因式分解(一)
第二章 2.1.3 因式分解 (1)新
3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走，留 1 把门守； 全家都搬走， 把门守； 提负要变号，变形看奇偶。 提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。 因式分解要彻底，直到不能分解为止。 彻底 （2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走， 把门守。 全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
初一年级第一学期因式分解专项训练
因式分解专项训练（一）——提取公因式班级：________ 姓名：________知识要点：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。
这种分解因式的方法叫提取公因式。
注意：提取的公因式应是各项系数的最大公因数与各项相同字母的最低次幂。
★填空：1、因式分解：6x+10=__________；28-21y ²=__________；2m+3m ²=__________。
2、因式分解：9a ²+12a=__________；15p+12p ²=__________；14m ³n ²-8m ²n ³=__________。
3、因式分解：-12a ²+21a=__________；-3x ²y-6xy=__________；-18xy ²z ³+15x ²y ²=__________。
4、因式分解：8m ²n ²-6m ³n ²+14mn=_____________；-10ab+15b ²+25bc=_____________。
★★填空：1、因式分解：x(a+b)-y(a+b) =_____________；2、因式分解：4x(2x-y)+2y(2x-y)=_______________；4x(2x-y)+2y(y-2x)=_______________. ★★★填空：1、因式分解：(x+y)²+(x+y)³ =_________________；(x+y)²-(x+y)³ =_________________； (x-y)²+(y-x)³ =_________________；(x-y)²-(y-x)³ =_________________。
多项式的因式分解(1)——提公因式法
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
初中数学 因式分解(一)
1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1； （3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三 公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式； （2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式； （4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三 公式法。
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
因式分解全部公式(一)
因式分解全部公式(一)因式分解全部公式一、一元二次方程的因式分解公式1. 公式一元二次方程的因式分解公式如下：ax^2 + bx + c = 02. 解释说明在解一元二次方程时，有时可以通过因式分解的方法来得到解的形式。
根据一元二次方程的因式分解公式，我们可以将方程化简为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用因式分解的方法来求解。
通过观察可以发现，方程可简化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得出方程的解为x = -2或x = -3。
二、三角函数的因式分解公式1. 公式三角函数的因式分解公式如下：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 解释说明三角函数的因式分解公式是一个重要的恒等式。
根据该公式，三角函数的平方和等于1。
举例来说，对于一个正弦函数sin(x)，我们可以将其平方和sin^2(x)和余弦函数的平方和cos^2(x)相加，得到结果为1。
这表明在三角函数中，正弦和余弦函数是互补的，且两者的平方和始终为1。
三、多项式的因式分解公式1. 公式多项式的因式分解公式可以写为：a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n -1))2. 解释说明多项式的因式分解公式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的乘积形式。
举例来说，对于多项式x^2 - 4，根据因式分解公式，我们可以将其分解为(x - 2)(x + 2)。
通过这种方法，我们可以将复杂的多项式简化为多个一次因式的乘积。
四、总结这篇文章介绍了因式分解的一些常用公式，并通过例子解释了它们的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
掌握这些公式对于数学和物理等领域的学习和应用都具有重要意义。
第一章因式分解
因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________；2、若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________；3、若x=-3,则20x 2+60x=____________。
观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。
(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 因式分解： 也叫分解因式。
(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a 2-b 2=========（a+b ）（a-b ）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x 2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x ； (7)k 2+21k +2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012=-x （2）x 2–5x = 03、4、6、14的最大公因数是 。
4、分解因式（1）42-x （2） 5x x +2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
因式分解(1)
把下列各式因式分解
3 2 (1)24x y-18x y
(2) (2)7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4)-7ab-14abx+49aby (5)2a(y-z)-3b(y-z) 2 2 2 2 (6)p(a +b )-q(a +b )
1、20042+2004能被2005整除吗? 2、先分解因式，再求值
怎样分解因式: ma mb mc
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形 式，其中m是各项的公因式，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分 解因式的方法，叫做提公因式法。
说出下列多项式各项的公因式： 1、ma + mb m 2、4kx - 8ky 4k 3、5y3+20y2 5y2 4、a2b-2ab2+ab ab
路桥实验中学 王万丰 2006.10.25
整式的乘法
计算下列个式: x (x+1)= x2 + x (x+1) (x – 1)= x2 – 1
63能被哪些数整除? 在小学我们知道,要解决这个问题 需要把63分解成质数乘积的形式.
