2010-2019高考真题分类训练理数专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算

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2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题解析版 (可下载)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题（附详细答案解析）一、选择题。

1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B ．【解析】因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50 【答案】A ．【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A.【解析】法一、通解如图所示，CB AD DB ED EB 2121+=+= ()()AC AB AC AB -++⨯=212121 3144=-AB AC ．故选A ．CB法二、优解111()222=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B.【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0【答案】C.【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3||BA MA =．由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ．6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A 1B 1C ．2D ．2 【答案】A.【解析】解法一设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．NMOCBA因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．7.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =， AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I【答案】C 。

2010-2019高考数学真题分类汇编第13讲平面向量的概念与运算

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算2019年1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3B ．-2C ．2D ．32.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为A ．85-B ．81C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8- B ．6- C ．6 D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30 B ．45 C ．60 D ．1209．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为A ．4πB ．2π C ．34π D ．π 10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a bD ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥a b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A ．B ． 21C ． 21 D ．13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．BC ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23π B ．3π C ．6π D ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A ．2BC ．2-D ．23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是A ．2⎛ ⎝⎦B ．,22⎛ ⎝⎦ C ．2⎛ ⎝ D ．2⎛ ⎝25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2B ．12C ．0D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积等于A BC D 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-a b ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0=ab B ．=a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a b D ．2222()()||||+∙=ab a b a b二、填空题 32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是，最大值是．35．(2017山东)已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = .38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___．41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6A π=时，ABC V 的面积为． 44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅4455x y x y +⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值．②若⊥a b 则min S 与||a 无关．③若∥a b 则min S 与||b 无关．④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π．45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__． 46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ．50．（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =，则AB 的长为．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o 45，且||1=a ，|2|-=a b ||=b ．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1理科07单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1理科06单选题2015 平面向量基本定理2015年新课标1理科07单选题2011 平面向量的定义2011年新课标1理科10填空题2017 向量的模2017年新课标1理科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1理科13填空题2014 平面向量的数量积2014年新课标1理科15填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1理科13填空题2012 向量的模2012年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由；故选：A．4．【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1⇔θ∈[0，）；P2：||＞1⇔θ∈（，π]；P3：||＞1⇔θ∈[0，）；P4：||＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．6．【2016年新课标1理科13】设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝﹣2．【解答】解：||2＝||2+||2，可得•0．向量（m，1），（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若（），则与的夹角为．【解答】解：在圆中若（），即2，即的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°8．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t （1﹣t ）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t ＝0，∴10，解得t ＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1理科13】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：3考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r ，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则（） A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r , 所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量，若a r 与b r夹角为2π3，则222||211211cos 13a b a ba b π+=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=r r ”；若||3a b +=r r ，则22||211211cos ,3a b a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r r r，解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||3a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||3a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r，且()a a b ⊥-rr r，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r，所以(2,2)a b m -=-rr，因为()a a b ⊥-rr r，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r，解得3m = 所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为312+，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ，因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为31+，则有3()||1a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3cos c 1o 1s a b θθ⋅=⨯⨯==rr ，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u v u u u v（）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD ⊥Q 0AE EO ∴⋅=u u u r u u u r又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14425AE EC ∴⋅=u u u r u u u r 本题正确选项：B 9．已知直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=u u u r u u u r ，则实数m=（）A ．1± B． C．2±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得mm ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=2±．故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（）A ．3B ．2C ．23 D ．52【答案】B 【解析】由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u ru u u r=，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7，又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．27C 29D ．2【答案】C【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-u u u r．① ∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=，∴2||3sin4AB π==u u u r ．