第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-岩土类材料的弹塑性力学模型及本构方程摘要：本文主要结合岩土类材料的特性，开展研究其在受力变形过程中的弹性及塑性变形的特点，描述简化的力学模型特征及对应的适用条件，同时在分析研究其弹塑性力学模型的基础上，探究了关于岩土类介质材料的各种本构模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及节理材料模型等，分析对应使用条件，特点及公式，从而推广到不同的材料本构模型的研究，为弹塑性理论更好的延伸发展做一定的参考性。
关键词：岩土类材料，弹塑性力学模型，本构方程不同的固体材料，力学性质各不相同。
即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。
尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。
第一章岩土类材料地质工程或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料，以及工业陶瓷等，将这些材料统称为岩土材料。
岩土塑性力学与传统塑性力学的区别在于岩土类材料和金属材料具有不同的力学特性。
岩土类材料是颗粒组成的多相体，而金属材料是人工形成的晶体材料。
正是由于不同的材料特性决定了岩土类材料和金属材料的不同性质。
归纳起来，岩土材料有3点基本特性：1.摩擦特性。
2.多相特性。
3.双强度特性。
另外岩土还有其特殊的力学性质：1.岩土的压硬性，2.岩土材料的等压屈服特性与剪胀性，3.岩土材料的硬化与软化特性。
4.土体的塑性变形依赖于应力路径。
对于岩土类等固体材料往往在受力变形的过程中，产生的弹性及塑性变形具备相应的特点，物体本身的结构以及所加外力的荷载、环境和温度等因素作用，常使得固体物体在变形过程中具备如下的特点。
固体材料弹性变形具有以下特点：(1)弹性变形是可逆的。
物理学中的弹性和塑性变形
物理学中的弹性和塑性变形弹性和塑性变形是物理学中常见的材料行为，它们在力学和材料科学研究中起着重要的作用。
本文将介绍弹性和塑性变形的基本概念、特点和应用。
一、弹性变形弹性是指物体受力后能够恢复原状的性质。
当物体受到外力作用时，原子之间的相对位置发生变化，但是在外力去除后立即恢复原来的位置，这种现象称为弹性变形。
弹性变形具有以下特点：1. 线性弹性：当外力较小，物体受到微小变形时，物体的应力与应变成正比，遵循胡克定律。
即应力等于弹性模量乘以应变。
2. 可逆性：在弹性变形中，物体受到力的作用而产生的位移是可逆的，即力去除后物体能够恢复到原来的形状和大小。
3. 弹性极限：物体受到超过一定限度的力作用时，就会超过其弹性极限，从而产生塑性变形。
弹性变形在现实生活中有着广泛的应用。
例如，弹簧是一种典型的弹性变形材料，可以用于悬挂和缓冲装置。
弹性变形还应用于构造材料、机械工程和土木工程等领域。
二、塑性变形塑性是指物体在受到外力作用后能够永久改变形状的性质。
塑性变形与弹性变形相比有以下特点：1. 非线性塑性：在塑性变形中，物体的应力与应变不再成正比，而呈现非线性关系。
这是因为物体在受到较大变形时原子之间的排列结构发生变化。
2. 不可逆性：塑性变形是不可逆的，即一旦物体经历塑性变形后，即使力被移除，物体也无法回复到原来的形状和大小。
3. 塑性极限：物体受到超过弹性极限的力作用时，就会进入塑性变形，即物体无法完全恢复到初始状态。
塑性变形在材料加工、金属加工和工程设计中起到重要作用。
例如，塑性变形可以实现金属材料的锻造、挤压和拉伸等工艺。
在建筑工程中，塑性变形可以增加结构材料的强度和稳定性。
三、弹塑性变形除了纯弹性和纯塑性变形外，还存在一种介于两者之间的情况，称为弹塑性变形。
弹塑性变形具有以下特点：1. 应力-应变曲线：弹塑性材料的应力-应变曲线通常呈现弹性和塑性的特点。
在外力较小时，材料表现出线性弹性行为，而在外力较大时则呈现非线性塑性行为。
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
第4章 塑性应力应变关系(本构方程)
强化材料卸载：
f ( ij ) 0,
f df d ij 0 ij
4.3 增量理论
在塑性变形时，全量应变和加载历史有关，要建立普遍的全量应变与应力 之间的关系是很困难的，所以主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系 。这种关系叫做增量理论，其中包括：密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程 。前两者适用于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料。
x
y 4G2 x y
2
2
2 2 6 xy 4G 2 xy 6
2 2 2 2 2 2 xy yz xz 等式左边为： x y y z z x 6
1 等效应力为：
1 i 2 1
2 2 2 yz xz x y y z z x 6 xy 2 2 2
则等效应变与弹性应变强度关系为： 当 =0.5 时
3 i = 2(1 )
i
弹性应力应变关系特点： 1.应力与应变成线性关系 2.弹性变形是可逆的，应力应变关系单值对 应 3.弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化;物体形状的改变只是由应力偏张量引 起的。 4.应力主轴与应变2G
同理可得：
y m
1 - E 1 - E
x
z m z
m
1 y y 2G
1 z z 2G
m
x
1 x 2G
1 y y 2G 1 z z 2G
d
2 2 2 x d y d y d z d z d x 6 d xy d yz d xz 2 2 2
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹塑性本构关系
F p d kk 3d S；deijp d ij e p p d d G K kk ij 2G eij kk mn 2 mn Sij k
(2) Druker-Prager 模型
Druker-Prager模型采用广义的 Mises屈服函数，其表达式为：
m
3K
ij
弹性变形 + 塑性变形 又可写成：
ij Sij m ij K kk ij 2G eij d d d d e d e
K kk d kk ij 2G eij eijp p d d d F F K kk ij 2G eij d 3K ij 2G d d kk Sij
F σ ij J 2 I1 k 0 +
由
F kk
F Sij 2 Sij J2
得 d ij dSij d m ij d F 2G 3K
F ij Sij kk
Sij m Sij d d d ij 2G 3K ij 2 J2
2G
m为对应于 m体应变
