有效组合边界分析
证券组合的可行域和有效边界
证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1.两种证券组合的可行域。
如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。
这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。
可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合。
根据公式（11.1）和公式（11.2）及x A+x B=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。
（1）完全正相关下的组合线。
在完全正相关下，ρAB=1，方程（11.5）和（11.6）变为：因为，E（r P）与x A是线性关系，而σp与x A是线性关系，所以，σp与E（r p）之间也是线性关系。
因此，证券A、B构成的组合线是连接这两点的直线（见图11-1）。
（2）完全负相关下的组合线。
在完全负相关情况下，ρAB=-l，方程（11.5）和（11.6）变为：这时，σp，与E（r p）是分段线性关系，其组合线如图11-2。
从图11-2可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。
这个适当比例通过令公式（11.8）中σp=0可得：因为x A和x B均大于0，所以必须同时买入证券A和B。
这一点很容易理解，因为证券A 和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。
所能得到的无风险收益率为：（3）不相关情形下的组合线。
当证券A与B的收益率不相关时，p AB=0，方程（11.5）和（11.6）变为：该方程确定的σp与E（r p）的曲线是一条经过A和B的双曲线，如图11-3所示。
第02章_边界值分析法
测试用例 T1 T2
X1 X1nom X1nom
T3
X1nom
T4
X1nom
T5
X1nom
T6
X1min
T7
X1min+
T8
X1max-
T9
X1max
X2
预期输出
X2min F1
X2min+ F2
X2nom F3 X2max- F4 X2max F5 X2nom F6 X2nom F7 X2nom F8 X2nom F9
那离点就是域范围外离上点最近的点，如果边界是开放 的，那离点就是域范围内离上点最近的点。 只要测到了这些点，就可以测出一些常见的错误。
边界值分析法 & 等价类划分法
边界值分析使用与等价类划分法相同的划分，只是边界 值分析假定错误更多地存在于划分的边界上，因此在等 价类的边界上以及两侧的情况设计测试用例。
• (2)对程序中的每个变量重复 (1)
x2 d
c
x1
a
b
对于一个n变量函数，该方法生成的测试用例数为6n+1个
3. 最坏边界条件测试用例设计法
(1) 所有变量均可取min、min+、nom、max-和max这 五个边界值中的任何一个。
投资组合之——有效边界(Efficient frontier)
概述：有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。
基础：1、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。
在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。
2、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。
风险越大，风险补偿额也就越高。
3、求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。
效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。
（1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。
如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。
风险厌恶投资者的无差异曲线图曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。
风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。
风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。
待续...参考文献：《证券投资学》第二版第10章证券组合管理。
投资学-6投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。
然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。
虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。
这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。
下面分别讨论。
一、一个无风险资产和一个风险资产的组合当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：f P r w r w r )1(-+=其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。
