71向量的概念和向量讲义的几何表示
向量的概念及表示、向量的线性运算
向量的概念及表示、向量的线性运算向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。
一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母(a、b、u、v)，或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。
如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加→)。
给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。
而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
1.代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c… 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示，也可以用大写字母A、B、C...等表示。
2.几何表示：向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。
长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
箭头所指的方向表示向量的方向。
(若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法
高中数学平面向量教案向量的基本概念与表示方法向量的基本概念与表示方法一、引言向量是物理、工程、计算机等领域中最基本的概念之一。
它不仅具有方向和大小，而且可以进行加法和数乘。
向量在几何表示中可以用箭头来表示，但是在数学中，我们需要用数学公式和符号来表示向量。
本教案主要介绍向量的基本概念和表示方法，以便高中数学学生学习和掌握。
二、向量的基本概念1.向量的定义向量是一个有大小和一个方向的标量，它可以进行加法和数乘。
向量可以表示为 a = (a1, a2)，其中a1和a2分别表示在x和y方向上的位移。
我们也可以用箭头表示向量，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
例如，图1中，箭头AB表示向量a。
图1：向量的表示法2.向量的运算向量的运算包括加法和数乘，下面分别介绍。
加法：向量的加法是指将两个向量相加的操作。
假设有向量a和向量b，它们的和可以表示为a+b，例如，图2中，向量a和向量b的和为向量c。
图2：向量的加法数乘：向量的数乘是指用一个标量乘以一个向量的操作。
假设有向量a和标量k，则k*a表示对向量a进行了伸缩变换，例如，图3中，向量a变为k*a。
图3：向量的数乘3.向量的模长和方向角向量的模长（也叫长度）是指向量的大小，可以用勾股定理求得，即：|a| = √(a1^2 + a2^2)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
向量的方向角是指向量与x轴正方向之间的夹角，可以用反三角函数求得，即：θ = arctan(a2/a1)其中a1和a2分别是向量a在x和y方向上的位移。
4.向量的坐标表示向量可以用坐标表示，例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量在x和y方向上的位移。
向量的坐标表示法以及向量的加法和数乘在二维坐标系中可以得到明确的几何意义，是向量运算的基础。
三、向量的表示法在向量的表示中，我们需要用到向量的坐标表示法和向量的基本运算。
下面介绍向量的表示法。
初中数学知识点向量的概念与性质
初中数学知识点向量的概念与性质初中数学知识点：向量的概念与性质向量是数学中的重要概念之一，在数学、物理等学科中有着广泛的应用。
本文将介绍初中数学中向量的概念、向量的性质以及相关的解题方法。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，向量可以由两个有序实数表示，分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
向量用字母加箭头表示，例如向量AB用→AB表示。
二、向量的表示方法除了坐标表示法之外，还可以使用表示向量的两个点的坐标差值来表示向量。
例如向量AB可以表示为向量OA减去向量OB的结果，即→AB = →OA - →OB。
这种表示方法叫做点表示法。
三、向量的相等与相反两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。
如果两个向量的大小相等，但方向相反，则称其为相反向量。
相反向量的表示方法是一个向量加一个负号，即−→AB就是→BA。
四、向量的运算1. 向量的加法：设→AB和→BC是两个向量，则→AB + →BC = →AC。
向量的加法满足交换律和结合律，即→AB + →BC = →BC + →AB，(→AB + →BC) + →CD = →AB + (→BC + →CD)。
2. 向量的减法：设→AB和→AC是两个向量，则→AB - →AC = →AB + (−→AC)。
即向量减法等于向量加法的负向量。
3. 向量的数乘：数乘是指一个向量乘以一个实数。
例如a为实数，→AB为向量，则a→AB表示向量→AB的长度变为原来的a倍，并且方向不变。
五、向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，表示为→0。
任何向量与零向量相加仍为其自身，即→AB + →0 = →AB。
2. 单位向量：单位向量是长度为1的向量，表示为→u。
