结构动力学第七章

7.1 Rayleigh 法
• Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。 • 对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程 中的最大应变能与最大动能相等而求得。 • 对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种 处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模 态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结 构体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动 能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散 坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh 法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。
ω2 =
∫ ∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
n 2 i =1
m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
如果体系上只有n个集中质量m，不计分布质量，
ω2 =
∫
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
∑ mU
i =1 i
n
2
( xi )
ω2 =
Leabharlann Baidu
∫ ∫ m( x)U
0 l 0
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
n ⎡ ⎤ 2 EI [U ′′( x)] dx = ω ⎢ m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎥ i ∫0 i =1 ⎣ ⎦ l 2 2
代入上式，得
π = ∫ EI [U ′′( x)] dx} − ω
2 0
l
2
∫ m( x ) U
0
l
2
( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )]
i =1
n
可
∂π =0 ∂ai
(i = 1, 2, L , m)
得到一组关于 ai (i = 1, 2, L , m) 的线性齐次方程
( Aij − ω 2 Bij )ai = 0 ∑
，其误差为 +0.4%。
由以上结果可以看出 • 所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件（位移、内 力），因此所得结果误差都很小； • 所选的第二种曲线所得的结果误差更小，因为它更接近第一振 型。（考察曲线的边界条件） • 所得结果与精确值比较都偏大，这是能量法的特点。
– 因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某 些约束，从而增大了体系的刚度，因此所得的频率值将偏大。
ql 4 x 4 x3 x 2 U ( x) = ( 4 −2 3 + 2 ) l l 24 EI l
该式满足梁的全部边界条件。
504 EI ω = = 4 l m m ∫ U 2 ( x)dx
2 0 l 0
q ∫ U ( x)dx
l
ω=
22.45 EI l2 m
精确值为 ω = 22.37 EI l2 m
体系的应变能（仅考虑弯曲变
l 1 l M2 1 l 1 2 2 V (t ) = ∫ dx = ∫ EI [u′′( x, t )] dx = sin (ωt + φ ) ∫ EI [U ′′( x)]2 dx 0 2 0 EI 2 0 2
体系最大应变能为 Vmax
1 l = ∫ EI [U ′′( x)]2 dx 2 0
x
U ( x) = A(1 − cos
2π x ) l
U
该式满足梁的几何边界条件，并满足弯矩边界条件，但不满足 剪力边界条件。
ω
2
∫ = ∫ m( x)U
0 l 0
l
EI [U ′′( x)]2 dx
16π 4 EI = l0 = 2 2 3l 4 m ( x)dx ∫ m U ( x)dx
0
EI ∫ [U ′′( x)]2 dx
2
(i = 1, 2, L, m)
⎧ ⎫ l ⎪ ′′( x)]2 dx ⎪ ∂ (ω ) ∂ ⎪ ⎪ ∫0 EI [U = ⎨ l ⎬=0 n ∂ai ∂ai ⎪ 2 2 i ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎪ ⎪ ⎪ i =1 ⎩ ⎭
2
(i = 1, 2, L, m)
展开上式，并 令分子等于0，有
[ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )] ⋅
l 2 0 i =1 l 2 n
∂ l {∫ EI [U ′′( x)]2 dx} − ∂ai 0
n ∂ l 2 {∫ EI [U ′′( x)] dx} ⋅ [ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi )] = 0 0 ∂ai 0 i =1
n l ∂ l 2 2 2 [ ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU ( xi )] ⋅ {∫ EI [U ′′( x)] dx} − ω ∫ m( x) U ( x)dx + ∑ miU 2 ( xi ) = 0 0 0 ∂ai 0 i =1 i =1 l n 2 2
令 π = l EI [U ′′( x)]2 dx} − ω 2 l m( x) U 2 ( x)dx + m U 2 ( x )] ∑ i i ∫ ∫
Tmax
1 l 1 2 l 2 = ω ∫ m( x)U ( x)dx Vmax = ∫ EI [U ′′( x)]2 dx 0 2 0 2
Tmax = Vmax
由此可求得结构的振动频率为
ω2 =
∫ ∫ m( x)U
0 l 0
l
EI [U ′′( x)]2 dx
2
( x)dx
如果体系上还有n个集中质量m，
j =1 m
(i = 1, 2,L, m)
式中 Aij = Aji = ∫ EIφi′′(x)φ ′′( x)dx j
0
l
(i, j = 1, 2, L , m)
(1) (2) Bij = B ji = Bij + Bij = B (1) + B ji(2) ji
(i, j = 1, 2,L, m)
l
ω=
22.8 EI l2 m
精确值为 ω = 22.37 EI l2 m
，其误差为 +1.9%。
ω =
2
∫ ∫
l 0
l
0
q ( x)U ( x)dx + ∑ PU i i
i =1 n i =1
n
A
m
B
x
m( x)U 2 ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
l U
(2) 选择振型曲线为均布荷载作用下的弹性曲线
ω2 =
∫ q( x)U ( x)dx + ∑ PU
l 0 i =1 i
n
i
∫
l
0
