因为5(1)x +展开式的通项为5r rC x ，所以展开式中2x 的系数为2155220C C +=. 故选：C. 【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.10．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =211822AO PA x ∴==+ 1222AG BC x ==，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即22221182x ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.11．若()*3n x n N x x ⎛+∈⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π【答案】C 【解析】()*3x nn N x x+∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n x x ---+=== ⎪⎝⎭，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1． 所以5222252552a aa x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年浙江省温州市鹿城区二中中考数学三模试卷(解析版)

2021年浙江省温州市鹿城区二中中考数学三模试卷(解析版)

2021年浙江省温州市鹿城区二中中考数学三模试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．计算的结果是（）A．﹣1B．1C．0D．﹣42．如图，由五个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．a3•a＝a2B．a3÷a＝a2C．a3+a＝a2D．a3﹣a＝a24．在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球1个，红球3个，黑球2个．将袋中的球搅匀，随机从中取出1个球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．5．使分式有意义的字母x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠3C．x≠4D．x≠3且x≠4 6．小明参加射击比赛，成绩统计如表：成绩（环）678910次数12331关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．平均数是8环B．众数是8环C．中位数是8环D．方差是2环27．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（）cm2．A．2πB．6πC．9πD．12π8．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（）米．A．0.4B．0.5C．D．0.69．已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+＝﹣x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1+＝﹣y2 10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA 的长为（）A．B．2C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：3a2b﹣ab2＝．12．如图，在△ABC中，BC＝2，D，E分别为AB，AC边的中点，则DE的长为．13．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于．14．一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为．15．如图，已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A作AB∥x轴交y＝﹣的图象于点B．以OB，BA为边作▱OBAC，连结BC交y轴于点D，则S△COD ＝．16．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tan B＝，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为18cm，则门宽AD＝．如图3，已知∠A ＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是cm．三、解答题（本大题共8小题，满分80分）17．（1）计算：|﹣4|+（+1）0﹣．（2）化简：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7．18．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB ＝，求△CAD的面积．19．对九年级学生参加“立定跳远”、“耐力跑”、“掷实心球”、“引体向上”四个体育项目进行抽样调查，成绩评定分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C，D分别表示优秀，良好，合格，不合格，现抽取400名学生进行统计分析，并绘制成如下的扇形统计图、人数统计表（不完整）．四个等级人数统计表A B C D等级人数项目立定跳远303620耐力跑253025掷实心球182216引体向上15303524（1）请将以上统计表补充完整（直接填入数据，不写解答过程）；（2）扇形统计图中“掷实心球”部分所对应扇形的圆心角∠α的度数是°；（3）今年一共有12000名九年级学生参加体育中考的“耐力跑”，试估计“耐力跑”成绩达到合格及合格以上大约有多少人？20．在如图所示的6×6方格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．②保留作图痕迹．（1）在图1中找出格点D使得四边形ABCD为平行四边形；（2）在图2中，在BC边上作点E，使得S△ABE＝S△ABC．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．（1）若OB＝OC，求抛物线的表达式；（2）P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．22．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O 的切线DE，交AC于点E．（1）证明：DE⊥AC；（2）连接OE，当sin∠ABC＝，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．23．某商店准备购进甲、乙两种洗手液，已知甲种洗手液的进价比乙种的进价每瓶多4元，用1000元购进甲种洗手液和用800元购进乙种洗手液的数量相同．（1）甲、乙两种洗手液每瓶进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种洗手液共80瓶，甲、乙两种洗手液的每瓶售价分别为28元和20元；①若这两种洗手液全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？②若该商店捐赠10瓶洗手液给卫生院，剩余的洗手液全部售出，现要使得80瓶洗手液的利润率等于15%，则该商店应购进甲、乙两种洗手液各多少瓶？（利润率＝×100%）24．已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（b＞2），E，F为BC边上的点，BE＝CF＝1．连结AE，AF，DF，BD．（1）已知a＝3，如图1，①当∠AEB＝∠AFD时，求证：AF＝AD；②若△AEF与△DBF相似，求b的值．（2）作△ABF的外接圆⊙O，如图2，记⊙O的半径为r．若a＝3，则当⊙O与△DCF 的一边相切时，求所有满足要求的r的值；（3）已知a＝1，如图3．若经过A，E，D三点的⊙O′的半径R满足≤R≤5，则线段EF的范围为（直接给出答案）．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．计算的结果是（）A．﹣1B．1C．0D．﹣4【分析】根据有理数的乘法法则即可解答．解：﹣×2＝﹣1，故选：A．2．如图，由五个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．故选：D．3．下列计算正确的是（）A．a3•a＝a2B．a3÷a＝a2C．a3+a＝a2D．a3﹣a＝a2【分析】A；根据同底数幂的乘法法则即可得结果；B：根据同底数幂的除法则即可得结果C：原式不能合并同类项；D：原式不能合并同类项．解：A：原式＝a3，∴不符合题意；B：原式＝a2，∴符合题意；C：原式不能合并同类项，∴不符合题意；D：原式不能合并同类项，∴不符合题意．故选：B．4．在一个不透明的布袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球1个，红球3个，黑球2个．将袋中的球搅匀，随机从中取出1个球，则取出黑球的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用取出黑球概率＝口袋中黑球的个数÷所有球的个数，即可求出结论．解：取出黑球的概率为＝．故选：B．5．使分式有意义的字母x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠3C．x≠4D．x≠3且x≠4【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断．解：根据题意得x﹣4≠0，则x≠4．故选：C．6．小明参加射击比赛，成绩统计如表：成绩（环）678910次数12331关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．平均数是8环B．众数是8环C．中位数是8环D．方差是2环2【分析】根据平均数、标准差、众数和中位数的概念逐一计算可得．解：A．这组数据的平均数＝8.1（环），此选项错误；B．众数为8环和9环，此选项错误；C．中位数是＝8（环），此选项正确；D．方差×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝（环2），此选项错误；故选：C．7．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为（）cm2．A．2πB．6πC．9πD．12π【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．故选：B．8．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（）米．A．0.4B．0.5C．D．0.6【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．解：如图1，在Rt△AOH中，sin A＝＝，∴OA＝2OH，同理可得：OB＝3OH，∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故选：D．9．已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+＝﹣x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．y1+＝﹣y2【分析】求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣3，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断y1与y2的大小．解：∵y＝（x+3）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，∵x1＜x2，且x1+＝﹣x2，∴x1+x2＝﹣，∴＝﹣，∵﹣＞﹣3，∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，∴y1＜y2．故选：A．10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA 的长为（）A．B．2C．D．【分析】连结OF，作FG⊥OB于点G，可得△EOD∽△DGF，然后设DE＝10x，OD＝10y，可得DG＝9x，FG＝9y，再结合勾股定理可以列出方程组，求出y即可．解：连结OF，作FG⊥OB于点G，∵∠EDF＝90°，∴∠ODE+∠FDG＝90°，∵∠DFG+∠FOG＝90°，∴∠DFG＝∠ODE，∵∠EOD＝∠DGF＝90°，∴△EOD∽△DGF，∴，设DE＝10x，OD＝10y，则DG＝9x，FG＝9y，∵OE2+OD2＝ED2，∴（10x）2+（10y）2＝102，∴x2+y2＝1，∵DO＝2BD，∴BD＝5y，∴OF＝OB＝15y，∵OG2+FG2＝OF2，∴（10y+9x）2+（9y）2＝（15y）2，整理得180xy＝125y2﹣81，∴（180xy）2＝（125y2﹣81）2，∴32400（1﹣y2）⋅y2＝15625y4+20250y2+6561，整理得：48025y4﹣52650y2+6561＝0，解得：或，∵BD＞DG，∴5y＞9x＞0，即（5y）2＞（9x）2，当时，，，∴（舍去），∴，∴，∴＝，故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：3a2b﹣ab2＝ab（3a﹣b）．