2020学年 湖北省武汉市华师一附中 高一下学期期末数学试题(解析版)
湖北省武汉市华师一附中2019-2020学年高一下学期期中数学试题(解析版)
华师一附中2019-2020学年度下学期高一期中诚信检测数学试题Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量(1,1)a =-r，(,3)b x =r 且a b ⊥r r ，则||a b +r r 的值为（ ） A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a b ⊥r r可求出x 的值，从而可得到a b +r r 的坐标，然后可求出模.【详解】解：因为向量(1,1)a =-r ，(,3)b x =r 且a b ⊥r r，所以1(1)30x ⋅+-⨯=，解得3x =，所以(3,3)b =r ，所以(4,2)a b +=r r，所以||a b +=r r故选：D【点睛】此题考查向量的坐标运算，向量垂直，向量的模，属于基础题. 2.已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A. M N > B. M N ≥ C. M N < D. M N ≤【答案】A 【解析】 【分析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号. 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O B ''=，那么原ABO ∆的面积是( )A.12 B.2C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由斜二测直观图还原原图形如图，因为边O ′B ′在x ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在x 轴上，且长度不变， O ′A ′在y ′轴上，所以，在原图形中对应的边应在y 轴上，且长度增大到2倍，因O′B′=1，所以O ′A ′，则．则S △ABO =12OB ⨯OA=12考点：斜二测画法．4.已知等比数列{}n a 中，51183a a a =，数列{}n b 是等差数列，且68b a =，则48b b +=（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可将51183a a a =转化为8283a a =，从而得83a =，所以63b =，再由等差数列的性质可求出48626b b b +==.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，51183a a a =，所以8283a a =，解得83a =，因68b a =，所以63b =，因为数列{}n b 是等差数列， 所以48626b b b +==， 故选：B【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的性质，属于基础题.5.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =则c =（ ）A.B. 1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=，可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos 2cos a B b A C+=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =，又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为10%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为900元和810元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A. 20%，12800元 B. 10%，12800元 C. 20%，10240元 D. 10%，10240元【答案】A 【解析】 【分析】由题意得甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，而由题意可知1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩，进而计算可得3,m a 的值.【详解】解：由题意设，甲、乙、丙、丁获得奖金组成等比数列{}n a ，设“衰分比”为m ，则数列的公比为1m -，则有1234135904032800a a a a a a +++=⎧⎨+=⎩ 则有2426240a a +=，13(1)()26240m a a -+=， 解得 10.8m -=，则0.220%m ==， 因为1332800a a += 所以332328000.8a a +=，解得312800a = 的故选：A【点睛】此题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 7.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A. 1∶2 B. 1C. 1D.∶2【答案】C 【解析】 【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ＝∴其母线长l ＝r ＝∴S 侧＝πrl ＝πr 2＝S 底＝πr 故选C＝【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．8.在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，则λ=（ ） A. 54-B. 43-C. 45-D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】可设AE xAC =u u u r u u u r，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出3(1)22x x BE AB AD =-++u u u r u u u r u u u r ，从而根据平面向量基本定理即可得出(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解出λ即可．【详解】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r ()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r 1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r ()2x xAD AD AB AB=+--u u u r u u u r u u u r u u u r 3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q 34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r ，∴(1)23324x x λ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 9.若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A. 1 B. 94C. 9D. 16【答案】B 【解析】 分析】 由2a b +=可得()()114a b +++=＝所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦＝由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号,【1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10.对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=L （ ） A. 135 B. 141C. 149D. 155【答案】D 【解析】 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======L ,[]05911[][]3S S S ====L ,[]161724[][]4S S S ====L ,[]252635[][]5S S S ====L , []363740[][]6S S S ====L .所以[][][]1240S S S +++=L 13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 11.已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+u u v u u u vAC AP AC AP λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v (0)λ>，4PA PB -=u u u v u u u v ，10PA PB -=u u u v u u u v ，则BI BA BA ⋅u u v u u u v u u uv 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I 为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BI BA BA⋅u u v u u u vu u u v 的值. 【详解】由BI BA u u v u u u v=+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r (0)λ>可得||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u r u u u r u u u r ， 所以I 在∠BAP角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E ，F ，||||4,||10PA PB PA PB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，则10AB =u u u r ，11||||(||||||)[||(||||)223 ]BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中,||cos ||BH IBH BI ∠=u u u r u u r ， 所以||cos 3||BI BA BI IBH BH BA ⋅=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r . 故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的12.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N++=+∈且1300nS=，若23a <，则n 的最大值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52【答案】A 【解析】 【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n nS =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n=，因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====，所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+，2511151351413752S a a +⨯-=+=+，又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸上的相应位置.）13.设, , a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是______.（仅填写正确不等式的序号） ①11a b <；＝22ac bc <；＝b a a b >；④b a a b <；⑤2211a b< 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】利用不等式的性质分别进行验证即可得答案. 【详解】因为, , a b c 为实数，且0a b <<， 对于①因为0a b <<，所以0ab > 所以a b ab ab <，即11b a<，所以①不正确； 对于＝当0c =时，结论不成立，所以＝不正确； 对于＝④因为0a b <<，所以22a b >因为0ab >，所以22a b ab ab>，即a b b a >，所以＝不正确，④正确； 对于⑤因为220a b >>，所以2211a b <，所以⑤正确 故答案为：④⑤【点睛】此题考查了不等式的基本性质及应用，考查了推理论证的能力，属于基础题.14.已知向量,a b r r 是平面内的一组基底，若m xa yb =+u r r r，则称有序实数对(,)x y 为向量m u r 在基底,a b r r下的坐标.给定一个平面向量p u r ，已知p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，那么p u r 在基底a b -r r，a b +r r 下的坐标为______. 【答案】13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题可知2p a b =+u r r r ，若将a b -r r，a b +r r 作为基底，则设()()p m a b n a b =-++u r r r r r ，然后展开化简得，()()p m n a n m b =++-u r r r ，从而得12m n n m +=⎧⎨-=⎩，解出,m n 的值就得到所求的坐标【详解】解：由p u r 在基底,a b r r 下的坐标为(1,2)，得2p a b =+u r r r ，设p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为(,)m n ，则()()p m a b n a b =-++u r r r r r所以()()p m n a n m b =++-u r r r所以12m n n m +=⎧⎨-=⎩解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以p u r 在基底a b -r r ，a b +r r 下的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】此题考查的平面向量基本定理及应用，属于基础题15.已知函数()1ee xf x x =+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______. 【答案】40392【解析】【分析】由题意可得， 1()11()111()e e e x f x x x==++，且11(1)112f ==+，进而可得1()()1f x f x+=，结合数列的通项公式可得4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++， 从而可得答案.【详解】根据题意，因为()1e ex f x x =+，所以1()11()111()e e e x f x x x==++，11(1)112f ==+， 所以1()()1f x f x+=， 因为(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩ 所以4039111(1)(2)(2020)()()()202020192f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++ 14039201922=+= 故答案为：40392 【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x+=，属于中档题. 16.如图，在平面四边形ABCD 中，135A ∠=︒，75B C ∠=∠=︒，2BC =，则CD 的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】如图，延长,BA CD 交于点E ，设1,,,22AD x DE x AE x AB m ====，求出+x m CD 的取值范围. 【详解】解：如图，延长,BA CD 交于点E ，则在ADE ∆中，105,45,30ADE DAE E ∠=︒∠=︒∠=︒,所以设1,,,224AD x DE x AE x AB m ====， 因为2BC =，所以()sin1514x m +︒=，+x m 所以04x <<，因为CD x m x x =+-=，所以CD 的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题.Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）17.已知向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，k ∈R（1）当k 为何值时，有x r 、y u r平行； （2）若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3k =-，（2）112k <且3k ≠- 【解析】【分析】（1）根据题意，设x t y =r u r ，则有3()ka b t a b -=+r r r r ，再结合(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，可求出k 的值；（2）根据题意，若向量x r 与y u r 的夹角为钝角，则有0x y ⋅<r u r，由数量积的计算公式可得3(12)5(36)0x y k k ⋅=--+-<r u r ，再结合向量不共线分析可得答案.【详解】解：（1）因为x r 、y u r 平行，所以设x t y =r u r ，所以3()ka b t a b -=+r r r r ，即()(3)k t a t b -=+r r因为(1,3)a =-r ，(4,2)b =r ，得a r 与b r不共线，所以30k t t -=+=，得3k =-， （2）因为向量x r 与y u r 的夹角为钝角，所以0x y ⋅<r u r ，因为向量3x ka b =-r r r 和y a b =+u r r r ，其中(1,3)a =-r ，(4,2)b =r所以(12,36)x k k =---r ，(3,5)y =u r ，所以 3(12)5(36)0k k --+-<，解得112k <， 又因为向量x r 与y u r 不共线，所以由（1）可知3k ≠- 所以112k <且3k ≠- 【点睛】此题考查向量的数量积运算，涉及向量平行的判定，关键是掌握向量数量积与向量夹角的关系，属于中档题.18.在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈.等差数列{}n c 的前两项依次为23,a b .（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}n n n a b c +的前n 项和n S .【答案】（1）73n c n =-，（2）(1413)3132n n n S -+= 【解析】【分析】（1）由已知递推式可得23,a b ，即为12,c c ，由等差数列的定义可得公差，从而得到所求的通项公式；（2）由1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，.两式相加，结合等比数列的定义可得n n a b +，从而可得数列(){}n n n a b c +的通项公式，再由数列的错位相减法求和即可【详解】解：（1）因为111a b ==，1421n n n a b a n +=-+-，*1421,n n n b a b n n N +=--+∈，可得21142114a b a =-+⨯-=，21142112b a b =--⨯+=，所以322422111b a b =--⨯+=，所以124,11c c ==，等差数列{}n c 的公差为7所以47(1)73n c n n =+-=-（2）因为1421n n n a b a n +=-+-，1421n n n b a b n +=--+，所以两式相加得，113()n n n n a b a b +++=+，所以数列{}n n a b +是以3为公比，2为首项的等比数列，所以123n n n a b -=⨯+，所以11)23(73)(1)3(46n n n n n c n n a b --=⨯⨯-=-⨯+，所以0122183223363(1420)3(146)3n n n n n S --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，123183223363(1420)3(14633)n n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得，123181431431431432(146)3n n n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯-1231814(3333)(146)3n n n -=++++⋅⋅⋅+--⨯13(1413)3n n =--- 所以(1413)3132n n n S -+= 【点睛】此题考查等差数列的通项公式和等比数列的定义和通项公式，求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题19.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M 的正南方向的P 点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60︒方向行驶后到达点Q ，在点Q 处测得乙山山顶B 的仰角为θ，且BQA θ∠=，经计算，tan 2θ=，若甲、乙山高分别为100m 、200m ，求两山山顶,A B 之间的距离.