63 3 3 7
类似的,在式的变形中,有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形 式.
注意：各项系数都是整数时,公因式的系数 应取各项系数的最大公约数;字母取各项 的相同的字母,而且各字母的指数取次数最 低的.
把8a b 12ab c分解因式 例 1、
3 2 3
分析:应先找出 与 再提公因式进行分解
因式分解1讲义模板
教学目标
重点、难点
考点及考试要求 教学内容
一、因式分解的意义 把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结：(1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变 形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不 能再分解为止. 二、提公因式法 (1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成： ①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽.公因式可以是单项式，也可以是多项式。 练习： （1）2x2y－xy （2）6a2b3－9ab2 （3）x（a－b）＋y（b－a） （4）ax＋ay＋bx＋by
a 4 1 a 2 1 a 1a 1
4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解 x 2 4 xy 3 y 2 的因式，此题用 现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解.
x 2 4 xy 3 y 2 x 2 4 xy 3 y 2 y 2 y 2 x 2 4 xy 4 y 2 y 2 x 2 y y 2 x 2 y y x 2 y y x y x 3 y
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）4x2－12x＋9
（4）16x4+24x2+9；
因式分解(1)
2.多项式5ab2c+15abc2中的每一项都含有一个公因式
2a2b
1.定系数：系数是各项系数的最大公因数. 2.定字母：字母是各项中的相同字母. 3.定指数：指数是相同字母的最小指数.
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
(2)a2b a a2(b 1 ) a
(3) x2＋3xy＋x＝x(x＋3y)
（×） (× )
(4) 2a(b－c)＋2a＝2a(b－c＋1) ( √ )
(5) m5=mm4
(× )
注：因式分解要注意以下几 点： 1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整 式的乘积的形式. 3 、要分解到不能分解为止.
----提公因式法
学习目标
1.了解因式分解的意义及其与整式的 乘法之间的关系，从中体会事物之 间能够相互转化的辩证思想.
2.会用提公因式法实行因式分解.
教学重点:
因式分解的概念、使用提公因 式法实行因式分解
教学难点: 能准确找出多项式中各项的
公因式并会实行因式分解
合作与探究
1.概念: 把一个多项式化为几个整式的乘积 的形式叫做因式分解.
(1)5x-5y+5z (2)-8a3b2-12ab3c+4abc
(3)-25a - 2a (4)9a(b-c) -6a2(c-b)
(5) 2 x2 y3z4 2xy4z 1 x2 y3z
7
7
课堂小结
这节课你学到了什么？ 你认为最难掌握的是什么知识？
感谢您的指导
因式分解——1.提公因式法教学设计(高效课堂展示)
探索因式分解的方法——1、提取公因式法教学设计宁强县第一初级中学张丽琴一、教材分析：“因式分解”是“华东师大版八年级数学（上）”第12章第5节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。
本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。
提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
二、目标分析：知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
理解公因式的含义，能够快速准确地找出公因式。
2、熟练运用提取公因式法分解因式，达到高效学习的目的。
过程与方法：经历自主探究、合作交流、类比归纳的学习过程，体会类比、整体的数学思想方法，形成自己的数学的学习模式。
情感态度、价值观：培养学生养成探究的习惯，将“探究”作为一种自觉行为，并体会由此带来的快乐，从中感受数学的应用价值。
三、教学重难点：教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
四、学习者分析：1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。
3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。
五、教法学法：教法：类比、启发式、探究式教学方法1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；2、设置启发式、探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
学法：自主、合作、探索的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。
因式分解(一)
D.
a2 7a 12 a 3 a 4
【知识点二】提公因式法 计算： 3.8 5 4.3 5 1.9 5 逆用乘法分配律
3.8 5 4.3 5 1.9 5 5 3.8 4.3 1.9
提取公因式： ap bp cp p a b c ， p 公因式 思考 ：如何确定公因式？ 例： 6a 3b 8a 2b2 12a 2bc ①先系数：系数的最大公约数为 2 ②再字母：所有项公共字母为 ab
例 3. （ 1）因式分解： a2 ab
.
（2）因式分解： 3x2 18x （3）因式分解： 16x2 y xy （4）因式分解： 3m2n 6mn2
. . .
练习 3-1 . （1）因式分解： a2 a
.
（2）因式分解： 2a2 4a
.
（3）因式分解： 2m2 m
.
练习 3-2 . 把多项式 4a3 4a 2 16a 因式分解，结果是（ ）
.