m( x)U 2 ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
n
例7.1 用能量法计算图示两端固定梁的第一频率。设EI=常数，单位长度 质量为 m 。
A m B 解：用两种方法求解。 (1) 设振型曲线为 l
B
(1) ij
(2) ij
=B
(1) ji
(2) ji
= ∫ m( x)φi ( x)φ j ( x)dx
0
l
B
=B
= ∑ mkφi ( xk )φ j ( xk )
k =1
n
∑(A
j =1
m
ij
− ω 2 Bij )ai = 0
(i = 1, 2,L, m)
令上式的系数行列式等于零，即得频率方程为
实用振动分析的内容
• 7.1 Rayleigh法 • 7.2 Rayleigh-Ritz法 • 7.3 矩阵迭代法（基本模态的迭代法；高阶模态的迭代法） • 7.4 Jacobi （雅可比）迭代法 • 7.5 子空间迭代法 • 课堂教学中主要介绍 Rayleigh 法和 Rayleigh-Ritz 法。
由能量守衡定律
T (t ) + V (t ) = C
Tmax = Vmax
式中：T — 体系在任一时刻的动能； V — 体系在任一时刻的应变能。 线弹性体系的最大动能等于最大应变 线弹性体系的振动位移 速度
u ( x, t ) = U ( x) sin(ωt + φ ) & u ( x, t ) = U ( x)ω cos(ωt + φ )
第7章 实用振动分析
概述
• 振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方法，在 定前若干阶振型和自振频率之后，任何线性结构动力反应的近似解都 容易求得。 • 我们实际所面临的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高度简化 数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反应的近似解，一 到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的有限单元模型，其中可能 50或100阶模态对结构动力反应有重要影响。 • 要求解大型结构至要求阶数的振型和频率，完全利用行列式方程的解 是困难的。从数学观点来看，求解各类结构的振型和自振频率属于矩 特征值问题，自然地，可以利用矩阵特征值的求解技术来处理结构振 和自振频率的求解问题。
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
n 2
m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) i
i =1
，并取极小值
⎧ ⎫ l 2 ⎪ ∂ (ω ) ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ∫0 EI [U ′′( x)] dx = ⎨ l ⎬=0 n ∂ai ∂ai ⎪ 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU 2 ( xi ) ⎪ i ⎪ ∫0 ⎪ i =1 ⎩ ⎭
例7.2 如图所示的悬臂梁，其梁厚为单位厚 度，梁高按线性变化，质量和惯性矩分别 3 1 ⎛ 2bx ⎞ 2bx 为 m( x ) = ρ ， I ( x) = ⎜ ⎟ ，其中， 12 ⎝ l ⎠ l ρ为质量密度。使用Rayleigh-Ritz法求该梁 的基频。 解：梁的边界条件为
0 0 i =1
n
n n l ⎡ ⎤ ∂ ⎧ l ⎤⎫ 2 2 2 2 ⎡ 2 2 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⋅ ⎨ ∫0 EI [U ′′( x)] dx −ω ⎢ ∫0 m( x)U ( x)dx + ∑ mU ( xi ) ⎥ ⎬ = 0 i i ⎢ i =1 i =1 ⎣ ⎦ ∂ai ⎩ ⎣ ⎦⎭
7.2 Rayleigh-Ritz 法
• 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解， 在动力分析中，为得到足够精确的结果，常常需要使用一 阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构 前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 • Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵 取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组 可以获得体系的一组自振频率和自振振型。
•
设振型函数（挠度函数）可用预先选定的m个独立函数φi (x)（坐标函 数）的线性组合来表示，即
U ( x) = ∑ aiφi ( x)
i =1
m
式中：ai—待定常数。
φi ( x) 的选取原则：满足体系的全部或部分边界条件，至少满足几何边
界条件，且接近于第i振型函数Ui(x)。 代入
ω2 =
∫ ∫
Aij − ω 2 Bij = 0
可得 m 个固有频率的近似
(i, j = 1, 2,L, m)
ω1 < ω2 < L < ωm
代入
∑(A
j =1
m
ij
− ω 2 Bij )ai = 0
(i = 1, 2,L, m)
可解出m个ai。 再代入 U ( x) =
∑ a φ ( x)
i =1 i i
m
即得振型函数 U j ( x) 。
l
EI [U ′′( x)] dx
2 2
ω =
2
∫
l 0
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
2
( x)dx
∫ m( x)U
( x)dx + ∑ mU ( xi ) i
2 i =1
n
ω2
∫ =
l
0
EI [U ′′( x)]2 dx
∑ mU
i =1 i
n
2
( xi )
• 若假设振型与结构自振振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为 结构自振频率的精确值。 • 若假设振型与结构基本振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为 结构基频的精确值。 • 理论上已证明：采用一个不太精确的假设振型通过Raleigh法得 到的频率是一较为精确的基频近似值。 • 不论什么样的初始振型，用Raleigh商所求得的近似频率将是基 频的上限。 • 一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。
•
通常可取结构在某种静荷载（如集中荷载Pi或均布荷载q(x) ）作用下的 挠曲线作为振型曲线。
•
体系的最大应变能可用相应的外力功代替，即
Vmax = Wmax
1 l 1 n = ∫ q ( x)U ( x)dx + ∑ PU i i 2 0 2 i =1
式中，q(x)和Pi为引起所设曲线U(x)的静力荷载。 频
式中：U(x) —振型函数。
l 1 l 1 2 2 2 & 体系的动能为 T (t ) = ∫ m( x)[u ( x, t )] dx = ω cos (ωt + φ ) ∫ m( x)U 2 ( x)dx 0 0 2 2 体系最大动能为 T = 1 ω 2 l m( x)U 2 ( x)dx max 2 ∫0