九年级上册数学 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

九年级上册数学 圆 几何综合中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在
射线BA 上，以BP 为半径的
P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、
PC ，设x BP =，PC y =.
（1）求证：PE //DC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取
值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605
R <<
【解析】 【分析】
()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据
平行线的判定定理即可得到结论；
()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，
//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到
22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到
223PH x =
，13BH x =，求得1
63
CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218
655
PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】
()
1证明：梯形ABCD ，AB CD =，
B DCB ∠∠∴=，
PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
//PE CD ∴；
()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．
梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，
∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，
2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，
在Rt ABF 中，
22226242AF AB BF =-=-=，
//PH AF ，
PH BP BH
AF AB BF
∴
==6242x BH ==，
223PH x ∴=
，1
3
BH x =， 1
63
CH x ∴=-，
在Rt PHC 中，22PC PH CH =
+
22221
(
)(6)33
y x x ∴=+-2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．
//PE DC ，
∴四边形PDME 是平行四边形．
PE DM x ∴==，即 6MC x =-，
PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，
PB BE EC MC ∴=
，即232663
x
x x x =--， 解得：18
5x =，
即12
5
BE =，
1218655
PD EC ∴==-
=， 当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236
5
R =； 即两圆相交时，3605
R <<． 【点睛】
本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
2．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E. （1）求证：∠E=∠C ；
（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长； （3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）485
. 【解析】
试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB 的长，然后根据平行线分线段定理，可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解. 试题解析：（1）如解图，连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，
∴AO＝5，∴AB＝4.
∵BD∥OE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10
（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
1
3
2
y x
=-+（2）d=5t （3）故当 t=
8
5
，或8
15
，时，QR=EF，N（-
6，6）或（2，2）．
【解析】
试题分析：（
1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；
（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；
（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解; 试题解析：
（1）∵C （0，8），D （-4，0）， ∴OC=8，OD=4， 设OB=a ，则BC=8-a ，
由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ， 在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2， 则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3， 则OB=3， 则B （0，3）， tan ∠ODB=
3
4
OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=3
4
OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），
设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，
则60{3
k b b +== ，解得：1
{23
k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-1
2
x +3； （2）如图所示：
在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，
则AB=22
135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠=
= ，255OA
cos BAO AB
∠==， 在Rt △PQA 中，9045APQ AP t ∠=︒=，，
则AQ=
10cos AP
t BAO =∠ ,
∵PR ∥AC ，
∴∠APR=∠CAB ，
由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，
∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，
∴QR=
1
2 AQ=5t, 即d=5t;
（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，
∴四边形NTOS 是正方形，
则TQ=TR=
1522QR t = ， ∴111515
1022224
NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）
（） ， 分两种情况，
若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），
点N 在直线1
32
y x =-+ 上， 则1
32
n n -=-
+ ， 解得：n=-6，
故N （-6，6），NT=6，
即
15
64
t = ， 解得：8
5
t = ;
若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：1
32
n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，
即
15
24
t =, 解得：t=8
15
∴当 t =85，或8
15
，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

4．如图1，四边形ABCD 中，
、
为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点
A 、
B 重合），EF ∥A
C 交BC 于点F ，FG ∥B
D 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接H
E ．记四边形EFGH 的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD 为“四边形”， 此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为 ．
（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“四边形”； （2）如图3，是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，，点为
上的一动
点，将△
沿
的中垂线翻折，得到△
．当点运动到某一位置时，以、、、
、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有 个． 【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个． 【解析】
试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可； （1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；
（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.
矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；
（1）等腰梯形是“四边形”；
（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.
考点：动点问题的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
5．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．
(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；
(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范
围.