任何非零向量除以自身的模长得到单位向量，即若→AB≠→0，则→u =→AB/|→AB|。
3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
平行向量具有以下性质：a) 平行向量的模长相等或成比例；b) 两个平行向量之间可以通过数乘得到：若→AB // →CD，则存在实数k，使得→CD = k→AB。
向量的概念及表示
（1）作出向量、、（1cm表示200m）；（2）求的模。
解：（1）（2）由题意知，ABCD为平行四边形；
∴| |=| |=450（m）
向量的线性运算
一、知识、能力聚焦
1、向量的加法
一般地，实数入与向量的积是一个向量，记作入，它的长度和方向规定如下：
（1）|λ|=|λ|| |；
（2）当λ＞0时，λ与同向；当λ与反向；当λ=0时，λ=，实数λ
与向量相乘，叫做向量的数乘。
根据向量数乘的定义，可以验证向量数乘满足下面的运算律：
（1）λ（μ）=（λμ）；
（2）（λ+μ）=λ+μ；
（3）λ（+）=λ+λ
形的条件是=，真命题的个数为（C）。
A.0B.1C.2D.3
3、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AB边长为4，AD边长为2，图中的7个向量：、、、、、、，设=、=，则：（1）与相等的向量有；（2）与相等的向量有；（4）与共线的向量有、、；（5）与长度相等的向量有、、、、、。
=λ1e1+λ2e2
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，一个平面向量用一组基底e1、e2，表示成=λ1e1+λ2e2的形成，我们称它为向量的分解。
例：如图，平行四行边ABCD的对角线交于点O，=，=试用基底、，表示、、和。
分析：利用关系式= +和= 求解
解：= + = +
向量、、平行，记作// //。
（6）零向量与任一向量平行
（7）相反向量：与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量。
高中数学中的向量知识全面解析
高中数学中的向量知识全面解析向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域有着广泛的应用。
了解和掌握向量的概念、性质和运算法则对于高中数学学习以及日后的学习和工作都具有重要意义。
本文将对高中数学中的向量知识进行全面解析。
一、向量的定义在几何中，向量可以定义为有方向和大小的量。
向量常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
我们常常用点A和点B来表示向量，记作→AB或者A B。
向量可以用有序数对(x, y)来表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
二、向量的性质1. 相等性：两个向量相等的条件是它们的大小相等且方向相同。
2. 零向量：大小为零的向量称为零向量，记作0或→0。
3. 负向量：对于任意一个非零向量→a，存在一个向量−→a满足→a+(−→a)=0。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，有→a+→b=→b+→a和(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 数乘运算：向量的数量乘法是指把向量的每个分量都乘以同一个实数，得到一个新的向量。
数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意实数k和向量→a、→b，有k(→a+→b)=k→a+k→b和(k+m)→a=k→a+m→a。
四、向量的表示1. 分解表示：给定向量→a，可以把→a沿着某个方向分解为两个垂直方向的向量，分别称为→a在该方向上的投影和→a在该方向上的垂直分量。
2. 坐标表示：在二维直角坐标系中，可以用向量在x轴和y轴上的投影来表示向量。
向量→a的坐标表示为(x, y)，其中x为→a在x轴上的投影，y为→a在y轴上的投影。
五、向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→a|。
对于二维向量(x, y)，其模为√(x²+y²)。
六、向量的共线与夹角1. 共线性：如果两个向量→a和→b的方向相同或相反，则称→a和→b共线。
7.1向量的概念和向量的几何表示ppt
知识应用
例2 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AD共线的 非零向量．
D
A B
C
分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的 非零向量． 解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．
知识应用
例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中 满足下列条件的向量： （1）与向量OB相等的向量； C B （2）向量OB的负向量； （3）与向量OB共线的非零向量． D A O E （1）与向量OB相等的向量有DC，EO，FA． （2）向量OB负向量有CD，OE，AF，BO． （3）与向量OB共线的向量有DC，EO，FA， CD，OE， AF，BO ．
主要概念
向量有两个要素：大小和方向 向量的大小：是表示向量的有向线段的长度，也 叫做向量的长度． AB 或 a 记作： 相等的向量： 大小相等且方向相同的向量． 注：两个向量相等与它们的位置无关．
零向量： 长度为零的向量，记作0或 AA
a
B D