这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：f P r w r wE r E )1()()(-+=σσw P =(因为122222122)1(2)1(σσσσw w w wP -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)其中σ为风险资产的标准差。
根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：P ff P r r E r r E σσ-+=)()( 3-1当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。
在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。
随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。
具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。
如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。
组合投资中有效边界的一些性质和模型
组合投资中有效边界的一些性质和
模型
组合投资中有效边界也称为最佳组合分配曲线，是一条用来描述投资者在投资组合中投资不同资产的最优配置线。
它显示了投资者可以在多种投资组合间选择最优的投资方案，从而获得最大的收益，并使其投资风险水平达到最低。
性质： 1、有效边界在投资组合空间中是凸的，表示投资者在获取最大收益的情况下，风险也是最小的。
2、有效边界是一维的，即只有一种投资组合可以达到最佳收益和最低风险水平。
3、有效边界是非线性的，因为它受到多重因素的影响，如资产价格波动率，资产相关性等。
模型： 1、Markowitz模型：它是组合投资理论的基础，由美国经济学家Harry Markowitz在1952年提出。
该模型假设投资者只考虑风险和收益之间的权衡，忽略其他因素，并认为投资者对风险具有一致的恐惧心理。
2、CAPM模型：该模型由William Sharpe在1964年提出，它假设市场中的投资者都是理性的，而且只关心投资组合的绝对风险和绝对收益，而不关心投资组合的相对风险和相对收益。
3、Black-Litterman模型：该模型是
Markowitz和CAPM模型的结合，由Fischer Black和Robert Litterman于1990年提出，它既考虑了投资者对风险和收益之间的权衡，又考虑了投资者对相对风险和相对收益之间的权衡。
边界值分析法
• 练习：有函数f(x,y,z)，其中 x∈[1900,2100]，y∈[1,12]，z∈[1,31] 的。请写出该函数采用边界值分析法设 计的测试用例。
练习答案
{ <2000,6,1>, <2000,6,0>, <2000,6,32>, <2000,6,31>, <2000,1,15>, <2000,0,15>, <2000,13,15>, <2000,12,15>, <1900,6,15>, <1899,6,15>, <2101,6,15>, <2100,6,15>, <2000,6,15> }
健壮性测试
• 健壮性测试是作为边界值分析的一个简单的扩充，它除了 对变量的5个边界值分析取值外，还需要增加一个略小于 最大值(max-)以及略大于最小值(min+)的取值，检查极限 值时系统的情况。因此，对于有n个变量的函数采用健壮 性测试需要6n+1个测试用例。 • 前面例1中的程序F的健壮性测试如下图所示：
说明
④学生人数不超过200，试题数不超过999。 ⑤程序的输出有4个报告： a)按学号排列的成绩单，列出每个学生的成绩、 名次。 b)按学生成绩排序的成绩单。 c)平均分数及标准偏差的报告。 d)试题分析报告。按试题号排序，列出各题学生 答对的百分比。 请使用边界值分析法来设计测试用例。
分析
分别考虑输入条件和输出条件，以 及边界条件。给出下表所示的输入条件 及相应的测试用例。
结论：对大小范围边界测试时，需要取比下 边界小1的值、下边界、中间值、上边界、 比上边界大1的值这5个值进行测试。
投资组合中的可行集与有效边界问题研究剖析
投资组合中的可行集与有效边界问题研究王晓乐（常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002）摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。
文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。
关键词：投资可行集有效边界CAPM模型一、引言（一）课题研究的背景面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。
投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。
（二）课题研究的价值投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。
二、已有相关研究观点评介关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。
合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。
[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。
[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
CFX边界条件的选择及组合
CFX边界条件的选择及组合CFX中一共有5种边界类型：inlet,outlet，opening,wall，symmetry（对称性)。
1、官方推荐的边界组合：（1)最健壮的：速度/流量进口，静压出口。
在这种组合情况下，进口的总压是求解结果的一部分。
