含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
2
方程
a a2 4 a a2 4 , x2 的两根 x1 2 2
a a2 4 a a2 4 或x 不等式的解集为 x / x 2 2
解题心得
你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论？
2ax 3a 0(a R)
2
（ 2）
ax (2a 2) x 4 0(a R)
2
误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论，并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减 区间是(2，＋∞)． ② 当 a 0 时， ,令 f′(x)＞0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2. 故 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．
1 1 1 ③当 0＜a＜ 时， ＞2，在区间(0，2)和 a，＋∞上，f′(x)＞0； a 2 1 在区间 2，a 上， f′ (x)＜ 0，故
a a 1 ④ 当 a 1 即 1 时 ，不等式的解集为 a 1 1 1 时，不等式的解集为 x / x 1 ⑤当 a 1 即 a a
●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类 讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
含参一元二次不等式的解法
一元二次不等式是指形如$ax^2 + bx + c > 0$ 或$ax^2 + bx + c < 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是常数。
解决这种不等式的方法与解决一元二次方程的方法类似，需要先求出方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
首先，将不等式中的常数移到右边，得到$ax^2 + bx = -c$。
然后，将左边因式分解，得到$a(x - r_1)(x - r_2) = -c$，其中$r_1$ 和$r_2$ 是方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根。
根据分解因式的性质，可以得到以下三种情况：
当$a > 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$。
当$a < 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$。
注意，当$a = 0$ 时，不等式变成一元一次不等式，应使用相应的解法。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
含参数的一元二次不等式的解法(专题)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参数的一元二次不等式的解法
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
6
含参数的一元二次不等式的解法(讲)
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
解
（1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 1 即当x> 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分 2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
2 2 x 2x 3 0 f (2) 0 , 即 2 f (2) 0 2 x 2 x 1 0
7分
① ②
9分
1 7 1 7 解①, 得x 或x , 2 2 1 3 1 3 解②, 得 x . 2 2 -1 7 1 3 由①②得 x . 2 2 -1 7 1 3 x的 取 值 范 围 为 {x | x }. 2 2
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知： (1) a ＜ 0，且△ ＜ 0. 因此a ＜ -1/3。 （2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0 不符合题意。 1 a | a 综上所述：a的取值范围是 3
二次不等式ax² +bx+c>0的解集是全体实数的 a>0时，⊿＝b² -4ac<0 条件是______.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时,原不等式的解集为∅. 探究提高
含参数的一元二次不等式的解法(讲)
原不等式解集为 k 2 8k 0 即 8 k 0 时，
k 2 8k 0 时得 k 0 或 k 8
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为： x x 0
解集为： x x 2
2 2 x 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
解析：原不等式等价于 （x 1)( x a) 0
相对应一元二次方程的两根 x1 1, x2
a >0 a 0
a
-a
1
不等式的解集为（-， -a) (1,+)
例1
变式：解不等式x +(a-1)x-a 0(a R)
2
（x 1)( x a) 0 解析：原不等式等价于
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
，
原不等式解集为
R
a 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x 2
当a 4或a 4即 0时， 此时两根分别为 ；
,
a a 16 x1 2 显然 x1 x 2
【2】如果a≠0, 函数 f ( x ) log 3 (ax 2 x a )的定义
a 1 域为R, 则实数 a 的取值范围是________. 2
a 0, a 0, 1 1 2 a , 或 a 1 4a 0. 2 2
ax 2 x a 0 对一切实数 x 恒成立，
2
含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0)
含参数一元二次不等式的解法
（b）当 （c）当
1 1 a 1 1 a 1 1 a
1
1 {x | x 1} 即 a 1 时，原不等式的解集为： a
即
a 1
时，原不等式的解集为：
1 } a
即
0 a 1时，原不等式的解集为： {x | 1 x
例： 解不等式 x 2 ax 4 0
含参数一元二次不等式的解法
解含参数一元二次不等式的步骤：
解含参数一元二次不等式，须对参数进行讨论， 讨论顺序为： （1）一看二次项系数a>0,a=0,a<0 （2）如果二次项系数不含参数，二看判别式 △ > 0, △=0,△<0 （3）如果△ > 0,三看一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大 小， x1>x2 ，x1=x2，x1<x2
解：∵
a 2 16
原不等式解集为R ∴(1) 当a 4, 4即 0时 a (2) 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x
，
2
此时两根分别为 (3) 当a 4或a 4即 0时， 2 a a 2 16 a a 16 x1 x2 2 2 显然 x1 x 2
例:解关于x 的不等式：ax2 (a 1) x 1 0.
