无刻度直尺作图

所谓无刻度作图是指使用无刻度直尺进行作

图，直尺的功能是作直线．此类作图需要先根据图形性质分析找出直线经过两点的位置，然后再作出

直线．下面举例加以说明．

一、作点例１ （２０１５年四川省自贡）如图 １－

１，

将线段ＡＢ 放在边长为１的小正方形网格，点Ａ 点

Ｂ 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段

ＡＢ 上画出点Ｐ，使ＡＰ＝２ １７

，并保留作图

３

痕迹．

形若对应线段（或延长线）相交，交点在对称轴上，故如图２－２，延长ＡＢ、ＤＥ交于Ｐ，延长ＣＢ、ＦＥ交于Ｑ，过Ｐ、Ｑ两点的直线即为所求直线ｌ．

三、作角平分线例３ 如图３－１，

已知△ＡＢＣ

是圆Ｏ 的

内接三角形，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ 是圆上任意一点．请你用无刻度的直尺，画出图中 ∠Ｐ 的平分线（用虚线表示）．

图

１－１

图

１－２

解析 由勾股定理可知ＡＢ＝

１７，因为

ＡＰ＝２ １７

，所以点Ｐ 将线段ＡＢ 内分成２：１ ３

两部分，由网格竖线互相平行，如图１－２，取格点

Ｃ 和Ｄ，使ＡＣ＝２ＢＤ，根据相似三角形对应边成

比例，可知ＣＤ 与ＡＢ 的交点即为所求点

Ｐ． 二、作对称轴例２ （２０１４年江西省抚州）如图 ２－１，

△ＡＢＣ 与 △ＤＥＦ 关于直线ｌ对称，请用无刻度的直尺，作出直线ｌ．

图

２－１

图

２－２

解析 由轴对称性质知，成轴对称的两个图

图

３－１

图

３－２

解析 由等弧所对圆周角相等，欲作出

∠Ｐ 的平分线，只要找出ＢＣ的中点，如图３－２， 由ＡＢ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＣ 可知ＡＯ 垂直平分ＢＣ，

由垂径定理，ＡＯ必平分ＢＣ，所以作出过Ａ 的直径

ＡＤ，连接ＰＤ，ＰＤ 即为∠Ｐ的平分线．

四、作弦

例４

（

２０１５年南昌）如图 ４－１，⊙Ｏ 为

△ＡＢＣ 的外接圆，直线ｌ与 ⊙Ｏ 相切于点Ｐ，且ｌ∥ＢＣ．请仅用无刻度的直尺，在图中画出一条弦，使这条弦将 △ＡＢＣ 分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）．

解析 因为三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，所以本题即转化为求作三角形的中线．如图４－２，由ｌ切 ⊙Ｏ 于点Ｐ，作射线ＰＯ，交

ＢＣ 于点Ｅ，则ＰＯ⊥ｌ，由ｌ∥ＢＣ，得

ＰＯ⊥ＢＣ，根据垂径定理，点Ｅ 是ＢＣ 的中点，连接

ＡＥ 交⊙Ｏ 于Ｆ，则ＡＦ 为所求作的弦．

∴ 如图２，点Ｅ的坐标为（０，１），点Ｆ的坐标为（４，３）．

设点Ａ平移后的对应点为点Ａ′，点Ｄ平移后的对应点为点Ｄ′．

当图像Ｇ向下平移至点Ａ′与点Ｅ重合时，点Ｄ′在直线ＢＣ上方，此时ｔ＝１；

当图像Ｇ向下平移至点Ｄ′与点Ｆ重合时，点Ａ′在直线ＢＣ下方，此时ｔ＝３．

结合图像可知，符合题意的ｔ的取值范围

是１＜ｔ≤３．

例３（２０１４年北京中考）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线ｙ＝２ｘ２＋ｍｘ＋ｎ经过点Ａ（０，－２），Ｂ（３，４）．

（１）求抛物线的表达式及对称轴；（２）设点Ｂ

关于原点的对称点为Ｃ，点Ｄ

是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在Ａ，Ｂ之间的部分为图像Ｇ（包含Ａ，Ｂ两点）．若直线ＣＤ与图像Ｇ有公共点，结合函数图像，求点Ｄ纵坐标ｔ的取值范围．

分析（１）略；（２）ｔ的改变引起Ｄ点位置的改变，相当于直线ＣＤ在旋转．当Ｄ与抛物线顶点重合时，出现一个临界位置，求得ｔ的最小值；当Ｄ与Ｂ点重合时，出现另一个临界位置，求得ｔ的最大值．

解由题意得Ｃ（－３，－４），二次函数ｙ＝２ｘ２－４ｘ－２的最小值为－４，Ｄ纵坐标最小值为－４（如图３）．

设直线ＢＣ解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ

，

将

Ｂ与Ｃ坐标代

入得

３ｋ＋ｂ＝４，

｛

－３ｋ＋

ｂ＝－４，

ｋ＝

４

，

解得３ｂ＝０．

∴直线ＢＣ解

析式为４，图３

３

当ｘ＝１时，＝

４

，

ｙ

３

则ｔ的范围为－４≤ｔ≤

４

３．

同学们，解决了以上三个“求取值范围”问

题后对其中的方法你有什么体会？所求字母的变化引起图形位置的改变，在这个变化过程中，符合题目要求的位置从哪里开始到哪里结束，动手画图，定出临界位置，从而确定字母取值范围．希望同学们养成做题后归纳总结的好习惯，

提炼出自己解决各类数学问题的方法．

）

图４－１图

４－２

五、作高例５如图５－１，ＡＢ是半圆的直径，

点

Ｃ在半圆内，请仅用无刻度的直尺在图中画出

△ＡＢＣ中ＡＢ边上的高．

图５－１图

５－２

解析根据直径所对的圆周角是９０°及三角形的三条高相交于一点，如图５－２，延长

ＡＣ、ＢＣ分别交半圆于点Ｅ、Ｆ，连接ＡＥ，ＢＦ，

并延长相交于点Ｐ，连接ＰＣ并延长交ＡＢ于Ｄ，则ＣＤ就是ＡＢ边上的高．