【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．解：原式＝ab（3a﹣b）．故答案为：ab（3a﹣b）．12．如图，在△ABC中，BC＝2，D，E分别为AB，AC边的中点，则DE的长为1．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×2＝1，故答案为：1．13．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于1800°．【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．解：多边形的边数是：＝12．则内角和是：（12﹣2）•180＝1800°14．一组数据1，3，2，7，x，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为3．【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．解：根据题意知＝3，解得：x＝3，则数据为1、2、2、3、3、3、7，所以众数为3，故答案为：3．15．如图，已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A作AB∥x轴交y＝﹣的图象于点B．以OB，BA为边作▱OBAC，连结BC交y轴于点D，则S△COD＝．【分析】过A点作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，易求得AB＝OC，ON＝CM，根据反比例函数系数k的几何意义得到S四边形BNOE＝4，S四边形OMAE＝1，进一步得到OC：CN＝5：9，设ON＝CM＝4x，OD＝y，则OC＝5x，CN＝9x，根据平行线分线段成比例定理得到BN＝y，根据三角形面积公式即可求得结果．解：过A点作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∵四边形OBAC是平行四边形，∴AB＝OC，由平移的性质可知ON＝CM，∵A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B在反比例函数y＝﹣的图象上．∴S四边形BNOE＝4，S四边形OMAE＝1；∴ON：OM＝4：1，∴OC：CN＝5：9，设ON＝CM＝4x，OD＝y，则OC＝5x，CN＝9x，∵OD∥BN，∴＝，即＝，∴BN＝y，∵S△OBN＝＝×4＝2，∴x•y＝2，∴xy＝∴S△COD＝OC•OD＝5x•y＝xy＝×＝，故答案为：．16．如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tan B＝，且点A，C，D在一条直线上，测得A，C间的距离为18cm，则门宽AD＝90cm．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P 顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是36cm．【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据tan B＝，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接CM'，判断当AP＝MP时，PM'⊥CM'，此时CM'最小，通过解直角三角形即可求解．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，∵tan B＝，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，∴49x2+16x2＝（18）2，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，当AP＝MP时，PM'⊥CM'，此时CM'最小，∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴∠MPM'＝60°，点M'在AB边上，连接CM'，此时CM'⊥AB，∴tan A＝tan30°＝，∴CM'＝36．故答案为：36．三、解答题（本大题共8小题，满分80分）17．（1）计算：|﹣4|+（+1）0﹣．（2）化简：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣6）﹣7．【分析】（1）先化简，然后进行加减运算；（2）先用平方差公式、单项式与多项式相乘的运算法则，然后合并同类项．【解答】（1）原式＝4+1﹣2＝5﹣2；（2）原式＝9﹣m2+m2﹣6m﹣7＝2﹣6m．18．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE；（2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB ＝＝，∴AD＝5．∴AE ＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD ＝AB•DE ＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD ＝．19．对九年级学生参加“立定跳远”、“耐力跑”、“掷实心球”、“引体向上”四个体育项目进行抽样调查，成绩评定分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C，D分别表示优秀，良好，合格，不合格，现抽取400名学生进行统计分析，并绘制成如下的扇形统计图、人数统计表（不完整）．四个等级人数统计表A B C D等级人数项目立定跳远303620耐力跑253025掷实心球182216引体向上15303524（1）请将以上统计表补充完整（直接填入数据，不写解答过程）；（2）扇形统计图中“掷实心球”部分所对应扇形的圆心角∠α的度数是72°；（3）今年一共有12000名九年级学生参加体育中考的“耐力跑”，试估计“耐力跑”成绩达到合格及合格以上大约有多少人？【分析】（1）根据抽取的学生数和各自所占的百分比即可得出表格中的数据；（2）用360°乘以“掷实心球”的人数所占的百分比即可；（3）用九年级学生参加体育中考的总人数乘以“耐力跑”成绩达到合格及合格以上的人数所占的百分比即可．解：（1）根据题意填表如下：A B C D等级人数项目立定跳远30362010耐力跑25304025掷实心球18242216引体向上15303524（2）扇形统计图中“掷实心球”部分所对应扇形的圆心角∠α的度数是：360°×＝72°．故答案为：72；（3）12000×＝2850（人），答：估计“耐力跑”成绩达到合格及合格以上大约有2850人．20．在如图所示的6×6方格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角．②保留作图痕迹．（1）在图1中找出格点D使得四边形ABCD为平行四边形；（2）在图2中，在BC边上作点E，使得S△ABE＝S△ABC．【分析】（1）根据平行四边形的判定作出图形即可．（2）取格点M，N，连接MN交BC于点E，连接AE，点E即为所求．解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求．（2）如图2中，点E即为所求．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．（1）若OB＝OC，求抛物线的表达式；（2）P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．【分析】（1）由OB＝OC得出C的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；（2）先根据BE＝EC求出点E的坐标，再求出BE的长度，把P的坐标用含a的式子表示出来，根据EB＝EP即可得出答案．解：（1）∵OB＝OC，∴C（0，﹣3），把A，B，C代入y＝ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，连接BC，∵EB＝EC，∴E是BC的中点，∴E的坐标为（，），∴P的横坐标为，把A，B代入y＝ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），把x＝代入y＝a（x2﹣2x﹣3），得y＝，∴P（，），∴EP＝＝，解得a＝，∴a的值为．22．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O 的切线DE，交AC于点E．（1）证明：DE⊥AC；（2）连接OE，当sin∠ABC＝，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，进而可得∠A＝∠ODB，可得OD∥AC，即可证明结论；（2）连接CD，证明∠CDE＝∠ABC，由sin∠ABC＝得sin∠CDE＝，设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝4x，根据S△OCE＝6可求出x的值，可得CD的长，由sin∠ABC＝可得BC的长，即可得⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OD，OD为⊙O的半径，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝90°，即DE⊥AC；（2）解：连接CD，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∴∠CDE+∠EDA＝90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠A＝∠CDE，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∴∠CDE＝∠ABC，∴sin∠CDE＝＝，设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝4x，∵S△OCE＝CE•DE＝6x＝6，∴x＝1，∴CD＝5，∵sin∠ABC＝＝，∴BC＝，∴⊙O的半径为．23．某商店准备购进甲、乙两种洗手液，已知甲种洗手液的进价比乙种的进价每瓶多4元，用1000元购进甲种洗手液和用800元购进乙种洗手液的数量相同．（1）甲、乙两种洗手液每瓶进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过1450元的资金购进甲、乙两种洗手液共80瓶，甲、乙两种洗手液的每瓶售价分别为28元和20元；①若这两种洗手液全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？②若该商店捐赠10瓶洗手液给卫生院，剩余的洗手液全部售出，现要使得80瓶洗手液的利润率等于15%，则该商店应购进甲、乙两种洗手液各多少瓶？（利润率＝×100%）【分析】（1）设乙种洗手液的每瓶进价为x元，则甲种洗手液每瓶进价为（x+4）元，根据题意建立方程求出其解即可；（2）①根据利润＝售价﹣进价可以得出关于利润的方程，然后根据一次函数的性质即可得到结论；②设购进甲种洗手液n瓶，有a瓶甲种洗手液捐赠给卫生院，则购进（80﹣n）B种洗手液，（10﹣a）台B种洗手液捐赠给卫生院，再根据题意列方程解答即可．解：（1）设乙种洗手液的每瓶进价为x元，则甲种洗手液每瓶进价为（x+4）元，根据题意，得，解得x＝16，经检验，x＝16是原方程的解且符合题意，答：甲种洗手液每瓶进价为20元，乙种洗手液的每瓶进价为16元；（2）①设A洗手液m瓶，B种洗手液（80﹣m）瓶，利润为W元，则20m+16（80﹣m）≤1450，∴m≤42.5，且m为整数，W＝（28﹣20）m+（20﹣16）（80﹣m）＝4m+320，W为关于m的一次函数，k＝4＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝42时，W有最大值488，∴购进A种洗手液42瓶，B种洗手液38瓶，能获得最大利润为488元；②设购进甲种洗手液n瓶，有a瓶甲种洗手液捐赠给卫生院，则购进（80﹣n）台B种洗手液，（10﹣a）台B种洗手液捐赠给卫生院，根据题意得：28（n﹣a）+20（70﹣n+a）＝1.15×[20n+16（80﹣n）]，化简，得n＝，∵n，a均为整数，0≤a≤8，∴a＝8，n＝40．即购进A洗手液42瓶，B种洗手液40瓶．24．已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（b＞2），E，F为BC边上的点，BE＝CF＝1．连结AE，AF，DF，BD．（1）已知a＝3，如图1，①当∠AEB＝∠AFD时，求证：AF＝AD；②若△AEF与△DBF相似，求b的值．（2）作△ABF的外接圆⊙O，如图2，记⊙O的半径为r．若a＝3，则当⊙O与△DCF 的一边相切时，求所有满足要求的r的值；（3）已知a＝1，如图3．若经过A，E，D三点的⊙O′的半径R满足≤R≤5，则线段EF的范围为2≤EF≤6（直接给出答案）．【分析】（1）①先证△ABE≌△DCF得∠DFC＝∠AEB，∠AFD＝∠AEB＝∠DFC＝∠ADF，从而得证；②先确定是△EAF∽△FBD，从而＝可得；（2）当⊙O与DF相切时，由△ABF∽△FCD可得，当⊙O与DF相切时，由梯形的中位线定理得OM＝＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF＝＝，进而求得；（3）当R＝时，作OG⊥AE，OH⊥AD，在Rt△AOG中，OG＝，OM＝OG﹣GM＝，进而求得；解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，又∵BE＝CF＝1，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠DFC＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AFD，∴∠DFC＝∠AFD，∴∠DFA＝∠ADF，∴AF＝AD；②如图2，连接DE，由①知，AE＝DF，AD∥EF，∴∠EAF＝∠EDF，∴∠BDF＞∠EAF，由①知，∠DFC＝∠AEB，∴∠AEF＝∠DFB，∴△EAF∽△FBD，∴＝，∴＝（b＞0），∴b＝；（2）如图3，当⊙O与DF相切时，∴∠AFD＝90°，∴∠AFB+∠DFC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠AFB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DFC，∵∠B＝∠C，∴△ABF∽△FCD，∴＝，∴＝，∴BF＝9，∴AF＝＝3，∴r＝，如图4，当⊙O与CD相切时，连接OM，∴∠D＝∠COM＝90°，∴OM∥AD∥BC，∵OA＝OF，∴OM＝＝，在Rt△ABF中，AF＝＝，∴OA＝，∴BF+2＝，∴BF＝，∴r＝OA＝＝，综上所述：r的值是或；（3）如图5，由题意得，AE＝，作OG⊥AE于G，OH⊥AD于H，∴AG＝AE＝，BC＝AD＝2AH，当R＝时，在Rt△AOG中，OG＝＝，∵GM＝AG＝，AM＝BE＝1，∴OM＝OG﹣GM＝，∴MH＝OM＝1，∴AH＝AM+MH＝2，∴BC＝AD＝4，∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝2当R＝5时，同上得，在Rt△AOG中，OG＝，∵GM＝AG＝，AM＝BE＝1，∴OM＝OG﹣GM＝3，∴MH＝OM＝3，∴AH＝AM+MH＝4，∴BC＝AD＝8，∴EF＝6，故答案是：2≤EF≤6．。