它的方向不确定． A AB BA 注： 0的负向量规定为0 ； C 单位向量：长度为1的向量． 思考：两个单位向量一定是相等向量吗？
相反，或者有一个是零向量．
知识应用
例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的 向量，以及AB的负向量． D C
A
B
分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用 有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线 段．负向量即方向相反、大小相反的向量，用有向线段 表示，即为方向相反，长度相等的有向线段． 解： AB = DC - AB = BA = CD
主要概念
a长度相等且方向相反的向 负向量： 与非零向量 a 量称 的负向量， a 记作： 或称 a 的反向量．
向量的概念与表示
湖面上有三个景点O,A,B, （如图）一游艇将游客从 景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景 点B.从景点O到景点A有 一个位移，从景点A到景 点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
o
B
位移既有大小又有方向， 距离只有大小没有方向
A
1．向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量。
b
பைடு நூலகம்
a
d
c
讨论：a // b， b // c a // c ？
b
a
3．向量的有关概念： （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相 等向量. 记作： AB = DC . C D 注：向量是否相等只与大小 和方向有关，与起点无关. A B （2）相反向量：与 a 向量长度相等，方向相反的向 量叫做 a 的相反向量. 记作- a .
m n 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
c b′ c′
b
a a a′
例1 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标 出的向量中： （1）试找出与 FE 共线的向量； （2）确定与 FE 相等的向量； （3） OA 与 BC 相等吗？
E
D
O
F
C
A
B
例2:回答下列问题： （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
0 0 零向量的相反向量仍是零向量 .
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本文将对向量的基本知识点和相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的基本概念。
1. 向量的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示。
在二维空间中，向量通常表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量表示为 (x, y, z)。
3. 向量的运算。
向量的加法和数乘是向量运算中的两个基本运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
二、向量的基本性质。
1. 向量的模。
向量的模是指向量的大小，通常用|v| 表示，其中v 表示向量。
在二维空间中，向量 (x, y) 的模为√(x^2 + y^2)，在三维空间中类似。
2. 向量的方向角。
向量的方向角是指向量与坐标轴的夹角，通常用θ表示。
在二维空间中，向量 (x, y) 的方向角为 arctan(y/x)。
3. 向量的单位向量。
向量的单位向量是指模为1的向量，通常用 u 表示。
一个非零向量 v 的单位向量为 v/|v|。
三、向量的线性运算。
1. 向量的线性相关与线性无关。
若存在不全为0的实数 k1、k2，使得 k1v1 + k2v2 = 0，则称向量 v1、v2 线性相关；若 k1、k2 只能为0，则称 v1、v2 线性无关。
2. 向量的内积和外积。
向量的内积（点积）定义为 v1·v2 = |v1|·|v2|·cosθ，其中θ为 v1、v2 的夹角。
向量的外积（叉积）定义为 v1×v2 = |v1|·|v2|·sinθ·n，其中 n 为垂直于v1、v2 的单位向量。
四、向量的应用。
1. 向量的几何意义。
《向量的概念》 知识清单
《向量的概念》知识清单一、向量的定义向量，是既有大小又有方向的量。
与只有大小没有方向的数量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
在物理学中，力、位移、速度等都是向量的实际例子。
比如，一个力不仅有大小（力的强度），还有方向（力的作用方向）；一个物体的位移，既有移动的距离（大小），又有移动的方向。
二、向量的表示1、几何表示向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作，其长度记作。
2、字母表示向量通常用小写的英文字母来表示，如、、等。
手写时，在字母上方加一个箭头，如。
三、向量的模向量的大小称为向量的模，记作或。
例如，对于向量，其模。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同，但模都为 1。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
平行向量也称为共线向量。