{x | x 1 }. 解:（一）当a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：
（二）当 a 0 时, 原不等式变形为：(ax 1)(x 1) 0
{ x | x 或x 1} （1)当 a 0 时，原不等式的解集为： a a 0 （2)当 时，有：
∴原不等 16 a a 2 16 或x〈 2 2
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法基础知识：1.一元二次不等式的形式：02>++c bx ax 与02<++c bx ax （a≠0）2. 只考虑0>a 的情形。
当a ＜0时，将不等式两边乘－1就化成 了“a＞0”。
3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系：从函数的观点来考虑。
设二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L ，则不等式ax 2+bx+c ＞0，ax 2+bx+c ＜0的解集分别是抛物线L 在x 轴上方，在x 轴下方的点的横坐标x 的集合；二次方程ax 2+bx+c=0的根就是抛物线L 与x 轴4.二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。
它是函数与方程思想的应用范例。
应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。
5.一元二次不等式的解法步骤。
1）化为一般式ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)。
这步可简记为“使a ＞0”。
2）.计算△=b 2－4ac ，判别与求根：解对应的二次方程ax 2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3）.写出解集：用区间或用大括号表示解集。
注意：1.解题策略：使a 值为正，求得两根，“＞”则两根之外；“＜”则两根之内。
2.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
二次不等式的解集求法可用数轴标根。
知识应用 :一.不含参数的一元二次不等式的解法二、关于含参数（单参）的一元二次不等式的解法 （一）．二次项系数为常数1.解关于x 的不等式：x 2－(m ＋2)x ＋2m ＜0。
解：(x －2)(x －m)＜0(1) m ＜2时，x ∈(m ，2)21x(2) m ＞2时，x ∈(2，m) (3) m ＝2时，x ∈∅反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m 与2大小的不确定性 (2) 如何进行讨论？——比较大小 2.解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x解：0)2(2>+-+a x a x )(*（1）当()224044a a a a ∆=-->⇔<->+, 两根为1x=2x=.)(*解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )；（2）当44a a =-=+0=∆，)(*解集为(,1-∞)⋃(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0<∆，)(*解集为R ；（二）．二次项系数含参数3. 解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 〉0,a=0,a<0; 例1解不等式： ax 2a 2x 1 0分析：本题二次项系数含有参数， A=(a +2f_ 4a = a 2+4》0,故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：•, A = (a +2 2 —4a = a 2+4》0 解得方程 ax 2 +(a +2 X +1=0 两根为=—'—2；；京*4, X2 = -'-2*带 八心 臣”兀 —a -2 +而2 +4 y _a -2 - da 2 +4 .•当 a 》0时,解集为』x | x > ----------------------- 或x < ---------------------2a 2a当a =0时，不等式为2x+1》0，解集为』x|x 〉；？— a —2+y a 2+4_a_2_Ja 2+4当a<0时，解集为Jx|一 <x <一 .2例2解不等式ax —5ax + 6a 》0(a 孝0 )分析 因为a #0 , A >0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a(x 2 -5x 6) = a x - 2 x -3 )〉0,二当a a 0时，解集为<x | x < 2或x a 3"当a < 0时，解集为 k | 2 <x < 3}2、(1 — ax )2<1.【解】 由(1 - ax)2<1 得 a 2x 2 - 2ax+ 1<1.即 ax(ax —2)<0. (1)当a=0时，不等式转化为0<0,故原不 等式无解.(2)当a<0时，不等式转化为 x(ax 一2)>0,2即 x(x — )<0.a2<0 , 不等式的解集为 {x|2aa<x<0}.变式：解关于x 的不等式1、(x —2)(ax —2) A0 ; ⑴当a ：：：0时,{x|2:::x<2} a(2) 当 a =0 时,{x|x =:: 2)2 (3) 当0 <a C 1 时,{ x| x <2,或xA —)a (4) 当a =1 时,{x | x =2) 2工(5) 当a A 1 时,{x | x 〈一,或x A2)a(3)当a>0时，不等式转化为 x(ax — 2)<0 ,一 2 又>0, a2...不等式的解集为{x|0<x<a }.综上所述：当a= 0时，不等式解集为 空集；2 当a<0时，不等式解集为{x|2<x<0}; a2当a>0时，不等式解集为{x|0<x< }.a二、按判别式 △的符号分类，即 A A 0,A=0,A<0; 例3解不等式x 2 +ax +4>0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。