在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ．13．在△ABC 中，,2,BD DC AP PD BP AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+= （） A ．1-3B ．13C ．1-2D ．12【答案】A 【解析】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以23BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=- 故选：A14．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==g g g ，则sin :sin :sin A B C =（） A ．9:7:8 B ．9:7:8C ．6:8:7D ．6:8:7【答案】B 【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r ，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-）+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C D ．23【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=3(0,6，半径为22133()()26+=. 所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ，由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||，则AQ uuu r在BC u u u r3故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______．【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=．故答案为：12．23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r r r r r向量21e e -r r 与r2e 的夹角为：6π本题正确结果：6π 25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大．【解析】设a r，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m v的终点M 在以(2,0) 同理n v的终点N在以(2,0)为圆心，以显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v的夹角最大．设圆心为A，则3 AM=，∴221OM OA AM=-=，3sin2MOA∠=，∴60MOA∠=︒，设MN与x轴交于点B，由对称性可知MN x⊥轴，且2MN MB=，∴322sin2132MN MB OM MOA==⋅∠=⨯⨯=.故答案为：3．26．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，2A BB C=u u u v u u u v，则PC PA⋅u u u r u u u r的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36AB ACπ=⋅⋅=∴=.取AC中点M，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u vu u u v u u u v u u u v,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，要使PC PA⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM∴=+=,所以PM 有最小值为2﹣13，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r ，其中01t ≤≤，则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =--u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭，因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤，所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值，即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍）故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23 【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =即AB 的长为23. 故答案为23 29．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2，AD ＝2×tan30°＝263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝26326223=D （233-23， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-23），AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以，（2,2）＝λ（233-23）+μ（2,1），所以，23223232μμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪，解得：3343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ43 4330．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB u u u r u u u r g 的最大值为______．【答案】32 【解析】因为C 为圆2+y 2＝1上一点，设C （si nθ，cosθ），则 ()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--u u u r u u u r ，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-， ∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cos θθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r ()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+， ∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32．故答案为：32．。

十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1文科08单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1文科07单选题2015平面向量的坐标运算2015年新课标1文科02单选题2014平面向量的几何运算2014年新课标1文科06单选题2010 平面向量的数量积2010年新课标1文科02填空题2017平面向量的坐标运算2017年新课标1文科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1文科13填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1文科13填空题2012 向量的模2012年新课标1文科15填空题2011 平面向量的数量积2011年新课标1文科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B． C．D．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B． C．D．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．7．【2016年新课标1文科13】设向量（，+1），（1，2），且⊥，则＝．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t ＝．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．10．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则＝．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则（）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．33．设a r，b r均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r （）A ．4B ．3C ．2D ．15．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（）A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．47．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 1，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u v u u u v（）A ．725B ．14425C ．125D ．12259．已知直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=u u u r u u u r ，则实数m=（）A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（）A ．3B ．2C ．23D ．5211．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（） A ．83-B ．1-C ．1D ．312．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A．5B ．CD ．13．在△ABC 中，,2,BD DC AP PD BP AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+= （）A ．1-3B ．13C ．1-2D ．1214．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==g g g ，则sin :sin :sin A B C =（）A ．9:7:8B C ．6:8:7D 15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（） A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u ru u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（） A ．13-B ．2C ．95D ．319．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（）A ．[2,2]-B ．2]C ．2]D ．[1,2]20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C 3D ．2321．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=rr，若||||a b a b +=-rrrr，则λ=______．23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____． 25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大．26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______．27．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r的最大值为34-，则m =________.28．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.29．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．30．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB u u u r u u u rg的最大值为______．。

十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量理(含解析)