【答案】（1）8
3
（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和
0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交
【解析】
试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°, ∴
解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B
∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2׈A=
(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,
∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！
理由如下：∵，由（2）可知：， 解之x =90度
∴AO 1B =90°,因此菱形AO 1BO 2是正方形，∴O 1AO 2=90°,即O 2A ⊥O 1A , 而O 1A 是⊙O 1的半径，且A 为半径之外端；∴O 2A 与⊙O 1相切．
还有如下位置关系：当0≤x ≤90和0≤x ≤180时，线段O 2A 所在的直线与⊙O 1相交 考点：直线与圆的位置关系
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大
6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径
12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，
点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为(
)2
S cm
．
（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．
（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积
S ；
（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？
【答案】（1）24cm ，()
926cm ；（2）2
(189)cm π+；（3）0x =或6x =或
932x =-【解析】 【分析】
（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON
AB ⊥于N ，与半圆交于点
M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，
2
61218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=；
（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，
2901
6669183602
BOH HOC S S S ππ∆=+=
⋅+⨯⨯=+阴影扇形；
（3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为
612621862()cm +-=-，运动时间为1862
9322
x -=
=-（秒)． 【详解】
解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=
如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，
MN ON OM =-，
45ABC ∠=︒， 45NOB ∴∠=︒，
在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+= 2
92()ON BN OB cm ∴==
=， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，
故答案为24cm ，(926)cm -；
（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，
设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．
BC 为直径， 90CHB ∴∠=︒，
45ABC ∠=︒
45HCB ∴∠=︒，
HC HB ∴=，
OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，
2901
6669183602
BOH HOC S S S ππ∆=+=
⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，
0x ∴=（秒)或6（秒)；
当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，
连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =
45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，
262OB OH ∴==，
1262OC BC OB =-=-，
移动的距离为612621862()cm +-=-，
运动时间为1862932x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切．
【点睛】
本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.
7．如图，PA ，PB 分别与
O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．
（1）如图1，求证：//PF AD ；
（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5
ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
257
【解析】
【分析】 （1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到
2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；
（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得
APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；
（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由
45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得
257
PH =
. 【详解】 （1）连接OA 、OB
∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，
∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，
∴90OAP OBP ∠=∠=︒，
∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵AB AB =，
∴2AOB ADB ∠=∠，
∴2180P ADB ∠+∠=︒，
∵2180P PEB ∠+∠=︒，
∴ADB PEB ∠=∠，
∴//PF AD
（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K
∵90APB ∠=︒，
∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，
∴45PEB ∠=︒，
∵PA 、PB 为圆O 的切线，
∴PA PB =，
∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，
∴PE PK = ，
∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，
∴APE BPK ∠=∠，
∴APE BPK ∆∆≌，
∴45K AEP ∠=∠=︒，
∴AEP PEB ∠=∠，
∴PE 平分AEB ∠；
（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM
∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，
∴DE AE =，
∵OA 、OD 为半径，
∴OA OD =，
∵OE OE =，
∴DEO AEO ∆∆≌，
∴1452
AEO OED AED ∠=∠=
∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，
∵AM 为圆O 的直径，
∴90ADM ∠=︒，
∵弧AD =弧AD ，
∴ABD AMD ∠=∠，
在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=
，则10AM =， ∴5OA OB ==，
由题易证四边形OAPB 为正方形，
∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，
∵H 在AB 上，
∴OH PH =，
在Rt OAP ∆中，252OP OA =
=，
延长EO 交AD 于K ，
∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，