2021年浙江省普通高职单独考试温州市三模数学试卷(附答案)

2021年浙江省普通高职单独考试温州市三模数学试卷(附答案)

2021年浙江省普通高职单独考试温州市三模数 学 试 卷 2021.5本试卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分） 1. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U ，集合{1,2,3,4}M ，则集合M 的补集U M （ ）A. {0,6}B. {0,1,2,3,4,5,6}C. {1,2,3,4}D. {0,5,6}2. 函数lg(1)()2x f x x 的定义域为（ ） A. (1,)B. (2,)C. (1,2)(2,)D. (1,2)3. 已知二次函数2()25f x x x ，则(1)f ，(1)f ，(2)f 的大小关系为（ ）A. (1)(2)(1)f f fB. (1)(1)(2)f f fC. (2)(1)(1)f f fD. (1)(1)(2)f f f4. 直线2021x y 的倾斜角为（ ） A. 0°B. 41°C. 45°D. 135°5. 计算：sin5cos55cos175sin55的结果是（ ）A.12B.12C.32D.6. 如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，则AB BC （ ）A. 0B.C. 2D. 7. 若角的终边经过点(3,4)P ，则下列式子正确的是（ ）A. 3sin5B. 3cos4C. 3sincos 4D. 22sin 1cos8. 甲、乙两颗质地均匀的骰子，它们的六个面的点数都依次为1，2，3，4，5，6. 现将甲、乙两颗骰 子先后各抛掷一次，a ，b 表示甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数，则点(,)M a b 落在直线6x y 上的概率为（ ） A.136B.19C.536D.169. 双曲线229436x y 与直线320x y 公共点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4ABCD（第6题图）10. 下列四个论断：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； ④过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 其中正确的是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11. 设x R ，则“24x ”是“2x ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件12. 已知32，x ，y ，12成等比数列，则x y 的值为（ ） A. 6B. 9C.272D. 1813. 若点P 与点(2,3)M 关于x 轴对称，则点P 的坐标是（ ） A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (2,3)14. 已知圆C 以点(2,0)为圆心，且经过原点，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)4x yB. 22(2)4x yC. 22(2)2x yD. 22(2)2x y15. 已知a b c ，则下列不等式成立的是（ ） A. ac bcB. 22ac bcC. c a c bD.c c a b16. 设函数()sin 3cos f x x x ，x R ，则()f x 的最大值为（ ）A.1B. 2C.D. 117. 下列关于抛物线212yx 的说法中，正确的是（ ） A. 焦点坐标为1(,0)4B. 准线方程为1yC. 焦点坐标为1(,0)8D. 焦点到准线的距离为118. 用数字2，3组成一个四位数（数字可以重复），且数字2，3都至少出现一次，这样的四位数的个数为（ ） A. 20B. 16C. 14D. 1019. 函数||x y xx 的图像大致是（ ）A.B.C.20. 动圆与圆C 1：22(5)49x y 和圆C 2：22(5)1x y 都外切，则该动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A. 半圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若函数2 1 (0)()2 (0)x x f x x x ，则[(1)]f f .22. 已知为锐角，1sin()2，则cos .23. 已知0a ，0b ，且21a b ，则ab 的最大值为 .24. 数列{}n a 满足11 1 (2)n n a n a ，352a ，则1a . 25. 在6(1)x x 的展开式中，含3x 的项的系数为 .26. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C 中，11ABACAA ，2BC，则异面直线1A C 与11B C 所成角的大小为 .27. 已知1F ，2F 分别为椭圆22197xy 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若12||2||PF PF ，则12sin F PF .三、解答题（本大题共8小题，共72分）28.（本题满分7分）计算：212ln120203220211lg 2lg [(4)]27(3)tan54C .29.（本题满分9分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2a ，2b，45A . 求：（1）∠B 的大小；（4分） （2）△ABC 的面积.（5分）B BC 1（第26题图）30.（本题满分9分）已知5cos5，(,)2. 求：（1）sin，tan的值；（4分）（2）tan3的值.（5分）31.（本题满分9分）已知圆C：22(1)9x y和点(2,2)P，过点P作直线l.（1）当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；（4分）（2）当直线l的倾斜角为45°时，直线l与圆C交于A、B两点，求弦||AB的长.（5分）32.（本题满分9分）如图所示，某组合体由一个半球和一个圆锥CO（底面为半球的大圆）组成，点C，O，D在同一直线上，半球半径和圆锥的高均为r.（1）求这个组合体的体积V（用r表示）；（4分）（2）已知A，B 为圆锥底面圆周上的两点，且3AB r ，求二面角A CD B的大小.（5分）ABCOD（第32题图）33.（本题满分9分）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，然后将两段铁丝各围成一个正方形（铁丝无多余）.（1）若其中一个正方形的面积为9cm 2，求另一个正方形的面积；（4分） （2）求两个正方形的面积之和的最小值，并指出此时两段铁丝的长度.（5分）34.（本题满分10分）如图所示，椭圆22221x y a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为椭圆的上顶点，已知△12AF F 是边长为2的正三角形. （1）求该椭圆的标准方程；（4分）（2）延长线段2AF 交椭圆于点B ，连接B ，1F ，求1||BF 的长.（6分）（第34题图）35.（本题满分10分）为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）. 2018年投入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆.（1）该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？（3分）（2）前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？（3分）（3）到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？（4分）答案一、单项选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. B7. D8. C9. A 10. B 11. A 12. B 13. D 14. B 15. C 16. B 17. D 18. C 19. C 20. C 二、填空题 21. 422.23. 1824. 3 25. 15 26. 60°27.三、解答题 28. 203729.（1）30°；（230.（1）25sin5，tan 2；（2）21131.（1）22y x ；（232.（1）3Vr ；（2）120° 33.（1）4cm 2；（2）当两段铁丝长都为10cm 时，两个正方形的面积之和最小，最小值为12.5cm 2.34.（1）22143x y ；（2）14535.（1）694辆；（2）1729辆；（2）到2024年.。

2021年浙江省温州市高考数学模拟试卷(1)(3月份)

2021年浙江省温州市高考数学模拟试卷(1)(3月份)

2021年浙江省温州市高考数学模拟试卷（1）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4}，集合A ={1,2}，B ={2,3}，则∁U (A ∪B)=( )A. {1,3，4}B. {3,4}C. {3}D. {4}2. 已知复数z 满足z ⋅i 2020=1+i 2019(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i 3. 设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A. 12B. 8C. 4D. 24. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤2,2x −y ≥1,y ≥−1,则z =x +2y 的最大值为( )A. −2B. −1C. 1D. 35. 若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，则“a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ”是“△ABC 是等腰三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 现有四个函数①y =x|sinx|，②y =xcos|x|，③y =x 2e x，④y =xln|x|的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A. ①④②③B. ①④③②C. ③②④①D. ③④②①7. 若x ∈(0,π2)，y ∈(0,π2)且sin2x =6tan(x −y)cos2x ，则x +y 的取值不可能是( )A. π6B. π4C. 2π3D. 3π48. 已知函数f(x)={|x 3−4x −1|(x ≥0)x −1(x <0)，若关于x 的方程f(x)=a(x +3)恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. [1,√2)B. [0,1)C. [13,√2) D. [13,1)9. 设l 1，l 2是平面α内所成角为π6的两条直线，过l 1，l 2分别作平面β，γ，且锐二面角α−l 1−β的大小为π4，锐二面角α−l 2−γ的大小为π3，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是( )A. √36B. √28C. 14D. 1310. 