专题06平面向量历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由；故选：A．【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1⇔θ∈[0，4．）；P2：||＞1⇔θ∈（，π]；P3：||＞1⇔θ∈[0，）；P4：||＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．6．【2016年新课标1理科13】设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝﹣2 ．【解答】解：||2＝||2+||2，可得•0．向量（m，1），（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若（），则与的夹角为．【解答】解：在圆中若（），即2，即的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°8．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1理科13】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：3考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=，0AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则（） A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=，又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B3．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则22||2111a b a b a b +=++⋅=++=；因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=”；若||3a b +=，则22||211211cos ,3a b a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=，解得1cos ,2a b =，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||3a b +=”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的既不充分也不必要条件. 故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈，若2AB =，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =，则3AO =，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r在AO 方向上的投影为AO ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==. 故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（） A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-，所以(2,2)a b m -=-，因为()a a b ⊥-，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=，解得3m = 所以答案选B.7．已知向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1，则向量a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，因为向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1+，则有3()||12a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭，变形可得：311a b +⋅=+，即cos c 1o 1s a b θθ⋅=⨯⨯==，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=（）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥ 0AE EO ∴⋅=又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=本题正确选项：B9．已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（） A ．1± B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x m x y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m ＞3或m ＜-3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=2±．故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为（）A ．3B ．2C ．23D ．52【答案】B 【解析】由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED =，那么EB EC ⋅的值为（）A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：，又tan BEDBD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠所以1||cos 17EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭‖故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A ．5B ．C ．29D ．【答案】C 【解析】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-．① ∵3ABC S ∆=， ∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==， ∴||sin 2AB A =．② 由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ==在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(294BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯=，∴BC=故选C．13．在△ABC中，,2,BD DC AP PD BP AB ACλμ===+，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为,2,BD DC AP PD==所以P为ABC∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC=+∴=+,所以1133AP AB AC=+,所以23BP AP AB AB AC=-=-+因为BP AB ACλμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-故选：A14．在ABC∆中，543AB BC BC CA CA AB→→→→→→==，则sin:sin:sinA B C=（）A．9:7:8BC．6:8:7D【答案】B【解析】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得,,a b c ===所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56π B ．34π C ．23πD ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=,1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++的最小值为2512-．故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b +【答案】C 【解析】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)AE λ=-()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =，所以()()BE CD AE AB AD AC ∙=-∙-22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--∙-=---=---=-.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为（）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C D ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为126tan 3BCπ=，即圆心为，=所以点A的轨迹方程为：2213x y ⎛+-= ⎝⎭，则213x ≤，则03x -≤< ，由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|，则AQ 在BC方向上投影的最大值是3，故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为______．【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=，若||||a b a b +=-，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--；a b a b +=-；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=．故答案为：12． 23．向量()1,2a =-，()1,0b =-，若()()a b a b λ-⊥+，则λ=_________. 【答案】13【解析】向量()1,2a =-，()1,0b =-，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--，又因为()()a b a b λ-⊥+，所以()()0a b a b λ-⋅+=，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e 的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -与2e 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=又()221211e e e e -=-=-=()212212212cos ,22e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅⨯ ∴向量21e e -与2e 的夹角为：6π本题正确结果：6π25．已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩，则当m n -=_____，则m 与n 的夹角最大．【解析】设a ，m ，n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则222m x y =+，4am x ⋅=，由210m a m -⋅+=可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m 的终点M在以(2,0) 同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m ，n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =1OM ==，sin MOA ∠=60MOA ∠=︒，设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴22sin 21MN MB OM MOA ==⋅∠=⨯=26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则P C P A ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣27．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，A ，则(2,0)BC =，(CA =-，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =，其中01t ≤≤，则(2,0)BD t =，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以()CE tmCA tm ==-，因此(1)E tm -，所以(21,AD t =-，(22)DE tm t =--，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭，因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤，所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅取得最大值，即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍）故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+，所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解3c =.即AB29．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝，AD ＝×tan30°＝3，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝3sin45°＝323=，所以D（3-，3）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-）+μ（2,1），所以，222μμ⎧+=⎪⎪+=⎩，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ30．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．【答案】32【解析】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sin θ，cos θ），则 ()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-， ∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cos θθθθ⋅=+-+-+++1)2θϕ=+1)2θϕ=+ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+， ∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32．故答案为：32．。