（2）健壮的：进口静压，出口速度/流量。
此种情况下，进口速度及出口总压是可以计算。
（3)初始值敏感的：进口采用总压，出口用静压。
该组合对初始值的设置及其敏感，因为计算比较困难（还是可以计算）,收敛速度严重依赖于初始值的好坏.（4）不可信：进口用静压，出口也为静压.此种组合是不推荐的.由于速度值难以估计,所以极易出现非物理解。
（5)不可用(not possible):在出口位置设定总压。
由于约束较弱，一般来说设定总压进口是不推荐使用的。
2、回流现象及人工壁面有时候由于截取不恰当的边界位置，导致进口区域存在流体流出计算域,或者出口边界存在流体流入计算域，即所谓的回流现象.回流现象对于计算收敛是不利的。
在进口或出口边界设定速度条件，可以允许回流现象而不会开启人工墙，采用压力边界或流量边界都会导致人工墙的出现。
同样，可以设定边界类型为opening来允许回流的发生。
3、关于进口总压与outflow不兼容的问题我们知道，outflow边界指定的是除压力外其他物理量沿边界法线方向梯度为0。
指定了总压进口，在不可压缩忽略能量损失的计算中，流体进出口位置的总压值要保持平衡。
而总压=静压+动压。
由于outflow边界指定是物理量的梯度等于0，这样我们没办法计算出出口位置确切的速度值，同样也就无法计算静压和动压值,利用软件求解，很容易导致非物理界的产生。
E=Z+P+V^2/2g在这个式子不包括’焓’项,因为泵在B级精度以下试验，不需要考虑温升的变化，所以认为焓"i”项为零。
Z表示位置引起流体能量的变化项，在泵实验中是测量水面到基准面的高度。
P压力，即通过压力表测量的压力也就是静压（静扬程）。
有无卖空条件下有效前沿的计算-基于股票案例的研究
有、无卖空限制下有效前沿的计算——基于股票案例的研究[摘要]在丰富的金融投资理论中，投资组合理论占有非常重要的地位，金融产品本质上市各种金融工具的组合。
现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预订收益的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。
在中国股市上运用马科维茨模型研究投资有限前沿组合，探索风险变动规律，从而知道各股票投资组合在达到最佳时所占的比例。
[关键词] 马科维茨模型 投资组合 有效前沿投资者很早就认识到了分散的将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。
但在第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马科维茨。
1952年马科维茨发表了《证券投资组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。
马科维茨根据每一张证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。
马科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时非常精确。
本文通过对在上交所上市的六只股票运用马科维茨模型进行分析，找到给定风险下的最佳投资组合。
一、 模型理论经典马科维茨均值-方差模型为：()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∑=∑=ni i Tp T p x t s R X r E XX 121..max mi n σ 其中()()i i Tn r E R R R R R ==;,,21 是第i 种资产的预期收益率；()Tn x x x X ,,,21 =是投资组合的权重向量；()nn ij ⨯=∑σ是n 中资产间的协方差矩阵；()2p P r E σ和分别是投资组合的期望回报率和方差。
马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。
在本文中以股票的历史收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，在本文中以股票的历史收益率的协方差度量资产风险与相关性，可能会与实际协方差矩阵存在一定的偏差。
第三章 投资组合理论
有风险组合是什么样的组合？
3.7 市场组合
市场组合是这样的投资组合，它包含所有市场上 存在的资产种类，各种资产所占的比例和每种资产的
总市值占市场所有资产的总市值的比例相同。
有风险资产的市场组合就是指从市场组合中拿掉无 风险证券后的组合。我们的结论：
产的市场组合和无风险证券的一个线性组合，
而所有这样的线性组合构成了资本市场线。
3.8 借贷利率不相等时的有效组合边界
三、对风险的厌恶程度；
四、投资组合的种类。
两基金分离定理
两基金分离定理：在所有有风险资产组合的有 效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离 的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点 所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点
所代表的有效投资组合的线性组合生成。
3.6 具有无风险资产时的有效组合边界
M
p
p xM M
例3.2
设点M代表的投资组合的标准差和预期汇报率水平分
别为18％和21％；无风险国债的标准差和预期汇报率分 别为0和8％。对点M代表的组合和无风险国债投资的比 例各为50％，形成一个新的投资组合A。这个组合就等 于是投资人购买了50％的组合M之后，将剩余的50％资 金在金融市场上放贷给政府。求解A组合的预期收益和 标准差各为多少？
max
rp
x r
i 1 n n
n
i i
min 2 p
n
x x
i j ij i i 1 j 1 i
j
x
i 1
1 xi 0
转化为单目标问题形式