如果两个向量平行（共线），可以记作。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若与相等，记作。
八、向量的运算1、向量的加法（1）三角形法则已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则以同一点 O 为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线就是与的和。
2、向量的减法（1）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
（2）向量减去向量等于加上的相反向量，即。
3、数乘向量实数与向量的积是一个向量，记作。
它的长度；它的方向：当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，。
九、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。
对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对（x, y) 叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
向量的定义与性质
向量的定义与性质向量是数学中的一个重要概念，它在多个学科和领域中都有广泛的应用。
本文将介绍向量的定义、性质以及在几何学和物理学中的应用。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量。
可以用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
通常用大写字母，如A、B、C等来表示向量。
向量的表示方法有多种，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示等。
其中，坐标表示是最常用的方法。
假设平面上有一个向量A，可以用有序数对(x, y)表示。
其中，x表示向量A在x轴上的投影，y表示向量A在y轴上的投影。
二、向量的性质1. 向量的大小向量的大小即为向量的模，用||A||表示。
向量A的模可以用勾股定理求得，即||A|| = √(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量A在x轴和y轴上的投影。
2. 向量的方向向量的方向可以用角度来表示。
在平面直角坐标系中，与x轴正方向的夹角被称为向量的方向角。
方向角的范围通常取[0, 2π)之间。
3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A和向量B，它们的和表示为A + B。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，用A·B表示。
向量A和向量B 的数量积等于A和B的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即A·B = ||A|| ||B|| cosθ。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或叉乘，用A×B表示。
向量A和向量B的向量积是一个新的向量，其大小等于A和B的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于A和B所在的平面。
三、向量在几何学中的应用向量在几何学中有广泛的应用，可以用来描述点、直线、平面等几何元素。
1. 位移向量位移向量用于表示点的移动情况。
设有点A和点B，它们之间的位移向量表示为AB。
位移向量的大小等于两点之间的距离，方向与直线AB的方向相同。
2. 平行向量平行向量是指方向相同或者相反的向量。
向量的概念及向量的表示
空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，则对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有 序实数组 x、y、z，使得 p = xa + yb + zc。
应用
空间向量基本定理是空间向量坐标表 示的基础，它说明空间中的任一向量 都可以表示为其他三个不共面向量的 线性组合。
向量在解析几何中作用
线性组合与线性方程组的解
线性方程组可以表示为一系列向量的线性组合等于零向量的形式。线性方程组的解与这些 向量的线性相关性密切相关。当且仅当这些向量线性无关时，方程组有唯一解；否则，方 程组有无穷多解或无解。
04 向量运算及应用
加法运算及物理意义
向量加法的定义
两个向量相加，即将它们的对应 分量相加得到新的向量。
磁场强度
磁场强度是描述磁场中某点磁场力作用强弱和方向的物理量，也是一个矢量。在电磁学中，磁场强度 用向量表示，其大小等于单位电流元在该点所受磁场力的大小与电流元方向之间的夹角的正弦值的乘 积，方向遵循右手定则。
波动现象中波矢描述
• 波矢：波矢是描述波动现象中波的传播方向和波长的物理量， 是一个矢量。在波动现象中，波矢用向量表示，其大小等于波 的角频率与光速的比值，方向指向波的传播方向。波矢在波动 现象的研究中具有重要意义，例如在光的干涉、衍射等现象中 需要用到波矢的概念。
到新的向量。
几何意义
02
数乘运算在几何上表现为向量的缩放，即改变向量的长度而不
改变其方向。
物理意义
03
在物理学中，数乘运算用于描述力的缩放或速度的变化，如一
个力的大小可以通过数乘运算进行调整。
点积、叉积运算及应用
点积运算的定义
两个向量的点积是将它们的对应分量相乘后相加 得到的标量。
7.1 向量的概念和向量的几何表示
概念分析
以点A 为起点，点 B为终点的有向线段可以 表示向量，如图7-2所示，记做向量AB .
