第二章 第五节 函数的图像

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[考题范例] (2011· 天津高考)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b＞1.
设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝ )
f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( A．(－1,1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(1,2] B．(－2，－1]∪(1,2] D．[－2，－1]
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[巧妙运用] 依题意可得
x2－2，－1≤x≤2， f(x)＝ x－1，x＜－1或x＞2，
作出其示意图如图所示． 由数形结合知， 实数c需有1＜c≤2或－2＜c≤－1.
答案：B
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[题后悟道] 解答本题利用了数形结合思想，属于“以形助数”，是 指把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思
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3．(2011· 沈阳六校联考)函数y＝2x－x2的图像大致是(
)
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解析：画出函数y＝2x，y＝x2的图像可知两个函数图像 有三个交点，所以函数y＝2x－x2的图像与x轴有三个
交点，故排除B、C；当x很小时2x－x2<0，排除D.
答案： A
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[冲关锦囊] “看图说话”常用的方法有 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像
答案： B
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4．(教材习题改编)为了得到函数y＝2x－3的图像，只需 把函数y＝2x的图像上所有的点向______平移______ 个单位长度． 答案：右 3
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5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的
取值范围是________．
解析：由题意知，a＝|x|＋x
2x，x≥0， 令y＝|x|＋x＝ 0，x＜0，
D．④③①②
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解析：第一个图像过点(0,0)，与④对应； k 第二个图像为反比例函数图像，表达式为y＝x，③y＝x－1恰好 符合，∴第二个图象对应③； 第三个图像为指数函数图像，表达式为y＝ax，且a>1，
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①y＝2x恰好符合， ∴第三个图像对应①； 第四个图像为对数函数图像，表达式为y＝logax，且 a>1，②y＝log2x恰好符合，∴第四个图象对应②. ∴四个函数图像与函数序号的对应顺序为④③①②. 答案：D
第 二 章
抓 基 础
第 五 节 函 数 的 图 像
函 数、 导 数 及 其 应 用
明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
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[备考方向要明了] 考 什 么 会运用函数图像理解和研究函数的性质
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怎 么 考 1.函数的图像是近几年高考的热点； 2.运用函数的图像研究函数的性质(单调性、奇偶性、最值)、 图像的变换、图像的运用(方程的解、函数的零点、不等 式的解、求参数值)等问题是重点，也是难点； 3.题型以选择题和填空题为主.
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一、利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数 的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、
单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、
最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)，最后：描点，连 线．
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二、利用基本函数的图像作图 1．平移变换 (1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图像，可由y＝f(x)的图像 向 左 (＋)或向 右 (－)平移 a个 单位而得到．
图像如右图所示： 观察图像可知要使a＝|x|＋x只有一解，则只需a>0.
答案： (0，＋∞)
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函数图像是高考的必考内容，其中作图、识图、用图 也是学生必须掌握的内容． (1)作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．特别是 图像变换法，有平移变换、伸缩变换和对称变换，要 记住它们的变换规律．
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(2)识图时，要留意它们的变化趋势，与坐标轴的交点及 一些特殊点，特别是对称性、周期性等特点，应引起 足够的重视． (3)用图，主要是数形结合思想的应用.
(4)要得到y＝|f(x)|的图像，可将y＝f(x)的图像在x轴下方的
部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． (5)要得到y＝f(|x|)的图像，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出， 再利用偶函数的图像关于 y轴 的对称性，作出x＜0时的 图像． 返回
3．伸缩变换 (1)y＝Af(x)(A>0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的纵坐 标变为 原来的A倍 ，横坐标不变而得到． (2)y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)图像上所有点的横坐 1 标变为 原来的 a 倍 ，纵坐标不变而得到．
的图像恰有3个不同的公共点．
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[冲关锦囊] 1．函数图像形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶 性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直 观性，因此常用函数的图像研究函数的性质． 2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系
来解．
3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图像的交点个 数问题来求解． 返回
(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图像，可由y＝f(x)的图像
向 上 (＋)或向 下 (－)平移 b个 单位而得到．
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2．对称变换 (1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 对称． (2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称． (3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点 对称．
维为形象思维，揭示数学问题的本质．本题首先作出f(x)
的图象，观察图像上、下平移后与x轴交点情况确定c的范 围，应注意c的端点值．
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的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型， 利用这一函数模型来分析解决问题.