（2）因式分解： x2 9
.
（3）因式分解： 9x2 4
.
练习 6-1 . （1）因式分解： x2 4
.
（2）因式分解： x2 9 y2
.
练习 6-2 . （1）因式分解： 9 4 p2
.
（2）因式分解： 16m2 25
.
例 7. 因式分解： x4 y4
.
练习 7-1 . 因式分解： a4 16
.
③后指数：公共字母最小指数为 a2b
因式分解： 6a3b 8a2b2 12a2bc 2a2b 3a 4b 6c
注意：（1）公因式要提尽，千万不能有所遗漏 . (2) 要符合 代数式的书写规范 ①单项式要写在多项式的前面 ②相同的因式要写成幂的形式 ③括号内多项式的首项系数一般变为正数 例： 9a2b 15ab2c 3ab 3a 5bc
因式分解方法大全1
因式分解方法大全（一）因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。
第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（新课标不做要求）⑷立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、十字相乘法.㈠二次项系数为1的二次三项式：2x bx c ++，条件：如果存在两个实数p 、q ，使得c pq =且b p q =+，那么2()()x bx c x p x q ++=++例1、分解因式：652++x x分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。
因式分解1
因式分解 专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y24．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x ﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y27．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y28．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b210．分解因式：a2﹣b2﹣2a+111．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+112．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解 专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2．2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x ﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x ﹣3y+2）2．5．因式分解：（1）2am2﹣8a；（2）4x3+4x2y+xy2分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）2am2﹣8a=2a（m2﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；（2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2．6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．解答：解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x+2y）2﹣y2．分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．分析：（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2（m﹣2）+n（m﹣2）=n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．解答：解：a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．解答：解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1分析：（1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解；（3）首先把﹣2x2（1﹣y2）变为﹣2x2（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．解答：解：（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；（2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=（x2+1）﹣（x﹣a）2=（x2+1+x﹣a）（x2+1﹣x+a）；（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+[x2（1﹣y）]2=[（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x 12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．分析：（1）需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解；（2）把2a2b2拆项成4a2b2﹣2a2b2，再按公式法因式分解；（3）把x5+x+1添项为x5﹣x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把x3+5x2+3x﹣9拆项成（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．解答：解：（1）4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x2+1﹣15）=（2x﹣1）（2x﹣5）（x+3）；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2）=（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2=（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）=（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）；（3）x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2（x3﹣1）+（x2+x+1）=x2（x﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x2+1）；（4）x3+5x2+3x﹣9=（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9）=x2（x﹣1）+6x（x﹣1）+9（x﹣1）=（x﹣1）（x+3）2；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3（2a﹣1）﹣（2a﹣1）（3a+2）=（2a﹣1）（a3﹣3a﹣2）=（2a﹣1）（a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2）=（2a﹣1）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣1）（a+1）（a2﹣a﹣2）=（a+1）2（a﹣2）（2a﹣1）．。
初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1