3.4含参数一元二次不等式的解法(答案版)
3.4：含参数一元二次不等式的解法【知识点1】一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表：含参数一元二次不等式的解法【知识点2：含参数的一元二次不等式的解法1】解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“∆”的过程中，若“∆”表达式含有参数且参数的取值影响“∆”符号，这时根据“∆”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“∆”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．例题：解关于x 的不等式22560.x ax a +-<12(7)(8)0(7)(8)078x a x a a a x a x a x x +-<+-==-=解析：原不等式化为，方程的两根为，，0{|}7800{|}87a aa x x a a aa x x ∴>-<<=∅<<<-时，解集为；时，解集为；时，解集为．【知识点3：含参数一元二次不等式的解法2．分式不等式的解法】 (1)分式不等式分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式___ (2)等价转化法解分式不等式解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的__整式__不等式(组)．具体情况见下表：例题：解下列不等式： 42(1)023x -≤+；1(2)3.2x x+≥- (4)(23)0443(1)00|4.23023232x x x x x x x x x x -+≥⎧--⎧⎫≤⇔≥⇔⇔≥<-⎨⎨⎬+≠++⎩⎭⎩解析：或3{|4}2x x x ∴<-≥原不等式的解集为或．114545(2)330002222x x x x x x x x ++--≥⇔-≥⇔≥⇔≤----，(45)(2)05|2.204x x x x x --≤⎧⎧⎫⇔⇔≤<⎨⎨⎬-≠⎩⎭⎩，5{|2}4x x ∴≤<原不等式的解集为．【知识点4：含参数一元二次不等式的解法3．简单的高次不等式的解法】 (1)高次不等式不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为__高次不等式_ (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将()f x 最高次项系数化为正数；②将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④观察曲线显现出的()f x 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式：(2)(1)(1)(2)0.x x x x ++--≤(2)(1)(1)(2)y x x x x =++--解析：设，021,1,2y =--则的根分别是，，将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：{|2112}x x x -≤≤-≤≤所以原不等式的解集是，或．点评： (1)大于0的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方部分的实数x 的取值集合；反之，对应着x 轴下方部分的实数x 的取值集合．注意端点处值是否取到．(2)穿根法可形象地称为“穿根引线法”，这样的“线”可看成是函数的图象草图，只不过不画y 轴而已．变式1：解关于x 的不等式：22(21)0.x m x m m -+++<22(21)0m m x m x m m -+++= 分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对方程的解的影响，然后求解．2212(21)01x m x m m x m x m -+++===+ 解析：解法一：方程的解为，，1.m m <+且知 22(21)y x m x m m x ∴=-+++二次函数的图象开口向上，且与轴有两个交点．{|1}x m x m ∴<<+不等式的解集为．2(1)(1)21m m m m m m m -=+++=+解法二：注意到，及，()(1)0x m x m ---<可先因式分解，化为，1 1.m m m x m <+∴<<+ ，{|1}x m x m ∴<<+不等式的解集为． 点评：含参数的不等式的解题步骤为 (1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)． 另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．变式2：当0a >时，解关于x 的不等式2(1)10.ax a x -++<2(1)10(1)(1)0ax a x ax x -++<--<解析：不等式可化为，10(1)(1)0()(1)0a ax x x x a >∴--<--< ，不等式，可化为，1a =当时，不等式无解； 1011a x a <<<<当时，； 11 1.a x a><<当时，101{|1}111{|1}.a x x a aa x x a<<<<=><<综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集；当时，原不等式的解集为变式3： (1)不等式12x x-≥的解集为( A ) A ．[1,0)-B ．[1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1](0)-∞-+∞ ，， (2)不等式21134x x ->-的解集为_23|34x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭__． ()()0(0)()()f x f xg x g x >< 分析：此类不等式求解，要先移项通分化为的形式再化为或整式不等式．