【答案】【解析】【分析】先在Rt AMP ∆中，利用已知条件求得PM ，进而连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，求得PQ ，可推断出PQM ∆为等边三角形，进而求出QM ，从而在Rt AMQ ∆中利用勾股定理求得AQ ，Rt BNQ ∆中，利用tan 2θ=，200BN =，求得BQ ，最后在BQA ∆中，利用余弦定理求得BA【详解】解：在Rt AMP ∆中，30,100APM AM ∠=︒=，所以PM =连接QM ，在PQM ∆中，60QPM ∠=︒，PQ =，所以PQM ∆为等边三角形，所以QM =在Rt AMQ ∆中，由222AQ AM QM =+，得200AQ =，在Rt BNQ ∆中，tan 2θ=，200BN =，得BQ =在BQA ∆中，22222cos BA BQ AQ BQ AQ θ=+=⋅=所以BA =【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，考查了学生解决实际际问题的能力，属于中档题20.已知ABC V 的内角、、A B C 所对应的边分别为a b c 、、，(sin sin )1R A B +=（其中R 为ABC V 的外接圆的半径）且ABC V 的面积22()S c a b =--.（1）求tan C 的值；（2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）815，（2）417【解析】【分析】 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得，（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【详解】解：（1）因为22()S c a b =--， 所以2221sin 222cos 2ab C c a b ab ab ab C =--+=-， 所以1sin 2(1cos )2C C =- 2sin cos 4sin 222C C C =， 因为sin 02C ≠，所以cos 4sin 22C C =， 所以1tan 24C =， 所以22tan 82tan 151tan 2CC C ==- （2）因为(sin sin )1R A B +=，所以由正弦定理得，2a b +=， 由8tan 15C =，得8sin 17C =， 所以21444sin 21717217a b S ab C ab +⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，取等号， 所以ABC V 的面积S 的最大值为417【点睛】此题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.如图，在△ABC 中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|AB u u u v |；（2）已知点D 是AB 上一点，满足AD uuu v =λAB u u u v ，点E 是边CB 上一点，满足BE u u u v =λBC uuu v ．①当λ=12时，求AE u u u v •CD uuu v ； ②是否存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）①14② 23 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得|AB u u u v |；（2）①12λ= 时，D E 、分别是BC AB ，的中点，表示出AE u u u v ，CD uuu v ，利用向量的数量积计算即可； ②假设存在非零实数λ，使得AE u u u v ⊥CD uuu v ，利用 C B CA u u u v u u u v 、分别表示出CD uuu r 和 AE u u u v ，求出 0AE CD ⋅=u u u v u u u v 时的λ值即可．【详解】（1）AB CB CA =-u u u v u u u v Q u u u v 且22=4=1=21cos60=1CB CA CB CA ⋅⨯⨯o u u u v u u u v u u u v u u u v ，，AB CB CA ∴=-==u u u v u u u v u u u v （2）①λ=时， =， =， ⊥D 、E 分别是BC ，AB 的中点，⊥=+=+，=（+）， ⊥•=（+）•（+） =•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由=λ，得=λ（﹣），⊥=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）； 又=λ， ⊥=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣； ⊥•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=23或λ=0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ=23，使得⊥． 【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综合性题目．22.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =.（1）若23a =，3a x =，46a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ，1133n n S S S +≤≤，*n N ∈，求q 的取值范围； （3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且122020k a a a ++⋯+=，求正整数k 的最大值.【答案】（1）92x ≤≤，（2）123q ≤≤，（3）4039 【解析】【分析】（1）由题意得232133a a a ≤≤，又343133a a a ≤≤，将已知代入可求出x 的范围；（2）先求出通项1n n a q -=，由121133a a a ≤≤求出133q ≤≤，对q 分类讨论求出n S ，分别代入不等式1133n n n S S S +≤≤，得到关于q 的不等式组，解不等式组求出q 的范围；（3）由题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a L 的公差【详解】解：（1）由题意得，232133a a a ≤≤，所以19x ≤≤， 又因为343133a a a ≤≤，所以1633x x ≤≤，得218x ≤≤， 综上所述，92x ≤≤（2）由已知得，1n n a q-=，121133a a a ≤≤ 所以133q ≤≤， 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即1133n n n ≤+≤，成立， 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---⋅≤≤⋅---， 111331n n q q +-≤≤-，得11320320n n n n q q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩， 因为1q >，故132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->， 对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤， 解得12q ≤≤，又当12q ≤≤，30q -<，所以132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立 所以12q <≤， 当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤， 即1111133111n n nq q q q q q+---⋅≤≤⋅---， 所以11320320n n n n q q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩， 因为310,30q q ->-<，所以132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->， 所以当113q ≤<时，不等式恒成立， 综上所述，q 的取值范围为123q ≤≤ （3）设12,,,k a a a L 的公差为d ，由1133n n n a a a +≤≤，且11a =， 得1[1(1)]13[1(1)],1,2,3,,13n d nd n d n k +-≤+≤+-=⋅⋅⋅-， 即(21)2,1,2,,1(23)2n d n k n d +≥-⎧=⋅⋅⋅-⎨-≥-⎩， 当1n =时，223d -≤≤， 当2,,1n k =⋅⋅⋅-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+， 所以22213d k -≥≥--， 所以1(1)(1)220202221k k k k ka d k k ---=+≥+⋅-， 即2404020200k k -+≤，得4039k ≤，所以k 的最大值为4039【点睛】此题考查等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查不等式组的解法，属于难题。
2023学年华中师大一附中高一数学(下)期末考试卷附答案详析
2023学年华中师大一附中高一数学（下）期末考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +-=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（）A ．12B ．12-C ．i 2D ．i 2-2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A=“取出的小球编号为奇数”，事件B=“取出的小球编号为偶数”，事件C=“取出的小球编号小于6”，事件D=“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（）A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c -=-”是“△ABC 为直角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O e 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A ．2B ．12C D ．57．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（）A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 动点，且AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，则λμ+的最大值为（）A ．2+BC ．2+D ．27+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（）A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z =r ，则称a r 为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z =r，()34,b z z =r ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +=++rr ；②()1324,a b z z z z -=--rr ；③1324a b z z z z ⋅=+r r ；④||a =r ．则下列结论正确的是（）A ．若(i,1i)a =+r ，(2,2i)b =-r ，则15ia b ⋅=+rr B ．若0a =r ，则()0,0a =rC ．a b b a⋅=⋅r r r r D ．()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅r r r r r r r 11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EFABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a r ，b r ，3b =r ，向量a r 在向量b r 上的投影向量为16b -r，则a b ⋅=r r ______．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A-BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=︒∠，F 是线段PA 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈．①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C -过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积；②求二面角G-BD-E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a r ，b r ，如果有0a b a a ⋅-⋅>r r r r ，则称向量a r是向量b r 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x =r ，(2,1)n x =-r ，m r 是n r的“迷你向量”，求实数x 的取值范围；（2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n -．记事件T=“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON uuu r 是i OP uuu r的迷你向量”。
2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，已知集合{3A x x =<或}9x ≥，集合{}B x x a =≥.若()U C A B ≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．9a <D ．9a ≤【答案】C【解析】求出A 的补集，根据()U C A B ≠∅，求出a 的范围即可．【详解】∵{3A x x =<或}9x ≥，∴{}9|3U C A x x =≤<， 若()U C A B ≠∅，则9a <，故选：C ． 【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题．2．已知复数z 满足()14i z +=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出复数z ，再求出z 【详解】 因为()()()41422111i z i i i i -===-++-，所以(22z i -，所以复数z ()22-所在的象限为第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知1sin()3πα+=，则3sin(2)2πα+=（ ）A ．79-B ．79C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式及倍角公式变形求解即可． 【详解】解：1sin()sin 3παα+=-=，则1sin 3α=-， 2327sin(2)cos 22sin 11299πααα∴+=-=-=-=-．故选：A ． 【点睛】本题考查诱导公式及倍角公式的应用计算，是基础题．4．有四个幂函数：①()1f x x -=；②()2f x x -=；③()3f x x =；④()13f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y y R ∈，且}0y ≠；（3）在(),0-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【解析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】①()1f x x -=只满足值域是{y y R ∈，且}0y ≠；③()3f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；④()13f x x =只满足在(),0-∞上是增函数；②()2f x x -=是偶函数，在(),0-∞上是增函数，但其值域是{}0yy >.故选：B. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题. 5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率. 【详解】分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6．设锐角ABC 的三个内角分别为角A 、B 、C ，那么“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由诱导公式推导出“2A B π+>” ⇔ “sin cos B A >”，从而“2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件． 【详解】解：设锐角ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ， “2A B π+>” ⇒ “2B A π>-” ⇒ “sin sin 2B A π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ ”⇒“sin cos B A >”，“sin cos B A > ”⇒ “sin sin()2B A π>- ”⇒ “2B A π>- ”⇒“2A B π+>”， ∴ “2A B π+>”是“sin cos B A >”成立的充分必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7．根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．猕猴桃的极差为32 B．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数C．猕猴桃的方差小于柚子的方差D．柚子的中位数为121【答案】C【解析】根据所给数据求出极差即可判断A，分别求出猕猴桃和柚子的平均数，比较即可判断B，分别求出其方差判断C，结合数据求出柚子的中位数判断D即可．【详解】解：对于A，猕猴桃的极差为：13410232-=，故A正确；对于B，猕猴桃的平均数是1(104102113121122134)1166x=+++++=，柚子的平均数是1(113114121121131132)1226y=+++++=，故B正确；对于C，猕猴桃的方差是：2111 (19614492536324)122 63s=+++++=，柚子的方差是：221(81641181100)54.67 6s=+++++=，故猕猴桃的方差大于柚子的方差，故C错误；对于D，柚子的中位数是121，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查了极差，方差，中位数，平均数问题，属于基础题． 8．设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ） A ．42()3ab a b ab >+> B ．42()3ab a b ab <+< C ．23()4ab a b ab <+< D ．23()4ab a b ab >+>【答案】B【解析】由对数的换底公式可以得出113,22a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，通分再结合不等式的性质ab<0,求出a b +的不等关系. 【详解】因为0.1log 2a =，30log 2b =， 所以0ab <，222113log 0.1log 30log 3,22a b ⎛⎫+=+=∈ ⎪⎝⎭所以31122a b<+<，所以()423ab a b ab <+<，所以选B. 【点睛】本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题. 9．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是（ ）A ．BCD 【答案】B【解析】设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则由题设条件可得,x y 的关系为()()()()12120x x y y --+--=即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求2c x =+最大值. 【详解】因为a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故可设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =， 则()1,a c x y -=--，()22,12b c x y -=--，因为()()20a c b c -⋅-=，所以()()()()12120x x y y --+--=，整理得到22102x y x y +--=，即221152416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2c x y =+， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积以及向量模长的计算，注意根据问题的特点将向量问题坐标化，从而降低问题的思维难度和计算难度，本题属于中档题.10．在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的体积是（ ）A ．B ．60πC ．D ．48π【答案】A【解析】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，根据线面垂直的判定定理，证明AC ⊥平面BSP ，推出SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，根据题中数据求出半径，再由球的体积公式，即可求出结果. 