∴4DK KE ==，3OK =，1OE =
∴在Rt OEP ∆中，227PE OP OE =-=
在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+
∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-
∴()22217PH PH =+- ∴257
PH =
． 【点睛】 本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．
8．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =
，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作
∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．
（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；
（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；
（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．
【答案】（1）DF 的长为
158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258
． 【解析】
【分析】 （1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45
B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可；
（2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF
=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．
（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45
B =
解三角函数即可得出答案． 【详解】 （1）如图，作EH BM ⊥于H ：
∵E 为AB 中点，45,cos 5
AB AD DC B ==== ∴52
AE BE ==
∴cos 45
BH B BE == ∴2BH = ∴2
253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
设半径为r ，在Rt OEH ∆中： ()2
22322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516
r =
∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠
又∵CMN BAM ∠=∠
∴CMN OBE ∠=∠
∴//MF AB
∴四边形BMFA 是平行四边形
∴2528
AF BM r === ∴2515588
FD AD AF =-=-
= （2）如图：连接MD AN ，
∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠
∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠
∴MAD CNM ∠=∠
又∵AFM NFD ∠=∠
∴AFM NFD ∆~∆
∴
AF MF AF DF NF MF NF DF
=⇒=① 又∵//MD AN
∴AFN DFM ∆~∆ ∴
AF NF AF MF NF DF DF MF
=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=
∴NF DF =
∴5MN AD ==
故MN 的长为5；
（3）作如图：
∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切 设圆N 半径为R ，圆O 半径为r
∴'=NO R r NO -=
∴N 在'OO 的中垂线上
∴MN 垂直平分'OO
∴90NMC ∠=︒
∵90BAM CMN ∠=∠=︒
∴A 点在圆上
∴54cos 5
AB B BM BM === 解得：254
BM =
O 的半径长为258
【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．
9．如图，在O 中，AB 为直径，过点A 的直线l 与O 相交于点C ，D 是弦CA 延长线
上一点，BAC ∠，BAD ∠的平分线与
O 分别相交于点E ，F ，G 是BF 的中点，过点G 作MN AE ，与AF ，EB 的延长线分别交于点M ，N ．
（1）求证：MN 是
O 的切线； （2）若24AE =，18AM =． ①求O 的半径；
②连接MC ，求tan MCD ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）①13；②
2741 【解析】 【分析】
（1）如图1，连接 GO 、GA ，先根据角平分线的定义证明∠MAE=12
（∠BAC+∠BAD ）=90°，由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG ，则OG ∥AM ，所以∠MGO=180-∠M=90，从而得结论；
（2）①延长GO 交AE 于点P ，证明四边形 MGPA 为矩形，得GP=MA=18，∠GPA=90°，设OA=OG=r ，则OP=18-r ，根据勾股定理列方程解出即可；
②如图3，过M 作MH ⊥l ，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 交延长交AE 于P ，tan ∠MAH=tan ∠ABE=tan ∠BIA=125
，BI=2BE=20，根据三角函数计算MH ，AH ，CI 的长，最后计算MH 和HC 的长，代入tan ∠MCD=
MH HC
，可得结论． 【详解】
（1）证明：如图1，连接GO ，GA ，
∵BAC ∠，BAD ∠的平分线与
O 分别相交于点E ，F ， ∴1()902MAE BAC BAD ∠=
∠+∠=︒． ∵MN AE ，
∴18090M MAE ∠=︒-∠=︒．
∵G 是BF 的中点，
∴FG BG =，
∴FAG BAG ∠=∠．
∵OA OG =，
∴OGA BAG ∠=∠，
∴OGA FAG ∠=∠，
∴OG AM ∥，
∴18090MGO M ∠=︒-∠=︒．
∵OG 为
O 半径， ∴MN 是O 的切线．
（2）解：①如图2，连接GO 并延长交AE 于点P ，
∵90MGO M MAE ∠=∠=∠=︒，
∴四边形MGPA 为矩形，
∴18GP MA ==，90GPA ∠=︒，即OP AE ⊥，
∴1122
AP AE ==． 设OA OG r ==，则18OP r =-，
在Rt OAP △中，∵222OA OP AP =+，
∴222(18)12r r =-+，
解得：13r =，
故O 的半径是13．
②如图3，过M 作MH l ⊥，连接BC ，延长NE 交l 于I ，连接GO 并延长交AE 于P ，
由①知：13OG =，18PG =，
∴5OP =．
∵AB 是O 的直径，
∴90AEB AEI ∠=∠=︒．
∵BAE EAC ∠=∠，
∴ABE AIB ∠=∠，
∵AM NI ∥，
∴MAH BIA ABE ∠=∠=∠，
∴12tan tan tan 5
MAH ABE BIA ∠=∠=∠=
，220BI BE ==． ∵12cos 13HM AMH AM ∠==，5sin 13AH AMH AM ∠==，5sin 13CI CBI BI ∠==， ∴181********MH ⨯=
=，185901313AH ⨯==，5100201313
CI =⨯=， ∴100238261313
AC AI CI =-=-=， ∴23890328131313
HC AH AC =+=+=， ∴21627tan 32841
MH MCD HC ∠===． 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP ＝2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．
（1）①点B 到⊙O 的最大值，最小值；
②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；
（2）在直线y =x +b 上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m +1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）①点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2；②A 1；（2）b -≤≤；
（3）3≤m ≤
1或≤m ≤﹣4
【解析】
【分析】
（1）①根据点与圆的位置关系求解即可；
②先求出123,,A A A 三个点到⊙O 的最大值与最小值，再根据“倍点”的定义求解即可； （2）如图1（见解析），过点O 作OD l ⊥，先求428BQ ≤≤，再求出直线
:l y x b =+上的点到⊙O 的最小值，只要这个最小值小于等于8即可满足题意，然后求解即可；
（3）根据正方形的位置，可分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况，分别求出每种情况下，正方形最近顶点、最远顶点到⊙O 的最大值与最小值，然后根据“倍点”的定义
列出不等式组求解即可.
