巧用两根式证明不等式

巧用两根式证明不等式

以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。

【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 102

1<<<．

(1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<;

(2)设函数

)(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明2

10x x <

．

简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。 【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2)

∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x

∵ a

x x x 1

021<

<<<．

∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1

∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x

又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0

又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x )

(2) f (x ) 图象对称轴为x =x 0=－

2a

b

又∵x 1+x 2=－a

b 1

-

∴－a b = x 1+x 2－a 1， ∴x 0=21(x 1+x 2－

a 1)

∴x 0－2x =a

ax 212-<0 ∴x 0<2x 1

【评析】巧设二次函数的两根式，得f (x )的解析式，以根的分布作条件，用比较法证明不等关系，方法简单，思路清晰，难点在于学生不清楚),0(1x x ∈中x 的常量角色，不习惯字母运算。

【例2】 已知二次函数f (x )=x 2+ax +b (a , b ∈R ) ⑴若方程f (x )=0无实根，求证：b >0

⑵若方程f (x )=0有两实根，且两实根是相邻两整数，求证：

f (－a )=

4

1(a 2－1)

⑶若方程f (x )=0有两非整数实根，且这两实根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得：|f (k )|≤

4

1

.

【解答】(1) 由△=a 2

－4b <0 得 b >

4

a 2

≥0, ∴b >0

(2) 由|x 1－x 2|=

b 4a 2

-=1得b =

4

1

a 2- ∴ f (－

a )=a 2

－a 2

+b =

4

1

a 2- (3) 设m <1+<

则

{

0)(0)1(>>+m f m f

∴ |f (m )|·|f (m +1)|=|（m －α）(m －β)（m +1－α）(m +1－β）|

=[(α－m )(m +1－α)]·[(β－m )(m +1－

β

)]≤(

2

1)2·(

2

1)2=

16

1 ∴| f (m )|≤41或|f (m +1)|≤4

1

故存在整数k ，使得：|f (k )| ≤

4

1

【评析】第（1）、（2）问考查一元二次方程根与系数关系，

较容易。第（3）问很抽象，把根的范围符号化，巧设求根式，利用实根分布和基本不等式使问题得证。

例3．已知函数f (x )=

31x 3 +2

1

(b －1)x 2+cx (b 、c 为常数).

(1) 若f (x )在x =1和x =3处取得极值,试求b 、c 的值； (2) 若f (x )在x ∈(－∞,x 1)、(x 2,+∞)上单调递增且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足

x 2－x 1＞1,求证：b 2＞2(b +2c )；

(3) 在(2)的条件下,若t ＜x 1，试比较t 2+b t+c 与x 1的大小,并加以证明.

【解答】 (1) f ’(x )=x 2+(b －1)x +c

依题意, 1和3是方程x 2+(b －1)x +c=0的两根,

∴ 1－b =1+3=4, c=1×3=3,即b =－3, c=3

(2) 由题意知,当x ∈(－∞,x 1)、(x 2,+∞)时, f ’(x )＞0； 当x ∈(x 1,x 2)时, f ’(x )＜0.

所以x 1、x 2是方程x 2+(b －1)x +c=0的两根,则x 1+x 2=1－b , x 1x 2=c.

∴b 2－2(b +2c)= b 2－2b －4c=[1－(x 1+x 2)]2－2[1－(x 1+x 2)]－4x 1x 2=(x 1+x 2)2－1

∵x 2－x 1＞1, ∴(x 1+x 2)2－1＞0 ∴b 2＞2(b +2c). (3)在(2)的条件下,设x 2+(b －1)x +c=(x －x 1)(x －x 2)

即x 2+bx +c=(x －x 1)(x －x 2)+ x

所以(t 2+b t+c)－x 1=(t －x 1)(t －x 2)+t －x 1=(t －x 1)(t+1－x 2)

∵x 2＞1+x 1＞1+t, ∴1+t －x 2＜0.

又0＜t ＜x 1 ∴t －x 1＜0.

∴(t －x 1)(t+1－x 2)>0, 故t 2+b t+c ＞x 1.

【解法2】. 令g (x )=x 2

+bx +c, 则g ）（1

x =x 1, ∵x 2－x 1>1,

∴

212x x +－x 1>21

即：－21b -－x 1>21 ∴ x 1<－

2b

, ∴t

2

b

, 而

g (x )在(－∞,－2

b

)上单调递减。

∴g (t)>g )x 1

（ 即b 2

+b t+c>x 1

【评析】：以三次函数作背景，通过导函数对应的方程转

化为一元二次方程根与系数关系，化系数为根表示，利用根所满足条件使问题得证。

例 4. （1）设x 1,x 2是函数f (x )=

3

a

x 3+

x a x 22

2

b - )0(>a 的两个极值点，且|x 1|+|x 2|=2. (1) 证明： 0

（2）证明：|b |≤

9

3

4；

（3）若函数h (x )=f ’(x )－2a (x －x 1), 证明：当x 1

x 1<0时，|h (x )| ≤4a 。

【解答】（1）f ’(x )=ax 2+bx －a 2 ∵x 1,x 2是方程f ’(x )的两个极值点

∴x 1,x 2是方程f ’(x )=0的两个实数根

a >0, ∴x 1x 2= －a <0 x 1+x 2=a

b

-

∴|x 1|+|x 2|=| x 1－x 2|=

=+a a b 42

2

2 ∴b 2=4a 2－4a 3≥0 ∴0

（2）设g (a )=4a 2－4a 3, 则g ’(a )=8a －12a 2=4a (2－3a ) 由g ’(a )>0 得 0

2,

由g ’(a )<0 得 3

2

∴g ’(a )在(0, 3

2)单调递增，在(

3

2,1)单调递减，∴g (a ) 的

最大值27

16=

（3）h (x )=f ’(x )－2a (x －x 1)=a (x －x 1)(x －x 2－2) ∴|h (x )|= a |x －x 1|·|x －x 2－2|≤ a （

221)2

2

--+-x x x x

又 ∵x 1 x 2<0, x 1<0 x 2 >0 ∵x 1 < x <2 ∴x －x 1>0 x －x 2－2 <0

∴|x －x 1|+|x －x 2－2|=x －x 1－x +x 2+2=x 2－ x 1+2=4 ∴|h (x)|≤4a

【分析】第（1）问求导后，利用一元二次方程根与分数的关系，得a 的范围，第（2）问构建b 关于a 的函数，导数法求得b 的范围。第（3）问是难点，恰好要用到一元二次函数两根式来证明不等式。

以上这些题目的共同特点都是已知一元二次方程的两根范围，要证明与两根直接相关的不等式。其解题方法一般是设一元二次函数的两根式，通过因式分解，利用根的范围，合理变形，或运用基本不等式，使问题得证。 【跟踪训练】

1．已知f (x )=1－(x －a )(x －b )，并且m ,n 是方程f (x )=0的两根，则实数a ,b ,m ,n 的大小关系可能是________。

【解析】方程f (x )=0, m ,n 可看作f (x )与x 轴交点的横坐标，a , b 可看作g (x )=－(x －a )(x －b )与x 轴交点的横坐标，所以，a ,b ,m ,n ，可以排列成m

2．（2007·山东）设二次函数f (x )=x 2+ax +a , 方程f (x )－x =0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，(1)求实a 的取值范围

(2)试比较f (0)·f (1)－f (0)与

16

1

的大小，并说明理由。 【解答】（1）令g (x )=f (x )－x =x 2+（a －1）x +a ,则由题意可得