第二章 第五节 函数的图像
2.5反馈控制系统的传递函数
一、系统的开环传递函数
闭环控制 R(s) 系统的典型
结构：
开环传递函数：
E(s)
_ G1(s)
B(s)
D(s)
+
C(s) G2(s)
H(s)
系统反馈量与误差信号的比值
Gk(s)=
B(s) E(s)
=G1(s)G2(s)H
(s)=G(s)H(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
求
DR(s()s) +_
_G3 G1
C(s)
H1
D(s) G1G2
G2G1 - H1
1+G1G2H1
D(s)
_
G2
C(s+)
C(s) G3
- -1
H-(21+H2/G1)
H2 /G1
解:
D(s) 系+统传G递3 函数为：
C(s)
R(s) = 0
H1
结 变构换图为CD((ss))= 1+G1GGG22H3(11++G-G21GGG32H1H21+- )GH21G2-1G3
解1+: 1RERG+1(G+(G(s1sDs)GG1)1)G(G=21s-GG21)2GH+32=GH3G13H0111HG2+2/2GGG结H121=1G构+1G2-+H图HG21G1变1+GG3GHG换122GH12G+为21G3G+H-：G13G2E2G(2sG)3H3 2
第五节 反馈控制系统的传递函数
B(s) H(s)
第五节 反馈控制系统的传递函数
2．扰动信号D(s)作用
高考数学《函数的图像》PPT复习课件
作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11；(4)y＝x2－2|x|－1.
20
[解] (1)先作出 y＝12x的图象，保留 y＝12x图象中 x≥0 的部分， 再作出 y＝12x的图象中 x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x| 的图象，如图①实线部分．
8
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象―x―轴x―轴下―及方―上部―方分―部翻―分折――不到―变上―方→y＝ |f(x)|
的
图象；
②y＝f(x)的图象―原―y轴y―轴左―右侧―侧―部部―分分―去翻―掉折―，―到右―左侧―侧不―变→y＝ f(|x|)
的图象．
9
[常用结论] 1．关于对称的三个重要结论 (1)函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3)若函数 y＝f(x)的定义域内任意自变量 x 满足：f(a＋x)＝f(a－x)， 则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称．
A
B
C
D
29
(1)D
(2)B
(3)A
[(1)∵f(－x)
＝cossi－n－x＋x－－xx2
＝－csoins
x＋x x＋x2
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝csoins ππ＋＋ππ2＝－1π＋π2＞0，∴选 D.
(2)当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当 x＝1 时，－f(2－x)＝
高考数学《函数的图像》PPT复习 课件
[最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图 象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．
北师大版高中数学必修一第二章 函数第五节简单的幂函数之函数的奇偶性说课课件(共22张PPT)
教材分析 教学重点、难点
教法、学法
学情分析 教学目标
教学过程
教学反思
板书设计
教材分析
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学 生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到 抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍 了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数 概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、 对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此， 本节课起着承上启下的重要作用
指导观察、形成概念
考察下列函数：
f (x) x2
思考1:观察这个函数的图象，并讨论有何特征？
思考2:对于上述函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)有什么
关系？ 12
f(a)与f1(0 -a)f呢x =？x2
8
思考3:怎样定义偶函数？ 6
思考4:函数 f (x) x2 , x [3, 2] 偶函数吗？ 4
f(x)≠0
若f(-x)/f(x)=-1，则f(x)为奇函数；
若f(-x)/f(x)=1，则f(x)为偶函数。
完成“函数奇偶性”概念的第三 个层次。
讲练结合，巩固新知
例. 利用定义判断下列函数的奇偶性
f (x) x3 2x
练习：利用定义判断下列函数的奇偶性
(1)f (x) x 1 (2)f (x) x2 -1
f (x) x -2
(1)f (x) x3 , x [1,1]
(2)f (x) x3 , x [1,1) -4