【详解】
（1）①点B 到⊙O 的最大值是314BO r +=+=
点B 到⊙O 的最小值是312BO r -=-=；
②1A 到⊙O 的最大值6，最小值4；2A 到⊙O 的最大值11，最小值9；3A 到⊙O 的最大值3，最小值1
由（1）知，点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2
因此，在⊙O 上存在点P ，Q ，使得12A P BQ =，则1A 与B 是⊙O 的一对“倍点”
故答案为1A ；
（2）∵点B 到⊙O 的最大值是4，最小值是2
428BQ ∴≤≤
如图1，过点O 作OD l ⊥
由直线:l y x b =+的解析式可知：60,DCO OC b ∠=︒=
由直角三角形的性质可得：1,2CD b OD =
== 则点D 到⊙O
1-
，即直线:l y b =+上的点到⊙O
的最小值为1-
要使直线:l y x b =+上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”
18-≤
解得：b ≤
b -≤≤；
（3）由（2）知，428BQ ≤≤
依题意，需分20,01,1,2m m m m -≤<≤≤><-四种情况讨论：
①当20m -≤<时，顶点(1,1)N m +到⊙O
14<，此时顶点N 不符题意
②当01m ≤≤时，顶点(,1)M m 到⊙O
14<，此时顶点M 不符题意
③当1m ，如图2，正方形MNST 处于1号正方形位置时
则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +
此时，点T 到⊙O 的最小值为1m -，最大值为1m +；点N 到⊙O
的最小值为
1
1
则14
18
m +≥⎧≤
，解得：31m ≤≤
当正方形MNST 处于2号正方形位置时 则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m + 此时，点M 到⊙O
的最小值为2211m +-，最大值为2211m ++；点S 到⊙O 的最小值为22(1)21m ++-，最大值为22(1)21m +++
则2222114(1)218
m m ⎧++≥⎪⎨++-≤⎪⎩，解得：22771m ≤≤-或77122m --≤≤-（舍去） 故当1m 时，m 的取值范围为3771m ≤≤-
④当2m <-时，正方形MNST 处于3号正方形位置时
则顶点S 和T 的坐标为(1,0),(,0)S m T m +
此时，点S 到⊙O 的最小值为2m --，最大值为m -；点M 到⊙O 的最小值为
2211m +-，最大值为2211m ++
则224
118
m m -≥⎧⎨+-≤⎪⎩，解得：454m -≤≤- 当正方形MNST 处于4号正方形位置时
则顶点S 和T 的坐标为(1,2),(,2)S m T m +
此时，点N 到⊙O 的最小值为22(1)11m ++-，最大值为22(1)11m +++；点T 到⊙O 的最小值为2221m +-，最大值为2221m ++
则2222(1)114218
m m ⎧+++≥⎪⎨+-≤⎪⎩，解得：77122m -≤≤--或22177m -≤≤（舍去） 故当2m <-时，m 的取值范围为774m -≤≤-
综上，m 的取值范围为3771m ≤≤-或774m -≤≤-.
【点睛】
本题考查了直线与圆的的位置关系、点与圆的位置关系、正方形的性质，较难的是（3），根据点与圆的位置关系分四种情况讨论是解题关键.。