拉梅常数 E (1 )(1 2 )
xy
2
x 3 m 2G x y 3 m 2G y z 3 m 2G z xy 2G xy G xy
yz zx
2 2
2G
G
E 2(1 )
2G
基本方程 yz 2G yz G yz zx 2G zx G zx
张量形式
张量形式
ij ij
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
弹塑性力学弹性力学的求解方法模板
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
弹性材料本构方程简易推导
弹性材料本构方程简易推导摘要：弹性力学问题的三大基本方程分别为平衡方程，几何方程，本构方程。
文中主要介绍弹性材料弹性阶段的本构方程简要推导过程。
关键词：本构方程；增量理论；弹性1 前言本构方程描述的是材料应力与应变之间的关系，其具有更广泛的含义，凡是描述介质的应力或应力率、应变或应变率等之间关系的物性方程，统称为本构方程。
2 弹性阶段本构方程推导2.1 方程建立弹塑性材料处于弹性阶段，即当应力小于屈服应力时，由材料力学相关知识可知应力与应变之间符合Hooke定律：，其中E为弹性常数（杨氏弹性模量）。
三维应力状态下，材料内部一点处应力状态有9个应力分量，故对应于9个应变分量。
由应力张量与应变张量的对称性，，独立的应力分量与应变分量各为6个。
对于均匀的理想弹性体，假设应力应变关系式可表达如下：（1）其中（m, n=1, 2,3, 4, 5,6）为弹性系数，由材料性质决定，与坐标x, y, z无关。
2.2 系数确定2.2.1各向同性材料本构方程对于各向同性材料，独立的弹性常数只有两个，故在最终得出的本构方程中仅使用两个系数来表示应力应变关系。
在弹性状态下主应力方向即为主应变方向。
令坐标轴Ox, Oy, Oz与主应力方向相一致，此时，各应力面无剪应力，只有正应力，故式（1）变化如下：（2）各向同性材料中，对的影响与对及对的影响相同，即有。
同理，和对的影响相同，即，类似有：，等，因而令（3）于是，对于应变主轴（用1, 2, 3代替x, y, z）来说，弹性常数有两个这里设为P和Q。
将式（3）带入式（2），并令，，（此过程作者水平有限，目前尚不能完整导出，直接借助结论）可得出下列弹性本构关系：（4）其中，常数称为拉梅弹性常数，在此可以看出主轴坐标系下，本构方程只含两个未知参数。
于是，在任意坐标系中弹性阶段本构方程为：（5）利用求和约定，式（5）可改写成（5´）以上为各向同性材料在弹性阶段本构方程，但在此，方程中λ,μ两参数仍不能直接得出，不能在后期工程计算应用中方便使用。
弹性变形及塑性变形
一、弹性和塑性的概念可变形固体在外力作用下将发生变形。
根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值〔通常称之为弹性极限荷载〕时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；当外力一旦超过弹性极限荷载时，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一局部不能消失的变形被保存下来，这种保存下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段称为塑性阶段。
根据上述固体受力变形的特点，所谓弹性，就定义为固体在去掉外力后恢复原来形状的性质；而所谓塑性，那么定义为在去掉外力后不能恢复原来形状的性质。
“弹性［Elasticity］"和“塑性〔Plasticity〕〃是可变形固体的根本属性，两者的主要区别在于以下两个方面：1］变形是否可恢复：弹性变形是可以完全恢复的，即弹性变形过程是一个可逆的过程；塑性变形那么是不可恢复的，塑性变形过程是一个不可逆的过程。
2〕应力和应变之间是否一一对应：在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且通常还假设是线性关系；在塑性阶段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系而且是非线性关系〔这种非线性称为物理非线性〕。
工程中，常把脆性和韧性也作为一对概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小，假设变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏的，称为韧性或延性。
通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。
二、弹塑性力学的研究对象及其简化模型弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它由弹性理论和塑性理论组成。
弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。
因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。
构成实际固体的材料种类很多，它们的性质各有差异，为便于研究，往往根据材料的主要性质做出某些假设，忽略一些次要因素，将它抽象为理想的“模型〞。
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
弹塑性力学习题集（有图）
弹塑性⼒学习题集（有图）·弹塑性⼒学习题集$殷绥域李同林编!…中国地质⼤学·⼒学教研室⼆○○三年九⽉⽬录—弹塑性⼒学习题 (1)第⼆章应⼒理论.应变理论 (1)第三章弹性变形.塑性变形.本构⽅程 (6)第四章弹塑性⼒学基础理论的建⽴及基本解法 (8)第五章平⾯问题的直⾓坐标解答 (9)第六章平⾯问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)(第⼋章弹性⼒学问题⼀般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲⾯.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第⼗章弹性⼒学变分法及近似解法 (16)第⼗⼀章* 塑性⼒学极限分析定理与塑性分析 (18)第⼗⼆章* 平⾯应变问题的滑移线场理论解 (19)附录⼀张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提⽰ (22){前⾔弹塑性⼒学是⼀门理论性较强的技术基础课程，它与许多⼯程技术问题都有着⼗分密切地联系。
应⽤这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应⼒和应变的分布规律，能为⼯程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因⽽受到⼯程类各专业的重视。