(3)f (x) x3, x [2,1) [1,2]-6
-8
强化定义，深化内涵
对奇函数、偶函数定义的说明: (1)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么
我们就说函数f(x) 具有奇偶性。 (2)函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 (3)若f(x)为奇函数, 则对于定义域中的任意x,
函数图像总结
函数图像总结函数图像是指函数在直角坐标系中的图形表示。
通过观察函数图像，可以了解函数的基本特征和性质。
下面我将对常见的函数图像进行总结。
一、一次函数图像：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
当k>0时，函数图像呈现正斜率，向右上方倾斜；当k<0时，函数图像呈现负斜率，向右下方倾斜；当k=0时，函数图像为水平直线；当b>0时，函数图像在y轴上方截距b的位置；当b<0时，函数图像在y轴下方截距-b的位置。
二、二次函数图像：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了函数的开口方向和开口大小，b决定了函数图像的对称轴位置，c决定了函数图像与y轴的交点。
当a>0时，函数图像向上开口；当a<0时，函数图像向下开口；当b=0时，函数图像的对称轴为y轴；当b>0时，函数图像的对称轴在原点的右侧；当b<0时，函数图像的对称轴在原点的左侧。
三、指数函数图像：指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为底数。
当底数a>1时，函数图像呈现增长趋势，向上凸起；当0<a<1时，函数图像呈现递减趋势，向下凹陷；当a=1时，函数图像为水平直线。
四、对数函数图像：对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为底数。
当底数a>1时，函数图像呈现增长趋势，向右上方倾斜；当0<a<1时，函数图像呈现递减趋势，向右下方倾斜；当a=1时，函数图像为y轴。
五、三角函数图像：常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数的图像呈现周期性的波形，振动范围在[-1,1]之间；余弦函数的图像也呈现周期性的波形，振动范围也在[-1,1]之间；正切函数的图像在某些点上发生突变，振动范围在整个坐标轴上。
总结以上几种函数图像，可以根据函数的数学表达式和特点来推测图像的形状和性质，进而帮助解决与函数相关的问题。
第二章第五节《水循环》苏科版物理八年级上册(共17张PPT)
京杭大运河是南北航运的“黄金水道”
水循环伴随着水的物态变化过程，熔化、凝固、汽化、液化、升华、凝华都是物态变化的具体形式。
同时，随着人口和经济的快速增长，水污染日益加剧，因此可利用的淡水资源正面临危机
水循环伴随着水的物态变化过程，熔化、凝固、汽化、液化、升华、凝华都是物态变化的具体形式。
而可利用的淡水，只占地球上淡水资源的10%还不到!这说明，地球上的水虽然很多，但可利用的淡水却很少。
地球上淡水主要来自降雨、降雪、冰川和地下水，他们的总和仅约占地球总水量的3%；
请大家观察图2-41 水循环示意图，填写空格中所经历的物态变化
而可利用的淡水，只占地球上淡水资源的10%还不到!这说明，地球上的水虽然很多，但可利用的淡水却很少。
京杭大运河是南北航运的“黄金水道”
水循环伴随着水的物态变化过程，熔化、凝固、汽化、液化、升华、凝华都是物态变化的具体形式。 地球表面的71%被水覆盖着，这说明地球拥有大量的水，而且，水即使变成水蒸气上升到天空，他最终还是会回到地球表面，那么，为什么人类还会面临“水荒”呢？
而可利用的淡水，只占地球上淡水资源的10%还不到!这说明，地球上的水虽然很多，但可利用的淡水却很少。 非洲草原上的斑马常常为寻找水源而四处奔波 地球上淡水主要来自降雨、降雪、冰川和地下水，他们的总和仅约占地球总水量的3%； 非洲草原上的斑马常常为寻找水源而四处奔波
京杭大运河是南北航运的“黄金水道”
地球上淡水主要来自降雨、降雪、冰川和地下水，他们的总和仅约占地球总水量的3%； 非洲草原上的斑马常常为寻找水源而四处奔波 非洲草原上的斑马常常为寻找水源而四处奔波 京杭大运河是南北航运的“黄金水道” 京杭大运河是南北航运的“黄金水道” 非洲草原上的斑马常常为寻找水源而四处奔波 而可利用的淡水，只占地球上淡水资源的10%还不到!这说明，地球上的水虽然很多，但可利用的淡水却很少。 宏伟的三峡工程利用水来发电 水循环伴随着水的物态变化过程，熔化、凝固、汽化、液化、升华、凝华都是物态变化的具体形式。 地球上淡水主要来自降雨、降雪、冰川和地下水，他们的总和仅约占地球总水量的3%； 请大家观察图2-41 水循环示意图，填写空格中所经历的物态变化
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
微分几何第二章曲面论第五节曲面论的基本定理
Lij pl k n ( Lij Lkp g )rl u l p
l ij p l p k rl ij pk rl ij L pk n l u p l p
l ij
移项得：
l ik pl p l p l ( L L L L ) g ( ) (1) ij kp ik jp ij pk ik pj k j u p p u L Lik ij p p ( L ( 2) ij L pk ) u k u j ik pj p l l p l p l 令 Rijk k ik ( ij pk ik pj ) j u u p l pl R ( L L L L ) g 则(1)式变为： ijk ij kp ik jp l ij l ij