初中数学因式分解(一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能,思维能力，有独特作用．1．运用公式法整式乘法公式，反向使用,即为因式分解(1）a2—b2=（a+b）（a-b);（2）a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)（a2—ab+b2);（4）a3—b3=(a-b)(a2+ab+b2)．几个常用的公式:（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc—ca)；(7）a n-b n=（a—b)（a n-1+a n—2b+a n—3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数;(8）a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n—2-b n—1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=（a+b）（a n-1-a n-2b+a n—3b2—…—ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1）-2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4; （2)x3-8y3—z3—6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; （4）a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1）x9+x6+x3—3； (2)（m2-1）（n2-1）+4mn；（3)(x+1）4+（x2-1）2+(x-1）4; （4）a3b—ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1)（x2+x+2）-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)（4x2+8x+3）-90．例8 分解因式：（x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3—36x2—7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy（x2+y2)．练习一1．分解因式:（2）x10+x5—2；（4)（x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：（1)x3+3x2—4；（2)x4-11x2y2+y2；（3）x3+9x2+26x+24; (4）x4-12x+323．3．分解因式：（1)（2x2-3x+1)2-22x2+33x—1；（2）x4+7x3+14x2+7x+1；(3）（x+y)3+2xy（1-x—y)-1；(4）（x+3)(x2—1）(x+5)—20．初中数学因式分解(一)答案多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1)a2-b2=（a+b)(a-b）；(2）a2±2ab+b2=（a±b）2；（3)a3+b3=(a+b)（a2-ab+b2);（4)a3—b3=（a-b）(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c）2；（6）a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2—ab—bc-ca）；(7）a n-b n=（a-b）（a n—1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n—2+b n-1)其中n为正整数；(8）a n—b n=(a+b）(a n-1—a n—2b+a n-3b2-…+ab n-2—b n—1)，其中n为偶数;（9)a n+b n=(a+b)（a n—1—a n—2b+a n—3b2-…—ab n-2+b n-1），其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1)—2x5n—1y n+4x3n-1y n+2-2x n—1y n+4;（2)x3—8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4）a7—a5b2+a2b5—b7．解 (1)原式=—2x n—1y n(x4n-2x2ny2+y4）=-2x n-1y n［(x2n)2-2x2ny2+（y2)2］=—2x n-1y n（x2n-y2）2=—2x n-1y n（x n-y)2(x n+y)2．（2）原式=x3+(—2y）3+(—z）3—3x（-2y)（-Z）=(x—2y-z）(x2+4y2+z2+2xy+xz—2yz)．(3）原式=（a2—2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝（a—b)2+2c（a—b）+c2=（a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5），解法如下：原式=a2+（-b）2+c2+2(-b）c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4）原式=(a7—a5b2）+（a2b5-b7）=a5(a2—b2）+b5（a2-b2）=（a2—b2）(a5+b5)=（a+b）（a-b）（a+b）（a4—a3b+a2b2—ab3+b4）=（a+b）2（a-b)（a4—a3b+a2b2-ab3+b4）例2 分解因式：a3+b3+c3—3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．分析我们已经知道公式(a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3—3ab(a+b）．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b）3-3ab（a+b)+c3—3abc=［（a+b)3+c3］-3ab（a+b+c)=(a+b+c)［(a+b）2-c(a+b）+c2]—3ab（a+b+c)=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3—3abc显然，当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时,则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且,当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式a n—b n来分解．解因为x16—1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1），所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x—1），再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成—1+9．原式=x3—9x-1+9=（x3—1）-9x+9=（x-1）(x2+x+1）—9(x—1)=（x—1)(x2+x—8）．解法2 将一次项—9x拆成-x-8x．原式=x3-x—8x+8=(x3-x）+（-8x+8）=x（x+1)(x-1)-8(x—1)=（x-1)（x2+x—8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3—9x+8=（9x3-9x)+(-8x3+8）=9x(x+1)（x—1）—8(x—1）(x2+x+1）=（x-1)（x2+x—8）．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2—9x+8=x2(x-1）+(x-8)(x-1)=（x-1)(x2+x-8）．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项,添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：（1)x9+x6+x3-3；(2）（m2-1）（n2—1）+4mn；(3)(x+1)4+（x2—1）2+(x—1)4；(4）a3b—ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1—1．原式=x9+x6+x3—1-1—1=（x9—1）+(x6—1)+（x3—1）=（x3—1）（x6+x3+1)+(x3—1)(x3+1）+（x3-1）=（x3-1)（x6+2x3+3)=（x-1)(x2+x+1)（x6+2x3+3)．（2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=（m2—1）（n2—1）+2mn+2mn=m2n2—m2—n2+1+2mn+2mn=（m2n2+2mn+1）-(m2-2mn+n2)=（mn+1）2—(m-n）2=(mn+m—n+1)(mn—m+n+1)．（3)将（x2-1）2拆成2(x2—1)2-（x2—1）2．原式=(x+1）4+2(x2-1)2-(x2-1)2+（x-1）4=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+(x-1）4］—（x2—1)2=［（x+1）2+（x-1）2］2-（x2-1）2=（2x2+2）2—(x2—1）2=（3x2+1)（x2+3）．(4）添加两项+ab-ab．原式=a3b—ab3+a2+b2+1+ab—ab=（a3b—ab3)+（a2-ab)+（ab+b2+1)=ab(a+b)（a—b)+a（a—b）+（ab+b2+1）=a(a—b)［b(a+b）+1］+(ab+b2+1）=［a(a-b)+1］(ab+b2+1）=(a2—ab+1）（b2+ab+1）．