如图，椭圆C ：x 24+y 23=1，P 是直线x =−4上一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，直线AB与OP 交于点M ，则sin∠PMB 的最小值是( )A. 4√37B. 8√6565C. 7√210D. √32二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的其中一条渐近线交于点P(不同于O)，若双曲线C 右支上存在点M 满足PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为______．12. 已知函数f(x)=3⋅(12)|x−a|，函数g(x)=−x 2+2x ，记m(x)=min{f(x),g(x)}，其中min{p,q}表示实数p ，q 中较小的数.若对∀x ∈R 都有m(x)≤34成立，则实数a 的取值范围是______ ． 13. 已知扇环如图所示，∠AOB =120°，OA =2，OA′=12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +y 的取值范围为______ ．14. 我国南北朝时期一部数学著作《张丘建算经》卷中，第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈.”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天增加的数量为______ 尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17= ______ ．15. 已知甲盒中仅有2个红球，乙盒中有3个红球和3个蓝球，先从乙盒中任取(无放回，且每球取到的机会均等)2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取(无放回)2个球，若记X 为甲盒中取到红球的个数，则P(X =0)= ______ ；随机变量X 的数学期望E(X)= ______ ．16. 若不等式|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[−1,1]上恒成立，则|a|+|b|+|c|的最大值是______ ，若|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[0,1]上恒成立，则2|a|+3|b|+4|c|的最大值是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足2cos(A−C)=4sinAsinC−1．(Ⅰ)若b=√3a，求角A；(Ⅱ)若a+c=3，b=√3，求△ABC的面积S．18.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，E、F分别为线段CD、AB上的点，且BFBA =CECD=13，现将△ADE沿AE翻折成四棱锥P−ABCE，且二面角P−AE−B的大小为2π3．(1)证明：AE⊥PF；(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值．19.已知正项数列{a n}，满足2√S n=a n+1，其中S n为{a n}的前n项和．(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列b n=(−1)n+1⋅a n+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n，并求出满足T n≥m2+m5对n∈N∗恒成立时，实数m的取值范围．20.已知抛物线M：y2=4x，A、B为抛物线M上不同的两点，线段AB的垂直平分线与抛物线M的一个交点为C，交直线AB于点D．(1)若D(1,1)，求直线AB的方程；(2)若AB=2CD，求△ABC面积的最小值．−a，其中a∈R．21.已知函数f(x)=e ax ln(x+1)，g(x)=lnx+2x(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限有交点，求a的取值范围．(Ⅱ)当a<2时，若y=g(x)有两个零点x1，x2，求证：4<x1+x2<3e−2．四、多空题（本大题共1小题，共6.0分）)5的展开式中常数项为10，则常数项的二项式系数为，展开式的所有有理项中22.若二项式(ax2√x最大的系数为．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A ={1,2}，B ={2,3}， ∴A ∪B ={1,2，3}， ∵全集U ={1,2，3，4}， ∴∁U (A ∪B)={4}． 故选：D ．根据A 与B 求出两集合的并集，由全集U ，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2.【答案】A【解析】解：∵i 4=1，∴i 2020=i 4×505=1，i 2019=i 4×504+3=−i ， 则z ⋅i 2020=1+i 2019化为z =1−i ， ∴z 的虚部为−1． 故选：A ．由虚数单位i 的运算性质可得z =1−i ，则答案可求．本题考查虚数单位i 的运算性质，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是高为2的三棱锥，且底面三角形的底边长为4，高为3； 所以该几何体的体积为V 三棱锥=13×(12×4×3)×2=4．故选：C ．根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据求出该三棱锥的体积． 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目． 4.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z 由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大， 此时z 最大，由{x +y =22x −y =1，解得A(1,1)， 此时z =1+2×1=3，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：若“△ABC是等腰三角形”，则当a=b≠c，则a2+b2+c2=ab+bc+ca不一定成立，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0，即a−b=0，b−c=0，c−a=0，则a=b=c，则“△ABC是等腰三角形”成立，即“a2+b2+c2=ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】C【解析】解：①y=x|sinx|满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，当x>0时，f(x)≥0，定对应第四个图象，③y=x2e x≥0恒成立，对应第一个图象，④y=xln|x|的定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，图象关于原点对称，对应第三个图象，②y=xcos|x|，满足f(−x)=−f(x)，函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，对应第二个图象，则C正确，故选：C．分别根据函数的奇偶性，对称性，以及函数符号，分别进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，对称性，以及函数值的符号是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】C【解析】【分析】设tan(x−y)=u，则tan2x=6tan(x−y)=6u，求得w=tan(x+y)=5u1+6u2，利用基本不等式可得|tan(x+y)|≤5√612<√3，结合x+y∈(0,π)，可得x+y的取值不可能为2π3．本题主要考查两角和差的正切公式、基本不等式的应用，解三角不等式，属于中档题．【解答】解：由sin2x=6tan(x−y)cos2x，得tan2x=6tan(x−y)，∵x∈(0,π2)，y∈(0,π2)，∴0<x+y<π．设tan(x−y)=u，x−y∈(−π2,π2)，则u的值域是R，∵tan2x=6tan(x−y)=6u，∴tan(x+y)=tan[2x−(x−y)]=tan2x−tan(x−y)1+tan2xtan(x−y)=6u−u1+6u2=5u1+6u2，记为w=tan(x+y)=5u1+6u2．∵|w|=5|u|1+6|u|2=51|u|+6|u|≤2√6=5√612，当且仅当|u|=√66时，取等号．∴|tan(x+y)|≤5√612<√3，结合x+y∈(0,π)，可得x+y的取值不可能为2π3．故选：C．8.【答案】D【解析】解：设g(x)=x3−4x−1(x>0)，g′(x)=3x2−4，当x∈(0,2√33)时，g(x)单调递减，当x∈(2√33,+∞)时，g(x)单调递增，直线y=a(x+3)与f(x)在x<0处有一个交点，在(2√33,+∞)处有一个交点，故在(0,2√33)处需2个交点，直线经过(0,1)点时a=13，当直线与y=−x3+4x+1相切于(1,4)时，a=1，故选：D．设g(x)=x3−4x−1(x>0)，g′(x)=3x2−4，判断函数的单调性，通过数形结合推出选项即可．本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图象和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于难题．9.【答案】B【解析】解：如图，平面α为平面ABC，直线l1为直线AB，直线l2为直线AC，由题意得∠BAC=π6，过l1作平面β为平面ABP，过l2作平面γ为平面ACP，过点P向平面α作垂线，垂足为O，再由点O作OB⊥AB，OC⊥AC，连接PB，PC，锐二面角α−l1−β的大小为π4，即∠PBO=π4，同理可知∠PCO=π3，设CO=1，则PO=BO=√3，PC=2，PB=√6，在三角形△DAC中，∠BDO=π3，DB=1，DO=2，所以AC=3√3，AD=6，AB=5，PA=√31，过点C作CM⊥AP，所以高线CM=AC⋅PCPA =6√3√31，∵AB⊥OB，AB⊥PO，OB∩OP=O，∴AB⊥面POB，又AB⊂面PAB，∴面PAB⊥面POB，过点O作OH⊥PB，则OH⊥面PAB，∴O到面PAB的距离OH=d1=OP⋅OBPB =√62，∴C到面PAB的距离为d2=32d1=3√64，记平面β，γ所成的角为θ，则sinθ=d2CM =3√646√3√31=√628，所以cosθ=√28．故选：B．作出图形，在γ内取一点C，计算C到平面β的距离和C到β与γ的交线的距离，从而可计算出二面角的大小．本题考查二面角计算，作出相应的图形和二面角是解题的难点，属于难题．10.【答案】A【解析】解：设A(x1,y1)，若A在椭圆的上半部，则y=√3⋅√1−x24，则y′=√3⋅(−x2)2√1−x24=−√3x4√1−x24，A在椭圆上，x124+y123=1，y′|x=x1=−√3x14√1−124=−3x14y1，所以过A的点的切线方程：y−y1=−3x14y1(x−x1)，即3x1x+4y1y=3x12+4y12=12，即x1x4+y1y3=1，同理可得A 在椭圆的下半部分时， 过A 的点的切线方程为x 1x 4+y 1y 3=1，A 为左右顶点时，切线方程也是x 1x 4+y 1y 3=1，综上所述：在A 处的切线方程：x 1x 4+y 1y 3=1，设B(x 2,y 2)，同理可得在B 处的切线方程为：x 2x 4+y 2y 3=1，P 在x =−4上，设P(−4,m)， 因为两条直线投过P ，所以{−x 1+y 1m 3=1−x 2+y 2m 3=1，所以直线AB 的方程为：−x +my 3=1，可得直线AB 恒过定点(−1,0)，该直线AB 过椭圆的右焦点F ， 直线OP 的方程为：y =−m4x ， 则{−x +my3=1y =−m4x解得：{x =−1212+m 2y =3m 12+m2，即M(−1212+m 2,3m 12+m 2)， k AB =3m ，k PF =m−4−(−1)=−m3，所以k AB ⋅k PF =−1， 所以AB ⊥PF ，|PF|=√9+m 2，|PM|=√(1212+m 2−4)2+(m −3m12+m 2)2=(9+m 2)√16+m 212+m 2，所以sin∠PMB =|PF||PM|=222=√(12+m 2)2(9+m 2)(16+m 2)=√m 4+24m 2+144m 4+25m 2+144=√11+m 2m 4+24m 2+144=√11+1m 2+144m2+24≥√11+12√144+24=4√37，当且仅当m 2=144m 2，即m =±2√3，故选：A ．设A 在椭圆的上半部分时，由椭圆的方程求出A 的横坐标表示的纵坐标的函数，求导可得在A 处的切线的斜率，进而求出在A 处的切线的方程，可得A 在椭圆的任何处都一样的切线的方程，同理可得在B 处的切线方程，由P 在两条切线上，可得直线AB 的方程，进而可得直线AB 恒过定点为椭圆的左焦点F ，求出PF 的斜率可得，直线AB ⊥PF ，进而可得sin∠PMB =|PF||PM|，求出|PF|，|PM|的表达式，可得之比的表达式，由均值不等式可得其最小值．本题考查椭圆的性质，求导的方法求在椭圆上的点的切线的方程，再由点在两条切线上进而求出直线的方程，均值不等式的应用，属于中难题．11.