03-投资者的效用函数
资产组合投资收益率是正态分布的情况
高于最低收
益率水平
标准差 = σ
RP < RL 的概率
低于最低收益 率水平
小
远
·
RL
均值 = μ1
标准差 = σ
RP < RL 的概率
大 近
·
RL 均值 = μ2
RL：可接受的最低收益率水平
罗伊标准 （极小化形式）
min
RL RP
P
x
罗伊标准 （极大化形式）
二、效用函数的性质
（一）效用函数的一阶导数为正
随着财富增加，效用也将增加。 非饱和性：
U (X ) U (X 1)
效用 U
0
100
100000 100100
U (X ) 0
财富 W
二、效用函数的性质
（二）效用函数随投资者风险偏好而变化 等价变量：
表３-２ 一个等价变量
随机变量 X
确定性量 y
（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是不喜欢的，他仍会去干；
（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
效用 U
0
100
100000 100100
财富 W
一、投资者的效用
情景 期末财富（元）
效用 概率 期望期望财富 期望效用
它的一阶和二阶导数为：
对W 的限制：
二次型效用函数对应的厌恶度
在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对风险厌恶度 的函数式及它们的一阶导数将为：
二次型效用函数与均值—方差模型的关系
二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。 二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。
在发达的证券市场中,马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。
但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。
从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然,单只证券也可以当作特殊的投资组合.本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。
人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。
投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。
所谓均值,是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例.当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分.所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?这正是投资组合理论研究的中心问题。
投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。
所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。
这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点(英文缩写是MVP）。
这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合.投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线. 如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界.A点对应于投资范围中收益率最高的证券。
如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。
C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线,M是切点。
M点对应的投资组合被称为“市场组合"。
如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线;如果限制卖空，那么AMB 是分段二次曲线。
基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题
南京理工大学理学院研究生课程研讨课程名称：组合投资学任课教师：赵培标研讨题目：基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题小组名：张春雷成绩：目录绪论 (3)一、Markowitz模型简述 (4)1、Markowitz模型的提出 (4)2、Markowitz模型的假设 (4)3、投资组合有效集 (4)4、Markowitz模型的意义与缺陷 (6)二、CAPM模型简述 (7)1、CAPM模型的改进之处 (7)2、资本市场线 (7)3、证券市场线 (8)4、CAPM模型的不足 (8)三、零β模型 (10)1、不含无风险资产的CAPM模型：零β模型 (10)2、零β资产组合是否有效 (10)3、无风险借贷的其他假设 (11)参考文献 (11)绪论：问题的提出证券及其它风险资产的投资曾经有两个核心问题需要解决：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马科维茨理论应运而生。
20世纪60年代，夏普、林特和莫森在Markowitz模型的基础上加以改进，分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型（CAPM）。