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案

专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案部分1．A 【解析】通解如图所示，CB 11111()()22222=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ．优解 111()222=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-u u u r u u u r AB AC ．故选A ． 2．B 【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．3．C 【解析】由2BM MA =u u u u r u u u r ，可知||2||BM MA =u u u u r u u u r ，∴||3||BA MA =u u u r u u u r ．由2CN NA =u u u r u u u r ，可知||2||CN NA =u u u r u u u r ，∴||3||CA NA =u u u r u u u r ，故||||3||||BA CA MA NA ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =u u u r u u u u r ，∴33()BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-o u u u r u u u u r u u u u r ．故选C ．4．A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．5．A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．6．B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ， ∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B. 7．A【解析】由题意得112222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30ABC ∠=o，故选A ．8．C 【解析】由题意，得2(2)20+=+⋅=a a b a a b ，即22⋅=-a b a ，所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 222142-==-a a ，所以23π<⋅>=a b ，故选C ． 9．B 【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．10．C 【解析】由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．11．A 【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 12．A 【解析】由2()10+=a b ①，2()6-=a b ②，①②得1⋅=a b ． 13．Bcos 6π==，两边平方化简得18=，解得m =14．B 【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r ，若S 的表达式中有0个a b ⋅r r ，则2222S a b =+r r ，记为1S ，若S 的表达式中有2个a b ⋅r r ，则22222S a b a b =++⋅r r r r ，记为2S ，若S 的表达式中有4个a b ⋅r r ，则4S a b =⋅r r ，记为3S ，又||2||b a =r r ，所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->r r r r r r ，223()0S S a b -=->r r ，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则22min 48||cos 4||S a b a a θ=⋅==r r r r ，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以3πθ=． 15．B 【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．16．B 【解析】由于2222||2t t t +=++gb a b a b a ，令222()2f t t t =+⋅+b a b a ，而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a ，即22||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定．17．C 【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=．解得3k =，选C18．C 【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅，故选C ． 19．D 【解析】由题意，设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r ，于是00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥恒成立，相当于(||(1))||PB a PB a -+-u u u r u u u r ≥恒成立，整理得2||(1)||PB a PB a -++u u u r u u u r ≥0恒成立，只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是1a =，因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．P 0P H CB A20．A 【解析】(3,4)AB =-u u u r ，所以||5AB =u u u r ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-u u u r ． 21．A 【解析】=（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ 22．C 【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设(),x y =c ，代入1--=c a b1=，又c 的最大值为圆()()22111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)1．23．D 【解析】因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r 所在直线为轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (，y )，则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，得(－a )2＋y 2＝2＋(y －b )2＝1.所以(－a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－2≥0. 由|OP uuu r |＜12，得(－a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－2＋1－y 2＜14. 所以74＜2＋y 2≤2<≤所以|OA uu u r |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 24．B 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.25．C 【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C ．26．C 【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则 ||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确；||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，使得λ=b a ， C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确．27．B 【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=12 28．D 【解析】∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，∴1020k +-=，解得12k =．29．C 【解析】三角形的面积S=12||sin ,<>a ||b a b ，而=11||||||||sin ,22a b a b a b =<> 30．B 【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -e a b ，故A 正确；因为pn qm =-e b a ，而=mq np -e a b ，所以有≠e e a b b a ，故选项B 错误，故选B ．31．12【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 32．1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．所以124λ⨯=，即12λ=． 33．7【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．34．2【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．35．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则 12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 311λ=． 36．3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-37．3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o ocos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o所以4531cos(45)102102m n αα++===++o o 所以3m n +=．38．23-【解析】因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ，所以2(1)0x x ++=，解得23x =-． 39．6-【解析】由题意2120m --=，所以6m =-．40．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 41．9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，所以OA OB •=u u u r u u u r 93||||)(222===•+=+•．42．1【解析】由题意()ln(())==-=-f x x x f x x x ，=x ，解得1a =．431(1,0)e =u r，21(2e =u u r ，设(,)b x y =r ，则11b e x ⋅==r r，2112b e x y ⋅=+=r r，所以b =r ，所以3b ==r 44．90o 【解析】由1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为90o ．45．16【解析】∵cos AB AC AB AC A ⋅=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ，∴由cos tan AB AC A A ⋅=uu u r uuu r ，得23AB AC ⋅=uu u r uuu r ，故ABC V 的面积为11||||sin 266AB AC π=u u u r u u u r ． 46．