巧用两根式证明不等式

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中学数学不等式证明方法

中学不等式证明方法探究摘要不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。

本文通过对不等式的进一步研究，同时在前人的基础上对不等式的证明方法进行再探讨，得出了几点新方法，再有就是对于一些题目，很多人都是用一些常用的方法来解决，而笔者则是通过另外的一种方法来解，并且解题过程相对简单，在正文的例题当中，我用方法二给出了我的证明过程，以飨读者。

关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法；微分法证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． 1、比较法比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比较法证明的。

中学数学不等式证明的常用方法

中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）．以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立．【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ．【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ．例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-．证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。

证明基本不等式的方法

证明基本不等式的方法基本不等式是数学中极为重要的不等式之一，它可以直接由基本的数学性质和运算法则推导得出。

以下是我详细描述基本不等式的证明方法，以及一些相关的例子和应用。

基本不等式可以表述为：对于正实数a和b，有ab≥2√(ab)，即a乘以b大于等于2乘以a和b的平方根。

首先，我们知道一个数的平方根是非负的，即√(ab)≥0，因此我们可以得出一个结果：2√(ab)≥0。

由此可见，当a和b相等时，等式成立。

例如，当a=b=1时，1*1=2√(1*1)，等式两边都为1，等式成立。

接下来，我们来考虑当a和b不相等时的情况。

这时我们可以假设一个数x，使得x=√a/√b（注意，这里假设了b不等于0）。

根据这个假设，我们可以得出√a=x√b。

将这个结果代入到基本不等式中，得到：ab≥2√(ab)ab≥2√a√b （将√ab代换成x√b）ab≥2(x√b)√b （将√a代换成x√b）ab≥2xb*bab≥2x(b^2)由于a和b是正实数，因此b的平方b^2也是正实数。

而x是我们自己假设的一个数，通过合适的选择，我们可以使2x(b^2)等于a*b。

这样基本不等式就成立了。

这个证明方法的关键在于假设一个适当的数x，使得√a=x√b，从而将原始不等式转化为x的方程，然后通过解这个方程得到基本不等式。

下面是两个具体的示例应用，展示了基本不等式的实际用途：例1：证明当a+b=2时，a*b≤1根据我们的假设，可以令x=1/√b。

那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=1、将这个结果代入到a+b=2中可以得到1+b=2，从而b=1、因此，我们可以得到a*b=1*1=1，满足a*b≤1例2：证明当a+b=1时，(a^2+1)(b^2+1)≥8/9首先，我们假设x=√a/√b，那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=b。

这时，a+b=1可以变为2a=1，从而得到a=b=1/2将这个结果代入到(a^2+1)(b^2+1)中可以得到(1/4+1)(1/4+1)=5/4、因此，我们可以得到(a^2+1)(b^2+1)=5/4，满足(a^2+1)(b^2+1)≥8/9总结一下，我们通过假设一个适当的数x，并将√a=x√b代入到基本不等式中，转化为一个关于x的方程。

不等式证明使用技巧

不等式证明使用技巧不等式证明是高中数学中的一个重要内容，掌握不等式证明的技巧对于解题和提升数学水平都有很大的帮助。

下面我将介绍一些常用的不等式证明技巧。

一、代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。

我们可以先假设不等式成立，然后进行推导得出结论。

如果得到的结论与原不等式一致，就证明了不等式的成立。

例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge q 9$。

我们可以假设$a\leq b\leq c$，然后代入得到：$a^2+b^2+c^2=2a^2+(b^2-a^2+c^2)\geq 2a^2=2(a\cdot a)\geq2(ab)$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\fra c{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3(\frac{1}{ab})=\frac{3}{ab}$。

然后，将两个不等式代入原不等式得到：$(2ab)(\frac{3}{ab})=6\geq 9$。

由此可见，原不等式成立。

二、放缩法放缩法是另一种常用的证明不等式的方法。

我们可以通过放缩不等式的各个部分来改变不等式的形式，从而得到更容易证明的形式。

例如，我们要证明对于任意正实数a、b和c，有$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$。

我们可以通过放缩的方法，将不等式的各个部分放缩至一个更容易证明的形式。

我们注意到，$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$。

然后，我们可以通过平方展开和放缩的方法，得到：$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\geq 3$。

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧．一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一（作差比较）左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二（作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号．【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号．若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键．二、基本不等式法常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【例 3 】（ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