II Ldu2 2 Mdudv Ndv2
L11du1du1 L12du1du2 L21du2du1 L22du2du2
Lij dui du j ,
i, j
a b a 注意： b ,
a b a b ,
,
a b a b , ,
2 1
曲面的基本方程为：
k r ij ij rk Lij n k kj ni Lik g r j j ,k
Gauss 方程
( i , j 1,2)
Weingarten方程
5.2 曲面的黎曼曲率张量和G-C-M公式
1. G C M公式
仿射标架{ P; r1 , r2 , n} r11 , r12 r21 , r22 , 即r ( i , j 1,2) ij n1 , n2 , 即n ( i 1,2) i 可表为r1 , r2 , n的线性组合.
北师版高考总复习一轮理科数精品课 第2章 函数的概念与性质 第5节 指数与指数函数
对点训练2(2021陕西西安一中月考)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图像经
过第二、三、四象限,一定有(
A.0<a<1且b<0
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b>0
D.a>1且b<0
)
答案:A
解析:如图所示,从图像上看出其是一个减函数,则0<a<1;
图像与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零),
x
x
,
≤
1
.
2
1
4 +1
≤
1
,
2
1
,若-6≤f(x)≤0,则实数
考向3.指数函数性质的综合应用
典例突破
例6.(1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是递增的,则m
的取值范围是
(2)函数f(x)=4x-2x+1的递增区间是
.
.
答案:(1)(-∞,4]
(2)[0,+∞)
会指数函数是一类重要的函数模型.
衍生考点
核心素养
1.指数幂的运算
2.指数函数的图 1.直观想象
像及应用
2.逻辑推理
3.指数函数的性 3.数学运算
质及应用
强基础 增分策略
1.根式
(1)根式的概念
xn=a⇒
x=
n
(为奇数,且 > 1,∈N * ),
= ± ( > 0,为偶数,且 > 1,∈N* ).
当x<0时,3x<2x<1,又f(x)在(-∞,1)上是减少的,∴f(bx)<f(cx).
新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件
1．(方向 1)函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( D )
解析：当 a>1 时函数单调递增，且函数图象过点0，1－1a， 因为 0<1－1a<1，故 A，B 均不正确；当 0<a<1 时，函数单调递减， 且函数恒过点0，1－1a，因为 1－1a<0，所以知 D 项正确．
2．(方向 2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值
(2)2a·2b＝2a＋b.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为 1，
②指数为 x，③底数 a>0 且 a≠1.
(4)当 a>1 时，由 am<an，得 m<n，
当 0<a<1 时，由 am<an，得 m>n.
2．小题热身
(1)化简4 16x8y4(x<0，y<0)得( D )
A．2x2y
所以
a－ a＋
bb2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝15.
因为 a>b>0，所以
a>
b，所以
a－ a＋
b＝ b
5 5.
考点二 指数函数的图象及应用 命题方向 1 图象的识别
【例 2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y＝a1x，y＝loga(x
＋12)(a>0，且 a≠1)的图象可能是( D )
y＝|2x－2|， y＝b
有两个交点(如图)，可知 0<b<2.
方法技巧 指数函数图象的画法判断及应用方法,1画判断指数函数 y＝ axa>0，a≠1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，1，－1，1a. 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数 的图象，通过平移、对称变换得到其图象. 3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数数形结合求解.
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
指数与指数函数ppt课件
2．已知函数 f (x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为( B )
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(3,2)
D．(2,2)
【解析】 ∵a0＝1，∴当 x＝2 时，y＝3，∴图象过点(2,3)．故选 B．
3．化简4 16x4y8(x<0，y<0)＝__－__2_x_y_2 _. 【解析】 4 16x4y8＝|2xy2|，又 x<0，y<0，∴原式＝－2xy2.