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[精析考题] [例3] (2011· 新课标全国卷)已知函数y＝f(x)的周期为2， 当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y
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1．一次函数f(x)的图像过点A(0,1)和B(1,2)，则下列
各点在函数f(x)的图像上的是 A．(2,2) C．(3,2) B．(－1,1) D．(2,3) ( )
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解析：一次函数f(x)的图像过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)
＝x＋1，代入验证D满足条件． 答案：D
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2．函数y＝x|x|的图像大致是
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
4 ． (2011· 海 交 大 附 中 月 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ 上
2－x－1，x≤0， fx－1，x>0，
若方程 f(x)＝x＋a 有且只有两个不 ( )
相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 A．(－∞，0] C．(－∞，1) B．[0,1) D．[0，＋∞)
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解析：当x>0时，因为f(x)＝f(x－1)，所 以当x>0时，f(x)是以1为周期的函数，又 当0<x≤1时，x－1≤0，所以f(x)＝f(x－1) ＝2
1－x
1 －1＝2·2 x－1.方程f(x)＝x＋a的根的个数可看成
是两个函数y＝f(x)与y＝x＋a的图像的交点个数，画出函 数的图像，如图，由图像可知，实数a的取值范围是(－ ∞，1)．
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[精析考题]
[例2] (2011· 陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝ f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是 ( )
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[自主解答]
表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函
数，表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，
再结合选项图像不难看出正确选课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 临沂一模)已知函数：①y＝2x；②y＝log2x； ③y＝x ；④y＝ x .则下列函数图像(在第一象限部分)从左 到右依次与函数序号的正确对应顺序是 ( )
－1
1 2
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A．②①③④
B．②③①④
C．④①③②
＝|lg x|的图像的交点共有
A．10个 C．8个 B．9个 D．1个
(
)
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[自主解答]
根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式
可作图如下：
可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0<x<10时，|lg x|<1； x>10时|lg x|>1. 结合图像知y＝f(x)与y＝|lg x|的图像交点共有10个． [答案] A
x≥0， 图像如图③. x<0.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．分别画出下列函数的图像： (1)y＝|x－2|(x＋1)；
1|x| (2)y＝2 .
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x2－x－2，x≥2， 解：(1)∵y＝|x－2|(x＋1)＝ －x2＋x＋2，x<2.
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[精析考题] [例1] 分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2
(3)y＝x2－2|x|－1.
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[自主解答]
lg x， (1)y＝ －lg x，
x≥1， 图像如图①. 0<x<1.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图像如图②.
x2－2x－1， (3)y＝ 2 x ＋2x－1，
答案：C 返回
5．(2012· 沈阳模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝ 1x 2－2 ，x≤0， 1x2＋1，x>0 2 的图像恰有3个不同的公共点，
则实数m的取值范围是________．
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解析：在同一坐标系中作出函数y＝mx(m ∈R)与函数y＝f(x)的图像如图所示． 可以求得，当m＝ 2 时，直线y＝ 2 x与函 1 2 数y＝ x ＋1(x>0)的图像相切． 2 观察图像可知，当m> 1x 2－2 ， x≤0 ＝ 1x2＋1， x>0 2 答案：( 2，＋∞) 2 时，直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)
在每一段上作出简图，如图(1)； (2)∵该函数为偶函数，
1x ∴先作出y＝2 在x≥0上的图像，再利用函数的对称性作出在x<0
时的图像，如图(2)．
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[冲关锦囊]
为了正确地作出函数的图像，必须做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、 1 指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋x的函数； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换 等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.
(
)
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解析：函数y＝x|x|为奇函数，图像关于原点对称．
答案：A
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1 3．(教材习题改编)在同一坐标系内，函数y＝x (a<0)和y＝ax＋a的
a
图像可能是如图中的
(
)
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1 解析：∵a<0，∴y＝ax＋ a 的图像不过第一象限．还可知函数y＝ 1 xa(a<0)和y＝ax＋a在各自定义域内均为减函数．