不等式证明中的几种新颖方法

不等式证明中的几种新颖方法
以下是 8 条关于不等式证明中的新颖方法：
1. 放缩法简直太神奇啦！比如说，要证明
1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)，咱就可以通过巧妙地放大或缩小一些项
来达到目的。

这就好像建房子，一点一点把合适的材料放上去就能建成稳固的大厦呀！
2. 构造函数法真的是绝了！像证明x²+5>2x+3 ，咱可以构造函数
f(x)=x²-2x+2 ，通过研究函数的性质来得出不等式的结论，这多像给不等
式穿上了一件量身定制的衣服！
3. 数学归纳法也很厉害的哟！比如要证明一个关于 n 的不等式，先证
明当 n=1 时成立，然后假设 n=k 时成立去推出 n=k+1 时也成立。

这就像爬楼梯，一步步稳稳地往上走！“嘿，这不就证明出来啦！”
4. 利用均值不等式来证明，哇哦，那可太好用啦！例如证明
(a+b)/2≥√(ab) ，这就像是给不等式找了个平衡的支点！
5. 换元法也有意思呀！把复杂的式子通过换元变得简单明了，再去证明。

就好像把一团乱麻理清楚，然后就能看清它的真面目啦！“哇，原来这么简单！”
6. 反证法也超棒的呢！先假设不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明原来的不等式是对的。

这不是和找错一样嘛，找到错的就知道对的在哪啦！
7. 排序不等式更是一绝！在一堆乱序的数中找到规律证明不等式，就像在一堆杂物中找到宝贝一样让人惊喜！
8. 柯西不等式也是很牛的哦！通过它独特的形式来证明不等式，真的是让人眼前一亮呀！“哇塞，还有这种神奇的方法！”
我觉得这些新颖的方法就像是一个个神奇的工具，能让我们在不等式的证明中如鱼得水，轻松搞定各种难题！。

活用“两根式”巧解不等式

活用“两根式”巧解不等式一湖北团风中学..,秦红安一对于二次函数()=ax2+bx+c(a-7~O),如果方程厂(_z)一0的两个实根为321, X2,那么二次函数,()可写成,()一n(一-z)(～),这就是二次函数的”两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题.售l已知二次函数厂(_z)一,+ax+b(a,bER).(1)若方程厂()=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证明:存在整数k,使得J厂(是)I≤÷.(2)若方程厂()一.有两个非整数实根.且两实根不在相邻两整数之间,请你探求当n,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得『厂(是)I≤÷成立.解:(1)设方程厂(_z)一O的两实根分别为a,,且m<a<m-f-1,<m+l(mE z).则有_厂(z)一.+nz+6一(x--a)(x--p).则I厂(m)JI厂(+1)J—I(m--a)(m--f1)IJ(+l--a)(+1一I一(a--m)(+1--a)(flm)(+1口)~(a--m+m+l--a).(fl--m+r~+l--f1).=(吉).(专).=({)....必有I厂()j≤{或『厂(m+1)I≤{.故在题目的条件下,存在整数k=m或k—+1,使I厂(是)i≤1成立.(2)设<口<+1,当p<时,则I厂()ll厂(+1)I—I(m--a)(m--II(+1--a)(m+1一I(a--m)(+1一(m--f1)(+1--a)~[(a--m)(m+1--f1)-F(m--f1)(m+l--a)].=()=().(由韦达定理).53●贵阳市息烽q-学李志忠两角和的正切公式tan(“+一用较广,其变形:tam+ta+tan(a+tan口ta邴一tan(a+p)在解题中也有重要作用.懿tan70.,tan50.一~r3tan70.tan50.的值是().Bc.13.一分析:...tan(70.--5O.)tanl20.一,..tan70.+tan50.一~/tan70.tan50.=tan120.一一.故选D.伪2(2002年春季高考题)在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,求tanA+tan+tantan导的值.’分析:因A,B,C成等差数列,故2B=A+C.从而得B=60....A~C一120..即A十百C一60....tan(A十C)一tan60.一厄..由变形公式tan+tan导+tantan一tan6o.一.啻唾已知△ABC中,”,b,f分别是角A,B,C所对应的边,且n一4.6+(一5,ta【nA+tanB+一?tanAtanB,求△lABC的面积.分析:I,ItanA+tanB+一,/gtanAtanB,..tal+tanBVStaI以tanB一一√而一一tan120.,..可认为tan120.一tan(A,B),A+B一120..从而C=60..于是由余弦定理可得c一16-cbz--4b.37.b”5,代人得6一号...s,J,:吉inC--3~/3.4(责任编辑韩可立)C因O<z<z1<z2,故z1一z>O.1+n(x--x~)>O..z1(z)>0,由此得(z)<1...当z∈(O,z1)时,z<厂(z)<z1.(责任编辑韩可立)活返厢两角和的芷切公贰。