第二章 函数
第五节 指数与指数函数
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．根式的概念及性质 (1)如果xn＝a，那么____x___叫做a的n次方根． (2)式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使n a有意义．负数没有偶次方根)． ②当n为奇数时，n an＝___a____； 当n为偶数时，n an＝____|_a_| __＝a－，aa，≥a0<，0.
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f (x)＝13g(x)，由于 f (x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值 a>0，
－1，因此必有3a－ a 4＝－1， 解得 a＝1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，＋∞)， 应使 y＝ax2－4x＋3 的值域为 R， 因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 y＝ax2－4x＋3 为二次函数，其值域不可能为 R)．
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】
(1)把
b
化简为
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 函数的图象)
第五节 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0， 即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1， 当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
函数的图像课件
A
A
2个
13 3
1, 5
。
。
3
（B）
D1
C1
A1
E
B1
M
D
C A
F
C
B
D
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法：
(1)知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． (2)知式选图： ①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，
函数的图像
“左+右-” “上+下-”
y轴 x轴
原点
yx
保留x轴上方的图像，将x轴下方图像翻折上去 保留y轴右侧的图像，并作其关于y轴对称的图像
a a
1 O
画函数图象的一般方法：
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数 或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接 作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序， 对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸 缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． (3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法． 为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合 函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
B
3 4
,1
C
0，1 2
函数的图像
函数的图像◎ 函数的图像的定义函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．◎ 函数的图像的知识扩展函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
◎ 函数的图像的知识点拨由函数解析式画其图象的一般步骤：①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来．利用函数的图象解决实际问题，其关键是正确识别横轴和纵轴的意义，正确理解函数图象的性质，正确地识图、用图．函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：①由图象的定义可知图象上任意一点P（x，y）中的x，y是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上；②通常判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上，反之亦然；③两个函数图像的交点就是饿两个函数解析式所组成的方程组的解。
◎ 函数的图像的教学目标1、理解函数图像的意义；会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图像进行描述表达，初步认识函数与图像的对应关系。
2、学会观察图像、识别图像及理解图像所表示的含义。
3、渗透数形结合思想，体会到数学来源于生活,又应用于生活。
4、培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力。
◎ 函数的图像的考试要求能力要求：理解课时要求：40考试频率：选考分值比重：3。
2015届高考数学总复习第二章 第五节指数与指数函数课件 理
6
2×3＝6.
指数函数图象特征及单调性的应用 【例2】 可能是( (1)(2012· 四川卷)函数y＝ax－ ) (a>思路点拨： 本题主要考查指数函数的图象特征及 利用指数函数的单调性比较大小的基本方法． 自主解答：
(1)解析：(法一)当a>1时，函数y＝ax－ 而当x＝0时，y＝a0－＝1－ 0<1－
x × x
3 5
x x
x x
(x>0)；
(2)2 3× 1.5× 12.
15 解析：(1)原式＝ 10
x × x
6 15
x x
10 × 6
x x
＝1.
3 3 6 2 (2)2 3× 1.5× 12＝2× 3× × 2 ×3＝ 2 3 6
2 6 32 6 6 3 2 3 2 2× 33× 3 × 2× 2 ×3＝2× 2×2 ×3＝ 2 2
h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3) 由指数函数的性质知，要使 y ＝
h(x) 的值域为 (0 ，＋
∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不
或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝ 或4， 即2x＝ ＝2－1或2x＝4＝22， ∴x＝－1或2，即原方程的解集为{－1,2}． (2)设y＝5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程 y2－4y－m＝0在 (0,1]内有实根． (法一)设f(y)＝y2－4y－m，其对称轴为y＝2，
《函数的图像》PPT课件
y/米
y/米
y/米
y/米
1500
1500
1500
1500
1000
1000
1000
1000
500
500
x/分 O 10 20 30 40 50
x/分 O 10 20 30 40 50
500
x/分 O 10 20 30 40 50
500
x/分 O 10 20 30 40 50
A．
B．
C．
D．
3.李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同 时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分 别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息
可知，下列结论中正确的是（ B ） ．
Ａ．李华先到达终点 Ｂ．弟弟的速度是8米／秒 Ｃ．弟弟先跑了10米 Ｄ．弟弟的速度是10米／秒
s/米
t/秒
中考实战
甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知
乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间
t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法：
Ａ.他们都骑了２０km；
（1）注水、加热和淋浴分别用了多少 时间？ （2）水箱的最大贮水量是多少升？ （3）当淋浴开始后15min，水箱中还 有水多少升？
2．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出 发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用 了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考 试．下列图象中，能反映这一过程的是 （ D ）．
3.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直而且有公共原点的数 轴，水平的一条叫做x轴或横轴，习惯上取向 右 的方向为正方 向， 铅直 的一条叫做 y轴 或 纵轴，取向上的方向为正方向，这就 组成了平面直角坐标系.