【详解】取AC 的中点P ，连接BP ，PS ，因为在正三棱锥S ABC -中，底面为正三角形，各棱长都相等， 记AB AC BC ==，SA SB SC ==， 所以BP AC ⊥，SP AC ⊥， 又SPBP P =，BP ⊂平面BSP ，SP ⊂平面BSP ，所以AC ⊥平面BSP ， 因此AC SB ⊥，因为AM MN ⊥，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点， 所以AM SB ⊥， 又AMAC A =，AM ⊂平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ， 因此SB SC ⊥，SB SA ⊥，又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以SA SC ⊥，即SA ，SB ，SC 两两垂直，将正三棱锥S ABC -补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥S ABC -的外接球，设外接球半径为R ，又25SA =，所以2222202020215R SA SB SC =++=++=，即15R =， 因此，正三棱锥S ABC -外接球的体积是3420153V R ππ==. 故选：A.【点睛】本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及几何体结构特征即可，属于常考题型.11．设点D 为ABC 的边AB 上一点，点P 为ABC 内一点，且分别满足关系212AD AB λλ+=+，1AP AD BC λλ=++，0λ>，则APD ABCS S 的最大值为（ ）A ．2B ．24C ．22D ．23【答案】B【解析】根据向量关系得到:1DP BC λλ=+，212AD AB λλ+=+，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】1AP AD BC λλ=++，1DP BC λλ∴=+，所以:1DP BC λλ=+，又212AD AB λλ+=+， 所以ADP △的高：ABC 的高21:2AD AB λλ+==+，22112122APD ABCS Sλλλλλλλλ+∴=⨯==++++，0λ>，222λλ∴+≥，当且仅当2λ=.∴当2λ=APD ABCS S取得最大值2. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及利用基本不等式求最值，此题关键是根据要求解的面积之比去化简向量关系，从而得到所需的线段长度的比值，本题属于中档题. 12．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654-B ．65-C ．1314-D ．1312-【答案】C【解析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5x f f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果． 【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数，1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题．二、填空题13．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是__________． 【答案】(π2)rad -【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长l ，根据题意2R l R π+=，解得2lRπ=-，而圆心角2lRαπ==-.故答案填2π-. 【考点】扇形的弧长、圆心角．14．E F 、分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，10,6PC AB ==，7EF =，则异面直线AB 与PC 所成的角为_____.【答案】60︒【解析】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，通过余弦定理即可容易求得. 【详解】根据题意，取AC 中点为M ，连接,ME MF ，如下图所示：因为,,E M F 分别为,,PA AC BC 中点， 故可得EM //PC ，MF //AB ，故可得EMF ∠即为AB 与PC 所成的角或其补角.在EMF 中，222122EM MF EF cos EMF EM MF +-∠==-⨯.故120EMF ∠=︒，故AB 与PC 所成的角为60︒. 故答案为：60︒. 【点睛】将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题. 15．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 【答案】23【解析】求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可． 【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 【答案】6【解析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值． 【详解】 解：a b >，A B ∴>，31cos()32A B-=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴=，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B∴=-+=---⨯-=，可得sin A =，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯+=，∴由余弦定理可得6c =．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．三、解答题17．已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由存在实数x ∈R ，使210x ax -+成立得0∆，得实数a 的取值范围；（2）由对勾函数单调性得1522x x+，得54a ，由已知得p 假q 假，两范围的补集取交集即可． 【详解】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos23cos 10C C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若3b a =，ABC sin A B ，求c 的值.【答案】（1）13C π=；（2）c =. 【解析】（1）由已知结合二倍角公式可求cos C ，进而可求C ；（2）由已知结合余弦定理可得a ，c 的关系，然后结合正弦定理可求sin A ，sin B ，结合已知及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1）cos23cos 10C C +-=，22cos 3cos 20C C ∴+-=，解得，1cos 2C =或cos 2C =-（舍）而()0,C π∈所以13C π=.（2）因为3b a =，由余弦定理可得，2219223a a ca a +-⋅⋅=，整理可得，c =.由正弦定理可得，sin sin c aC A=si n aA=，所以sin 14A =，sin sin 314B A ==，故ABC 128s 2in sin A ab B C ==，2132228a ⨯⨯=，所以217a =，73c a ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的综合应用，属于中档题．19．如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形.4AB BC ==，2CD SD ==.（1）求证：SD AB ⊥；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，通过证明AB ⊥面SDE ，可得SD AB ⊥； （2）作SF DE ⊥，垂足为F ﹐求出点F 到平面的距离d ，则AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为dBE. 【详解】（1）取AB 的中点E ，连接DE ，SE ，因为CD BE =且//CD BE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又BC CD ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以AB DE ⊥，又三角形SAB 为等边三角形，所以AB SE ⊥，又SE DE E =，所以AB ⊥面SDE ，故SD AB ⊥.（2）由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE ，作SF DE ⊥，垂足为F ﹐则SF ⊥平面ABCD ，所以SF BC ⊥，作FG BC ⊥，垂足为G ，连结SG ， 因为SFFG F =，则BC ⊥平面SFG ，所以平面SBC ⊥平面SFG ，作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ， 因为三角形SAB 为等边三角形，4AB =，所以3342322SE AB === 因为2,4SD DE ==，所以222SD SE DE +=，所以SD SE ⊥， 所以2233SD SF DE SE ⨯===⨯ 因为2FG DC ==，所以22347SG SF FG =++= 所以322177SF FH SG FG ==⨯=， 即F 到平面SBC 的距离为217，由于//ED BC ，所以//ED 平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为2217， 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则221217sin 27d EB α===.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定与性质，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了求直线与平面所成角，属于中档题.20．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示： 年份序号x12 3 4 5 维修费用y （万元） 1.1 1.622.52.8（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y bx a =+. （2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.430.71y x =+；（2）预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【解析】（1）根据最小二乘法，先求回归直线的中心，再代入公式求斜率和截距；（2）利用回归直线解不等式，即可得答案； 【详解】 （1）由题可得()11234535x =⨯++++=，()1 1.1 1.62 2.5 2.825y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以，1222134.35320.435553ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，20.4330.71a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.430.71y x =+. （2）由题329280.430.714784343x x x ⇒>=⇒+≥>，所以预计一般第8年后可以申请报备更换新车. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解、及回归直线方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题.21．某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；（2）在选取的样本中，从A ，D 两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A 等级的概率. 【答案】（1）中位数为73.9；（2）914. 【解析】（1）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；（2）由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】解：（1）根据频率分布直方图，所以10.040.10.120.560.01810y ----==由()0.010.018100.28+⨯=，()0.010.0180.056100.840.5++⨯=> 所以中位数位于[)70,80内， 所以中位数为0.50.28701073.90.56-+⨯=；（2）由茎叶图知，A 等级的学生有3人，D 等级的学生有0.1505⨯=人， 记A 等级的学生为A 、B 、C ，D 等级的学生为d 、e 、f 、g 、h ， 从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 、de 、df 、dg 、dh 、ef 、eg 、eh 、fg 、fh 、gh 共28个；至少有一名是A 等级的基本事件是：概率．AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、Ag 、Ah 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Bg 、Bh 、Cd 、Ce 、Cf 、Cg 、Ch 共18个；故所求的概率为1892814P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，属于基础题．22．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值. 试题解析： 解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， ∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆=∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值.。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020～2021学年下学期期中检测高一数学试题
华中师大一附中2020～2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题试卷总分：150分 考试时间：120分钟命题人：张芬菊审题人：黄进林一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数31()1i z i−=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为A.1−B.i −C.1D.i 2.已知向量(2,0)a =，(1,1)b =，若向量a 与向量a b λ−垂直，则实数λ= A.12B.1C.2D.3 3.《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约4m π，肩宽约为8m π，“弓”所在圆的半径约为1.25m ，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为A.2m πB.524mC.58m πD.2m 4.若ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则OA AC =A.85−B.85C.45− D.455.设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4b =，3c =，3A π=，BAC ∠的平分线交边BC 于点D ，则线段AD 的长度为A.937B.1237C.637 D.53146.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ ABCD −，下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心O ，PQ //AB ，AB =4，AD =3，PQ =2，OR =1(长度单位：丈).则楔体PQ ABCD −的体积为(体积单位：立方丈) A.10 B.8 C.6 D.57.在劳动技术课上，某同学欲将一个底面半径为4，高为6的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是 A.6427π B.12827π C.649π D.1289π8.已知,D E 分别为ABC ∆的边,AB AC 上的点，线段BE 和线段CD 相交于点P ，若2AD DB =，且DP PC λ=，CE EA μ=，其中0,0λμ>>，则11λμ+的最小值为A.B.4C.D.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，i 为虚数单位，则下列判断中正确的有A.若12z z =，则OA OB =B.若OA OB =，则12z z =C.若12z z i =，则0OA OB =D.若0OA OB =，则12z z i =10.已知向量sin(),3sin 6a =x x π⎛⎫− ⎪⎝⎭，cos(),sin 6b x x π⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，函数3(),2f x a b x R =+∈，则下列结论正确的为A.()()33f x f x ππ−=−+B.()f x 的最小正周期为πC.()f xD.()f x 的图象关于直线12x π=对称 11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B CC.该半正多面体外接球的表面积为8πD. 该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +−=12.已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，满足sin :sin :sin ln2:ln4:ln (0)A B C t t =>，且2CA CB mAB =()m R ∈，则以下说法中正确的有A.若ABC ∆为直角三角形，则t =；B.若18m =，则ABC ∆为等腰三角形；C.若4t =，则ABC ∆22； D.若2C π>，则209m −<<. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知||3a =，(1,0)e =，向量a 与向量e 的夹角为23π，则向量a 在向量e 方向上的投影向量的坐标为____________.14. 设复数(cos sin )(0,02)z r i r θθθπ=+>≤<，其中i 为虚数单位，若z 满足210z z ++=，则tan θ=____________.A 1D CBAC 1D 1 15. 轴截面是等边三角形的圆锥，即底面圆直径与母线相等的圆锥叫做等边圆锥(Equilateralcone)，它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰激凌、沙漏等呈等边圆锥状.已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则a 的最大值为 ____________.16.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且21z ≤.(1)求1z 的值；(2)求1z 的实部的取值范围.18.(12分)在①cos 3sin 0a C a C b c +−−=；②22(sin sin )sin sin sin B C A B C −=−；③2cos (cos A c B cos )b C a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题：ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足. (1)求A ；(2)若3a =，且向量(1,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求ABC ∆的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.19.(12分)已知长方体1111ABCD A B C D −全部棱长的和为28，其外接球的表面积为17π，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D −，且这个几何体的体积为10.(1)求棱1AA 的长；(2)求几何体111ABCD AC D −的表面积.20.(12分)如图，在正方形ABCD 中，2AB =，12AE AB =，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点(包括,B D 两点).(1)求AP PB 的最大值；(2)设向量(0,0)AC DE AP λμλμ=+>>，若2λμ+=，求凸四边形PABC 的面积.21.(12分)“精准扶贫，修路先行”，为解决城市A 和山区B 的物流运输问题，方便B 地的农产品运输到城市A 交易，计划在铁路AD 间的某一点C 处修建一条笔直的公路到达B 地.示意图如图所示，AB =BD =45BDA ∠=︒.已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从B 到A 的总运费为y 百元.为了求总运费y 的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设AC x =千米；方案2：设BCD θ∠=.