向量的大小叫做向量的模.向量a ，向量 AB的模分别记为
a，AB . 大小为0的向量叫做零向量，记做0，零向量的方向是任意的. 大小为1的向量叫做单位向量. 大小相等且方向相同的向量叫做相等向量. 大小相等且方向相反的向量叫做相反向量.如图7-3.
第七章 平面向量
7.1 向量的概念和向 量的几何表示
观察归纳 形成概念
（1）踢足球时，用力越大，球就飞的越远，并且球总 是沿着其所受的力的方向飞去.
（2）如图7-1，用力朝水平方向推箱子，当力足够大时， 箱子向右运动.
探究： 力是一个既有大小又有方向的量.大家还能例举几个这
样的量吗？
归纳总结 概括定义
作
教材
P74 习题 7.1第1、2、3题
业
再见
定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
在自然界中，有许多既有大小又有方向的量，如力、
位移、速度等.
代数表示
向量的表示：
（1）向量可以用黑体字母a,b,c,…表示，手写为
a,
b,
c
；
（2）向量可以用有向线段（具有方向的线段）来表示，有 向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量 的方向.
几何表示
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行 向量又叫共线向量如图7-4. 规定：零向量与任何一个向量平行.
案例分析：
案例分析：
案例分析：
随堂练习：
课堂小结：
向量பைடு நூலகம்定义：
向量的表示：
向量模的表示：
特殊向量： （1）零向量： （2）单位向量： （3）相等向量： （4）相反向量： （5）共线向量（平行向量）：
向量的概念及表示
汇报人：
单击输入目录标题 向量的定义 向量的基本性质 向量的运算 向量的应用
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向量的定义
向量的概念
向量是数学中的一个基本概念表示一个量或一个方向
向量可以用一个箭头表示箭头的长度表示向量的大小箭头的方向表示向量的方向
向量可以表示为(x, y)的形式其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量 向量的加法和减法遵循平行四边形法则即两个向量的和或差等于这两个向量的平行四边形的对 角线向量
向量的数乘是指将向量的每个分量分别乘以一个常数得到一个新的向量 数乘不改变向量的方向只改变向量的长度 数乘的运算法则：(k * v) = (k * v1, k * v2, ..., k * vn) 数乘的性质：(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v)
向量的减法
向量减法的定义：将两个向量的相应分量进行减法运算得到新的向量 向量减法的表示：用向量符号表示减法如-B表示向量与向量B的减法 向量减法的性质：满足交换律、结合律和分配律 向量减法的应用：在物理、工程等领域广泛应用如力、速度、加速度等向量的减法运算
向量可以用来表 示平面的方向和 长度
向量可以用来表 示空间中的方向 和长度
向量在物理学中的应用
力学：描述力和位移等物理量 电磁学：描述电场和磁场等物理量 光学：描述光的传播方向和强度等物理量 量子力学：描述粒子的状态和运动轨迹等物理量
向量在工程学中的应用
电子学：描述电流和电压分 析电路和电子设备的工作原 理
向量的混合积
定义：向量的混合积是三个向量的 乘积
几何意义：表示三个向量所构成的 平行六面体的体积
添加标题
添加标题
运算法则：×b×c=·(b×c)
高中数学中的向量概念详解
高中数学中的向量概念详解向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
了解向量的概念，不仅有助于我们理解数学知识体系，也能帮助我们解决实际问题。
本文将详细介绍高中数学中的向量概念，包括向量的定义、表示、运算以及向量的性质等内容。
首先，我们来看一下向量的定义。
在高中数学中，向量通常用有向线段来表示。
有向线段具有方向和长度两个要素，其中方向表示向量的方向，长度表示向量的大小。
我们可以用一个有序对来表示一个向量，比如(a, b)，其中a是向量的横坐标，b是向量的纵坐标。
在向量的表示方面，有三种常见的方法：初等向量表示法、分量表示法和单位向量表示法。
初等向量表示法是将向量的起点放在坐标原点，终点放在对应的点上，用有向线段表示。
分量表示法是将向量的横纵坐标表示出来，比如(a, b)。
而单位向量表示法则是将向量的长度表示为1，这样可以简化向量的运算。
单位向量表示法中，我们通常用字母i和j来表示单位向量，其中i表示向量在x轴上的单位向量，j表示向量在y轴上的单位向量。
在向量的运算方面，有加法和数乘两种。
向量的加法是指两个向量相加得到第三个向量的运算。
向量的加法满足交换律、结合律和对称律，即向量的加法不受加法成分的顺序影响。
数乘是指一个标量与一个向量相乘的运算。
