第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程

◆ 大量实验 证实， 证实 ， 固体受 力变形时，应 力变形时， 力与应变间的 关系是相辅相 成的。 成的。 固体材料在一定条件下， ◆ 固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系， 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 变形的客观特性。 变形的客观特性。
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续2）
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续1）
不同的固体材料，力学性质各不相同。 不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是 同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中， 同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中， 所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相 同。 尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可 尽管材料力学性质复杂多变， 循的， 循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力 应变曲线，进行分析归类并加以总结， 应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相 应的变形体力学模型。 应的变形体力学模型。
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、 §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设
◆
弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。 弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。
◆ 静不定问题的解答
｛
1、静力平衡分析——平衡微分方程 静力平衡分析 平衡微分方程 几何变形分析——几何方程 2、几何变形分析 几何方程 物理关系分析——物理方程 3、物理关系分析 物理方程
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续3）
◆ 理想弹塑性力学模型 理想弹塑性力学 模型亦称为弹性完全 塑性力学模型， 塑性力学模型，该模 型抓住了韧性材料的 主要变形特征。 主要变形特征。其表 达式为： 达式为：
σ = Eε σ = Eε s = σ s
弹塑性力学
(当ε ≤ ε s时) (当ε > ε s时)
弹塑性力学
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续2）
在确定力学模型时， 在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学 模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的， 模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因 为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实 应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型 应力及应力状态。 的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时， 的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时， 不出现过大的数学上的困难。 不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用 的简化力学模型分析如下： 的简化力学模型分析如下：
弹性变形、塑性变形、 第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点 塑性力学的附加假设 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 常用简化力学模型 弹性本构方程、 弹性本构方程、弹性应变能函数 屈服函数、主应力空间、 屈服函数、主应力空间、常用屈服条件 岩土材料的变形模型与强度准则 加载准则、加载曲面、 加载准则、加载曲面、加载方式 塑性本构方程
弹塑性力学
弹性变形、塑性变形、 第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程 (续2)
其二：正确理解应变能、应变比能、弹性参数、 其二：正确理解应变能、应变比能、弹性参数、极端各向 异性体、正交各向异性体、横观各向同性体、 异性体、正交各向异性体、横观各向同性体、各向同性体等概 念。了解各向异性材料的弹性本构关系，熟练掌握各向同性材 了解各向异性材料的弹性本构关系， 料的弹性本构关系。上述内容涉及教材§ 节 料的弹性本构关系。上述内容涉及教材§4-3节。 其三：正确理解屈服函数、主应力空间、平面、屈服曲线、 其三：正确理解屈服函数、主应力空间、平面、屈服曲线、 屈服条件、强度准则等概念。熟练掌握常用屈服条件及其应用， 屈服条件、强度准则等概念。熟练掌握常用屈服条件及其应用， 简单了解岩土材料的强度准则。这些内容涉及教材§ 、 简单了解岩土材料的强度准则。这些内容涉及教材§4-4、 §4-5节。 节 其四：正确理解加载、加载准则等概念。 其四：正确理解加载、加载准则等概念。简单了解塑性本 构关系。这些内容涉及教材§ 、 构关系。这些内容涉及教材§4-6、§4-7节。 节
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
σ = Aε
弹塑性力学
n
（4--6）
§4-3
弹性本构方程、 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性本构方程、弹性应变能函数
◆ 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适应。 础上的，前两条对岩土材料不适应。
弹塑性力学
§4-2
常用简化力学模型
变形力学模型是在大量实验的基础上， ◆ 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线， 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。 总结后提出的。 ◆ 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 对不同的固体材料，不同的应用领域， 的变形体力学模型。 的变形体力学模型。 确定力学模型时应注意： ★ 确定力学模型时应注意： 必须符合材料的实际情况； ① 必须符合材料的实际情况； 模型的数学表达式应足够简单。 ② 模型的数学表达式应足够简单。
（4-2）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续4）
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型 理想线性强化 弹塑性力学模型亦 称为弹塑性线性强 化材料或双线性强 化模型。 化模型。其数学表 达式为： 达式为：
σ = Eε σ =σ s + E1 (ε − ε s )
弹塑性力学
(当 ≤ ε s时 ) ε (当 > ε s时 ε )
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续5）
◆ 理想刚塑性力学模型 理想刚塑性力学 模型亦称刚性完全塑 性力学模型， 性力学模型，特别适 宜于塑性极限载荷的 分析。其表达式为: 分析。其表达式为:
σ = σs
弹塑性力学
(当ε ≤ ε s时 )
（4--4）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续6）
◆ 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。 ◆ 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程， 称为本构方程 关系） 本构方程（ 称为本构方程（关系）。
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续1）
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续4）
包辛格效应: ⑶ 包辛格效应 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加， ◆ 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加，屈 服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上降低 服极限在一个方向上提高， 的效应，称为包辛格效应。 的效应，称为包辛格效应。 ◆ 包辛格效应导致材料 物理力学性质具有各 向异性。 向异性。 ◆ 由于这一效应的数学 描述比较复杂, 描述比较复杂,一般 塑性理论（ 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。
弹塑性力学
§4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续5） 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ）
⑷ 塑性力学附加假设:为研究塑性力学需要，对材料提出 塑性力学附加假设 为研究塑性力学需要，
如下附加假设： 如下附加假设： 球应力引起了全部体变（即体积改变量）， ），而不包含畸变 ① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不包含畸变 即形状改变量），体变是弹性的。因此， ），体变是弹性的 （即形状改变量），体变是弹性的。因此，球应力不影响 屈服条件； 屈服条件； 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变， ② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是 由应力偏量引起的。因此， 由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中材料具有不 可压缩性（即体积应变为零）； 可压缩性（即体积应变为零）； 不考虑时间因素对材料性质的影响， ③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性 的。
弹塑性力学
弹性变形、塑性变形、 第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程 (续1)
本章介绍弹塑性力学基本理论中的本构理论。 本章介绍弹塑性力学基本理论中的本构理论。
在本构理论的研究过程中，涉及到了材料， 在本构理论的研究过程中，涉及到了材料，也就是涉 及到物体的物理变形特性。因此， 及到物体的物理变形特性。因此，本构理论进一步细分为弹 性本构理论和塑性本构理论两部分。 性本构理论和塑性本构理论两部分。本章本构理论的学习可 分成以下四部分进行学习。 分成以下四部分进行学习。 其一：正确理解弹性变形、塑性变形、本构关系、 其一：正确理解弹性变形、塑性变形、本构关系、力学 变形模型等概念。 变形模型等概念。熟练掌握材料的弹性变形与塑性变形的特 点和常用力学变形模型。这些内容涉及教材§ § 节 点和常用力学变形模型。这些内容涉及教材§4-1§4-2节。