(1)试将y 分别表示为关于x 、θ的函数关系式()y f x =和()y g θ=； (2)请只选择一种方案，求出总运费y 的最小值以及此时AC 的长度.22.(12分)已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕ><).(1)若()f x 满足()()44f x f x ππ−=−+，()()2f x f x π−−=，且()f x 在区间(0,)8π上为单调函数，试求ω的最大值；(2)若直线y ω=(01ω<<)与()f x 的图象相交，将其中三个相邻的交点从左到右依次记为,,A B C ，且满足AC nBC =(n *∈N ).当8πϕ=时，函数()f x 在区间[,]11ππωω−++上单调递增，试求ω的取值范围.华中师大一附中2020～2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题参考答案三、填空题13.3(,0)2−14.15.16.1[2四、解答题17.(1)设1i(,,0)z a b a b b=+∈≠R，则212222111i()()iia bz z a b a bz a b a b a b=+=++=++−+++∵z2是实数，且0b≠，∴22bba b−=+，得221a b+=，∴1||1z=……………6分(2)由(1)知22z a=，则121a−≤≤，即1122a−≤≤∴z1的实部取值范围为11[,]22−…………10分18.(1)选择①，由正弦定理，得sin cos sin sin sinA C A CB C+=+sin cos sin sinA C A C C=+，又sin0C≠cos1A A−=∴1sin()62Aπ−=，又0Aπ<<，∴66Aππ−=，得3Aπ=选择②，由正弦定理，得22()b c a bc−=−，整理得，222b c a bc+−=，又2221cos22b c aAbc+−==，0Aπ<<，∴3Aπ=选择③，由正弦定理，得2cos(sin cos cossin)sinA CBC B A+=，∴2cos sin()sinA B C A+=，又sin0A≠，∴1cos2A=，0Aπ<<，∴3Aπ=……………………6分(2)∵//m c，∴sin2sinC B=，由正弦定理得，2c b=由余弦定理，2221cos22b c aAbc+−==，得222b c a bc+−=又3a=，∴23b=，b=c=∴△ABC周长为3+……………………12分19.(1)设AB a=，BC b=，1AA c=，则4()28a b c++=，∴7a b c++=①又22224(a b c R R++=为长方体外接球半径)，∴22217a b c++=②又11115106ABCD A B C D V abc −==，∴12abc =③由①②③，解得223a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或322a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴棱长AA 1为2或3 ………………6分(2)由(1)知，1111111132()()1622ABCD A C D A BC A BC S ab bc ca ab bc ca S S −∆∆=++−+++=⨯+若2a b ==，3c =，则1112A BC S ∆=⨯=其他情况，同理∴111316242ABCD A C D S −=⨯= ………………12分20.以A 为坐标原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy(1)设(2cos ,2sin )P θθ，[0,]2πθ∈(2cos ,2sin )AP θθ=，(22cos ,2sin )PB θθ=−−224cos 4cos 4sin 4cos 4AP PB θθθθ⋅=−−=−∵02πθ≤≤，∴0cos 1θ≤≤，∴AP PB ⋅的最大值为0 ………………5分(2)由AC DE AP λμ=+，得(2,2)(1,2)(2cos ,2sin )λμθθ=−+∴2cos 222sin 2λμθλμθ+=⎧⎨−+=⎩，∴2sin 2cos sin 2cos 3sin 2cos θθλθθμθθ−⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则2(sin cos )32sin 2cos θθλμθθ−++==+ ∴1cos 2θ=，又02πθ≤≤，∴sin θP4PAB S ∆==，1PBC S ∆=，∴四边形P ABC的面积为1 ……………12分另解：以A 为坐标原点，直线AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设(,)P x y ，224x y +=，且02,02x y ≤≤≤≤(1)02x ≤≤，∴(,)(2,)240AP PB x y x y x =−−=−≤，∴AP PB ⋅的最大值为0(2)由(2,2)(1,2)(,)x y λμ=−+，得222x y λμλμ−⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，代入224x y +=，得225484λλμ++=，又2λμ+=，解得1μ=11622(2)2321122S y x y x λμμ=⨯+⨯−=+−=+=−=+21.(1)在△ABD 中，由余弦定理得，2222cos45AD AD =+−⨯⨯︒ 得26090080AD AD −−⨯=，120AD =或60−(舍去)方案①：在△ABDsin A =，得sin A = (0,)2A π∈，cos A =在△ABC 中，设AC x =，由余弦定理，22222cos 1809000BC x x A x x =+−⨯⋅=−+∴()2120)f x AC BC x x =+=+<<方案②：在△BCD 中，由正弦定理，sin 45BC =︒，得30sin BC θ= 又sin 45sin(135)BC CDθ=︒︒−，得30(sin cos )sin CD θθθ+=，30cos 12090sin AC CD θθ=−=−∴6030cos ()290(0135)sin g AC BC θθθθ−=+=+︒<<︒…………………6分(2)若选择方案①，令y x =+，得22()4(1809000)y x x x −=−+整理得，2232(360)490000x y x y +−+⨯−=由0∆≥得，218090600y y −+⨯≥，得90y ≥+90y ≤−舍)∴min 90y =+360903yx −==−即90AC =−90+若选择方案②，令2cos sin y θθ−=，则sin cos 2y θθ+=2)2θϕ+=，sin()1θϕ+=≤，得23y ≥，又0y >，∴y令2cos sin θθ−=，得sin(30)1θ+︒=，0135θ︒<<︒，60θ=︒时，min y =此时min ()90g θ=+90AC =−千米总运费的最小值为90+百元……………………12分22.(1)依题意，()f x 关于点(,0)4π对称且关于直线4x π=−对称，则()f x 的周期2T πω=满足,242T Tm m π=+⋅∈Z ，∴21,m m ω=+∈Z ①又()f x 在(0,)8π上为单调函数，则1228ππω⋅≥，∴8ω≤②由①②知，当7ω=时，()sin(7)f x x ϕ=+，当4x π=−时，7,42k k ππϕπ−+=+∈Z 又||2πϕ<，得(2)4k πϕ==−，此时，()sin(7)4f x x π=+当08x π<<时，97448x πππ<+<，此时()f x 不单调，不满足题意当5ω=时，()sin(5)f x x ϕ=+，当4x π=−时，5,42k k ππϕπ−+=+∈Z 又||2πϕ<，得(2)4k πϕ=−=−，此时，()sin(5)4f x x π=−当08x π<<时，35448x πππ−<−<，满足条件∴ω的最大值为5 ………………………6分(2)不妨设()1,A x ω，()2,B x ω，()3,C x ω，且线段AB 的中点为()0,M x ω，显然有312x x πω−=，1202x x x +=，且()f x 的图象关于直线0x x =对称，∵AC nBC =(n *∈N )，∴1AB n n AC−=(n *∈N )， ∴()2121n x x n πω−−=，即()2121n x x nπωω−−=，①∵01ω<<，且n *∈N ，∴由正弦曲线的图像可知，022x k πωϕπ+=−(k ∈Z )，∴12222x x k πωϕπ+⋅+=−(k ∈Z )，即2142x x k ωωππϕ+=−−，② 由①②可得1322x k n ππωϕπ+=−+，∴3sin 22k n πππω⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，即cos n πω=， ∵()cos 0,1nπω=∈，且n *∈N ，∴3n ≥，且1[,1)2ω∈，当8πϕ=时，且()f x 在区间,11ππωω⎡⎤−⎢⎥++⎣⎦上单调递增， ∴182182πππωωπππωω⋅+≤+⎛⎫⋅−+≥− ⎪+⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω≤，又∵1[,1)2ω∈，∴1325ω≤≤.…………12分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
湖北高一高中数学期末考试带答案解析
湖北高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为A ．2B ．-2C ．D ．2.式子的值为A ．B ．C ．D ．13.不等式的解集为A ．B ．C ．RD ．4.若,且,则下列不等式一定成立的是A ．B ．C ．D ．5.已知m,n 为直线，α为平面，下列结论正确的是A ．若, 则B ．若，则 C ．若,则D ．若,则6.已知实数x,y 满足,则的最大值为A ．-7B ．-3C ．11D ．127.在等差数列中,已知,则数列的前6项和等于 A ．12B ．3C ．36D ．68.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为,若,则△ABC 的面积为A ．B ．1C ．D ．29.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A ．B ．4C ．D ．10.A ．B ．C ．D ．11.若,则的最小值为 A ．4B ．C ．5D ．12.将正偶数集合 从小到大按第组有个偶数进行分组：，，则2018位于（）组A ．30B ．31C ．32D ．33二、填空题1.过点(1,2)且垂直于直线的直线的一般式方程为___________.2.已知等比数列{a n }的前n 项和,则a=_________.3.若对任意的实数x,不等式恒成立,则实数a 的取值范围为_________.4.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,,则等于_________.三、解答题1.若关于x 的不等式的解集为.(1)求a,b; (2)求两平行线之间的距离.2.根据所给条件分别求直线的方程. （1）直线过点（-4，0），倾斜角的正弦为；（2）过点M(1,-2)的直线分别与x 轴，y 轴交于P,Q 两点，若M 为PQ 的中点，求PQ 的方程.3.△ABC 的内角A,B,C 对边分别为且满足. （1）求角C 的大小； （2）设，求y 的最大值并判断y 取最大值时△ABC 的形状.4.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AA 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC,四边形BB 1C 1C 为正方形，设AB 1的中点为D ，B 1C∩BC 1=E.求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥平面AB 1C.5.已知直线.(1)设与的交点为A,与的交点为B,与的交点为C.求A,B,C的坐标;(2)设表示的平面区域为D,点M(x,y)∈D,N(3,1).①求|MN|的最小值;②求的取值范围.6.已知数列的前n项和为S,点在直线上,数列为等差数列,且,前9项和为153.n(1)求数列、的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求使不等式对一切的都成立的最大整数k.湖北高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的斜率为A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】直线方程即：，直线的斜率为 .本题选择D选项.2.式子的值为A．B．C．D．1【答案】B【解析】由题意可得：本题选择B选项.3.不等式的解集为A．B．C．R D．【答案】A【解析】不等式即：，据此可得不等式的解集为：，表示成区间的形式为： .本题选择A选项.点睛：一是当Δ＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别，当a＞0时，解集为R；当a＜0时，解集为∅.二是对于不等式ax2＋bx＋c＞0求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.4.若,且,则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，选项A错误；若，则，选项B错误；若，则，选项C错误；对任意，且，则恒成立.本题选择D选项.5.已知m,n为直线，α为平面，下列结论正确的是A．若, 则B．若，则C．若,则D．若 ,则【答案】D【解析】逐一考查所给的线面关系：A.若, 不一定有，如图所示的正方体中，若取为，平面为平面即为反例；B.若，不一定有，如图所示的正方体中，若取为，平面为平面即为反例；C.若,不一定有，如图所示的正方体中，若取为，平面为平面即为反例；D.若 ,由线面垂直定理的推论，则 .本题选择D选项.6.已知实数x,y满足,则的最大值为A ．-7B ．-3C ．11D ．12【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值.本题选择C 选项.7.在等差数列中,已知,则数列的前6项和等于 A ．12B ．3C ．36D ．6【答案】D【解析】由题意可得：，结合等差数列前n 项和公式及数列的性质有：.本题选择D 选项.8.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为,若,则△ABC 的面积为A ．B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】由题意可得： ，则，三角形的面积：.本题选择C 选项.9.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A ．B ．4C ．D ．【答案】D【解析】:∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD后，∴等边三角形的高，∴侧(左)视图的面积为 .∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，∴等边三角形的高为；∴侧(左)视图的面积为： .本题选择D选项.10.A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：本题选择C选项.11.若,则的最小值为A．4B．C．5D．【答案】B【解析】由均值不等式的结论：，当且仅当时等号成立.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12.将正偶数集合从小到大按第组有个偶数进行分组：，，则2018位于（）组A．30B．31C．32D．33【答案】C【解析】第一组有2=1×2个数，最后一个数为4；第二组有4=2×2个数,最后一个数为12即2×(2+4)；第三组有6=2×3个数,最后一个数为24,即2×(2+4+6)；…∴第n组有2n个数,其中最后一个数为2×(2+4+…+2n)=4(1+2+3+…+n)=2n(n+1).∴当n=31时，第31组的最后一个数为2×31×32=1984，∴当n=32时，第32组的最后一个数为2×32×33=2112，∴2018位于第32组。
华中师大一附中2020学年度第二学期高一数学期末复习考试卷
华中师大一附中2020学年度第二学期高一数学期末复习考试卷时限：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．“c b a 2>+”的一个充分条件是（ ）A ．c b c a >>或B ．c b c a >>且C ．c b c a <>且D ．c b c a <>或2．已知]2,0[π∈x ，如果x y cos =是增函数，且x y sin =是减函数，那么（ ）A ．20π≤≤x B ．ππ≤≤x 2C ．ππ23≤≤xD ． ππ223≤≤x3．已知aa x 21cot 2-=，其中10<<a ，),0(π∈x ，则x cos 的值是（ ）A ．122+a aB ．2211a a +-C ．1122+-a aD ． 1122+-±a a4．若0是ABC ∆ -OC -+，则ABC ∆的形状为（ ）A ． 等腰直角三角形B ． 直角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形5．当－22ππ≤≤x 时，函数f(x)＝sinx ＋3cosx （ ）A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－21 C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－16．若向量3,-1)（=，)1,2(=，且7=⋅AC n ，那么=⋅BC n （ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．07．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为 P 2，第四年比第三年增长的百分率为 P 3，若P 1 +P 2 +P 3为定值，则年平均增长的百分率P 的最大值为 （ ）A ．3321P P PB ．3321P P P ++ C ．3321P P P D ．3)1)(1)(1(321P P P +++ 8．平面直角坐标系中，O 为原点，已知点A （3,1）,B （-1,3），若点C 满足b a ⋅+⋅=，其中1=+b a 且 a ，R b ∈，则点C 的坐标),(y x 满足 （ ）A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-+-y xC ．02=-y xD ．052=-+y x9．不等式2229t t a t t +≤≤+ 在]2,0(∈t 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ． 161≤≤a B ． 1132≤≤a C ． 13261≤≤a D ． 2261≤≤a10．若m n - 表示],[n m )(n m <的区间长度，函数x x a x f +-=)( )0(>a 的值域区间长度为)12(2-，则实数a 的值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 2D ． 4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题5分，共25分）11．不等式b a b a b a +≤+≤-中，两个等号同时成立的条件是12．平面向量、中，已知)3,4(-=a 1=，且5=⋅，则向量=13．已知)2,0(πθ∈，0>>b a ，θθθ2222sin cos )(b a f +=，则)(θf 的最小值为14．已知函数)52cos(4)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值为15．甲船在岛B 的正南A 处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间为 小时． 三、解答题（共75分）16．（12分）、已知向量)sin ,(cos αα= )20(πα<<，)sin ,(cos ββ= )02(<<-βπ552=-，求)sin(βα-的值 ．17．（12分）、已知R d c b a ∈,,,，求证：))((2222d c b a bd ac ++≤+．18．（12分）、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设().4)(22222c x b a x a x f ---=(1)若3,0)1(π=-=C B f 且，求角C 的大小；（2）若0)2(=f ，求角C 的取值范围．19．（12分）、已知函数 264)(x x x f -+=，2)1()(2+-=a x x g ，若不存在实数x 使得2)1()(1)(2-≤>a x g x f 和同时成立，试求 a 的取值范围．20．（13分）、如图，在同一平面内，︒=∠150AOB ，︒=∠120AOC2=3=，4=．（1）用和表示；（2）若λ=，⊥,求λ的值．OCBAD21．（14分）、已知二次函数c bx ax x f ++=2)( )0(>a 的图像与x 轴有两个不同的公共点，若0)(=c f ，且c x <<0时，0)(>x f ．（1）试比较c a与1的大小； （2）求实数b 的取值范围； （3）当1>c ,0>t 时，求证：012>++++tc t b t a ．[参考答案]一、选择题二、填空题： 11． ab=0 12．)53,54(-13．2)(b a +14．2 15．145三、解答题16．解 ∵)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=∴)sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a552=-∴552)sin (sin )cos (cos 22=-+-βαβα 即 54)cos(22=--βα ∴53)cos(=-βα ∵20πα<<，02<<-βπ∴ πβα<-<0∴ 54)53(1)(cos 1)sin(22=-=--=-βαβα 17．