高等数学上册第二章第五节 高阶导数
uv n unv nun1v nn 1 un2v
2!
nn 1n 2n k 1 unk vk uvn .
k!
11
uv n unv nun1v nn 1 un2v
2!
nn 1n 2n k 1 unk vk uvn .
例9 y x2e2 x ,求y20 .
2
y cos x
2
sin x
2 2
sin x 2 ,
2
y cos x 2 sin x 3 ,
2
2
6
,
y n sin x n .
2
即
(sin x)n sin x n .
2
同样可求得
cos xn cos x n .
2
例6 求y ln1 x的n阶导数.
2
n
阶 公
cos xn cos x n .
2
式
ln(1
x) n
1 n1
n 1! 1 xn
.
莱布尼兹公式
uv
n
n
k 0
C
k n
u
nk
v
k
2
第五节 高阶导数
1.概念:
定义: 若函数 y f ( x) 的导数 y' f '( x) 仍是 x 的函数，
就把 y' f '( x) 的导数叫做函数 y f ( x)的二阶导数。 一般的:
解： y na0 x n1 n 1a1 x n2 2an2 x an1 ,
y nn 1a0 xn2 n 1n 2a1 xn3 3 2an3 x 2an2 ,
,
y n n!a0 .
例5 求y sin x的n阶导数.
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[考题范例] (2011· 天津高考)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b＞1.
设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝ )
f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( A．(－1,1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(1,2] B．(－2，－1]∪(1,2] D．[－2，－1]
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[巧妙运用] 依题意可得
x2－2，－1≤x≤2， f(x)＝ x－1，x＜－1或x＞2，
作出其示意图如图所示． 由数形结合知， 实数c需有1＜c≤2或－2＜c≤－1.
答案：B
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[题后悟道] 解答本题利用了数形结合思想，属于“以形助数”，是 指把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思
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3．(2011· 沈阳六校联考)函数y＝2x－x2的图像大致是(
)
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解析：画出函数y＝2x，y＝x2的图像可知两个函数图像 有三个交点，所以函数y＝2x－x2的图像与x轴有三个
交点，故排除B、C；当x很小时2x－x2<0，排除D.
答案： A
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[冲关锦囊] “看图说话”常用的方法有 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像
答案： B
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4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图像，只需 把函数y＝2x的图像上所有的点向______平移______ 个单位长度． 答案：右 3
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5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的
取值范围是________．
解析：由题意知，a＝|x|＋x
2x，x≥0， 令y＝|x|＋x＝ 0，x＜0，
D．④③①②
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解析：第一个图像过点(0,0)，与④对应； k 第二个图像为反比例函数图像，表达式为y＝x，③y＝x－1恰好 符合，∴第二个图象对应③； 第三个图像为指数函数图像，表达式为y＝ax，且a>1，
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①y＝2x恰好符合， ∴第三个图像对应①； 第四个图像为对数函数图像，表达式为y＝logax，且 a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②. ∴四个函数图像与函数序号的对应顺序为④③①②. 答案：D
第 二 章
抓 基 础
第 五 节 函 数 的 图 像
函 数、 导 数 及 其 应 用
明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
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[备考方向要明了] 考 什 么 会运用函数图像理解和研究函数的性质
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怎 么 考 1.函数的图像是近几年高考的热点； 2.运用函数的图像研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值)、 图像的变换、图像的运用(方程的解、函数的零点、不等 式的解、求参数值)等问题是重点，也是难点； 3.题型以选择题和填空题为主.