说明（4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解，再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习,积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x2+x+1）(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=（y+1)(y+2）—12=y2+3y—10=(y-2)（y+5)=(x2+x—2)(x2+x+5）=（x-1)（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2）（4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=（x+1）(x+2）(2x+1）（2x+3）—90=[(x+1)(2x+3）］［（x+2)（2x+1）]—90=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2)—90．令y=2x2+5x+2,则原式=y(y+1)—90=y2+y-90=（y+10）(y—9）=(2x2+5x+12)（2x2+5x-7）=(2x2+5x+12）（2x+7)(x—1）．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x（x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y,则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)（y+x）=（x2+6x+8）（x2+5x+8)=（x+2）(x+4）(x2+5x+8）．说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2—7x+6．解法1 原式=6（x4+1）＋7x(x2—1）-36x2=6［（x4-2x2+1）+2x2]+7x(x2—1）-36x2=6［(x2—1)2+2x2］+7x(x2—1)-36x2=6(x2—1）2+7x(x2—1）—24x2=[2(x2—1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2—3x—2)（3x2+8x-3)=(2x+1）(x—2）(3x—1)（x+3)．说明本解法实际上是将x2—1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6（t2+2）+7t—36］=x2（6t2+7t-24)=x2（2t—3)（3t+8）=x2[2(x—1/x）-3］[3(x—1/x)+8］=（2x2—3x—2)(3x2+8x—3）=（2x+1)(x—2）（3x-1）(x+3）．例10 分解因式：(x2+xy+y2）—4xy（x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy,用换元法分解因式．解原式=［（x+y）2—xy］2—4xy[（x+y)2—2xy］．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2—v）2-4v（u2-2v）=u4—6u2v+9v2=（u2—3v）2=（x2+2xy+y2—3xy)2=(x2-xy+y2)2．。
因式分解方法大全1
因式分解⽅法⼤全1因式分解⽅法⼤全（⼀）因式分解是将⼀个多项式转化成⼏个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是⽅向相反的变形.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法。
因式分解的主要⽅法：⑴提公因式法；⑵运⽤公式法；⑶分组分解法；⑷⼗字相乘法；⑸添项折项法；⑹配⽅法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。
第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：⑴平⽅差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵完全平⽅公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶⽴⽅和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（新课标不做要求）⑷⽴⽅差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求）⑸三项完全平⽅公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法⼀：第⼀、⼆项为⼀组；解法⼆：第⼀、四项为⼀组；第三、四项为⼀组。
第⼆、三项为⼀组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（⼆）分组后能直接运⽤公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）abc c b a 3333-++四、⼗字相乘法.㈠⼆次项系数为1的⼆次三项式：2x bx c ++，条件：如果存在两个实数p 、q ，使得c p q =且b p q =+，那么2()()x b x c x p x q++=++ 例1、分解因式：652++x x分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。
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因式分解（一）
【知识点一】因式分解的概念与规范
整数乘法：42732=⨯⨯ −−→←互逆 分解质因数：73242⨯⨯=
整式乘法：()ac ab c b a +=+ −−→←互逆 因式分解：()c b a ac ab +=+
因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式乘积的形式，这样的式子变形叫做因式分解，也叫分解因式，比如，①()c b a ac ab +=+ ②()()y x y x y x -+=-22
因式分解的三个原则： ①恒等变形 ②结果是整式乘积 ③分解要彻底
因式分解规范：
误区图表
例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A.()21322
2++=++x x x B.()()22y x y x y x -=-+ C.()2
22y x y xy x -=+- D.()y x y x -=-222 练习1-1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A.()ay ax y x a +=+
B.()44442+-=+-x x x x
C.()1255102-=-x x x x
D.()22222y y x x y xy x ++=++
练1-2.下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A.()()23212++=++x x x x
B.()1122
22--=-+-b a b ab a C.⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+122x y x x xy D.()()431272--=+-a a a a 式子
错误原因 abc a bc a ⋅=332
左边不是多项式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 2124232 结果不是整式乘积 ()11122++=++x x x x 结果不是整式乘积
()22422+=-ab a a b a 不是恒等变形
()abc b a c ba a +=+2
不是因式分解，而是整式乘法 ()22223ab b a a b a b a +=+ 分解不彻底
【知识点二】提公因式法
计算：59.153.458.3⨯+⨯+⨯−−−−→−逆用乘法分配律()9.13.48.3559.153.458.3++⨯=⨯+⨯+⨯
提取公因式：()c b a p cp bp ap ++=++ ， →p 公因式
思考：如何确定公因式？
例：bc a b a b a 22231286-+
①先系数：系数的最大公约数为2 ②再字母：所有项公共字母为ab
③后指数：公共字母最小指数为b a 2
⇒因式分解：()c b a b a bc a b a b a 6432128622223-+=-+
注意：（1）公因式要提尽，千万不能有所遗漏. ⇒判断：()c b ab a c ab b a 222533159-=- ⇒错误
(2)要符合代数式的书写规范
①单项式要写在多项式的前面
②相同的因式要写成幂的形式
③括号内多项式的首项系数一般变为正数
例：()bc a ab c ab b a 53315922+-=--
练习：n m n m y x y x 31159--的公因式为（ ）
A. n m y x
B.1-n m y x
C.3n m y x
D.31-n m y x
例2.（1）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ）
A.mn 5
B.225n m
C.n m 25
D.n m 25
（2）多项式n m n m y x y x 31128--的公因式是（ ）
A.n m y x
B.1-n m y x
C.n m y x 4
D.14-n m y x
（3）多项式()()b a b a b a b a +++2231015的公因式是 .