证明一：（分析法）（1）当ac+bd ≤0时，显然成立；（2）当ac+bd>0时，欲证原不等式成立；只需证))(()(22222d c b a bd ac ++≤+即证2222222222222d b c b d a c a d b abcd c a +++≤++ 即证22222d a c b abcd +≤ 即证2)(0ad bc -≤，故上成立． 故原不等式成立． 证明二：（放缩法）因为bd ac bd ac +≤+只需证 ))(()(22222d c b a bd ac ++≤+ 下略． 证明三：（综合法）))((2222d c b a ++22222222d b c b d a c a +++=)2()2(22222222d a abcd c b d b abcd c a +-+++=222)()()(bd ac ad bc bd ac +≥-++=∴bd ac d c b a +≥++))((2222bd ac +≥故原不等式成立．说明：本题还有其它证法，不一一列举． 18．解：（1），f 0)1(=Θ().042222=---∴c b a a.sin 2sin .2,422C B c b c b =∴=∴=∴,sin 23sin 3C C ，C B =⎪⎭⎫⎝⎛+∴=-ππ又.sin 23sincos 3cossin C C C =⋅+⋅∴ππ.06sin ,0cos 23sin 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴=-∴πC C C .66566ππππ=∴<-<-C ，C 又（2）若(),04240)2(2222=---=c b a a ，f 则.22cos .22222222abc ab c b a C c b a =-+=∴=+∴.,222222c ab ab b a c ≤∴≥+=又.3021cos π≤<∴≥∴C C19．解： 由1)(>x f 得1642>-+x x 化简整理得0)2)(3()1)(2(<+-+-x x x x解得 3212<<-<<-x x 或即 {}32121)(<<-<<-=>x x x A x f 或的解集为由2)1()(2-≤a x g得 2)1(2)1(22-≤+-a a x即2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a 2)1()1(2)1()1(2222-++≤≤--+a a x a a解得 122+≤≤a x a即2)1()(2-≤a x g 的解集为{}122+≤≤=a x a x B依题意有φ=B A I ，因此有：⎩⎨⎧≤+-≥21122a a 或32≥a ，解得：23121≥≤≤-a a 或 故a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≤-23121a a a 或 20．解法一 ：（坐标法）（1）由题意得︒=∠90BOC ，以OC 所在的直线为x 轴，以BO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则原点O （0，0），A （3,1-），B （0，-3），C （4，0）设OC OB A 210λλ+=则)3,4()0,4()3,0()3,1(1221λλλλ-=+-=- ∴ 41,3321-=-=λλ ∴ 4133--= （2）设D （y x ,）， ∵AC AD λ= ∴)3,5()3,1(-=-+λy x∴⎩⎨⎧+-=-=3315λλy x ∴)33,15(+--λλDx∵0=⋅∴0)3)(333(5)15(=--++⨯-λλ解得：28338+=λ 解法二：（待定系数法） 令OC OB OA 21λλ+=则OB OC OB OB OA ⋅+=⋅221)(λλ ∴19150cos 23λ=︒⨯⨯，∴331-=λ 又 221)(OC OC OB OC OA λλ+⋅=⋅ ∴216120cos 24λ=︒⨯⨯，∴412-=λ ∴ OC OB OA 4133--= (2) ∵4533+=-= λλλ4533+== )4145()1(33-+-=+=λλ, ∴415]1)1(33[-+--=-=λλ∵ ⊥∴0=⋅∴ 0)(41545)(33]1)1(33[22=-⋅+--λλ又9)(2==OB 16)(2==OC∴0)15(533)1(3=-+--λλ解得 28338+=λ 21．解：（1）∵ )(x f 的图像与x 轴有两个不同的交点∴0)(=x f 有两个不同的实数根1x ，2x∵ 0)(=c f ∴ c 是方程0)(=x f 的一个根，不妨设c x =1∵a c x x =21，∴a x 12= ∴c a ≠1假设c a <1 又 01>a由c x <<0时，0)(>x f 与0)1(=af 矛盾∴ c a>1（2）∵ 0)(=c f ∴ 01=++b ac ∴ ac b --=1 由（1）10<<ac ， ∴ 112-<--<-ac ∴ 12-<<-b（3）∵ 0>t∴要证原不等式成立02)32()()(2>++++++=⇔c t c b a t c b a t g 即证 ∵01>>c ∴0)1(>f 即0>++c b a 又 12-<<-b∴ 022)2()(32>+>+>++++=++b c b c b c b a c b a ∴二次函数)(t g 的对称轴 032<++++-=cb a cb a t由此可见)(t g 在),0[+∞上是增函数 ∴0>t 时， 0)0()(>>g t g ∴ 原不等式成立．。
湖北省华师一附中2024届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析
湖北省华师一附中2024届数学高一下期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知一组正数123,,n x x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则12321,21,21,21n x x x x ++++的平均数与方差分别为（ ）A ．221,21x S ++B ．21,4x S +C ．221,4x S +D ．21,2x S +2． “1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设集合{}(4)3A x x x =->，{}B x x a =≥，若AB A =，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．3a ≤D ．3a <4．已知数列满足，，则的值为（ ） A ．2B ．-3C ．D ．5．已知二次函数()()21211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d ，则()12lim n n d d d →+∞+++的值是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，A ，B 是半径为1的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中△PAB 的面积的最大值为（ ）A ．1sin 2β+sin2β B ．sin β+12sin2β C ．β+sin β D ．β+cos β7．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ） A ．35100x y +-= B ．3560x y ++= C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=8．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A ．79B ．49C ．23D ．599．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个结论： ①m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；②若m α，n β，m n ⊥，则αβ∥； ③若m α⊥，n β，m n ⊥，则αβ∥；④若m α⊥，n β，αβ∥，则m n ⊥. 其中正确结论的序号是 A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．若0a b >>,则下列不等式成立的是( )A 2a bb a +<<< B ．2a bb a +<<<C 2a bb a +<<< D ．2a a bb <<<+ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一下学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数1z =（i 为虚数单位），设z 是z 的共轭复数，则z 的虚部是（ ）A B ．CD ．【答案】B【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部【详解】由1z =，得1z =，所以z 的虚部是， 故选：B2．下列说法错误的是（ ）A ．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查B ．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法C ．简单随机抽样是等概率抽样D ．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量 【答案】D【分析】结合抽样方法的相关概念进行判断.【详解】对于选项A ，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，得出的结论较为准确；对于选项B ，抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样方法；对于选项C ，简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样； 对于选项D ，被抽取的200名学生是样本，不是样本量. 故选：D3．已知向量(1,1)a =，()1,0b =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 是单位向量 B ．a 与b 不能作为基底 C ．()b a a -⊥ D ．a 与b 的夹角为4π【答案】D【分析】根据向量的模定义去判断A 的正误；以基底的要求去判断B 的正误；以向量垂直的要求去判断C 的正误；根据向量的夹角定义去判断D 的正误.【详解】对于A: 由(1,1)a =得21a =+对于B: (1,1)a =与()1,0b =是不共线的非零向量，可以作为基底使用； 对于C: ()(0,1)(1,1)10b a a -⋅=-⋅=-≠，不垂直； 对于D: 11102cos ,221a b a b a b⋅⨯+⨯===⨯，又向量夹角范围为[]0,π ,故a 与b 的夹角为4π.正确. 故选：D4．为考察A B 、两名运动员的训练情况，下面是A B 、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A ．第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高B ．第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分C ．第2天至第6天A 运动员的得分增量大于B 运动员的得分增量D ．A 运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 【答案】D【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第2天至第7天两名运动员的得分逐日提高，故A 正确； 由图象可得，第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故B 正确； 第2天至第6天A 运动员的得分增量接近4，第2天至第6天B 运动员的得分增量大概3， 故C 正确；在1天至第3天的得分统计中，A 运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A 运动员最小得分78最高得分高于80， 所以第2天至第4天的得分波动更大，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D 错误. 故选：D.5．对于平面α外一直线l，下列说法正确的是（）A．α内的所有直线都与l异面B．α内有无数条直线与l垂直C．α内没有直线与l相交D．α内有无数条直线与l平行【答案】B【分析】对于ACD，由直线l与平面α相交的性质进行判断，对于B，分直线l与平面α相交和平行两种情况分析判断即可【详解】对于A，当直线l与平面α相交时，在平面α内过交点的直线与直线l相交，所以A错误，对于B，当直线l与平面α相交时，则在平面α内与直线l的射影垂直的直线，与直线l 垂直，这样的直线有无数条，当直线l与平面α平行时，则在α内有无数条直线与l垂直，所以B正确，对于C，当直线l与平面α相交时，在平面α内过交点的直线与直线l相交，所以C错误，对于D，当直线l与平面α相交时，在平面α内没有直线与l平行，所以D错误，故选：B6．我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若千人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若千人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．8300【答案】B【分析】设北面人数为x人，根据分层抽样抽样比相等列出方程，即可求解.【详解】设北面人数为x人，根据分层抽样抽样比相等可得31087488006912x x=++，解得：8100x=人.故选：B.7．如图，在下列四个正方体中，A B、为正方体的两个顶点，M N Q、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有（）个①． ②．③． ④．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可【详解】对于①，如图取底面中心O ，连接OQ ，由于Q 为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 相交，所以AB 与平面MNQ 相交，对于②，如图连接11A B ，因为,M Q 分别为1111,AC B C 的中点，所以MQ ∥11A B ，因为AB ∥11A B ，所以MQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，对于③，如图，连接11A B ，则AB ∥11A B ，因为,M Q 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得MQ ∥11A B ，所以MQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，对于④，如图，连接11A B ，则AB ∥11A B ，因为,N Q 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得NQ ∥11A B ，所以NQ ∥AB ，因为AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，所以直线AB 与平面MNQ 平行的有3个， 故选：C8．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（ ） A ．(55)π B ．(43)π+ C 5π D ．(65)π【答案】A【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.【详解】221+2=512552ππ⨯=，圆柱的侧面积为224=ππ⨯，圆柱的一个底面面积为21=ππ⨯， 54(55)++=ππππ. 故选：A二、多选题9．已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）A ．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B ．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线C ．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D ．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【答案】ACD【分析】利用平面和平面垂直的性质进行判断.【详解】一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C 错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线， 该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D 错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B 正确. 故选：ACD10．有甲、乙两组数据，甲：1、2、a 、b 、10，乙：1、2、5、6、11，其中*, a b ∈N ，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则(,)a b 可以为（ ） A ．(5,6) B ．(7,5) C ．(6,6) D ．(8,4)【答案】BCD【分析】根据平均数与方差的定义，得到a ，b 满足的条件，求解即可． 【详解】解：由题意可得，()1121055a b ++++=， 所以12a b +=，平均数为5， 又乙组数据的平均数()112561155++++= 因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以2222222222(15)(25)(5)(5)(105)(15)(25)(55)(65)(115)a b -+-+-+-+-<-+-+-+-+-，即22(5)(5)12a b -+-<， 又*, a b ∈N ，所以(,)a b 可以为(4,8)，(6,6)，(5,7)，(7,5)，(8,4)． 故选：BCD ．11．对任意复数i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列结论正确的有（ ） A ．||2-=z z y B ．22||z z = C ．22=+z z x y D ．||||||≤+z x y【答案】CD【分析】利用复数的运算性质分析求解即可【详解】对于A ，由i z x y =+，得(i)(i)2i z z x y x y y -=+--=，所以||2z z y -=，所以A 错误，对于B ，因为222222(i)2i (i)()2i z x y x xy y x y xy =+=++=-+，222z x y =+，所以22z z ≠，所以B 错误，对于C ，因为i z x y =+，所以2222(i)(i)(i)zz x y x y x y x y =+⋅-=-=+，所以C 正确，对于D ，因为z x y ==+ ，所以D 正确， 故选：CD12．正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点P 在线段1BC 上运动，则下列说法中正确的有（ ） A ．11B D A P ⊥B ．点P 从B 向1C 运动过程中，三棱锥1AD PC -的体积先增大后减小 C ．当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π D ．若12=BP PC ，设AP 与底面ABCD 所成的角为α，二面角P AB C 的平面角为β，则αβ< 【答案】ACD【分析】A. 由正方体的特征，易证1B D ⊥平面11BA C 判断；B. 由正方体的特征知：易知11//AD C B 和1AD CS是定值判断；C.易知当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的球心为AC 的中点求解判断；D.分别找出AP 与底面ABCD 所成的角为PAO α，二面角PAB C 的平面角求解判断.【详解】如图所示：A. 由正方体的特征知：11111,B C C B A B C B ⊥⊥，又1111B C A B B =，所以 1C B ⊥平面11A B CD ，则 11C B B D ⊥，同理 111AC B D ⊥，又 1111C B AC C ⋂=，所以 1B D ⊥平面11BA C ，所以11B D A P ⊥，故正确；B. 由正方体的特征知：11//AD C B ，所以点P 从B 向1C 运动过程中，点P 到平面1AD C 的距离不变，又1AD CS是定值，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故错误；C. 当P 为1BC 中点时，三棱锥P ABC -的外接球的球心为AC 的中点，所以R =2，所以外接球的表面积为248S R ππ==，故正确；D.如图所示： ，过点P 作PO BC ⊥，连接AO ，则AP 与底面ABCD 所成的角PAO α，二面角P AB C 的平面角4PBOπβ，因为12=BP PC ，所以224213,33POBOAO AB BO ，则42133tan 1352PO PAOAO，又2130,,1213PAO π，所以 4παβ，故正确； 故选：ACD 三、填空题13．在长方体1111ABCD A B C D -的各条棱所在直线中，与直线AB 异面且垂直的直线有_____条． 【答案】4【分析】由异面直线的定义求解. 【详解】如图所示：与直线AB 异面且垂直的直线有111111,,,DD CC A D B C ，共4条， 故答案为：414．已知m R ∈，复平面内表示复数22i (56)()--++m m m m 的点在虚轴上，则m=_____________． 【答案】1-或6【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果. 【详解】复数对应点的坐标为2(56m m --，2)m m +， 若点在虚轴上，则2560m m --=，解得1m =-或6m =． 