《弹塑性⼒学习题集》是专为《弹塑性⼒学》（中国地质⼤学李同林、殷绥域编，研究⽣教学⽤书。
）教材的教学使⽤⽽编写的配套教材。
本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。
作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性⼒学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提⾼其分析问题和解决问题的能⼒。
鉴于弹塑性⼒学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较⼤的习题给出了解题提⽰或解答。
…编者2003年9⽉%弹塑性⼒学习题第⼆章应⼒理论·应变理论~2—1 试⽤材料⼒学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉⼒P = 10KN 的作⽤下杆横截⾯上的正应⼒σ及与横截⾯夹⾓?=30α的斜截⾯上的总应⼒αP 、正应⼒ασ和剪应⼒ατ，并按弹塑性⼒学应⼒符号规则说明其不同点。
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
第四章 金属塑性变形的本构方程
f ( J1 , J 2 , J 3 ) 0
f ( 1 , 2 , 3 ) 0
在应力空间中，f ( ij ) 0 表示一个包围 原点的曲面，称作屈服曲面。 因此：
f ( ij) 0 材料处于弹性状态 ，对应
的点位于曲面内部
f ( ij) 0
材料屈服，对应的点位于曲面上
Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响；另 外当应力处在两个屈服面的交线上时，数学 处理 将遇 到 一些 困 难； 在 主应力未知时 ， Tresca准则计算十分复杂。因此Von Mises在 1913年研究了实验结果后，提出了另一屈服 准则，即当：
J '2 C
材料屈服
单向拉伸时
1 s , 2 3 0
3） Levy-Mises方程的比例形式和差分形式：
d x
' x
d y
' y
d z
' z
d xy
xy
d yz
yz
d zx
zx
d
d x d y
x y
d z d x d y z z x
d
为瞬时非负比例系数，它在加载过程中是变化的。
3 d e d 2 e
得:
1 1 ( x ( y z )) E' 2 1 1 d y ( y ( z x )) E' 2 1 1 d z ( z ( x y )) E' 2 1 d xy xy 2G ' d x
若做纯剪试验，则有
1 s , 2 0, 3 s
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/2/4
1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
ji,j+ fi = 0
2019/2/4
ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
2019/2/4 3
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/2/4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
C11 C12 C 22 C 对 称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪 应力。
2019/2/4 27
§4-2 线弹性体的本构关系
30
§4-2 线弹性体的本构关系
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σ = Aε
弹塑性力学
n
（4--6）
§4-3
弹性本构方程、 弹性本构方程、弹性应变能函数
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、 §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设
◆
弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。 弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。
◆ 静不定问题的解答
｛
1、静力平衡分析——平衡微分方程 静力平衡分析 平衡微分方程 几何变形分析——几何方程 2、几何变形分析 几何方程 物理关系分析——物理方程 3、物理关系分析 物理方程
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续5）
◆ 理想刚塑性力学模型 理想刚塑性力学 模型亦称刚性完全塑 性力学模型， 性力学模型，特别适 宜于塑性极限载荷的 分析。其表达式为: 分析。其表达式为:
σ = σs
弹塑性力学
(当ε ≤ ε s时 )
（4--4）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续6）
◆ 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。 ◆ 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 称为本构方程 关系） 本构方程（ 称为本构方程（关系）。
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续1）
◆ 大量实验 证实， 证实 ， 固体受 力变形时，应 力变形时， 力与应变间的 关系是相辅相 成的。 成的。 固体材料在一定条件下， ◆ 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系， 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 变形的客观特性。 变形的客观特性。
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续2）
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续1）
不同的固体材料，力学性质各不相同。 不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是 同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中， 同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中， 所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相 同。 尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可 尽管材料力学性质复杂多变， 循的， 循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力 应变曲线，进行分析归类并加以总结， 应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相 应的变形体力学模型。 应的变形体力学模型。