转化必须保持等价．11(1)200x x x x----≥∴≥解析：，，(1)010.0x x x x +≤⎧∴∴-≤<⎨≠⎩，64(2)043x x -<-原不等式化为：，23(64)(43)034x x x ∴--<∴<<，，23|.34x x ⎧⎫∴<<⎨⎬⎩⎭原不等式的解集为变式4：不等式3112x x-≥-的解集是( C ) A ．3|24x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．3|24x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或C ．3|24x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}|2x x <31431022x x x x--≥≥--解析：不等式，化为，32.4x ∴≤<变式5：不等式(2)03x x x +<-的解集为( ) A ．{}|203x x x <-<<，或 B ．{}|223x x x -<<>，或 C ．{}|20x x x <->，或 D ．{}|03x x x <<，或分析：原不等式左端是分式，右端为0，属于0AB<型，可等价转化为0AB <，即(2)(3)0x x x +-<，依次令12302030023x x x x x x =+=-===-=，，得，，，数轴按此三数对应点分成四段，令=(2)(3)y x x x +-列出x 与y 的对应值如表：(2)(3)0(2)(0,3)x x x +-<-∞- 故不等式的解集为，．(2)(3)0.x x x +-<解析：原不等式等价于()结合数轴穿根法如图可知：20 3.x x <-<<或变式6：解不等式：23(1)(1)(2)0.x x x x -+-> (1)(2)010x x x x +->⎧⎨-≠⎩解析：原不等式可化为10210 2.1x x x x x -<<>⎧⇔⇔-<<>⎨≠⎩，或，或{|102}.x x x ∴-<<>原不等式的解集为，或变式7：关于x 的不等式22(1)1m x mx m x x R +++<+∈对成立，求实数m 的取值范围． 分析：首先考虑二次项系数是否为零，化简后，需要对m 对进行讨论．0m ≠时，可利用三个“二次”之间的关系求解．210mx mx m x R ++-<∈解析：原不等式等价于对恒成立，200010m x x x R =⋅+⋅-<∈当时，对恒成立． 0m ≠当时，由题意，得22004(1)0340m m m m m m m <<⎧⎧⇔⎨⎨∆=--<->⎩⎩ 00.403m m m m <⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩，或0.m m ≤综上，的取值范围为点评：一元二次不等式恒成立时满足条件22220(1)0()00(2)0()00(3)0()00(4)0().0a ax bx c R a ax bx c R a ax bx c R a ax bx c R >⎧++>⎨∆<⎩>⎧++≥⎨∆≤⎩<⎧++<⎨∆<⎩<⎧++≤⎨∆≤⎩恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足；恒成立或解集为时，满足变式8：已知不等式2(1)10ax a x a +-+-<对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围． 010a x =--<解析：若，则原不等式为，10.x a >-≠即，不合题意．故2()(1)1f x ax a x a =+-+-令，x R ∈ 原不等式对任意都成立．()f x x ∴二次函数的图象在轴的下方．20(1)4(1)0.a a a a ∴<∆=---<且(1)(31)0a a a <⎧⎨-+>⎩即，1.3a ∴<-1()3a -∞-故的取值范围为，．变式9：若函数y R ，则k 的取值范围是_01k ≤≤__． 01k <≤错解：26(8)0kx kx k -++≥由题意知恒成立，201364(8)0k k k k k >⎧∴∴<≤⎨∆=-+≤⎩，， 0 1.k k <≤即的取值范围是206(8)0k kx kx k =-++≥辨析：错解忽视时，也成立，考虑问题不全面导致错误．01k ≤≤正解：26(8)0kx kx k -++≥由题意恒成立．200364(8)0k k k k k >⎧=≠⎨=-+≤⎩当时满足，当时，△010 1.k k ∴≤≤≤＜，综上得。
专题-《含参数的一元二次不等式的解法》
专题 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法
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含参数的一元二次不等式的解法
题型1：二次项系数为常数（能因式分解） （x-a ）(x-2)>0 （x+a ）(x-2)<0
例1.解关于x 的不等式 01)1
(2<++-x a
a x (a>1)
练习.解关于x 的不等式 01)1
(2<++-x a
a x (a>0)
.
题型2：二次项系数为常数（不能因式分解）
例2.解关于x 的不等式 .02>++a ax x 练习：解关于x 的不等式.02
>-+-a x x
题型3：二次项系数含参数（能因式分解） 例3.解关于x 的不等式 .01)1(2
<++-x a ax
练习：解关于x 的不等式 0)2)(2(>--ax x
题型4：二次项系数含参数（不能因式分解） 例4解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax
课堂练习：解关于x 的不等式：
1. )(11R a a x x
∈-<- 2.
)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x a x ，且
3. （1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
（2）设全集R U =，集合}3|12||{},01
|{<+=≥+-=x x B x a
x x A ，
若R B A = ，求实数a 的取值范围.