故答案为：1-或6.15．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为______________． 【答案】34π135︒ 【分析】由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.【详解】由()()32a b a b -⊥+可得()()320a b a b -⋅+=，即22203a b a b --⋅=，因为2b a =，不妨令1a =，则2b =，2222032032cos ,a b a b a b a b a b --⋅=⇔--⋅⋅=，代值化简得2cos ,2a b =-，因为向量夹角范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π. 故答案为：34π四、双空题16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）.已知在鳖臑M ABC -中，面⊥MA ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的表面积为__________，它的内切球的半径为__________． 【答案】 442+424+21-12-+【分析】（1）先把四个面的底和高求出来，再求三棱锥得表面积； （2）以等体积法求三棱锥内切球半径.【详解】如图：鳖臑M ABC -中，面⊥MA ABC ，2MA AB BC ===，AB BC ⊥则该鳖臑中，MB BC ⊥，22MB AC ==（1）鳖臑的表面积为：111122222222224422222MAB MAC MBC ABC S S S S +++=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+△△△△（2）设鳖臑的内切球的半径为r ，球心为O ， 则有M ABC O ABC O ABM O ACM O BCM V V V V V -----=+++即111111111122222222222223232323232r r r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 解之得21r =故答案为：（1）442+221 五、解答题17．已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． (1)求,p q 的值；(2)记复数i z p q =+，求复数1iz+的模． 【答案】(1)2,5p q =-= 58【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可；（2）由（1）得25i z =-+，故37i1i 2z +=+，再求模即可. (1)解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=(2)解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +的模为94958442+= 18．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行(31)n mile -后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？【答案】(1)6AC =(2)沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，完成计算；（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.(1)解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，31=AB ，2BC =，根据余弦定理，得()()22222cos 3142316AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=-++-=， 所以6AC =n mile ．(2)解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠， 即32322sin 26s 6in BC A B BC CA AC∠=⨯===∠， 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒的方向航方向航行6 n mile 即可到达C 处.19．在如图所示的四棱锥F ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,60∠=︒AB CD ABC ，FC ⊥平面ABCD ，1CB CD CF ===．(1)求证：AC BF ⊥；(2)若E 为CF 的中点，问线段AB 上是否存在点G ，使得//EG 平面ADF ？若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析.(2)存在，12AG =，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，结合几何关系证明AC BC ⊥，在根据线面垂直证明FC AC ⊥，进而证明AC ⊥平面FBC ，再根据线面垂直得结论；（2）取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14AG AB =，连接EG ，则证明四边形AGEH 为平行四边形，以证明//EG 平面ADF .(1)60,30ABC BAD ACD CAB DAC ∠=∠=∠=∠=∠=(2)解：线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142AG AB ==.下面证明结论：如图，取DF 中点H ，连接,HE HA ，在线段AB 上取点G ，使得14AG AB =，连接EG ， 由（1）知，在ABC 中，60,30,90ABC CAB ACB ∠=∠=∠=，22AB BC ==， 所以1142AG AB ==， 因为//AB CD ，222AB BC DC ===，所以11//,22AG DC AG DC ==， 因为H 为DF 中点，E 为CF 的中点，所以11//,22HE CD HE CD ==， 所以1//,2AG HE AG HE ==， 所以四边形AGEH 为平行四边形，所以//AH GE ，因为AH ⊂平面ADF ，GE ⊄平面ADF ，所以//EG 平面ADF .所以线段AB 上存在点G ，使得//EG 平面ADF ，1142AG AB ==.20．武汉市重点中学联合体高一年级举行了期中统一考试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：分组频数 频率 [0，30)2 0.02 [30，60)5 0.05 [60，90) 35 0.35[90，120)m n [120，150]13 0.13 合计M N (1)求出表中m ，n ，M ，N 的值，并根据表中数据补全频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数；(3)命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95到105之间，请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待？【答案】(1)45,0.45,100,1m n M N ====，补全的频率分布直方图见解析；(2)84；(3)不符合命题老师的期待.【分析】（1）根据频率分布表可求总数，结合频率及频数可求其它量，补全频率分布直方图；（2）根据总人数为100，第35百分位数是频率分布直方图中频率0.35对应的分数； （3）利用区间中点代替区间平均数，求解分数的平均值，比较可得结论.(1)由频率分布表，得总数21000.02M ==，所以()10025351345m =-+++=，第四组的频率450.45100n ==；由频率之和为1可得1N =.补全的频率分布直方图如下：(2)由题意，总人数为100，前两组的频率为0.020.050.07+=，第三组的频率为0.35，所以第35百分位数一定在第三组内， 0.350.070.80.35-=，0.83024⨯=，所以第35百分位数为602484+=. (3)由频率分布直方图可得分数的平均值为0.02150.05450.35750.451050.1313593.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，93.695<，不符合命题老师的期待.21．如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，45C ∠=︒，AE CD ⊥，BF CD ⊥．将ADE ∆与BCF ∆分别沿AE ，BF 折起，使得点D 、C 重合（记为点P ），形成图2，且PEF ∆是等腰直角三角形．(1)证明：平面PAE ⊥平面PBF ；(2)求二面角P AB F --的正弦值；(3)若2AB =P ABFE -的体积．【答案】(1)证明见解析；3(3)13【分析】(1)先证PF ⊥平面PAE ,即可证明面面垂直.(2)证明PCD ∠即为二面角P AB F --的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面积和高，即可求解.(1)解：由题意得：,AE PF ⊥又PE PF ⊥,AE PE E ⋂=,故PF ⊥平面PAE ； 又PF ⊂平面PBF ,故平面PAE ⊥平面PBF ；(2)如图，连接PC CD DP 、、,C D 、分别为AB EF 、的中点， 由（1）知PA PB =,故PC AB ⊥,又//,CD AE AE AB ⊥,所以CD AB ⊥， 故PCD ∠即为二面角P AB F --的平面角， 由(1)知, AE ⊥平面PEF ,又AE ⊂平面ABFE ,故平面ABFE ⊥平面PFE , 又平面ABFE 平面PFE EF =,PD EF ⊥,所以PD ⊥平面ABEF , 设2EF a =，则2PE EA a ==,222PA PE EA a =+=,223PC PA AC a =-=, PD ED a ==,故二面角P AB F --的正弦值为：3sin 3PD PCD PC ∠==.(3)由(2)得, PD ⊥平面ABEF ,又2AB 21,AE PD ==, 故四棱锥P ABFE -的体积为1211233⨯=.。
2020年湖北省武汉市湖北大学附属中学高一数学理下学期期末试题含解析
2020年湖北省武汉市湖北大学附属中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 16B. 20C. 24D. 28参考答案：B【分析】根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积. 【详解】有三视图可得几何体的直观图如下图所示：其中：，，，则：，，，，几何体表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.2. 如图BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B． C. D．参考答案：C3. （5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：B考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．解答：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题4. 已知，则f[f(3)]=（）A．3 B．－3 C．－10 D．10参考答案：D由题意可知：f（3）=f[f（3）]= f（-3）=故选：D5. 已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是( )A．（0，3）B．（0，3] C．（0，2）D．（0，2]参考答案：D6. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A． =0.4x+2.3 B． =2x﹣2.4 C． =﹣2x+9.5 D． =﹣0.3x+4.4参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．7. 设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x＜5}，则（?U M）∪（?U N）为（）A．{x|x≥0}B．{x|x＜1或x≥5}C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|x＜0或x≥5}参考答案：B考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；补集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，结合补集的意义，可得?U M与?U N，进而由并集的意义，计算可得答案．解答：解：根据题意，M={x|x≥1}，则?U M={x|x＜1}；N={x|0≤x＜5}，则?U N={x|x＜0或x≥5}；则（?U M）∪（?U N）={x|x＜1或x≥5}；故选B．点评：本题考查补集、并集的计算，要注意（?U M）∪（?U N）的运算的顺序，先求补集，再求并集．8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D参考答案：C9. 设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()A ．V 1比V 2大约多一半B ．V 1比V 2大约多两倍半C ．V 1比V 2大约多一倍D ．V 1比V 2大约多一倍半 参考答案： D10. 在映射，且，则与中的元素对应的中的元素为（ ） A.B.C.D.参考答案：B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则= .参考答案：192略 12. 函数的定义域是，值域是 。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣83．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，294．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．参考答案一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可．【解答】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确．故选：D．2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣8【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，且，∴＝﹣4+2m＝0．解得m＝2．故选：B．3．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，29【分析】共有22个数据，第11个数据和第12个数据的平均数为中位数；122出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差值为极差．解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；最大值为112，最小值为148，所以极差为148﹣112＝36；故选：B．4．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，求出DE，EF，FD，结合余弦定理可求出∠DEF＝120°，进而得到异面直线AB和DE所成的角为60°．解：如图，作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，即∠DEF或其补角，因为AC⊥BC，CA＝CB＝2，所以，所以，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，所以，连接AF，则，因为AD⊥平面ABC，又AF⊂平面ABC，所以AD⊥AF，所以，在△DEF中，由余弦定理可得，又∠DEF∈（0，180°），所以∠DEF＝120°，故直线EF和DE所成的夹角为60°．故选：C．5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．【分析】设圆锥的母线长为l，顶角为θ，求出过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积S，求出S取得最大值时θ的值，即可求出θ的取值范围．解：设圆锥的母线长为l，顶角为θ，则过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积为S＝l2sinθ，当sinθ＝1时S取得最大值，此时θ＝，所以圆锥的轴截面中，顶角θ的取值范围是（0，]．故选：B．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误．解：∵△ABC的面积为，∴，∴a2＝bc sin A，∴A错误；根据余弦定理，，且，∴，∴B错误；，∴，∴，且tanφ＝2，∴的最大值为，∴C正确；∵，∴的最大值为1，∴D错误．故选：C．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝﹣．【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．解：∵复数和θ都是实数，若z1＝z2，则2＝tanθ，且m（cos2θ+2sin2θ）＝cos2θ，∴m＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．【分析】根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离．解：根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y＝2|tan（3x﹣）|的最小正周期为T＝，所以AC＝．故答案为：．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是①②③．【分析】连接OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断①；过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF ⊥AB，垂足为F，连接OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断②；连接OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断③．解：对于①，连接OA，OB，OC，见图1．由SO⊥平面ABC，可得∠SAO为SA与平面ABC所成角，∠SBO为SB与平面ABC所成角，∠SCO为SC与平面ABC所成角，且∠SAO＝∠SBO＝∠SCO，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心，故①正确；对于②，过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF⊥AB，垂足为F，连接OF，见图2．由三垂线定理的逆定理可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，可得∠SFO为侧面SAB与底面ABC所成角的平面角，∠SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，∠SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且∠SFO＝∠SEO＝∠SDO，所以OD＝OE＝OF，即O为△ABC的内心，故②正确；对于③，连接OA，OB，OC，见图3．若SA⊥BC，SB⊥AC，由三垂线定理的逆定理可得OA⊥BC，OB⊥AC，即为•＝0，•＝0，即有•（﹣）＝0，•（﹣）＝0，所以•＝•＝•，即有•（﹣）＝•＝0，则OC⊥AB，即O为△ABC的垂心，故③正确．故答案为：①②③．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是[1，2]．【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用||＝，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论．解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CB⊥CD，AD∥BC，△ABD是边长为2的正三角形，解得：BC＝1，CD＝，AB＝BD＝AD＝2，所以A（﹣2，0），B（﹣1，），C（0，），D（0，0），则＝（2，0），＝（1，）由||＝，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x²+（y﹣）²＝，设P（cosα，sinα+），则＝（cosα+2，sinα+），由于，则：（cosα+2，sinα+）＝λ（2，0）+μ（1，），整理得：，所以，所以λ+μ＝sinα+cosα+＝sin（α+）+，因为﹣1≤sin（α+）≤1，所以1≤sin（α+）+≤2，所以λ+μ的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由已知，可得（x﹣2）2+y2＝4，求出x的范围，再求出复数ω的模的取值范围即可．解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，∵|z|+＝，∴＝，则，解得，∴z＝﹣2i．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由|ω﹣2|＝|z|，可得（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2≥0，∴0≤x≤4，∴|ω|＝＝，∴|ω|∈[0，4]．