不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘要：不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。

通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

关键词：不等式；证明方法；分析问题引言证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。

有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。

下面介绍几种证明不等式的方法。

一、构造法构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。

当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。

构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。

（一）、构造方程证明不等式某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。

例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，222212x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤，23o y a ≤≤， 203z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得22221()2a y z y z a --++= ⇒ 22222()2202a y a z y z az --+-+= 因为 y R ∈，所以 224()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤所以 203z a ≤≤同理可证： 203x a ≤≤， 203y a ≤≤.（二）、构造函数证明不等式根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。

例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c<<+++. 证明：从结论形式看，各项均具有1MM+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x=+，易证 ()f x 在R +上为增函数因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即111111a b c b c b c a b c b c b c b c+<=+<++++++++++. 又如：求证111a b a b a bab+≤+++++ 可用类似方法证明。

证明不等式的常用方法(1)

k个
a + 2 a + 1=
a + 1) 2 =
a + 1,
0 [ | a + b | [ | a| + | b | , f ( | a+ b | ) [ f ( | a| + | b | ) , | a + b| | a | + | b| [ 。 1+ | a + b | 1+ | a | + | b |
The Middle School of Shanxi Lu. an Mining Group Corporation Lei Xiaoping
Abstract: The methods of demonstrating inequality are many and varied. There are many methods in demonstrating an inequality, we should use the methods flexibly . This paper introduces nine kinds of common use methods of demonstrating inequality. Keywords: inequality, demonstration, common use methods
2 2 2 2 2 2
P )。 2
故 a n + bn = cn ( sin nA+ cos nA) < c n( sin2 A+ cos 2A) = cn 。 6 构造函数法根据待证的不等式的结构等方面的特点 , 引入一个适当的函数 , 运用函数的性质 ( 如单调性、有界性等 ) 来达到证明的目的。 | a + b| | a | + | b| [ 。 1+ | a + b | 1+ | a | + | b | x 证明 : 由于不等式两边/ 同形0 , 可设 f ( x ) = 。 1+ x 例7 设 a、 b I R, 求证 :