之后，罗斯在1976年提出了套利定价模型，认为资本资产的收益率是各种因素综合作用的结果，并不仅仅只受证券组合内部风险因素的影响。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
本文主要有两个目的。
首先是对Markowitz、CAPM模型做一个简单的介绍，讨论其优缺点及脉络发展进程。
其次是讨论基于CAPM模型的零β证券组合是否在有效集内。
一、 Markowitz 模型简述1、Markowitz 模型的提出马科维茨之前，投资顾问和基金经理们尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。
可行集、有效集
内容摘要：在证券投资中可以运用证券组合投资通过分散投资达到降低投资风险的目标。
采用马科威茨理论中的约定，风险证券的评价采用预期收益率和收益率方差两项指标，从风险控制的角度出发，建立证券投资组合，以确定最优化的投资组合。
关键词：投资组合最优投资组合投资风险在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。
证券投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。
这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。
这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。
投资组合理论正是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。
所谓投资组合，就是把一定的资金分散投资于多种证券，使单个证券按一定的比例构成证券集合，从而实现既定风险水平下的预期收益率最大化。
要解决的问题是投资组合的优化问题，这一问题的实质是在给定风险水平下，寻求产生最大期望收益率的投资组合。
或是在给定期望收益率下，寻求风险水平最低的投资组合。
投资者进行投资决策必须遵循一定的标准。
马科威茨的投资组合选择理论具体而言，马科威茨假设投资者遵循的是均值——方差标准。
所谓均值——方差标准，是指投资者在证券收益率的均值(作为收益率的未来期望值)和方差(即观测到的收益率偏离均值的程度，作为风险的量化指标)之间进行权衡。
如果两只证券的期望收益率相同，投资者总是愿意选择方差较小的那一只，即厌恶风险；反之，如果两只证券的方差相同，投资者总是愿意选择期望收益率较大的那一只，即永不满足。
无差异曲线任一经济决策问题必须确定一个机会集和一个偏好函数。
在投资组合理论中，效用函数代表着投资者偏好。
用于投资决策的效用函数是从微观经济学中借用过来的。
投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于投资的预期收益率和风险，投资决策过程就是在预期收益率和风险(方差)之间进行取舍权衡的过程。
投资者的效用函数可以通过在预期收益率-风险平面上，通过无差异曲线族表现出来。
可行集、有效集
内容摘要：在证券投资中可以运用证券组合投资通过分散投资达到降低投资风险的目标。
采用马科威茨理论中的约定，风险证券的评价采用预期收益率和收益率方差两项指标，从风险控制的角度出发，建立证券投资组合，以确定最优化的投资组合。
关键词：投资组合最优投资组合投资风险在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。
证券投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。
这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。
这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。
投资组合理论正是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。
所谓投资组合，就是把一定的资金分散投资于多种证券，使单个证券按一定的比例构成证券集合，从而实现既定风险水平下的预期收益率最大化。
要解决的问题是投资组合的优化问题，这一问题的实质是在给定风险水平下，寻求产生最大期望收益率的投资组合。
或是在给定期望收益率下，寻求风险水平最低的投资组合。
投资者进行投资决策必须遵循一定的标准。
马科威茨的投资组合选择理论具体而言，马科威茨假设投资者遵循的是均值——方差标准。
所谓均值——方差标准，是指投资者在证券收益率的均值(作为收益率的未来期望值)和方差(即观测到的收益率偏离均值的程度，作为风险的量化指标)之间进行权衡。
如果两只证券的期望收益率相同，投资者总是愿意选择方差较小的那一只，即厌恶风险；反之，如果两只证券的方差相同，投资者总是愿意选择期望收益率较大的那一只，即永不满足。
无差异曲线任一经济决策问题必须确定一个机会集和一个偏好函数。
在投资组合理论中，效用函数代表着投资者偏好。
用于投资决策的效用函数是从微观经济学中借用过来的。
投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于投资的预期收益率和风险，投资决策过程就是在预期收益率和风险(方差)之间进行取舍权衡的过程。
投资者的效用函数可以通过在预期收益率-风险平面上，通过无差异曲线族表现出来。
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定义2：
• 在均值-方差分析中，如果有两个均值方差前沿组 合xP和xQ ，它们满足以下两个条件之一：（1） ~ ~ ~ ~ E(rP ) ≥ E(rQ )并且var(rP ) < var(rQ ) ；（2） ~ ~ ~ ~ E(rP ) >E(rQ )并且var(rP ) ≤var(rQ ) ，则称在均值 方差意义上xP占优于xQ 。 • 可以比较一下均值方差意义上的占优和随机占优。 可以看出，均值方差意义上的占优比随机占优更 综合的兼顾了预期收益和风险两个方面。