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．解：（1）由题可得f（x）＝＝（2cos x，cos x）（sin x，﹣2cos x）＝2cos x sin x ﹣2cos²x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；令2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+（k∈Z），即f（x）的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）；（2）由（1）可知g（x）＝2sin[2（x+）﹣]+1＝2sin（2x+）+1，若关于x的方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，g（x）∈[0，2]．若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[0，2]．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．【分析】（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解．解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则P2＝．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，A1事件对应的概率P1＝，A3事件对应的概率P3＝，∴最后一次取球的是甲的概率P＝P1+P2＝．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．【分析】（1）由三角形面积公式可求得BC，再由余弦定理可求得CD，从而可求得AB 的长；（2）设A＝∠ACD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理可求得CD＝，在△BCD中，利用正弦定理可得cosθ＝sin（﹣2θ），利用诱导公式即可求解θ的大小，即角A的大小．解：（1）在△BCD中，B＝60°，BD＝1，若△BCD的面积为，则S△BCD＝BD•BC•sin B＝，所以BC＝，所以BC＝2，则CD＝＝＝，所以AD＝CD＝，所以AB＝AD+BD＝+1．（2）在△ACD中，AD＝CD，可设A＝∠ACD＝θ，则∠ADC＝π﹣2θ，又，由正弦定理，得＝，所以CD＝，在△BCD中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝﹣2θ，由正弦定理，得＝，即＝，化简得cosθ＝sin（﹣2θ），于是sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，所以﹣θ＝﹣2θ或﹣θ+﹣2θ＝π，解得θ＝或θ＝，即角A的大小为或．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600，后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为，进而可依公式求解．解：（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，即x＝0.0044；（2）月用电量落在区间[50，100）（度），[100，150）（度），[150，200）（度）内的用户数分别为0.0024×50×100＝12，0.0036×50×100＝18，0.0060×50×100＝30所平均数＝（25×12+125×18+175×30）÷60＝140（度）；（3）由（2）知，月用电落在（间[50，200）（度）的户数＝12+18+30＝60月用电量在区间[200，350）（度）内的户数＝100﹣60＝40设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为s2＝5200060+40＝100，即．故有，有，所以：，故．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可．（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连结BD交AC交于G，∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，又∵E是PD的中点，∴EG//PB，又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴．PB//平面ACE，又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE＝l，∴PB//l．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，设正方形ABCD的边长为4，∵PA＝PB，∴△PAB的中线AH＝2，PB＝4，AH⊥PB，同理AE＝2，PD＝4，AE⊥PD，∵EG＝PB＝2，AG＝AC＝2，∴△AEG为正三角形，中线AI＝，且AI⊥EG，∵AH⊥PB，PB//l，∴AH⊥l，同理AI⊥l，∴∠HAI是二面角CE﹣l﹣PB的一个平面角，又∵在正三角形△PBD中HI＝，∴cos∠HAI＝＝＝，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为．解：（3）同（2）中PA⊥AB，得PA⊥CD，又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，同理AE⊥平面PCD同理PF⊥面AEF∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF＝cot∠CPD＝＝＝，∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为．。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则()A. sinA=5，sinB=11，sinC=13B. a=5，b=11，c=13C. A:B:C=5:11:13D. a:b:c=5:11:132.若各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，则a4⋅a3a2⋅a1的值等于()A. 4B. 8C. 16D. 643.若关于的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C. 用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A. √55B. 2√55C. 2√25D. −2√256.已知：α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列说法正确的是()A. l//ml⊥αm//β}⇒α⊥β B. l⊥mm⊂α}⇒l⊥αC. l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α}⇒l⊥α D. l//βm//β l⊂α m⊂α}⇒α//β7.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m行、第n列的数记为a mn，如a21=4，a42=16.若a mn=248，则m+n=()A. 20B. 21C. 29D. 308.下列说法中正确的个数是()(1)从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；(2)已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“lna>lnb”的充要条件；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0．A. 0B. 1C. 2D. 39.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. π6B. √23π C. 43π D. √32π10.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√3411.下列说法中，正确的是()A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C. 棱柱的各条棱都相等D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱12.在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量满足0，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为．14.函数值sin3π5，sin4π5，sin9π10从大到小的顺序为______ (用“>”连接)．15.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下五个命题：①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③多面体ABCD−MENF的体积为12④四棱锥C′−MENF的体积V=V(x)为常函数；⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[√63,1]以上命题中正确的有______ (天上所有正确命题的序号)16.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．(1)求证：DF//平面EAB；(2)设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P−EAB体积的最小值．19. 设二次函数满足条件：(1)当时，都有且成立;(2)当时，；(3)在上的最小值为0．(1)求的值及的解析式；(2)求最大的实数，使得存在，只要，就有成立．20. 在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，点A 1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E，使得OE⊥平面BB 1C 1C，并求出AE的长；(2)求平面A 1B 1C与平面BB 1C 1C夹角的余弦值．21. 如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB//FC//ED，FC=2，点O为FC的中点，点G是AB的中点．且AB=BC=12(Ⅰ)求证：OG⊥平面FCDE；(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；(Ⅲ)在线段CD上是否存在点，使得BH//平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．22. 已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n=a n−a n+k，c n=a n+a n+k(n∈N∗).若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H(k)”数列．(1)若数列{a n}的前n项和为S n=n2，证明：{a n}为H(k)数列；(2)若数列{a n}为H(1)数列，且a1=1，b1=−1，c2=5，求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{a n}为H(2)数列，证明：{a n}是等差数列．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查正弦定理在三角形中的应用，是基础题．直接运用正弦定理求解即可．解：由正弦定理可知sinA=a2R ，sinB=b2R，sinC=c2R，(其中R为△ABC外接圆的半径)，sinA:sinB:sinC=a2R:b2R:c2R=a:b:c=5:11:13，故选：D．2.答案：C解析：解：∵各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，∴a n+1a n=2，∴a n=a1⋅2n−1，∴a4⋅a3a2⋅a1=a1⋅23⋅a1⋅22a1⋅2⋅a1=16．故选C．由各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，知a n+1a n =2，所以an=a1⋅2n−1，由此能求出a4⋅a3a2⋅a1．本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．3.答案：A解析：试题分析：设，因为，所以的最小值为；由的解集为空集知．故选B．考点：绝对值不等式的性质．4.答案：C解析：解：在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B 中，由棱锥的定义得：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥， 由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故B 不正确； 在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，C 正确； 在D 中，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D 不正确． 故选：C ．在A 中，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱；在B 中，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体；在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面；在D 中，分直角三角形绕它的一条直角边和斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体可能是圆锥，可能是两个对底面的两个圆锥，进而可判断出，本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱台等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：本题考查的知识点是异面直线夹角问题.建立空间坐标系，属于简单题．建立空间坐标系，求出异面直线AC 1与B 1C 的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案． 解：∵直三棱锥ABC −A 1B 1C 1底面三边长AC =3，BC =4，AB =5，AC ，BC ，CC 1两两垂直．如图建立坐标系，则C(0,0，0)，A(3,0，0)，C 1(0,0，4)，B 1(0,4，4)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，4)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)， 设异面直线AC 1与B 1C 所成角为θ， 则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20√2=2√25， ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为2√25， 故选：C ．6.答案：A解析：本题考查了面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．利用面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理对四个选项分别分析选择正确答案．解：对于A，设过m的平面与β交于直线n，则m//n，又l//m，则l//n，又l⊥α，所以n⊥α，n⊂β，所以α⊥β；故A正确；对于B，l⊥m，m⊂α，直线l有可能在α内，所以B错误；对于C，如果直线m，n平行，直线l可能在α内；故C 错误；对于D，如果直线m，l平行，平面α，β可能相交；故D错误；故选A．7.答案：A解析：解：前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以m+n=16+4=20，故选：A．前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，根据规律求出即可．考查归纳推理，基础题．8.答案：B解析：解：(1)事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，(1)错误；(2)当a=1，b=0时，有√a>√b此时ln b无意义，故(2)错误；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0，故(3)正确．∴正确的说法只有(3)．故选：B．由互斥事件的概念判断(1)；举例说明(2)错误；写出全程命题的否定判断(3)．本题考查命题的真假判断与应用，考查互斥事件的概念，考查充分必要条件的判定方法，注意全称命题的否定的格式，是基础题．9.答案：A解析：解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R =12则球的体积V =43⋅π⋅R 3=π6 故选：A ．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和球的结构特征，可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．10.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误； 在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2，则B(0,2，0)，C(0,0，0)，D(2,0，0)，E(1,0，√3)，M(32,0，√32)，E(1,0，√3)，N(1,1，0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线EN 与平面MCB 所成角为θ， 则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确．故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：本题考查了棱柱的定义，几何性质，属于基础题． 运用棱柱的定义，性质判断即可．解：∵棱柱的侧面可以是四边形，不能是三角形， ∴棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，棱柱的各条棱不一定都相等，因为底面的边长与侧棱不一定相等， 故ABC 都是错的； 故选：D ．12.答案：D解析：由于sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，化简可得cosAsinB =0，又sinB ≠0，故有cosA =0，解得A =90°，即三角形为直角三角形，故选D ．13.答案：解析：试题分析：，所以所以夹角为考点：1.向量的数量积公式；2.夹角公式．14.答案：sin3π5>sin4π5>sin9π10解析：解：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，且函数y=sinx在[π2,π]上单调递减，∴sin3π5>sin4π5>sin9π10，故答案为：sin3π5>sin4π5>sin9π10，利用y=sinx在[π2,π]上单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合y=sinx的单调性是解决本题的关键．比较基础．15.答案：②③④⑤解析：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③计算两个多面体的体积关系．④求出四棱锥的体积，进行判断．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大．解：①易证EF⊥面BDD′B′因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0,12]时，EM的长度由大变小．当x∈[12,1]时，EM的长度由小变大．所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=12时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D′N，DN=B′M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C′EF的距离是个常数，所以四棱锥C′−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数，所以④正确．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为√2√3=√63，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．故答案为：②③④⑤．16.答案：253解析：由已知数列递推式可得数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a n，则a6可求．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．解：由a n=2a n−1+3(n≥2)，得a n+3=2(a n−1+3)(n≥2)，又a1+3=5+3=8≠0，∴数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，则a n+3=8×2n−1=2n+2，∴a n=2n+2−3．∴a6=28−3=253．故答案为：253．17.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：(1)证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=12AC.