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一、利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数 的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、
单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、
最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)，最后：描点，连 线．
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二、利用基本函数的图像作图 1．平移变换 (1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图像，可由y＝f(x)的图像 向 左 (＋)或向 右 (－)平移 a个 单位而得到．
图像如右图所示： 观察图像可知要使a＝|x|＋x只有一解，则只需a>0.
答案： (0，＋∞)
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函数图像是高考的必考内容，其中作图、识图、用图 也是学生必须掌握的内容． (1)作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．特别是 图像变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要 记住它们的变换规律．
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(2)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及 一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起 足够的重视． (3)用图，主要是数形结合思想的应用.
(4)要得到y＝|f(x)|的图像，可将y＝f(x)的图像在x轴下方的
部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． (5)要得到y＝f(|x|)的图像，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出， 再利用偶函数的图像关于 y轴 的对称性，作出x＜0时的 图像． 返回
3．伸缩变换 (1)y＝Af(x)(A>0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的纵坐 标变为 原来的A倍 ，横坐标不变而得到． (2)y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的横坐 1 标变为 原来的 a 倍 ，纵坐标不变而得到．
的图像恰有3个不同的公共点．
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[冲关锦囊] 1．函数图像形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶 性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直 观性，因此常用函数的图像研究函数的性质． 2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系
来解．
3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图像的交点个 数问题来求解． 返回
(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图像，可由y＝f(x)的图像
向 上 (＋)或向 下 (－)平移 b个 单位而得到．
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2．对称变换 (1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 对称． (2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称． (3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点 对称．
维为形象思维，揭示数学问题的本质．本题首先作出f(x)
的图象，观察图像上、下平移后与x轴交点情况确定c的范 围，应注意c的端点值．
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点击此图进入
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的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型， 利用这一函数模型来分析解决问题.
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[精析考题] [例3] (2011· 新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2， 当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y
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1．一次函数f(x)的图像过点A(0,1)和B(1,2)，则下列
各点在函数f(x)的图像上的是 A．(2,2) C．(3,2) B．(－1,1) D．(2,3) ( )
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解析：一次函数f(x)的图像过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)
＝x＋1，代入验证D满足条件． 答案：D
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2．函数y＝x|x|的图像大致是
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
4 ． (2011· 海 交 大 附 中 月 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 上
2－x－1，x≤0， fx－1，x>0，
若方程 f(x)＝x＋a 有且只有两个不 ( )
相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 A．(－∞，0] C．(－∞，1) B．[0,1) D．[0，＋∞)
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解析：当x>0时，因为f(x)＝f(x－1)，所 以当x>0时，f(x)是以1为周期的函数，又 当0<x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1) ＝2
1－x
1 －1＝2·2 x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成
是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图像的交点个数，画出函 数的图像，如图，由图像可知，实数a的取值范围是(－ ∞，1)．
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[精析考题]
[例2] (2011· 陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝ f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是 ( )
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[自主解答]
表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函
数，表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，
再结合选项图像不难看出正确选课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 临沂一模)已知函数：①y＝2x；②y＝log2x； ③y＝x ；④y＝ x .则下列函数图像(在第一象限部分)从左 到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
－1
1 2
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A．②①③④
B．②③①④
C．④①③②
＝|lg x|的图像的交点共有
A．10个 C．8个 B．9个 D．1个
(
)
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[自主解答]
根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式
可作图如下：
可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0<x<10时，|lg x|<1； x>10时|lg x|>1. 结合图像知y＝f(x)与y＝|lg x|的图像交点共有10个． [答案] A
x≥0， 图像如图③. x<0.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．分别画出下列函数的图像： (1)y＝|x－2|(x＋1)；
1|x| (2)y＝2 .
返回
x2－x－2，x≥2， 解：(1)∵y＝|x－2|(x＋1)＝ －x2＋x＋2，x<2.
返回
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[精析考题] [例1] 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2
(3)y＝x2－2|x|－1.
返回
[自主解答]
lg x， (1)y＝ －lg x，
x≥1， 图像如图①. 0<x<1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图像如图②.
x2－2x－1， (3)y＝ 2 x ＋2x－1，
答案：C 返回
5．(2012· 沈阳模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝ 1x 2－2 ，x≤0， 1x2＋1，x>0 2 的图像恰有3个不同的公共点，
则实数m的取值范围是________．