§6.2 均值-方差前沿组合
• 首先，市场上有N项风险资产，k=1,2, …,N ，各 ~ ~ 项资产的收益率合记为收益率向量r =（ r1 ， ~ ~ ~ ~ T r2 …, rN ） 。预期收益率向量记为r =（E( r1 ), ~ ~ E( r2 ), …, E(rN )）T，收益率的协方差矩阵记为 ~ ~ N ={σij}ij=1 ，其中σij=cov(ri ， rj )。 ak， k=0,1, …,N，是0时期投资于第k项金融资产的资 金额，显然有ak=w，w是0时期投资者拥有的禀 赋。 xk= ak/w表示投资组合中的权重，权重向量记 为x=（ x1， x2,…, xN）T,xk =1。到1时期，投资 ~ ~ ~ 者拥有的财富是w =ak（1+ rk ），即w =a T (1+ ~ r )。
涵义：
• 式中，μ是一个预期收益水平。加上系数1/2是为 了数学处理的方便，不影响优化解的结果。 • 优化模型的经济涵义是，在设定了投资组合的预 期收益水平后，要使投资组合的风险（方差）尽 可能的小。 • σP= xTx就是投资组合的方差。因为组合中的资 产是风险资产，所以σP≥0。这样，可以通过构造 拉格朗日函数来解前面的二次规划，得到xP 。
结合之前的分析，我们得到定理3：
• 定理3：x是均值-方差前沿组合的充分必要 条件是：
• x是一个N维列向量，当然也可看作N维线性空间 中的一个点。当预期收益水平μ取不同值时，得 到各个不同的优化解x。定理3告诉我们，x是均值 -方差前沿组合，它受制于两个约束条件，第一个 条件包含了N-2个线性约束，第二个条件包含了1 个线性约束。所以x受制于N-1个线性约束，x落在 一条直线上。于是我们有以下推论： • 推论1：所有的均值-方差前沿组合是一条直线。 • 所有的均值-方差前沿组合组成的集合被称为均值 -方差前沿边界。
• 关键结论：投资者应该通过同时购买 多种证券而不是一种证券来进行分散 化投资，这样可以在不降低预期收益 的情况下，减小投资组合的风险。
•
前提假设：马可维茨型投资者（Markowitz Optimizer ）
• 投资者用预期收益率来估计投资组合收益的大小，并用其 波动性来衡量组合的风险，而且每一项可供选择的投资在一 定持有期内都存在确定的预期收益率的概率分布。 • 投资者期望获得最大收益，但他们不喜欢风险，是风险厌 恶者，即面对收益相同的两个资产时，投资者偏好风险较小 的资产。 • 投资者完全根据预期收益率和风险做出决策，这样他们的 效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差（或标准差）的 函数。 • 投资者选择投资组合的标准是预期效用的最大化，即在既 定的收益水平下，使风险最小，或者在既定的风险水平下， 使收益最大。
~ ~
定理2：
• 如果收益分布是正态分布，则有
E[u(w )]=v[E(w )，var(w )] 。
~ ~ ~
• 严格的说，到1时期不确定性的收益呈正态分布的 假设是有问题的，因为正态分布的两端是无穷的。 现实中，企业不会出现无限的损失。所以，采用 均值-方差分析来讨论投资组合选择问题，很大程 度上是因为这是简便易用的工具。
k 1 j 1
N
N
定义1：
• 对非厌足和风险厌恶的投资者，优化投资策略是： 给定组合的预期收益率，要使风险越小越好。我 们可采用x=（ x1， x2,…, xN）T,来表示投资组合， 因为权重确定后，组合也就确定了。我们有下面 的定义： • 投资组合xP= （ x1P， x2P,…, xNP）T被称为均值-方 差前沿组合，如果它是以下二次规划的优化解：
定理1：
• 如果投资者的效用函数是二次函数，即有u(w)=w~ ~ ~ a/2· w2, a>0，则有E[u(w )]=v[E(w )，var(w )] 。
• v[E(w )，var(w )] 的金融涵义：因为非厌足性， ~ ~ 必须有u’(w)=1-aw>0 ⇒ ∂v/∂E(w )=1- aE(w ) >0； ~ 还有∂v/∂var(w )=-a/2<0。这说明，投资者的期望 ~ 效用随着预期收益E(w )的增大而增大，随着风险 ~ 变大（由方差var(w )度量）而减小。
马可维茨型投资者的资产选择特征
E Rp
• C优于D
区域 1
区域 2
• A优于C
• A与B之间的优劣难 以判断 • 区域1优于区域4
· · · · ·
区域 3
· · · ·B
A
· ·
·C
· ·D
§6.1 均值与方差
• 在两期模型的优化投资分析中，我们假设消费者/ 投资者只有到 t =1时期才进行消费。因此，优化 的选择投资组合的任务，就是最大化到 t =1时期 ~ ~ 能够获得的财富w 的期望效用值E[u(w )] ，其中 E(· )表示数学期望值，即概率平均值。 • 我们有定理1和定理2。
有效组合边界分析
本章内容提要
1. 本章将对投资组合的优化选择做更为深入的分 析，分析投资组合的预期收益（均值）和风险 （方差），因为采用均值度量预期收益和采用 方差度量风险是金融学中被广泛接受和普遍使 用的方法。
2. 主要内容是两大部分，均值—方差前沿组合、 均值—方差有效组合。
• 1952年，哈里· 马可维茨（Harry Markowitz）发表了一篇题为《证券组 合选择》的论文，这篇论文在后来被 认为是投资组合理论的开端；
计算预期财富和方差
• 现在我们来计算1时期的预期财富和方差。预期财 ~ ~ ~ T 富是E(w )=w[1+xkE(rk ) ]= w(1+x r ) ，其中 ~ ~ T xkE(rk ) = x r )，是投资组合的加权平均期望收 益率。到t=1时期财富的方差是：
~) w2 ~ ,r ~ ) w 2 x T x var(w x x cov( r k j k j