不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。

例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。

该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。

例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。

由此可知，不等式不成立。

3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。

通过反证法证明。

例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。

假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。

我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。

通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。

4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。

例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。

通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。

例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。

例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。

以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。

在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。

证明不等式的常用技巧

证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。

换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。

1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。

综合法由因导果。

证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法执果索因。

证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。

数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。

根号不等式的解题方法与技巧

根号不等式的解题方法与技巧嘿，朋友们！今天咱们来唠唠根号不等式这个有点小调皮的家伙。

这根号不等式啊，就像是一个住在数学城堡里的小怪兽，看起来有点吓人，但只要咱们掌握了秘诀，就能轻松把它拿下。

你看，根号就像是小怪兽的保护壳。

当遇到根号不等式的时候，首先要做的就是想办法把这个保护壳给它慢慢剥开。

要是不等式两边都有根号，那可就像小怪兽有两个盾牌一样。

这时候呢，咱们可以通过两边同时平方这个大招，就像拿了个超级大锤子，一下子把盾牌给它砸开。

不过要小心哦，就像砸盾牌的时候别伤到自己一样，平方的时候要注意不等式两边的正负性，不然可能就掉进陷阱里啦。

有时候，根号下是个复杂的式子，这就好比小怪兽躲在一个满是机关的密室里。

咱们得先把根号下的式子化简，就像破解密室的机关一样。

要是能把根号下的式子变成完全平方式，那就像找到了密室的钥匙，一下子就能把根号这个大门打开。

如果根号不等式里还有其他项呢，就像是小怪兽还有一群小喽啰在旁边捣乱。

咱们得先把这些小喽啰按照规则处理好，再去对付根号这个大boss。

比如说移项啊，就像是把小喽啰们赶到一边去，好让我们专心对付根号这个关键的家伙。

还有啊，在解根号不等式的时候，一定要像个细心的探险家一样，检查解的范围。

就像在迷宫里找宝藏，不是找到一个地方就一定是对的，得看看是不是符合整个迷宫的规则呢。

再说说那些特殊的根号不等式，就像变异的小怪兽一样。

可能需要一些特殊的技巧，比如换元法。

这就好比给小怪兽来个障眼法，把复杂的式子变得简单一点，然后再一举拿下。

解根号不等式就像是一场刺激的冒险，每个步骤都像是一个挑战。

但只要我们充满信心，像勇敢的骑士一样，运用我们的智慧和技巧，就一定能把这个数学小怪兽打得落花流水，找到正确的答案这个“宝藏”。

朋友们，加油哦，让我们在数学的世界里勇往直前！。

高等数学中不等式的证明方法

高等数学中不等式的证明方法1.常用在多项式中"舍掉一些正(负)项'而使不等式各项之和变小(大)，或"在分式中扩大或缩小分式的分子分母'，或"在乘积式中用较大(较小)因式代替'等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个(或多个)中间变量C，使，由A到C叫做"放'，由B到C叫做"缩'。

常用的放缩技巧还有：(1)假设(2)(3)假设则(4) (5)(6)或 (7)2.你必须铭记基本公式,均值不等式以及课后的一些重要推倒式.证实主要就是要将不等式的一边变形成为你所熟知的公式类型,也要铭记分析法,综合法等解题思路,一般不等式证实用分析法就好,思路比较简单,试于为灵活应用公式打下基础.2学习方法一比较法是证实不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。

基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)例1已知a+b0，求证：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证实不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30推断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证实： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20a+b0(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、bR+，且ab，求证：aabbabba分析：由求证的不等式可知，a、b具有替换对称性，因此可在设ab0的前提下用作商比较法，作商后同1比较大小，从而达到证实目的，步骤是：10作商20商形整理30推断为与1的大小证实：由a、b的对称性，无妨解ab0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba 学习1 已知a、bR+，nN，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1) 3学习方法二1. 解：设函数f(x)=e^x，g(x)=x+1.关于函数f(x)=e^x,为自然指数函数，定义域为全体实数，函数在定义域上为单调增函数，值域为：[0,+)，图像示意图如下： 2. 关于函数g(x)=x+1,为一次函数，定义域和值域均为全体实数，在定义域范围内，函数为增函数，图像示意图如下3.从图像可，函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方，二者有一个交点为(0,1),所以有：f(x)=g(x)即：e^x=x+1，成立。

不等式证明的方法及应用

不等式证明的方法及应用不等式是数学中最重要的一种关系，其中证明不等式更是数学学科中的基础问题。

不等式证明的研究领域十分广泛，包括基础的不等式证明、几何不等式证明、代数不等式证明等多个方面。

本文将简要介绍不等式证明的方法及其应用。

一、基础技巧不等式证明最根本的思路是化式子不等式为我们熟知的公式或者形式。

这里介绍几个基本的技巧。

1.相加相等对于不等式$a_1+b_1\geqslant c_1$ 和$a_2+b_2\geqslant c_2$ ，通常可以将它们相加：$$ a_1+a_2+b_1+b_2\geqslant c_1+c_2 $$2.分组求和对于不等式$a_1+a_2+\dots+a_n\geqslant b_1+b_2+\dots+b_n$ ，如果不易处理，可以将所有的项分为两组，再相加：$$ (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\dots+(a_k+b_k)\geqslant(b_{k+1}-a_{k+1})+\dots+(b_n-a_n) $$得到：$$ a_1+a_2+\dots+a_k+b_{k+1}+\dots+b_n\geqslantb_1+b_2+\dots+b_k+a_{k+1}+\dots+a_n $$3.均值不等式对于正数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ ，有$$ \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} $$特别地，当$n=2$时，称为算术平均数和几何平均数的不等式：$$ \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab} $$4.平方差对于正实数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ ，有$$ \frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+a _2+\cdots+a_n}{n}\right)^2 $$5.约去当 $a_1\geqslant b_1$ 且 $a_2\geqslant b_2$ 时，有$$ \frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\geqslant\frac{a_1+a_2}{b_1 +b_2} $$二、复杂技巧除了上述基本技巧之外，还有一些较为高级的技巧，需更深入学习才能掌握。