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
（4-2）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续4）
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型 理想线性强化 弹塑性力学模型亦 称为弹塑性线性强 化材料或双线性强 化模型。 化模型。其数学表 达式为： 达式为：
σ = Eε σ =σ s + E1 (ε − ε s )
弹塑性力学
(当 ≤ ε s时 ) ε (当 > ε s时 ε )
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续3）
◆ 理想弹塑性力学模型 理想弹塑性力学 模型亦称为弹性完全 塑性力学模型， 塑性力学模型，该模 型抓住了韧性材料的 主要变形特征。 主要变形特征。其表 达式为： 达式为：
σ = Eε σ = Eε s = σ s
弹塑性力学
(当ε ≤ ε s时) (当ε > ε s时)
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续2）
在确定力学模型时， 在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学 模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的， 模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因 为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实 应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型 应力及应力状态。 的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时， 的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时， 不出现过大的数学上的困难。 不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用 的简化力学模型分析如下： 的简化力学模型分析如下：
弹性变形、塑性变形、 第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 常用简化力学模型 弹性本构方程、 弹性本构方程、弹性应变能函数 屈服函数、主应力空间、 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件 岩土材料的变形模型与强度准则 加载准则、加载曲面、 加载准则、加载曲面、加载方式 塑性本构方程
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续4）
包辛格效应: ⑶ 包辛格效应 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加， ◆ 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈 服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低 服极限在一个方向上提高， 的效应，称为包辛格效应。 的效应，称为包辛格效应。 ◆ 包辛格效应导致材料 物理力学性质具有各 向异性。 向异性。 ◆ 由于这一效应的数学 描述比较复杂, 描述比较复杂,一般 塑性理论（ 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。
弹塑性力学
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续5） 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ）
⑷ 塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出 塑性力学附加假设 为研究塑性力学需要，
如下附加假设： 如下附加假设： 球应力引起了全部体变（即体积改变量）， ），而不包含畸变 ① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变 即形状改变量），体变是弹性的。因此， ），体变是弹性的 （即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响 屈服条件； 屈服条件； 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变， ② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是 由应力偏量引起的。因此， 由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不 可压缩性（即体积应变为零）； 可压缩性（即体积应变为零）； 不考虑时间因素对材料性质的影响， ③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性 的。
◆ 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适应。 础上的，前两条对岩土材料不适应。
弹塑性力学
§4-2
常用简化力学模型
变形力学模型是在大量实验的基础上， ◆ 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线， 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。 总结后提出的。 ◆ 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 对不同的固体材料，不同的应用领域， 的变形体力学模型。 的变形体力学模型。 确定力学模型时应注意： ★ 确定力学模型时应注意： 必须符合材料的实际情况； ① 必须符合材料的实际情况； 模型的数学表达式应足够简单。 ② 模型的数学表达式应足够简单。