数乘的结果是一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正数）或相反（若标量为负数），长度为原向量长度与标量的乘积。
除此之外，向量还有一些重要的性质。
首先是向量的共线性与平行性。
若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向平行，但长度不相等，则它们是平行的。
其次是向量的模长。
向量的模长等于向量的长度，用两点之间的距离来计算。
模长为0的向量称为零向量。
最后是向量的夹角。
两个向量的夹角可以通过向量的点乘来计算。
若两个向量的夹角为0度，则它们是共线的；若两个向量的夹角为90度，则它们是垂直的。
在高中数学中，向量的应用非常广泛。
在几何中，向量用于计算线段的长度、判断线段的垂直性和平行性、计算面积和体积等。
7.1向量的概念和向量的几何表示
向量的几何表示 对于向量,我们常用带箭头的线段来表示, 线段按一定比例（标度）画出,它的长度 表示向量的大小,箭头表示向量的方向.
B(终点)
A(起点)
uuu r 表示: AB
具有方向的线段叫做有向线段
向量的几何表示
uuu r 线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度
uuu r 记作 AB
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上
a
b c
O
l B A
C
练习：判断下列命题的真假，并注意体会它 们之间的联系与不同 ⑴若a∥b，则a=b（×）
× ⑵若│a│=│b│则a=b（ ） × ⑶若│a│=│b│则a∥b（ ） √ ⑷若a=b，则│a│=│b│（ ）
是正六边形的中心， 【例】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出 如图， 相等的向量。 图中与向量 OA OB OC 、 、 相等的向量。
B A
C
O
F
D
E
解：
B A
OA = CB = DO
（一）向量的概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量。 注：1.向量两要素： 大小，方向 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是
不能比较大小的，因此向量不能比较大小。 注：向量的模是可以比较大小的 如： | CD | >| EF | , 但CD > EF 无意义
OB = DC = EO OC = AB = ED = FO
向量的概念与表
CONTENTS 目录
• 向量的定义与表示 • 向量的基本性质 • 向量的运算 • 向量的应用
CHAPTER 01
向量的定义与表示
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是几何学中一个基本概念，它不仅表示一个点或一个位置，还表示一个方向和大小。在二维空间中，向量通 常用有向线段表示，起点在原点，终点在平面内的一个点。在三维空间中，向量则用有向线段加上一个垂直于该 线段的单位向量表示。
CHAPTER 02
向量的基本性质
向量的加法
总结词
向量加法是向量空间中的一种基本运算 ，它满足结合律、交换律和单位元性质 。
VS
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一 个新的向量，其长度和方向由这两个向量 的相对位置决定。向量加法满足结合律， 即(a+b)+c=a+(b+c)，同时满足交换律， 即a+b=b+a。单位元性质指的是存在一个 零向量，使得任何向量与它相加都等于原 向量，即a+0=a。
度等。通过向量的运算，可以计算出物体在运动过程中的位置、速度和
加速度等参数。
03
电磁学中的向量表示
在电磁学中，向量常被用来表示电场、磁场等物理量。通过向量的运算，
可以描述电场和磁场的方向、大小和作用力等参数。
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用
在平面几何中，向量可以用来表示点、线段、角等几何元素。通过向量的运算， 可以描述点与点之间的距离、线段的长度和角度的大小等参数。
点乘是两个向量之间的一种内积运算，结果是一个标量 。
详细描述
向量的概念及表示
- ( - a) = ？
a = -c
三：向量之间的关系
5.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
a,b,c为 共 线向量
c bc
b
a
a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心， 在图中所标出的向量中： E
0 c =____ 2.若|a|>|b| ，则a > b 注:向量不能比较大小
BACK
（no）
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
2 不相等的单位向量有_____个.