不等式的推导和证明方法

不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。

不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。

在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。

本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。

一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。

若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。

不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。

例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。

对于 $n=1$，该不等式显然成立。

假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。

根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。

中学数学证明不等式的方法

中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。

不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。

不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。

不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。

1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。

1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。

例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。

若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。

其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。

例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 222≥+的变式应用。

常用2222b a b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。

2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a ba ab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a ba+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。

证明不等式的几种途径

知识导航不等式证明问题是高考试题中的常见题目.此类问题的综合性较强，常与函数、方程、数列等知识结合在一起.而且此类问题中给出的已知条件一般都比较少，同学们很难快速找到解题的思路.本文重点介绍证明不等式的三种技巧：几何法、函数法、放缩法，以帮助同学们提升解答不等式证明问题的效率.一、几何法几何法是根据不等式中代数式的几何意义构造出几何图形，借助几何图形的性质以及位置关系证明不等式的方法.几何法的本质是借助数与形之间对应的关系来进行构造和转化.运用几何法证明不等式，既直观又简便.例1.证明：a 2+b 2+(1-a )2+b 2+(1-a )2+(1-b )2+a 2+(1-b )2≥22，其中a ∈(0,1),b ∈(0,1).分析：可将上述根式看作两个点之间的距离，构造四边形ABCD ，令A (1,0),B (1,1),C (0,1),D (0,0)，并设P 点的坐标为(a ,b )，再结合三角形的几何性质便可证明不等式.证明：设A (1,0),B (1,1),C (0,1),D (0,0)，则四边形ABCD 为正方形，设P 点的坐标为(a ,b ),那么||PD =a 2+b 2,||AP =(1-a )2+b 2，||PB =(1-a )2+(1-b )2，||PC =a 2+(1-b )2,||BD =2,||AC =2，根据三角形的性质可得：||DP +||BP ≥||BD ,||AP +||CP ≥||AC ，即||DP +||BP +||AP +||CP ≥||BD +||AC 所以a 2+b 2+(1-a )2+b 2+(1-a )2+(1-b )2+a 2+(1-b )2≥22.二、函数法函数法是指结合不等式的特征，构造出合适的函数模型，利用函数的图象和性质解题的方法.在证明不等式时，首先要将不等式进行适当的变形，然后构造函数模型，通过讨论函数的导函数、值域、单调性、最值来证明不等式成立.例2.证明：2x 2+x +3>0.证明：设f (x )=2x 2+x +3，则f ′(x )=4x +1，令f ′(x )=0，则x =-14，①当x >-14时，f (x )>0，所以f (x )在(-14,+∞)上单调递增，②当x <-14时，f (x )<0，所以f (x )在(-∞,-14)上单调递减，因此当x =-14时，函数f （x ）取最小值，最小值为238>0.所以2x 2+x +3>0.这里，首先令f (x )=2x 2+x +3，再通过对函数进行求导，利用导函数与函数单调性之间的关系求得函数的最小值，证明函数的最小值大于0，即可证明原不等式恒大于0.三、放缩法放缩法是是指将不等式放大或者缩小，从而证明不等式成立的方法.在解题时，可首先设出一个中间变量m ，然后利用不等式的传递性，借助这个中间量来对原不等式进行放大或者缩小，如b a >b +m a +m(b >a ,a ,b ,m 属于正整数)，进而证明不等式成立.例3.证明：(1+13)(1+15)……(1+12n -1)>，其中n 为正整数.证明：令A =(1+13)(1+15)……(1+12n -1)=43×54×…×2n 2n -1，而43>54,65>76,…,2n -22n -3>2n -12n -2,2n 2n -1>2n +12n，将上述不等式相乘得A >54×76×…×2n -12n -2×2n +12n，则A 2>43×54×65×76×…×2n 2n -1×2n +12n=2n +13>2n +14，所以A .这里，首先将不等式变形，然后利用不等式乘法的性质，构造出原不等式左边的式子，最后通过放缩不等式证明结论.总而言之，证明不等式的方法多种多样，同学们要掌握每一种证明的方法，学会结合代数式的几何意义、特征，构造几何图形、函数、新的不等式，利用图形、函数、不等式的性质来证明结论.（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）证明不等式的几种途径陈伟民36。