点到直线的距离 优秀教案

点到直线的距离

教学目标：

（1）理解点到直线距离公式的推导过程. （2）会求点到直线的距离.

（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神. 教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： 一、引入

点到直线的距离是指过点P 作l 的垂线，P 与垂足Q 之间的长度

【问题1】已知点P （-1，2）和直线l ：0102=-+y x ，求P 点到直线l 的距离． （由学生分析、解答）

分析：先求出过P 点和l 垂直的直线：PQ ：052=+-y x ，再求出l 和PQ 的交点

()43，Q ∴ 52=PQ

如果把问题1一般化就有如下问题：

【问题2】已知：()00y x P ，和直线l ：0

=++C By Ax （P 不在直线l 上，且0≠A ，0≠B ），试求P 点到直线l 的距离． 二、点到直线距离

分析1：要求PQ 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求PQ 的长度．∵ P 点坐标已知，∴只要求出Q 点

坐标就可以了．

又∵Q 点是直线PQ 和直线L 的交点

又∵直线L 的方程已知∴只要求出直线

PQ 的方程就可以了.

即：PQ ←Q 点坐标←直线PQ 与直线l 的交点←直线PQ 的方程←直线PQ 的斜率←直线l 的斜率

（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结） 问：这种解法好不好，为什么?

根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

分析2：如果PQ 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段PS 和PR ，如图1所示，显然相对而言PS ，和PR 好求一些，

事实上，设P 到直线的距离为d ，R 坐标为()11y x ，，S 坐标为()22y x ，，则易求：

A C Bx x --=

01，B

C

Ax y --=02 所以：A C By Ax x x PR ++=

-=0010，B

C

By Ax y y PS ++=-=0010

所以：C By Ax AB

B A PS PR PS ++⨯+=

+=002

22

2

根据三角形面积公式：PS PR RS d ⋅=⋅

所以：2

2

00B

A C By Ax d +++=

（至此问题2已经解决）

公式2

002

|

|B

A C By Ax d +++=

的完善.容易验证（由学生完成）：

当0=A ，即y L ⊥轴时，公式成立； 当0=B ，即x L ⊥轴时，公式成立；

当P 点在L 上时，公式成立． 公式2

002

|

|B

A C By Ax d +++=

结构特点

师生一起总结：

（1）分子是P 点坐标代入直线方程；

（2）分母是直线未知数x 、y 系数平方和的算术根． 类似于勾股定理求斜边的长 三、检测与巩固 练习1

（1）()32，

-P 到直线2-=y 的距离是________． （2）()32-，

P 到直线042=++y x 的距离是_______． （3）用公式解()21

，-P 到直线0102=-+y x 的距离是______． （4）()11

，-P 到直线23=x 的距离是_________．

订正答案：（1）5；（2）0；（3）52；（4）3

5

． 练习2

1．求平行直线0872=+-y x 和0672=--y x 的距离．

解：在直线0672=--y x 上任取一点，如()03，P ，则两平行线的距离就是点()03，P 到直线0872=+-y x 的距离．

因此，=d 2

2)7(280732-++⨯-⨯＝

53

14＝5353

14

【问题3】

两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线01=++C By Ax 与

02=++C By Ax 0的距离．

解：在直线上01=++C By Ax 任取一点，如()00y x P ， 则两平行线的距离就是点()00y x P ，到直线02=++C By Ax 的距离，

（如图2）．因此，=

d 2

2

2

00B

A C By Ax +++＝

2

2

21B

A C C ++-＝

2

2

21B

A C C +-注意：用公式时，注意一次项系数是

否一致．

四、小结作业

1、点到直线的距离公式及其推导；

师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2

2

00|

|||B

A C By Ax PQ +++=

2、利用公式求点到直线的距离．

3、探索两平行直线的距离

4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离． 作业： 13、14、16