练习2-1.（1）多项式222336b a b a --因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A.223b a -
B.ab 3-
C.b a 23-
D.333b a -
（2）多项式n m n m y x y x 3193--的公因式是（ ）
A.n m y x
B.1-n m y x
C.n m y x 4
D.13-n m y x
练习2-2.下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A.()()y x y x a ++和
B.()()b x b a +-+和32
C.()()y x y x b --23和
D.()()a b b a --633和 例3.（1）因式分解：=-ab a 2 .
（2）因式分解：=-x x 1832 .
（3）因式分解：=-xy y x 216 .
（4）因式分解：=+2263mn n m .
练习3-1.（1）因式分解：=-a a 2 .
（2）因式分解：=-a a 422 .
（3）因式分解：=-m m 22 .
练习3-2.把多项式a a a 164423-+-因式分解，结果是（ ）
A.()16442+--a a a
B.()16442-+-a a a
C.()a a a 4423+--
D.()442+--a a a 例4.（1）因式分解：()()3
22n m n m -+- （2）因式分解：()()q p q q p p +-+46
（3）因式分解：()()c b y c b x ---42 （4）因式分解：()()()b a b a b a 32
-+++
练习4-1.（1）因式分解：()()=+-+c b c b a 32 .
（2）因式分解：()()=+-+b a b b a a .
练4-2.（1）因式分解：()()=+-+b a b b a 2222
. （2）因式分解：()()()()=-+--+2
2y x y x y x y x .
例5.（1）因式分解：()()=-+-x x x 336 .
（2）因式分解：()()=-+-n m n 222 .
（3）因式分解：()()=---n m n m n mn .
（4）因式分解：()()=---a b b a 2
.
练习5-1.（1）因式分解：()()=-+-x y n y x m .
（2）因式分解：()()=---b c c b a 3 .
练习5-2.（1）因式分解：()()=-+-x x x 232 .
（2）因式分解：()()=-+-a m a m 222 .
【知识点三】平方差及完全平方公式
思考：已学习平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ ，“等式两边互换位置，等式依然成立” 可得：()()b a b a b a -+=-22，类似的，对完全平方公式
①()2222b ab a b a ++=+ 可得：()2
222b a b ab a +=++ ②()2222b ab a b a +-=- 可得：()2
222b a b ab a -=+- 平方差公式：()()b a b a b a -+=-22
练习：对下列式子因式分解：
① 92-a ②()22
365y x -+ ③1642-x ④44b a -
完全平方公式因式分解：
完全平方公式法：①()2222b a b ab a +=++ ②()2
222b a b ab a -=+-
练习： ①226416⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x ②2
2493⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-a a a
③()()x y b y x a -+-22 ④()
22222164y x y x --
例6.（1）因式分解：=-12x .
（2）因式分解：=-92x .
（3）因式分解：=-492x .
练习6-1.（1）因式分解：=-42x .
（2）因式分解：=-229y x .
练习6-2.（1）因式分解：=-249p .
（2）因式分解：=-25162m .
例7.因式分解：=-44y x .
练习7-1.因式分解：=-164a .
练7-2.因式分解：=-4416n m .
附加题：
1.将()()2
222y x y x --+分解因式的结果是（ ） A.28x - B.()y x x 28-- C.()y x +16 D.xy 8
2.分解因式()22
22x x -+的结果是（ ） A.()3422++x x B.()3222++x x C.()()132++x x D.()()223++x x。