②④【解析】S 有下列三种情况：222221S a a b b b =++++r r r r r ，2222S a a b a b b b =+⋅+⋅++r r r r r r r ，23S a b a b a b a b b =⋅+⋅+⋅+⋅+r r r r r r r r r∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥r r r r r r r r，∴min 3S S =，若a b ⊥r r ，则2min 3S S b ==r ，与||a r 无关，②正确；若a b r r P ，则2min 34S S a b b ==⋅+r r r ，与||b r 有关，③错误；若||4||b a >r r ，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=r r r r r r r r ，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==r r r ，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=r r r r r r ∴1cos 2θ=， ∴3πθ=，⑤错误． 47【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ= 48．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=， ∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=． 49．2【解析1】(4,22)c m m =++r因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅r r r r r r ，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅r r r r r r ，所以||||||||c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r r r ，又||2||b a =r r ，所以2c a c b ⋅=⋅r r r r即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒=．【解析2】由几何意义知c r 为以ma r ，b r 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =r r ，故2m =50．2【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2. 51．2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 52．712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o ，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-o u u u v u u u v u u u v u u u v .由AP BC ⊥u u u v u u u v 得,0AP BC ⋅=u u u v u u u v , 即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v , 即493(1)0λλ---=，解得712λ=． 53．【解析】||||x ===b==||||x b 的最大值为2． 54．12【解析】因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，因为·1AC BE =u u u r u u u r ，所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2111cos60122AB AB -+=o u u u r u u u r ，所以211024AB AB -+=u u u r u u u r ，解得12AB =u u u r ． 55．4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-r ，()6,2b =r ，()1,3c =-r由c a b λμ=+r r r ，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ= 56．b=r222(2)1044cos 4510a b a b b b ︒-=⇔-=⇔+-=r r r r r rb ⇔=r 57．（Ⅰ）⎝⎭（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y>，解得1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故1010⎛ ⎝⎭c =.即与2+a b同向的单位向量的坐标为⎝⎭．（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,0cos 3θ-⋅-⋅===-b a a b a a58．98-【解析】2223494a b a b a b -≤⇔+≤+r r r r r r g 2294449448a b a b a b a b a b a b +≥≥-⋅⇒+⋅≥-⋅⇔⋅≥-r r r r r r r r r r r r ． 59．5[,]66ππ【解析】如图，向量α与β在单位圆O 内，因|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB 上（α∥AB ，且圆心O 到AB 的距离为12），因此夹角θ的取值范围为5[,]66ππ．60．54【解析】由题意知1212(2)()0k ⋅=-+=a b e e e e ，即22112122220k k +--=e e e e e e ，即22cos 2cos 2033k k ππ+--=，化简可求得54k =． 61．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +⋅=a b a -b ，化简得(1)(1)0k -⋅⋅+=a b ，易知0⋅≠a b ，故1k =．62．3π【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意有()()22+2⋅-=+⋅-2a b a b a a b b cos θ=-7+2=-6，所以1cos 2θ=，因此0θπ≤≤，所以3πθ=． 63．－1【解析】(1,1)m +=-a b ，由()+∥a a c ，得12(1)(1)0m ⨯--⨯-=，所以m =－1．。

2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题03 平面向量(解析卷)

专题03 平面向量平面向量小题：10年10考，每年1题，向量题考得比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大．这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明．【答案】B2．（2018年）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（）【答案】A【答案】7【解析】∵向量a r ＝（﹣1，2），b r ＝（m ，1），∴a b +r r ＝（﹣1+m ，3），∵向量ab +r r 与a r 垂直，∴()a b a+⋅r r r ＝（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m ＝7．5．（2015年）已知点A （0，1），B （3，2），向量C A uuu r ＝（﹣4，﹣3），则向量C B uuu r＝（）A ．（﹣7，﹣4）B ．（7，4）C ．（﹣1，4）D ．（1，4）【答案】A【解析】∵点A （0，1），B （3，2），∴AB u u u r＝（3，1），∵C A uuu r ＝（﹣4，﹣3），∴C B uuu r ＝C A -AB u u u r u u u r ＝（﹣7，﹣4），故选A ．6．（2014年）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB u u u r +FC u u u r ＝（）A ．D A u u u rB ．1D 2A u u urC ．C B uuu rD ．1C 2B u u ur【答案】A【解析】∵D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴EB u u u r +FC u u u r ＝（F E u u r +F B u u u r ）+（F E u u r +C E u u ur ）＝F B u u u r +C E u u u r ＝()1C 2AB +A u u u r u u u r ＝D A u u u r，故选A ．7．（2013年）已知两个单位向量a r ，b r 的夹角为60°，c r ＝t a r+（1﹣t ）b r ．若b c ⋅r r ＝0，则t ＝．【答案】2【解析】∵c r ＝t a r+（1﹣t ）b r，b c ⋅r r ＝0，∴()210b c ta b t b ⋅=⋅+-=r rr r r ，∴t cos60°+1﹣t ＝0，∴1102t -=，解得：t ＝2．8．（2012年）已知向量a r ，b r夹角为45°，且1a =r ，210a b -=r r ，则b r ＝．【答案】32【解析】∵45θ=o，1a =r，∴2cos 2a b a b b θ⋅==r r r r r ，∴2a b -r r ＝()22a b-r r ＝2244a a b b-⋅+r r r r ＝2422b b -+r r ＝10，解得：32b =r ．9．（2011年）已知a r 与b r 为两个垂直的单位向量，k 为实数，若向量a r +b r 与向量k a r ﹣b r垂直，则k ＝．【答案】1【解析】∵a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r ，∵a r +b r 与k a r﹣b r 垂直，∴()()0a b ka b +⋅-=r r r r ，即220ka ka b a b b +⋅-⋅-=r r r r r r ，∴k ＝1．10．（2010年）平面向量a r ，b r ，已知a r ＝（4，3），2a b +r r ＝（3，18），则a r ，b r夹角的余弦值等于（）【答案】C故选C ．。

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量(含解析)

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=( ) A.√2 B.2 C.5√2 D.50【答案】A【解析】由题意，得a-b=(-1，1)，则|a-b|=√(-1)2+12=√2，故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a ，b 满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b ，所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0，所以a ·b=b 2.所以cos<a ，b>=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12，所以a 与b 的夹角为π3，故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】如图，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.(2018·全国2·T4)已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.5.(2018·北京·理T6)设a，b均为单位向量，则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|，得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a，b均为单位向量，∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0，故a⊥b，反之也成立.故选C.6.(2018·浙江·T9)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√3【答案】A【解析】∵b2-4e·b+3=0，∴(b-2e)2=1，∴|b-2e|=1.如图所示，平移a，b，e，使它们有相同的起点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则b的终点在以点(2，0)为圆心，半径为1的圆上，|a-b|就是线段AB的长度.要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a-b|的最小值为-1.7.(2018·天津·理T8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点，则 A.2116 B.32C.2516D.3【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系.连接AC ，由题意知∠CAD=∠CAB =60°，∠ACD=∠ACB =30°，则D(0，0)，A(1，0)，B （32，√32），C(0，√3).设E(0，y)(0≤y≤√3)，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，y)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-32，y-√32），∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+y 2-√32y=（y-√34）2+2116，∴当y=√34时，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值2116.8.