【答案】√2【解析】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：y =ba x ，即bx −ay =0，右焦点F(c,0)， 所以F 到渐近线的距离d =√a 2+b 2=bc c=b ，在直角三角形OPF 中可得|OP|=√OF 2−d 2=√c 2−b 2=a ， 所以|OP|=a ，|PF|=b ，所以可求得P(a 2c ,abc)，F(c,0)，因为PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可得M 为P ，F 的中点，所以M(a 2+c 22c,ab 2c)，把M 代入双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， 可得(a 2+c 2)24a 2c 2−a 2b 24b 2c 2=1，整理可得c 2=2a 2，所以e =√2．故答案为：√2．由题意如图所示设渐近线的方程，可得|OP|的值，P 在渐近线上可得P 的坐标，再由PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可得M 为PF 的中点，将M 的坐标代入双曲线的方程，可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率． 本题考查双曲线的性质及由向量的关系得点的坐标的关系，属于中档题．12.【答案】(−∞,−32]∪[72,+∞)【解析】解：对∀x ∈R 都有m(x)≤34成立，又g(x)=−x 2+2x ，且在(−∞,12]∪[32,+∞)内，g(x)≤34． 故有x ∈(12,32)，f(x)≤g(x)且f(x)≤34， 则f(x)=3⋅(12)|x−a|≤34，即为(12)|x−a|≤14， 即有|x −a|≥2，即为a ≤x −2或a ≥x +2恒成立， 则a ≤12−2=−32或a ≥32+2=72， 故答案为：(−∞,−32]∪[72,+∞)．首先考虑g(x)≤34的解集，可得x ∈(12,32)，f(x)≤g(x)且f(x)≤34，结合指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义函数的理解和应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】[14,2√213]【解析】解：记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,2π3].设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为直角坐标系的x 轴．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(rcosθ,rsinθ)(12≤r ≤2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)， 代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(−y,√3y)， ⇒rcosθ=2x −y ，rsinθ=√3y ，故2x +y =rcosθ+√3=r(√3+cosθ)√3+cosθ=√213(sinθ×√7cosθ×√3√7)=√213sin(θ+β)，其中cosβ=√7，sinβ=√3√7又∵θ∈[0,2π3]．√213sin(θ+β)可以取到最大值√213， 当θ=0时．√3+cosθ=1，当θ=1200时．√3+cosθ=12． ∴√3+cosθ∈[12,√213]， 12r ≤2x +y ≤√213r.∵12≤r ≤2，∴14≤2x +y ≤2√213故答案为：[14,2√213]记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,2π3].设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为直角坐标系的x 轴．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(rcosθ,rsinθ)(12≤r ≤2)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)， 代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得有(rcosθ,rsinθ)=(2x,0)+(−y,√3y)， ⇒rcosθ=2x −y ，rsinθ=√3y ，故2x +y =rcosθ+3=r(3+cosθ)，运用三角函数的知识求解．本题考查了向量的基本定义即三角恒等变形、函数性质，属于压轴题．14.【答案】1629 52【解析】解：依题意等差数列的前30项和为390，首项a 1=5，设公差为d ， 所以S 30=30×5+30×292×d =390，解得d =1629，所以a 14+a 15+a 16+a 17═4a 1+58d =20+32=52．故填：1629，52．等差数列的前30项和为390，首项a 1=5，设公差为d ，代入等差数列的前n 项和公式，求出d ，再求S n ，a 14+a 15+a 16+a 17=4a 1+58d ．本题考查等差数列的前n 项和公式，等差数列的通项公式，考查计算能力，分析解决问题的能力．属于基础题．15.【答案】130 32【解析】解：由题意可得P(X =0)=C 32C 62×C 22C 42=315×16=130；随机变量X 的取值为0，1，2， P(X =0)=130， P(X =1)=C 32C 62×C 21C 21C 42+C 31C 31C 62×C 31C 11C 42=1330， P(X =2)=C 32C 62×C 22C 42+C 31C 31C 62×C 32C 42+C 32C 62×1=1630，所以期望E(X)=0×130+1×1330+2×1630=32． 故答案为：130，32．由古典概型的概率公式可以直接计算，随机变量的取值可以是0，1，2，算出对应的概率即可解出．本题考查了统计与概率，古典概型概率的计算，数学期望，属于基础题． 16.【答案】5 265【解析】解：对第一问，不等式|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[−1,1]上恒成立， 可得x =0时，|c|≤1①，x =−1时，|a −b +c|≤1，② x =1时，|a +b +c|≤1，③①②相加可得|a −b +c|+|c|≤2，又|a −b +c|+|c|≥|a −b|，即为|a −b|≤2， ①③相加可得|a +b +c|+|c|≤2，又|a +b +c|+|c|≥|a +b|，即为|a +b|≤2，则|a −b|+|a +b|≤4，又|a −b|+|a +b|≥2|a|，则|a|≤2； 由|a −b|+|a +b|≥2|b|，则|b|≤2；可得|a|+|b|+|c|≤5，即|a|+|b|+|c|的最大值为5； 对第二问，若|ax 2+bx +c|≤1对于∀x ∈[0,1]上恒成立， 当x =0时，|c|≤1，x =1时，|a +b +c|≤1，① x =12时，|a4+b 2+c|≤1，②，x =13时，|a9+b3+c|≤1，③ 由①②相加可得|a +b +c|+|a4+b2+c|≤2， 由|a +b +c|+|a4+b2+c|≥|3a 4+b2|，即|3a +2b|≤8，可得−8≤3|a|−2|b|≤8，④由①③相加可得|a +b +c|+|a9+b3+c|≤2， 由|a +b +c|+|a9+b3+c||≥|8a 9+2b 3|，即|4a +3b|≤9，可得−9≤4|a|−3|b|≤9，⑤由2|a|+3|b|=18(3|a|−2|b|)−13(4|a|−3|b|)， 可得2|a|+3|b|≤8×18+9×13=261， 则2|a|+3|b|+4|c|的最大值为265． 故答案为：5，265．对第一问，可令x =0，x =−1，x =1，得到绝对值不等式，通过绝对值的性质和可加性，可得所求最大值；对第二问，可令x =0，x =1，x =12，x =13，通过绝对值不等式的性质和可加性，化简变形可得所求最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，考查绝对值不等式的性质和不等式的可加性，考查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题．17.【答案】解：(Ⅰ)由2cos(A −C)=4sinAsinC −1， ∴2cosAcosC +2sinAsinC =4sinAsinC −1，∴2cosAcosC −2sinAsinC =−1 ∴cos(A +C)=−12，∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =π3，由正弦定理可知asinA =bsinB ， 即sinA =12， ∵0<A <π， ∴A =π6或A =5π6，∵b =√3a ，即b >a ， ∴B >A∴A =π6．(Ⅱ)由余弦定理可知b 2=a 2+c 2−2accosB ， 即a 2+c 2=3+ac ，从而(a +c)2=3+3ac ，可得ac =2， ∴S △ABC =12acsinB =12×2×√32=√32．【解析】(Ⅰ)根据两角和差的余弦公式，结合正弦定理即可求出； (Ⅱ)根据余弦定理可得到ac =2，根据面积公式即可求出．本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，考查了运算求解能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：由题意在矩形ABCD 中AB =3，AD =2，BF BA =CE CD =13，∴四边形ADEF 为边长为2的正方形．连结DF，交AE于点M，如图：则AE⊥DF，且PM=MF=√2．在四棱锥P−ABCE中，AE⊥PM，AE⊥MF，∴AE⊥面PMF，又PF⊂面PMF，∴AE⊥PF．(2)解：设点F到平面PAE的距离为d1，点B到平面PAE的距离为d，由(1)∠PMF就是二面角P−AE−B的平面角，∴∠PMF=2π3．∵AE⊥面PMF，∴面PMF⊥面PAE，过F作FH⊥PM于H，∵面PMF∩面PAE=PM，∴FH⊥面PAE．又∵在△PMF中，PM=MF=√2，∴∠FPM=π6，PF=√6，∴d1=FH=12PF=√62，∵AFAB=23，∴d=32d1=3√64．由题意可得PB=√10，∴sinθ=dPB =3√1520，∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为3√1520．【解析】(1)说明四边形ADEF为边长为2的正方形．连结DF，交AE于点M，画出图形，说明AE⊥DF，推出AE⊥PM，AE⊥MF，证明AE⊥面PMF，然后证明AE⊥PF(2)设点F到平面PAE的距离为d1，点B到平面PAE的距离为d，∠PMF就是二面角P−AE−B的平面角，过F作FH⊥PM于H，推出FH⊥面PAE.然后求解直线PB与平面PAE所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)正项数列{a n}前n项和为S n，且S n=(1+a n)24(n∈N∗)，可得a1=S1=(1+a1)24，解得a1=1，n≥2时，4S n−1=(1+a n−1)2，又4S n=(1+a n)2，两式相减可得4a n=4S n−4S n−1=(1+a n)2−(1+a n−1)2，化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，由a n>0，可得a n−a n−1=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1；(2)b n=(−1)n+1⋅a n+1a n a n+1=(−1)n+1⋅2n(2n−1)(2n+1)=(−1)n+12(12n−1+12n+1)，当n为奇数时，T n=12(1+13−13−15+15+⋯−12n−3−12n−1+12n−1+12n+1)=12(1+12n+1)，可得此时T n >12；同理可得当n 为偶数时，T n =12(1−12n+1)，由T n 递增，可得T n ≥T 2=25， T n ={12(1−12n+1),n 为偶数12(1+12n+1),n 为奇数； 满足T n ≥m 2+m 5对n ∈N ∗恒成立，可得m 2+m 5≤25，解得−2≤m ≤1．【解析】(1)应用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1；n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简结合等差数列的定义、通项公式可得所求； (2)求得b n =(−1)n+1⋅a n +1a n a n+1=(−1)n+1⋅2n (2n−1)(2n+1)=(−1)n+12(12n−1+12n+1)，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，可得所求和，由单调性可得最小值，结合不等式恒成立思想可得所求范围．本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)设直线AB 的方程为：y −1=k(x −1)(k ≠0)，即y =kx +1−k ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程{y =kx +1−ky 2=4x ，消去x 整理可得：y 2−4k y +4k −4=0，所以y 1+y 2=4k =2，解得k =2， 所以直线AB 的方程为y =2x −1；(2)设C(t 2,2t)(t >0)，则可设直线AC 的方程为：y −2t =k(x −t 2)， 不妨设k >0，联立方程{y −2t =k(x −t 2)y 2=4x ，消去x 整理可得：y 2−4k y +8t k−4t 2=0，则y 1+2t =4k ，y 1⋅2t =8t k−4t 2，所以|AC|=√1+1 k 2⋅|y 1−2t|=4√1+1k 2|1k −t|，由题知AC ⊥BC ，AC =BC ，所以k BC =−1 k ， 同理可得|BC|=4√1+k 2(k +t)，(t >0,k >0)， 由|AC|=|BC|，解得t =1−k 3k 2+k，故三角形ABC 的面积为S =12|AC||BC|=12|BC|2 =8(√1+k 2)2|k +t|2=8(1+k 2)(1+k 2)2k 2(k+1)(1+k 2)2k 2(k+1)2≥8(2k)2(k+1)22k 2(k+1)2=16，当且仅当k =1时取等号，此时三角形ABC 的面积的最小值为16．