点到直线的距离 优秀教案

点到直线的距离
教学目标：
（1）理解点到直线距离公式的推导过程. （2）会求点到直线的距离.
（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神. 教学用具：计算机
教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： 一、引入
点到直线的距离是指过点P 作l 的垂线，P 与垂足Q 之间的长度
【问题1】已知点P （-1，2）和直线l ：0102=-+y x ，求P 点到直线l 的距离． （由学生分析、解答）
分析：先求出过P 点和l 垂直的直线：PQ ：052=+-y x ，再求出l 和PQ 的交点
()43，Q ∴ 52=PQ
如果把问题1一般化就有如下问题：
【问题2】已知：()00y x P ，和直线l ：0
=++C By Ax （P 不在直线l 上，且0≠A ，0≠B ），试求P 点到直线l 的距离． 二、点到直线距离
分析1：要求PQ 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求PQ 的长度．∵ P 点坐标已知，∴只要求出Q 点
坐标就可以了．
又∵Q 点是直线PQ 和直线L 的交点
又∵直线L 的方程已知∴只要求出直线
PQ 的方程就可以了.
即：PQ ←Q 点坐标←直线PQ 与直线l 的交点←直线PQ 的方程←直线PQ 的斜率←直线l 的斜率
（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结） 问：这种解法好不好，为什么?
根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出
分析2：如果PQ 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段PS 和PR ，如图1所示，显然相对而言PS ，和PR 好求一些，
事实上，设P 到直线的距离为d ，R 坐标为()11y x ，，S 坐标为()22y x ，，则易求：
A C Bx x --=
01，B
C
Ax y --=02 所以：A C By Ax x x PR ++=
-=0010，B
C
By Ax y y PS ++=-=0010
所以：C By Ax AB
B A PS PR PS ++⨯+=
+=002
22
2
根据三角形面积公式：PS PR RS d ⋅=⋅
所以：2
2
00B
A C By Ax d +++=
（至此问题2已经解决）
公式2
002
|
|B
A C By Ax d +++=
的完善.容易验证（由学生完成）：
当0=A ，即y L ⊥轴时，公式成立； 当0=B ，即x L ⊥轴时，公式成立；
当P 点在L 上时，公式成立． 公式2
002
|
|B
A C By Ax d +++=
结构特点
师生一起总结：
（1）分子是P 点坐标代入直线方程；
（2）分母是直线未知数x 、y 系数平方和的算术根． 类似于勾股定理求斜边的长 三、检测与巩固 练习1
（1）()32，
-P 到直线2-=y 的距离是________． （2）()32-，
P 到直线042=++y x 的距离是_______． （3）用公式解()21
，-P 到直线0102=-+y x 的距离是______． （4）()11
，-P 到直线23=x 的距离是_________．
订正答案：（1）5；（2）0；（3）52；（4）3
5
． 练习2
1．求平行直线0872=+-y x 和0672=--y x 的距离．
解：在直线0672=--y x 上任取一点，如()03，P ，则两平行线的距离就是点()03，P 到直线0872=+-y x 的距离．
因此，=d 2
2)7(280732-++⨯-⨯＝
53
14＝5353
14
【问题3】
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线01=++C By Ax 与
02=++C By Ax 0的距离．
解：在直线上01=++C By Ax 任取一点，如()00y x P ， 则两平行线的距离就是点()00y x P ，到直线02=++C By Ax 的距离，
（如图2）．因此，=
d 2
2
2
00B
A C By Ax +++＝
2
2
21B
A C C ++-＝
2
2
21B
A C C +-注意：用公式时，注意一次项系数是
否一致．
四、小结作业
1、点到直线的距离公式及其推导；
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：2
2
00|
|||B
A C By Ax PQ +++=
2、利用公式求点到直线的距离．
3、探索两平行直线的距离
4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离． 作业： 13、14、16。