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN ，∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴MN ∥BC ，且MN BC =13，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=3[2×1×(-12)-1]=-6.9.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-32 C.-43 D.-1【答案】B【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图.可知A(0，√3)，B(-1，0)，C(1，0).设P(x ，y)，则PA ⃗⃗⃗⃗ =(-x ，√3-y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x ，-y)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(1-x ，-y).所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =(-2x ，-2y).所以PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )=2x 2-2y(√3-y)=2x 2+2(y -√32)2−32≥-32. 当点P 的坐标为(0，√32)时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )取得最小值为-32，故选10.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2√2C.√5D.2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，1)，B(0，0)，D(2，1).设P(x ，y)，由|BC|·|CD|=|BD|·r ，得r=|BC |·|CD ||BD |=5=2√55，即圆的方程是(x-2)2+y 2=45. 易知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ，y-1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0).由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =2μ，y -1=-λ，所以μ=x2，λ=1-y ，所以λ+μ=12x-y+1. 设z=12x-y+1，即12x-y+1-z=0. 因为点P(x ，y)在圆(x-2)2+y 2=45上，所以圆心C 到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r，即√14+1≤2√55，解得1≤z≤3，11.(2017·全国2·文T4)设非零向量a ，b 满足|a+b|=|a-b|，则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b| 【答案】A【解析】由|a+b|=|a-b|，平方得a 2+2a ·b+b 2=a 2-2a ·b+b 2，即a ·b=0.又a ，b 为非零向量，故a ⊥b ，故选A.12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37+6√34 D.37+2√334【答案】B【解析】设△ABC 的外心为D ，则|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 以D 为原点，直线DA 为x 轴，过D 点的DA 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(-1，-√3)，C(-1，√3). 设P(x ，y)，由已知|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，得(x-2)2+y 2=1，∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴M (x -12，y+√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+12，y+3√32). ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x+1)2+(y+3√3)24，它表示圆(x-2)2+y 2=1上点(x ，y)与点(-1，-3√3)距离平方的14，∴(|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)max =14[√32+(0+3√3)22=494，故选B.13.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.18C.14D.118【答案】B【解析】方法1(基向量法):如图所示，选取AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+12×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 故AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =34−14×1×1×12−12=18.14.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1，m)，b=(3，-2)，且(a+b)⊥b ，则m=( ) A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【解析】由题意可知，向量a+b=(4，m-2).由(a+b)⊥b ，得4×3+(m-2)×(-2)=0，解得m=8.故选D.15.(2015·全国2·文T4)向量a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】由已知2a+b=(1，0)，所以(2a+b )·a=1×1+0×(-1)=1.故选C.16.(2015·福建·文T7)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A.-32 B.-53C.53D.32【答案】A【解析】∵a=(1，2)，b=(1，1)，∴c=(1+k ，2+k). ∵b ⊥c ，∴b ·c=1+k+2+k=0.∴k=-3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A【解析】AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，-1)，所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)·(3，-1)=2×3+1×(-1)=5. 18.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2 B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 2【答案】D【解析】如图，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b. 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)·a=a 2+a ·b=a 2+a ·a ·c os 60°=a 2+12a 2=32a 2.19.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M ，N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.6【答案】C【解析】如图所示，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ） =13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-316|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗=13×36-316×16=9.20.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以点A 为原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图. 则A(0，0)，B (1t ，0)，C(0，t)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0，1). ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1，0)+4(0，1)=(1，4). ∴点P 的坐标为(1，4)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t-1，-4)，PC ⃗⃗⃗⃗ =(-1，t-4). ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13，当且仅当1t =4t ，即t=12时取“=”. ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13.21.(2015·全国1·文T2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)，则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7，-4) B.(7，4) C.(-1，4) D.(1，4) 【答案】A【解析】∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4). 22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a ，b 满足|a|=2√23|b|，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0，即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ，则3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，即3·(2√23|b |)2−2√23|b|2cos θ-2|b|2=0，整理，得cos θ=√22.故θ=π4.23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a ，b 满足|b|=4|a|，且a ⊥(2a+b)，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2C.2π3D.5π6【答案】C【解析】因为a ⊥(2a+b)，所以a ·(2a+b)=0，即2|a|2+a ·b=0.设a 与b 的夹角为θ，则有2|a|2+|a||b|cos θ=0. 又|b|=4|a|，所以2|a|2+4|a|2cos θ=0，则cos θ=-12，从而θ=2π3.24.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A 【解析】如图，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 25.(2014·全国1·文T6)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选A.26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1，√3)，b=(3，m)，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m=( ) A.2√3 B.√3 C.0 D.-√3【答案】B【解析】∵cos<a ，b>=a ·b|a ||b |， ∴cos π6=√3m 2×√32+m 2，解得m=√3.27.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2，4)，b=(-1，1)，则2a-b=( ) A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9) 【答案】A【解析】2a-b=(4-(-1)，8-1)=(5，7).故选A.28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=( ) A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3) 【答案】B【解析】由题意得b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1)，故选B.29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中，可以把向量a=(3，2)表示出来的是( ) A.e 1=(0，0)，e 2=(1，2)B.e 1=(-1，2)，e 2=(5，-2)C.e 1=(3，5)，e 2=(6，10)D.e 1=(2，-3)，e 2=(-2，3) 【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有e 1∥e 2，故选B.30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a ，b 满足|a+b|=√10，|a-b|=√6，则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A【解析】∵|a+b|=√10，∴(a+b)2=10.