【解析】(1)由题意设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理即可求出直线AB 的斜率，进而可以求解；(2)设出点C 的坐标，根据点C 的坐标设出直线AC 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求出|AC|，再由AC 于BC 垂直得出直线BC 的斜率，讨论求出|BC|，利用AC =BC 求出直线AC的斜率与点C的坐标的关系，然后求出三角形ABC的面积，化简后利用基本不等式求出最值．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了直线方程的求解以及弦长公式的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设g(x)=f(x)−x=e ax ln(x+1)−x，则由题设知，方程g(x)=0，在(0,+∞)有解，而g′(x)=f′(x)−1=e ax[aln(x+1)+1x+1]−1=e ax F(x)−1．设ℎ(x)=e ax F(x)−1，则ℎ′(x)=e ax[aF(x)+F′(x)]=e ax[a2ln(x+1)+2ax+2a−1(x+1)2].①若a≤0，由x>0可知0<e ax≤1，且F(x)=aln(x+1)+1x+1≤1x+1<1，从而g′(x)=e ax F(x)−1<0，即g(x)在(0,+∞)上单调递减，从而g(x)<g(0)=0恒成立，因而方程g(x)=0在(0,+∞)上无解．②若0<a<12，则ℎ′(0)=2a−1(x+1)2<0，又x→+∞时，ℎ′(x)→+∞，因此ℎ′(x)=0，在(0,+∞)上必存在实根，设最小的正实根为x0，由函数的连续性可知，x∈(0,x0)上恒有ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，也即g′(x)<0，在(0,x0)上单调递减，从而在(0,x0)上恒有g′(x)<g′(0)=0，因而g(x)在(0,x0)上单调递减，故在(0,x0)上恒有g(x)<g(0)=0，即g(x0)<0，注意到e ax>ax，因此g(x)=e ax ln(x+1)−x>axln(x+1)−x=x[aln(x+1)−1]，令x=e1a时，则有g(x)>0，由零点的存在性定理可知函数y=g(x)在(x,e1a)上有零点，符合题意．③若a≥12时，则由x>0可知，ℎ′(x)>0恒成立，从而ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，也即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，从而g(x)>g(0)=0恒成立，故方程g(x)=0在(0,+∞)上无解．综上可知，a的取值范围是(0,12).(Ⅱ)因为f(x)有两个零点，所以f(2)<0，即ln2+1−a<0⇒a>1+ln2，设0<x1<2<x2，则要证x1+x2>4⇔4−x1<x2，因为2<4−x1<4，x2>2，又因为f(x)在(2,+∞)上单调递增，所以只要证明f(4−x1)<f(x2)=f(x1)=0，设g(x)=f(x)−f(4−x)(0<x<2)，则g′(x)=f′(x)−f′(4−x)=x−2x2+4−x−2(4−x)2=−8(x−2)2x2(4−x)2<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，g(x)>g(2)=0，所以x1+x2>4，因为f(x)有两个零点，x1，x2，所以f(x1)=f(x2)=0，方程f(x)=0即ax−2−xlnx=0构造函数ℎ(x)=ax−2−xlnx，则ℎ(x1)=ℎ(x2)=0，ℎ′(x)=a−1−lnx，ℎ′(x)=0⇒x=e a−1，记p=e a−1>2(a>1+ln2)，则ℎ(x)在(0,p)上单调递增，在(p,+∞)上单调递减，所以ℎ(p)>0，且x1<p<x2，设R(x)=lnx−2(x−p)x+p−lnp，R′(x)=1x −4p(x+p)2=(x−p)2x(x+p)2>0，所以R(x)递增，当x>p时，R(x)>R(p)=0，当0<x<p时，R(x)<R(p)=0，所以ax1−2=x1lnx1<2x1(x1−p)x1+p+x1lnp，即(ax1−2)(x1+p)<2x12−2px1+x12lnp+x1plnp，(2+lnp−a)x12+(2−ap−2p+plnp)x1+2p>0，(p=e a−1,lnp=a−1)，∖所以x12+(2−3e a−1)x1+2e a−1>0，同理x22+(2−3e a−1)x2+2e a−1<0，所以x12+(2−3e a−1)x1+2e a−1<x12+(2−3e a−1)x1+2e a−1，所以(x2−x1)[x2+x1+(2−3e a−1)]<0，所以x2+x1<−2+3e a−1，由a<2得：x1+x2<−2+3e a−1<3e−2，综上：4<x1+x2<3e−2．【解析】(Ⅰ)根据题意设g(x)=f(x)−x=e ax ln(x+1)−x，问题转化为方程g(x)=0，在(0,+∞)有解，求导，分类讨论①若a≤0，②若0<a<12，③若a≥12时，分析单调性，进而得出结论．(Ⅱ)运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题．22.【答案】580【解析】解：二项式(ax2√x )5的通项公式为Tr+1=C5r a5−r x10−52r，令10−52r=0，解得r=4，所以常数项C54a5−4=10得a=2，则常数项的二项式系数为C54=5，所以该二项式的通项公式为Tr+1=C5r25−r x10−52r，由10−52r∈Z，0≤r≤5，r∈N．可得r=0，2或4，因此展开式中的所有有理项为T1，T3，T5，其中最大的系数为C5223=80．故答案为：5，80．利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项，即可求出a的值，可得常数项的二项式系数，再求出展开式中的所有有理项为T1，T3，T5，即可求出最大的系数．本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

浙江省温州市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A．5 B ．2 C ．5 D ．152【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高.【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且25sin 1cos A A =-=，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b AB =，即152515236-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 2．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -【答案】D【解析】【分析】 根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k k n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件， 需要卸下(1)123(1)2k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)()22k n k k k k a k n k --⨯⨯-=-=-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．3．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C【解析】【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解.【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数， ∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B【解析】【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-， 2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B .【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.5．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%【答案】D【解析】【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.7．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ） A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C【解析】 由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k k k n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172k kk k T C x +=-，则()712x x -展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C. 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r r r nT a b -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A ．5B ．23C ．8D ．83【答案】B【解析】【分析】 根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -，最大面的表面边长为22ABC ，23(22)23=， 故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 9．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π【答案】D【解析】【分析】【详解】 由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 10．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．12．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】【分析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2021届新高考五诊数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考五诊数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 故选A 项 【点睛】本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 2．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.3．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D 【解析】 【分析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n中的．4．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 6．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B7．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，再根据21211p p <<<和二次函数的性质求解. 【详解】因为随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.所以i ξ服从二项分布， 由二项分布的性质可得：()()(),1i i i i i E p D p p ξξ==-，因为21211p p <<<， 所以()()12E E ξξ<，由二次函数的性质可得：()()1f x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()()12D D ξξ>. 故选：B 【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.8．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.9．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．