BACK
小结:
定义 几何表示法：有向线段
表示
符号表示法：
a ，b
AB
向量
向量的有关概念
长度（模）
零向量 特殊向量
单位向量
向量间 的关系 平行（共线） 相等
OA BC
练习：
1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
BACK
练习：
1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
练习
1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 ( B )
A.相等向量 C.共线向量 C A B.模相等的向量 D.共起点的向量
Oபைடு நூலகம்
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定成
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1. 向量：具有大小和方向的量．
2．向量的表示方法 问题1 如何描述平面上一点的位移？
B 终点
A 始点
（1）用有向线段来表示向量．
（2）用 AB
或
a,b,c
...表示向量．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定的位置． 4．向量的两要素：大小与方向． 5．相等向量：同向且等长的向量．
北
A
B
C
精品jing
71向量的概念和向量的几何表示
【教学目标】
1.了解有向线段的概念，理解并掌握向量的 有关概念和向量相等的含义。
2.会用有向线段表示向量，并能根据图形判 定向量是否平行、相等。
3.通过教学培养学生数形结合的能力。
1.阅读教材P3的观察，观察它们有什么共同点？ 2. 你能举出向量的其他例子吗？
45
A
B
C
例 如图所示，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分 别写出与向量OA ，OB ，OC 相等的向量．
解：Байду номын сангаас
F
OA CB EF DO
A
OB FA DC EO
O
B
OC AB ED FO
E D
C
练习1 已知D，E，F是△ABC三边AB，BC，CA的
中点，分别写出与 DE ，EF ，FD 相等的向量．
b
c
d
特别地，我们规定零向量与任意向量平行．
9．位置向量 问题2 如何用向量确定平面内一点的位置？
a
A
O
向量 OA 通常称做点A相对于点O的位置向量．
例 在谈到天津相对于北京的位置时，我们说 “天津位于北京东偏南50 ，114km” ．
100km 北京 O 50
A 天津
练习2 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北 60，3cm”处，Q在点O“南偏西30，3cm”处，画出点
7．零向量：长度等于零的向量，记作 0 ．
8、负向量（反向量）：长度相等且方向相反的向量。 9、单位向量：长度为1的向量。
10．共线向量（或平行向量）：如果表示一些向量的有 向线段所在直线互相平行或重合，则称这些向量平行 或共线．
平行向量方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作 a ∥b．
a
P和Q相对于点O的位置向量．
1cm
P
60 O
东
30
Q
南
1. 向量的概念和向量的长度． 2．向量的两要素． 3．向量的表示方法． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
Thanks！
A 解：
DEAFFC
EFBDDA
D
F
FDCEEB
B
E
C
1. 向量：具有大小和方向的量． 2．向量的表示方法
（（12））用记有作向AB线或段来a,表b,示c向.量..．．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定的位置． 4．向量的两要素：大小与方向． 5．相等向量：同向且等长的向量． 6．向量的模：表示向量的有向线段 AB 的长度,记作| AB |．