∴|a|2+|b|2+2a·b=10，①∵|a-b|=√6，∴(a-b)2=6，∴|a|2+|b|2-2a·b=6，②由①-②得a·b=1，故选A.31.(2014·大纲全国·文T6)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a-b)·b=( )A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】由已知得|a|=|b|=1，<a，b>=60°，∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos<a，b>-|b|2=2×1×1×c os 60°-12=0，故选B.32.(2014·大纲全国·理T4)若向量a，b满足:|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=( )A.2B.√2C.1D.√22【答案】B【解析】∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1.又(2a+b)⊥b，∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=√2.故选B.33.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=( )A.-92B.0 C.3 D.152【答案】C【解析】由已知(2a-3b)⊥c，可得(2a-3b)·c=0，即(2k-3，-6)·(2，1)=0，展开化简，得4k-12=0，所以k=3.故选C.34.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1，cos θ)与b=(-1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.√22B.12C.0D.-1【答案】C【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=0， ∴-1+2cos 2θ=0，即cos 2θ=0.35.(2012·重庆·理T6)设x ，y ∈R ，向量a=(x ，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a+b|= ( ) A.√5 B.√10 C.2√5 D.10【答案】B【解析】由a ⊥c ，得a ·c=2x-4=0，解得x=2.由b ∥c 得12=y-4，解得y=-2，所以a=(2，1)，b=(1，-2)，a+b=(3，-1)，|a+b|=√10.故选B.36.(2010·全国·文T2)a ，b 为平面向量，已知a=(4，3)，2a+b=(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B.-865C.1665D.-1665【答案】C【解析】b=(2a+b)-2a=(3，18)-(8，6)=(-5，12)，因此cos<a ，b>=a ·b |a ||b |=165×13=1665.37.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2，2)，b=(-8，6)，则cos<a ，b>= . 【答案】−√210【解析】cos<a ，b>=a ·b|a ||b |=√22+22×√(-8)+62=2√2×10=-√210. 38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a ⊥b ，则m= . 【答案】8【解析】∵a=(-4，3)，b=(6，m)，a ⊥b ， ∴a ·b=0，即-4×6+3m=0，即m=8.39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=2√3，AD=5，∠A=30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE=BE ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【答案】-1【解析】∵AD ∥BC ，且∠DAB=30°，∴∠ABE=30°. ∵EA=EB ，∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB 中，EA=EB=2， BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+2√3×2×c os 30°+5×2√3×c os 30°+5×2×c os 180°=-22+6+15=-1.40.(2019·全国3·理T13)已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若c=2a-√5b ，则cos<a ，c>= . 【答案】23【解析】∵a ，b 为单位向量， ∴|a|=|b|=1.又a ·b=0，c=2a-√5b ，∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4√5a ·b=9，∴|c|=3. 又a ·c=2|a|2-√5a ·b=2， ∴cos<a ，c>=a ·c|a |·|c |=21×3=23.41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是，最大值是 . 【答案】0 2√5 【解析】(基向量处理)λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4+λ5+λ6)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小，只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0，此时只需要取λ1=1，λ2=-1，λ3=1，λ4=1，λ5=1，λ6=1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =0，由于λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =±2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或±2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，取其中的一种λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 讨论(其他三种类同)，此时λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2-λ4)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，要使|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大，只需要使|λ1-λ3+2|，|λ2-λ4|最大，取λ1=1，λ2=1，λ3=-1，λ4=-1，此时|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5，综合几种情况可得|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√42.(2019·江苏·T12)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ，则ABAC 的值是 .【答案】√3【解析】如图，过点D 作DF ∥CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 中点，知BF=FE=EA ，AO=OD.又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =32（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ） =32（23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2） =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2，得12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，故AB AC=√3. 43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a ⊥(ma-b)，则m= . 【答案】-1【解析】由题意，得ma-b=(m+1，-m). ∵a ⊥(ma-b)，∴a ·(ma-b)=0，即m+1=0， ∴m=-1.44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2，0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 【答案】-3【解析】依题意，设E(0，a)，F(0，b)，不妨设a>b ，则 a-b=2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，a)，BF ⃗⃗⃗⃗ =(-2，b)，a=b+2，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =(1，a)·(-2，b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b 2+2b-2=(b+1)2-3，故所求最小值为-3.45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为 . 【答案】3【解析】设A(a ，2a)(a>0)，则由圆心C 为AB 的中点得C (a+52，a)，☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x 联立解得x D =1，D(1，2).因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ，-2a)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-a+52，2-a)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(5-a)·(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0，即a 2-2a-3=0，解得a=3或a=-1.因为a>0，所以a=3.46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，c=(1，λ).若c ∥(2a+b)，则λ= . 【答案】12【解析】2a+b=(4，2)，c=(1，λ)，由c ∥(2a+b)，得4λ-2=0，得λ=12.47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1，2)，b=(m ，1)，若向量a+b 与a 垂直，则m= . 【答案】7【解析】因为a=(-1，2)，b=(m ，1)，所以a+b=(m-1，3).因为a+b 与a 垂直，所以(a+b )·a=0，即-(m-1)+2×3=0，解得m=7.48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ).若a ∥b ，则λ= . 【答案】-3【解析】∵a ∥b ，∴2λ-6×(-1)=0，∴λ=-3.49.(2017·全国1·理T13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= . 【答案】2【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·c os 60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12，所以|a+2b|=√12=2√3.50.(2017·天津，理13文14)在△ABC 中，∠A =60°，AB=3，AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4，则λ的值为 . 【答案】311【解析】由题意，知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×c os 60°=3， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4，解得λ=311.51.(2017·江苏·T12)如图，在同一个平面内，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tan α=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ，n ∈R)，则m+n= . 【答案】3【解析】由tan α=7可得cos α=5√2，sin α=5√2，则5√2=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，由cos ∠BOC=√22可得√22=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √2，因为cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αc os 45°-sin αsin45°=5√2×√22−5√2×√22=-35，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =-35，所以m-35n=15，-35m+n=1，所以25m+25n=65，所以m+n=3.52.