4.解关于x 的不等式（1）03)3(2
<---a x a x （2） .0122
<-+ax ax。
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Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 有两相等实根
＋c＝0(a>0)的根
x1，x2(x1<x2) x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的 解集
x / x x1 或x___x2}{ x /
x
b} 2a
ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集
二、典例剖析
例1 解关于x的不等式 ( x 1)( x a) 0(a R)
解：方程 ( x 1)( x a) 0 的两根 x1 1, x2 a 当 a 1时，不等式的解集为 x /1 x a；
当 a 1时，不等式的解集为 ；
当 a 1 时，不等式的解集为 x / a x 1
伪二次，别遗漏！
考点二 求函数的单调区间
【例2】已知函数f(x)＝1 ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)． 2
求f(x)的单调区间；
解：f′(x)＝
ax 2
(2a x
1)
x
2
（ax－1）x（x－2）(x＞0)．
①
当 a=0 时，
f
'( x)
2 x x
,令
f′(x)＞0 得 0<x<2;
一轮总复习.文科数学
第二章
不等式
【考点分析】 不等式是研究数学问题的重要工具，而含有参 数的一元二次不等式的解法常与函数、导数结合，是求函数单调区 间的基础。
【重要思想】分类讨论
第二节 含参数的一元二次不等式的解法
知识回顾
典例剖析
巩固提升
作业
一、知识回顾
1.“三个二次”的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
a
a2 4 2
不等式的解集为
x / x a
a2 4 或x a 2
a2 4
2
解题心得
你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论？
点评： 解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层
次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行
分类，其次根据根是否存在，即 Δ 的符号进行分类，最后在根存
结合定义域！
作业 1.解关于 x 的不等式．
(1)12x2－ax＞a2(a∈R)；
(2)axx－－21＞1(a＞0)．
xa
（3）
x
a
2
0(a R)
解析：(1)由12x2－ax－a2＞0⇒(4x＋a)(3x－a)＞0⇒
x＋a4
x－a3＞0， ①a＞0时，－a4＜a3，解集为{x|x＜－a4或x＞a3}；
变式1 解关于x的不等式 x2 (1 a) x a 0
变式2 解关于x的不等式 ax2 (1 a) x 1 0 解：原不等式可化为 (ax 1)(x 1) 0 (a R)
① 当a 0 时，x 1 0 ，不等式的解集为 x / x 1
②当 当
a a
0时，1
1不等式
的解集为
②a＝0时，x2＞0，解集为{x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－a4＞a3，解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．
在时，根据根的大小进行分类．
先开口
能因式分解
再判别式
两根大小
三、巩固提升
考点一 含参数的一元二次不等式的解法
（1）x2 2ax 3a2 0(a R)
（2）ax2 (2a 2) x 4 0(a R)
误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论，并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.
x / x1 x x2}
∅
没有实数 根
{x|x∈R}
∅
2、解一元二次不等式的方法：数形结合
充分利用其对应二次函数的图象，先看_开__口__, 【二次项系数】
再看__判__别__式______, 【图象与x轴交点个数】
最后看_根__的__大__小___. 【十字相乘法因式分解或求根公式】
补充：如果能因式分解，说明对应方程一定有根。
令
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减
区间是(2，＋∞)．
② 当 a 0 时，,令 f′(x)＞0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2.
故 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．
③当 0＜a＜12时，1a＞2，在区间(0，2)和1a，＋∞上，f′(x)＞0； 在区间2，1a上，f′(x)＜0，故 f(x)的单调递增区间是(0，2)， 1a，＋∞，单调递减区间是2，1a. ④当 a＝12时，f′(x)＝（x－2x2）2≥0，故 f(x)的单调递增区间是(0， ＋∞)． ⑤当 a＞12时，0＜1a＜2，在区间0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)＞0； 在区间1a，2上，f′(x)＜0，故 f(x)的单调递增区间是0，1a，(2， ＋∞)，单调递减区间是1a，2.
综上，当 a 0时，f (x) 的增区间是（0,2），减区间
是（2， ）；
当
0
a
1
时， f
( x) 的增区间是
(0,2),(
1
,)
2 减区间是 (2, 1 )
a
a
当
a
1时，f (x) 2
的增区间是(0,)
当 a 1 时，f (x) 的增区间是(0, 1 ), (2, )
2
减区间是
(
1
,
2)
a
a
例2 解关于x的不等式 x2 ax 1 0(a R)
解： a2 4
（1）当 0即 2 a 2 时，不等式的解集为R
（2）当
0即
a
2
时不等式的解集为 x
/
x
a
2
(3)当 0 即 a 2或a 2 时，
方程 x2 ax 1 0 的两根 x1 a
a2 2
4
,
x2
x
0
时，还a 需比较
1
与1 的大小。
/
x
1 a
或x
1
③当
④
0 a 1即
当a 1即1
1 1时a，不等式的解集为x
a
1 时 ，不等式的解集为
/11即 1 1
a
时，不等式的解集为
x
/
1 a
x
1
●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类 讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．