maxa c -=r r B ．maxa c +=r rC ．min 2a c-=r r D ．min2a c+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 337312a c ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 10．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A 2B ．32C 10D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-， 故1322z i =--，10z =. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.11．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103π B ．4π C ．133πD ．7π【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=.由正弦定理可得122sin 3DO ==，故11DO =，又因为AD =2DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ， 所以四边形21OO DO为平行四边形，所以122OO DO ==，所以OD ==2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度. 12．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21xy=>， 故x y <时，1xy<不成立，当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2021届新高考四诊数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考四诊数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 2．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.3．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为3最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，所以正切值取值范围是⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分，所以六个面上的正投影长度之22⎛≤= ⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 4．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】2||21230,3a ia a a a i+=+=∴=±>∴=Q B. 5．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增,所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.7．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以②错误；使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 8．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）A．14种B．15种C．16种D．18种【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题9．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．10．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++„对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++„，即()2(5f f x --„，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.11．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：m α⊥Q ，,n βαβ∴⊥P ,故选D.考点：点线面的位置关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年新高考浙江数学高考真题文档版(含答案)

2021年新高考浙江数学高考真题文档版(含答案)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么()()()P A B P A P B+=+如果事件A，B相互独立，那么()()()P AB P A P B=如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事柱体的体积公式V Sh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S表示锥体的底面积，h表件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h=+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<2．已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．33．已知非零向量,,a b c ，则“⋅=⋅a c b c ”是“=a b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A ．32 B ．3 C ．322 D ．325．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y=-的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．12-D ．1106．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线MN ∥平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线MN ∥平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7．已知函数21(),()sin 4f x x g x x=+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =8．已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知,,0a b ab ∈>R ，函数()2()f x ax b x =+∈R ．若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线10．已知数列{}n a 满足)*111,1n n na a n a +==∈+N ．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．100132S <<B ．10034S <<C ．100942S << D ．100952S <<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省温州市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

浙江省温州市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->【答案】C【解析】【分析】 当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a=-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'， 当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图： ∴01b a <-且32011(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.2．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3(0,)4B ．2C ．23()4D ．2 【答案】C【解析】 【分析】求导，先求出()f x 在(x e ∈单增，在),x e ∈+∞单减，且max 1()()2f x f e ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【详解】依题意，2432ln (12ln )()e x xe x e x x f x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x e =)x e ∈时，()0f x '>， 当,)x e ∈+∞，()0f x '<，且ln 1)2e e f e e ==，故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根， 故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3,)24m ∈. 故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.3．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )AB． CD【答案】D【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为r，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.4．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的最大值是2【答案】D【解析】【分析】 通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确；:()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确；:()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则33t -<<时()0g t '>，13t -<<-或1t >>()0g t '<，即()g t 在,33⎛- ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且g =⎝⎭()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．5．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π- B ．6π- C ．6π D ．3π 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+，令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.6．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn[g （x ）]＝sgn xB ．sgn[g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn[g （x ）]＝sgn[f （x ）]D ．sgn[g （x ）]＝﹣sgn[f （x ）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；故选：A ．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【答案】D【解析】【分析】 运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈，所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-，即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称，由题意无法求出()f x 的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r r B ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 21r r 【答案】B【解析】【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】 本题考查圆柱的体积，属于基础题.9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -.【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.10．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾； 若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意； 若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-===== 12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾； 若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-= 1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾； 综上选B.11．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种 【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