又∵ED//AC，∴ED//NF且ED=NF，四边形ENFD是平行四边形．∴DF//EN，而EN⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，∴DF//平面EAB．(2)解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED//AC，∴ED//l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥13×2a×12×√3a×a=√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=13×DC×S△PAE=√33×12×AB×y P≥√33a×12×2a×a=√33a3．∴三棱锥P−EAB体积的最小值为√33a3．解析：(1)取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF//平面EAB．(2)当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=1 3×DC×S△PAE≥√33a3.由此能求出三棱锥P−EAB体积的最小值．本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(1)；；(2)9．解析：试题分析：(1)由当x∈(0,5)时，都有恒成立可得f(1)=1；由可得二次函数的对称轴为x=−1，于是b=2a，再由，可得c=a，从而可求得函数f(x)的解析式；(2)可由，求得：−4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．试题解析：(1)因为且，所以．由得对称轴，由(1)(2)(3)解得：所以6分(2)由，因为，所以于是有，即因为当时恒有，所以显然，所以由题意知：使上式成立，所以即的最大值是9 14分．考点：二次函数的性质．20.答案：(1)证明：连接AO，在△AOA 1中，作OE⊥AA 1于点E，因为AA 1//BB 1，得OE⊥BB 1，因为A 1O⊥平面ABC，所以A 1O⊥BC．因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA 1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB 1C 1C.又，，得．(2)解：如图，分别以OA，OB，OA 1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,2，0)，C(0,−2,0)，A 1(0,0，2)，由得点E的坐标是，由(1)得平面BB 1C 1C的法向量是，设平面A 1B 1C的法向量n=(x，y，z)，由得令y=1，得x=2，z=−1，即n=(2,1，−1)，所以，即平面BB 1C 1C与平面A 1B 1C的夹角的余弦值是．解析：略21.答案：证明：(Ⅰ)∵四边形ABCF是等腰梯形，点O为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：(Ⅱ)F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED.//FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，由ED.//OC，得EOCD是平行四边形，∴EO//DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC//平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG//平面BCD，∴BC//平面EOG，∴BC//OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH//平面EOG．解析：(Ⅰ)推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．(Ⅱ)F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，推导出EO//DC，从而DC//平面EOG，进而平面EOG//平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH//平面EOG．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．22.答案：证明：(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1．当n=1时，a1=S1=1符合上式，则：a n=2n−1所以：b n=a n−a n+k，整理得：b n=−2k，c n=a n+a n+k=4n−2k−2．则b n≤b n+1，c n+1−c n=4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H(k)数列；(2)由于a1=1，b1=−1，c2=5，由数列{a n}为H(1)数列，则数列{c n}是等差数列，且c1=3，c2=5，所以：c n=2n+1．即a n+a n+1=2n+1所以：a n+1−(n+1)=a n−n，则{a n−n}是常数列所以：a1−1=0，则：a n=n．验证：b n=a n−a n−1=−1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n=n．附：a n+a n+1=2n+1①，a n+1+a n+2=2n+3②，②−①得：a n+2−a n=2所以：a2k−1=a1+2(k−1)=2k−1．a2k=a2+2(k−1)=2k，所以：a n=n．证明：(3)由数列{a n}为H(2)数列可知：{c n}是等差数列，记公差为dc n+2−c n=(a n+2+a n+4)−(a n+a n+2)=−b n−b n+2=2d，所以：−b n+1−b n+3=2d．则：(b n−b n+1)+(b n+2−b n+3)=2d−2d=0又b n≤b n+1，所以：b n=b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n=a n−a n+2=b1所以：c n=a n+a n+2=2a n−b1．由c n+1−c n=2(a n+1−a n)=d，．所以：a n+1−a n=d2所以：{a n}是等差数列．解析：(1)直接利用定义法证明数列为H(k)数列．(2)利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．(3)直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．本题考查的知识要点：数列的定义的应用，赋值法的应用，定义性数列的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。
湖北省武汉市大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试卷含解析
湖北省武汉市大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则与b的大小关系为（）A.>bB.<bC. =bD. 与x的取值有关参考答案：A2. 函数在区间[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣5）∪[﹣4，+∞）B．（﹣5，﹣4] C．（﹣∞，﹣4] D．[﹣4，0）参考答案：B【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=g（x）=2x2﹣ax+3，则t=log t为减函数，若函数在区间[﹣1，+∞）上是减函数，则等价为t=g（x）在区间[﹣1，+∞）上是增函数，且满足g（﹣1）＞0，即，即，即﹣5＜a≤4，故选：B．【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．3. 已知集合,则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先求集合A和集合B，然后取交集即可.【详解】,,则,故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.4. 记= ( )A． B． C． D．参考答案：A5. 函数的大致图象是( )A. B. C. D.参考答案：A6. 已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若，则直线AP一定过△ABC的（）A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心参考答案：A7. 如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|参考答案：C【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．8. 设是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则,,的大小顺序是( )A. B.C. D.参考答案：D9. 设在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范( )A.[ -,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,-3]∪[-,+∞)D.[-, ]参考答案：C略10. 四边形OABC中，，若，，则=（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是 .参考答案：12. 已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）= ．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性，转化求解即可．【解答】解：函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32﹣2×3）=﹣3．故答案为：﹣3．13. 已知函数f（x）= ，则f（f（e））=．参考答案：2【考点】函数的值．【分析】先求出f（e）=﹣lne=﹣1，从而f（f（e））=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（e）=﹣lne=﹣1，f（f（e））=f（﹣1）=（）﹣1=2．故答案为：2．14. 已知f ()=，则的解析式是．参考答案：f (x)= (x≠0)15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点在以为半径的圆弧上，如图所示，若其中,则________；________.参考答案：16. 两等差数列{a n}和{b n}前n项和分别为S n，T n，且，则=__________。
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2020学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，sin cos sin BA C=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】A【解析】在ABC ∆中，由sin cos sin BA C=，变形为sin cos sin B A C =，再利用内角和转化为()sincos sin A C A C +=，通过两角和的正弦展开判断.【详解】在ABC ∆中，因为sin cos sin BA C=， 所以sin cos sin B A C =， 所以()sincos sin A C A C +=，所以sin cos 0A C =， 所以2C π=，所以ABC ∆直角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k>-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变【答案】A【解析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】 当10k-<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势．【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断． 3．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【答案】D【解析】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a bd c ->-，故a b d c<．故选D4．把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3，母线长为6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ）cm . A ．8 B ．9C ．10D ．12【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为1:3来求解. 【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆台的上、下底面半径之比为1:3， 所以6:1:3l l -=，解得9l=.故选：B 【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解. 【详解】 如图所示：在正方体中，//MN EG ，所以FEG ∠直线, MN EF 所成角， 由正方体的性质，知EF EG FG ==， 所以3FEG π∠=.故选：C 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题. 6．设l 为直线，αβ，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（ ）A ．若,l l αβ，则αβ∥B ．若,l αβα∥∥，则l β∥C ．若,ll αβ⊥，则αβ⊥D ．若,l αβα⊥，则l β⊥【答案】C【解析】画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案 【详解】对于选项A ，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A 不正确；对于选项B ，若α，β分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l ，都有lα，但l β⊂，所以B 不正确；对于选项D ，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时αβ⊥，在右边侧面中取一条对角线l ，则lα，但l 与β不垂直，所以D 不正确；对于选项C ，设平面m γβ=，且l γ⊂，因为l β∥，所以lm ，又l α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，所以αβ⊥，所以C 正确. 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题 7．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】B【解析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +.当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 8．已知下列各命题：①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 有公共点：③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补. 则其中正确的命题共有（ ）个 A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断. 【详解】①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.②若真线a 不平行于平面a ，则直线a 与平面a 相交或在平面内，所以有公共点，故正确. ③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角D-AA 1-F 与二面角D 1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误.. 故选：B 【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题. 9．，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6π B ．8πC ．12πD ．24π【答案】A【解析】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r，根据题意有ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，再根据球的直径是长方体的体对角线求解. 【详解】设长方体的棱长为,,a b c ，球的半径为r ，根据题意，ab ac bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得222132a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以r =所以外接球的表面积246s r ππ==， 故选：A 【点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,ED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于1A ，则直线1A D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A ．24B ．223C ．33D ．13【答案】D【解析】在正方形中连接BD ，交EF 于点G ，根据正方形的性质，EFDG ⊥在折叠图中DA '⊥平面A EF '，得到DA EF '⊥，从而EF ⊥平面A BG '，面A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影，找到直线与平面所所成的角.然后在直角三角A DG '∆中求解. 【详解】 如图所示：在正方形中连接BD ，交EF 于点G ， 在折叠图，连接A G '，因为,,DA A E DA A F A E A F A '''''''⊥⊥⋂=， 所以DA '⊥平面A EF '， 所以DA EF '⊥， 又因为EFDG ⊥，所以EF ⊥平面A BG '， 又因为EF⊂平面DEF ，所以A DG '⊥平面DEF ，则GD 是A D '在平面DEF 上的射影， 所以A DG '∠即为所求. 因为22A G BG '==22322,2A D DG A D A G '''==+= 1sin 3A G A DG DG ''∠== 故选：D 【点睛】本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题.11．三棱锥A BCD -的高33AH =，若AB AC =，二面角 A BC D --为3π，G 为ABC ∆的重心，则HG 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．10【答案】C【解析】根据AB=AC ，取BC 的中点E ，连结AE ，得到AE ⊥BC ，再由由AH ⊥平面BCD ，得到EH ⊥BC .，所以∠GEH 是二面角的平面角，然后在△GHE 中，利用余弦定理求解. 【详解】 :如图所示：取BC 的中点E ，连结AE ，∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，且点G 在中线AE 上，连结HE . ∵AH ⊥平面BCD ，∴EH ⊥BC .∴∠GEH =60°. 在Rt △AHE 中，∵∠AEH =60°，AH =33∴EH =AHtan 30°=3，AE =6，GE =13AE =2 由余弦定理得HG 2=9+4-2×3×2cos 60°=7. ∴HG 7故选：C 【点睛】本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.12．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ）A ．B ．1CD ．2【答案】C【解析】根据ABC ∆的周长为20()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=1sin 2ABC S AB AC A ∆=⨯=sin AB AC A⨯=，然后代入余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯cos 1A A +=求解.【详解】因为ABC ∆的周长为20所以()112022ABC S AB BC AC r ∆=++=⨯=又因为1sin 2ABCS AB AC A ∆=⨯=所以AB AC ⨯=由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯，()()221cos AB AC AB AC A =+-⨯⨯+，所以()491691cos A =-+ ，cos 1A A +=，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为A 为内角， 所以,663A A πππ-=∴=，所以tan A =故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数,,x y z ，使向量1BM xAB yAD zAA =++，则23x y z ++=__________．【答案】72【解析】在平行六面体中把向量用BM 用1,,AB AD AA 表示，再利用待定系数法，求得,,x y z .再求解。