席位公平分配模型

席位公平分配模型

09数学与应用数学（1） 0907021006 王秀秀

摘要：本文主要研究席位的公平分配问题。通过对绝对不公平度和相对不公平度的构造，从而建立了Q 值分配法模型。在公平标准下，用Q 值分配法模型，我们可得到相对公平的席位分配方案。 关键词：席位分配 公平性 相对不公平度 Q 值分配法模型

正 文

1 问题的提出

某校三个系有

200名学生，其中1系有学生103名，2系有学生63名，3系有学生34名。现在要从三个系中选取20名学生成立一个委员会。问题：如何合理的将这20个席位分配给这3个系，才能使分配相对公平？

2 合理假设与变量说明

2.1合理假设

2.1.1席位是以整数计量的，并且为有限个，设为N ；

2.1.2每个系别的每个人被选举的概率相等。

2.2变量限定：

P ：为总人数 i P ：为i 系人数

N ：为总席位数 i n ：为i

系席位数 其中，,,,,1,2...i i P N P n N i n +∈=，且1n i

i P P ==∑，1n i i n N ==∑ 公平标准：i i

P P N n = 3 模型建立

3.1 若公平标准满足时，即i i

P P N n =（1,2...i n =）时，我们知道此时分配是公平的，则最有分配方案为i 系分得席位i n 个。

3.2 Q 值分配法模型

若公平标准不满足满足时，即存在i N +∈，使得

j i i j P P n n ≠成立时，我们用绝对不公平度的算法给出相对不公平度。

以1，2两方作为考察构造，先给出绝对不公平度：

设1，2系的总人数分别为1P ，2P ，分得席位数分别为1n ，2n ，令(1,2)i i i P R i n =

=，i R 表示i 系每个席位代表的人数 令||,(,,)j i ij i j

P P i j i j N n n λ+=-≠∈，ij λ表示i ，j 系分配方案的绝对不公平度，且ij ji λλ=。

例如，当121210120

100n n P P ====，，时，ij λ=2， 当1212101020

1000n n P P ====，，时，ij λ=2， 由此可知，绝对不公平度的对问题的检验不灵敏。

以下给出相对不公平度的分配方案： 记122211222//(,)/P n P n r n n P n -=（1212

1P P n n >+），称为对1系的相对不公平度 如果1，2两系分别占有席位1n ，2n 个，利用相对不公平对的讨论，

当增加一个席位时，新加席位是分该1系还是2系。不妨设1212P P n n >，即对1系相对不公平时，则再增加一个席位时，有三种分配方案：

（1）12121P P n n >+时，112211212322

/1/(1,)10,6,3/P n P n r n n n n n P n +-+====（）

（2）

12121P P n n <+时， 221122111//(1)(,1)/(1)P n P n r n n P n -++=+ （3）12121P P n n >+时， 112

211222//(1)(,1)/(1)

P n P n r n n P n -++=+ 若（1）成立，则说明当增加的一个席位给1系时，对1系仍然不公平，则应将席位分给1系。若（2）或（3）成立，则需要进一步讨论，此时应比较112(,1)r n n +和221(,1)r n n +的大小，且最终席位分配给比值较大者。

不妨设112221(,1)(,1)r n n r n n +>+， 则11222211

2211

//(1)//(1)/(1)/(1)P n P n P n P n P n P n -+-+>++， 即 121212121212()()111P

P P P P P n n n n n n -

>-+++ 得 22121122(1)(1)

P P n n n n >++ 令2(1)i i i i P Q n n =+，由21211212111211212

112

121(1)11P P P PP n n n n n n P P P P P n n n n n ⎧>⇔>⎪++⎪⎨⎪>>⇒>⎪++⎩ ， 由此可知12Q Q >，此时应把席位分给1系。

4 模型求解

对于20个席位的分配方案，我们按比例将整数部分的席位分配为12310,6,3i n n n n ===，对于多余的一个席位，我们按Q 值分配法模型

计算得196.44Q =，294.5Q =，396.33Q =，1Q 值最大，故应将最后一个

席位分配给1系。

5 模型检验

由上分析知，按Q 值分配法模型计算时，1系可分得席位11个，2系可分得席位6个，3系可分得席位3个，满足条件120n

i i n ==∑，故此

分配方案是相对公平的。

6 模型应用

无论是在日常生活还是工作当中，我们经常遇到人员或物品分配公平的问题。在实际问题中，公平分配受到多方面的限制，但对一般的影响因素不多的分配问题，用此Q 值分配法模型还是可以解决的。 7 模型优、缺点分析

优点：Q 值分配法模型比较合理的解决了实际问题，避免了在是实际问题中可能出现的席位为小数的可能，计算结果也是相对比较公平的。

缺点：此模型的建立比较繁琐，计算过程也相对比较繁杂，由四舍五入法得到的数值比较大小会降低相对公平度

8 模型的改进

应考虑向公平性更高的模型的进行探索，应用更精确的模型使结果不含小数点，且计算过程也不太复杂，并且公平性最高。 参考文献

[1]姜启源 谢金星 叶俊.数学模型（第四版）[M].北京： 高等教育出版社，2011.