台州市2016学年高一期末质量评估试题

台州市
2016学年第一学期
高一年级期末质量评估试题
数学参考答案及评分标准
2017.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项
二、填空题：本大题共6小题，单空题每小题3分，多空题每小题4分，共20分． 11．4 12．
14 13． 5ππ[,]1212- 14．221
e e
<<x 15． 4π3，2π3 16． 3(,2)2 三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）因为函数()f x 的定义域为R ，且2112
()()2112
x x
x x
f x f x -----=
==-++， 所以()f x 是定义在R 上的奇函数； ……………4分
（Ⅱ）211
()212
-==+
x x
f x ，23∴=x ，2lo
g 3=x . 所以方程的实数解为2log 3=x ． ……………8分
18．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）⊥ a b ，0∴⋅= a b ，()
22222||2||||||2∴-=-⋅+=+=
a b a a b b a b ，
∴2
||
2-=
a b ，||-=
a b ………………………5分
（Ⅱ）∵(cos cos ,sin sin )(1,0)αβαβ+=++=
a b ,
∴cos cos 1,sin sin 0,αβαβ+=⎧⎨
+=⎩即cos 1cos ,
sin sin ,
αβαβ=-⎧⎨=-⎩
解得1cos 2β=
，1
cos 2
α=， ∵ππ22αβ-<<<，∴π3α=- ，π
3
β=. ………………10分
19．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）{|13},=-<<A x x
若=∅B ，则211a a -≥+，解得2a ≥，满足⊆B A ， 若≠∅B ，则2a <，要使⊆B A ，只要2,
211,13,a a a <⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩
解得02a ≤<， 综上，实数a 的取值范围是[0,)+∞； ……5分
（Ⅱ）由题意，00π
1()4sin(2)13,3-<=++<f x x
即01π1
sin(2),232
-<+<x 0πππ2π22π636k x k ∴-<+<+，
或05ππ7π2π22π636+<+<+k x k ，∈k Z ， 0ππππ412∴-<<-k x k ，或0π5πππ412+<<+k x k ，∈k Z .
则实数0x 取值的集合是
{00ππ
|ππ412
-<<-x k x k ，或0π5πππ412k x k +<<+，}∈k Z .…10分
20．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由22
sin 2cos 1,sin cos 1,A A A A -=-⎧⎨+=⎩得4cos ,
5
3sin ,5A A ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或cos 0,sin 1,A A =⎧⎨=⎩
（舍去）， 3
tan 4
∴=
A ； 另解：由sin 2cos 1A A -=-，
得2(sin 2cos )1A A -=，
即2222
sin 4sin cos 4cos 1sin cos A A A A A A -⋅+==+，
23cos 4sin cos A A A =⋅，
cos 0≠ A ,3
tan 4
∴=
A ； …………………5分 （Ⅱ）由s i n 2c o s -<A A ，得t a n 2<A ，又
c o s 1s i n ≤A
A
，tan 1≥A ，1tan 2∴≤<A ，
222
222sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan 1
-⋅-∴-⋅==
++A A A A A A A A A A A 2
1tan 1tan 1
+=-++A A ， 令tan 1,=+t A 23≤<t ， 221
sin sin cos 112222∴-⋅=-+=-+-++-t A A A t t t t
，
22+- t t 在[2,3)上递增，25123
∴≤+-<t t ，
12
0152∴≤-+<+-t t
.
即2sin sin cos -⋅A A A 的取值范围为2
[0,)5
． …10分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数()y f x =的单调递增区间为[1,1]-，[3,)+∞；……3分 （Ⅱ）13-<< x ,
22()()()|23|3∴=-=----=-++-h x f x g x x x x a x x a ，
由题意知，0,(1)0,(3)0,h h ∆>⎧⎪
-<⎨⎪<⎩即13,41,3,
a a a ⎧<⎪⎪>⎨⎪>-⎪
⎩
得1314<<a ； ………7分
（Ⅲ）设函数()()F x f x m =-，()=G x (2)5-x g ，
由题意，()F x 在[0,2]上的最小值不小于()G x 在[2,1]--上的最大值，
222()|23|23(1)4F x x x m x x m x m
=---=-++-=--+-(02)≤≤x ，当0=x ，或2=x 时，min ()3F x m =-，
()=G x (2)525-=+-x x g a 在区间[2,1]--单调递增，
当1=-x 时，max 9()(1)2
=-=-
G x G a ， ∴存在[2,5]m ∈，使得9
32
m a -≥-
成立， 即max 15(
)2a m ≤-， 11
2
a ∴≤． a ∴的最大值为11
2
. ………………12分。