浙江省温州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

浙江省温州市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.2．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174【答案】C【解析】【分析】根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得ω的最大值.【详解】由题意知1122ππ,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π 4.5π44x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π 2.5π44x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12ππ,3πππ+,32k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π 4.5π44x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为1054． 故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.3．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k kn n n k--⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，需要卸下(1)123(1)2k kk⨯-+++⋯⋯-=件邮件，则(21)(1)()22kn k k k ka k n k--⨯⨯-=-=-，故选：D．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．4．设实数满足条件则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知函数()x a f x x e -=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln 2-D ．ln 2 【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．6．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log 11log log 101log 0.a a a ax x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，， 故选C ．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 7．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．5 【答案】A【解析】【分析】 根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x的范围，进一步得到k 的最大值.【详解】()(N )k f x k x+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k c c+>-恒成立， ln 11x k x x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=，当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得： 000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-， N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 8．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.9．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）.故选：D. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题10．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】【分析】 由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】 根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小；而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得 ()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅ 221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >，综上可知a c b >>，本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.11．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．3C ．212D ．312【答案】D【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.【详解】 设四个支点所在球的小圆的圆心为O '，球心为O ，由题意，球的体积为43π，即24433R ππ=可得球O 的半径为1， 2的正方形硬纸，可得圆O '的半径为12， 利用球的性质可得222131()2O O '=-=， 又由O '到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12， 31312++=. 故选：D.【点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.12．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( )A ．3B ．13-C ．12-D ．1-【答案】B利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案.【详解】由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13a =-.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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浙江省温州市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性逐项判断即可 【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故11c c b a--> ，错误 故选B ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．2．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA =AB =O 的表面积为（ ） A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得2PG ==，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥，又由AB =AG =在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos 5θ=，则该双曲线的离心率为（ ） A 5B 5C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又5cos 5θ=，则25sin 5θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率215c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题4．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.5．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝. 故选：B. 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．6．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为Γ的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．73D 【答案】D 【解析】 【分析】由圆22:()4C x c y -+=与l 相切可知，圆心(,0)C c 到l 的距离为2，即2b =.又1222AF F AOF S S ab ∆===V a 的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得2b =，12AF F S ab ∆==a ∴=e ∴==. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 7．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】a ，b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【详解】令()23=+xf x x ，()32xg x x =+， 作出图象如图，由()23=+x f x x ，()32xg x x =+的图象可知，()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 8．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 9．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x x 禳镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C 【解析】 【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I . 【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 10．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．3D ．3【答案】A【解析】 【分析】根据平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B的距离之比为22，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解. 【详解】 如图所示：设()1,0A -，()10B ,，(),P x y ()()22221221x y x y ++=-+， 化简得()2238x y ++=，当点P 到AB （x 轴）距离最大时，PAB ∆的面积最大， ∴PAB ∆面积的最大值是1222222⨯⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 11．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B ðU 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-【答案】B 【解析】 【分析】解不等式确定集合A ，然后由补集、并集定义求解． 【详解】由题意{}2|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >，∴{|35}R A x x =-≤≤ð，(){|37}R A B x x =-≤<U ð．故选：B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 12．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I=（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】 由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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