(2017·山东·理T12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是 . 【答案】√33【解析】∵e 1，e 2是互相垂直的单位向量， ∴可设a=√3e 1-e 2=(√3，-1)，b=e 1+λe 2=(1，λ). 则<a ，b >=60°.∴cos<a ，b>=c os 60°=a ·b|a ||b |=√3-2=12，即√3-λ=2+1，解得λ=√33.53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中，A(-12，0)，B(0，6)，点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是 . 【答案】[-5√2，1]【解析】设P(x ，y)，由PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，易得x 2+y 2+12x-6y≤20.把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0. 由{2x -y +5=0，x 2+y 2=50，可得{x =-5，y =-5或{x =1，y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上，可得点P 在圆弧EPF 上，所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2，1].54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A 的坐标为(-2，0)，O 为原点，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .【答案】6【解析】方法1:设P(cos α，sin α)，α∈R ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+2，sin α)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos α+4.当α=2k π，k ∈Z 时，2cos α+4取得最大值，最大值为6. 故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 方法2:设P(x ，y)，x 2+y 2=1，-1≤x≤1，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2，y)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4，故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6.55.(2016·北京·文T9)已知向量a=(1，√3)，b=(√3，1)，则a 与b 夹角的大小为 . 【答案】π6【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=a ·b|a ||b |=2√32×2=√32，且两个向量夹角范围是[0，π]，∴所求的夹角为π6.56.(2016·全国1·文T13)设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】−23【解析】∵a ⊥b ，∴a ·b=x+2(x+1)=0，解得x=-23.57.(2016·山东·文T13)已知向量a=(1，-1)，b=(6，-4).若a ⊥(ta+b)，则实数t 的值为 . 【答案】-5【解析】由a ⊥(ta+b)可得a ·(ta+b)=0，所以ta 2+a ·b=0，而a 2=12+(-1)2=2，a ·b=1×6+(-1)×(-4)=10，所以有t×2+10=0，解得t=-5. 58.(2016·全国2·文T13)已知向量a=(m ，4)，b=(3，-2)，且a ∥b ，则m= . 【答案】-6【解析】因为a ∥b ，所以-2m-4×3=0，解得m=-6.59.(2016·全国1·理T13)设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【答案】-2【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2， ∴(m+1)2+32=m 2+1+5，解得m=-2.60.(2015·浙江·文T13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2=12.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1，则|b|= . 【答案】2√33【解析】因为b ·e 1=b ·e 2=1，|e 1|=|e 2|=1，由数量积的几何意义，知b 在e 1，e 2方向上的投影相等，且都为1，所以b 与e 1，e 2所成的角相等.由e 1·e 2=12知e 1与e 2的夹角为60°，所以b 与e 1，e 2所成的角均为30°，即|b|c os 30°=1，所以|b|=1cos30°=2√33. 61.(2015·全国2·理T13)设向量a ，b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ= . 【答案】12【解析】由题意知存在实数t ∈R ，使λa+b=t(a+2b)，得{λ=t ，1=2t ，解得λ=12.62.(2015·北京·理T13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x= ，y= . 【答案】12−16【解析】如图，∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x=12，y=-16.63.(2014·湖北·理T11)设向量a=(3，3)，b=(1，-1).若(a +λb)⊥(a-λb)，则实数λ= . 【答案】±3【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0，即a 2-λ2b 2=0，则a 2=λ2b 2， λ2=a 2b 2=(√32+32)2[√12+(-1)]=182=9.故λ=±3.64.(2014·陕西·理T3)设0<θ<π2，向量a=(sin 2θ，cos θ)，b=(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ= .【答案】12【解析】由a ∥b ，得sin 2θ=cos 2θ，即2sin θcos θ=cos 2θ，因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，所以2sin θ=cos θ. 所以tan θ=12.65.(2014·重庆·文T12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a=(-2，-6)，|b|=√10，则a ·b= . 【答案】10【解析】由题意得|a|=2√10，所以a ·b=|a||b|cos<a ，b>=2√10×√10×12=10.66.(2014·全国1·理T15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 【答案】90°【解析】由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC =90°.故AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°. 67.(2014·湖北·文T12)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，-3)，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 【答案】2√5【解析】设B(x ，y)，由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√10=√x 2+y 2， ① OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-3y=0， ② 由①②得x=3，y=1或x=-3，y=-1，所以B(3，1)或B(-3，-1)，故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，4)或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4，2)，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5， 68.(2013·江苏·T10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC.若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为 . 【答案】12【解析】由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1=-16，λ2=23.故λ1+λ2=12.69.(2013·北京·理T13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb(λ，μ∈R)，则λμ= .【答案】4【解析】可设a=-i+j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b=6i+2j ，c=-i-3j.∵c =λa +μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j ，∴{6μ-λ=-1，λ+2μ=-3，解得{λ=-2，μ=-12.∴λμ=4. 70.(2013·全国1·T13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c=ta+(1-t)b.若b ·c=0，则t= .【答案】2【解析】b ·c=ta ·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1，且a 与b 的夹角为60°，b ·c=0，∴0=t|a||b|c os 60°+(1-t)，0=12t+1-t.∴t=2.71.(2013·全国2·理T13文T14)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】以{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=-12×22+22=2.72.(2013·天津·理T12)在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BA D=60°，E 为CD 的中点.若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则AB 的长为 .【答案】12【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1=1，解方程得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(舍去|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0).所以线段AB 的长为12.73.(2013·北京·文T14)已知点A(1，-1)，B(3，0)，C(2，1).若平面区域D 由所有满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为 . 【答案】3【解析】AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2). 设P(x ，y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1，y+1). ∴{x -1=2λ+μ，y +1=λ+2μ，得{λ=2x -y -33，μ=2y -x+33，∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，可得{6≤2x -y ≤9，0≤x -2y ≤3，如图.可得A 1(3，0)，B 1(4，2)，C 1(6，3)，|A1B1|=√(4-3)2+22=√5，两直线间距离d=√22+1=√5，∴D的面积S=|A1B1|·d=3.74.(2012·全国·理T13文T15)已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=√10，则|b|= .【答案】3√2【解析】∵a，b的夹角为45°，|a|=1，∴a·b=|a|×|b|c os 45°=√22|b|，|2a-b|2=4-4×√22|b|+|b|2=10，∴|b|=3√2.75.(2012·安徽·文T11)设向量a=(1，2m)，b=(m+1，1)，c=(2，m)，若(a+c)⊥b，则|a|= . 【答案】√2【解析】由题意，可得a+c=(3，3m).由(a+c)⊥b，得(a+c)·b=0，即(3，3m)·(m+1，1)=3(m+1)+3m=0，解之，得m=-12.∴a=(1，-1)，|a|=√2.76.(2011·全国·文T13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= .【答案】1【解析】由已知可得|a|=|b|=1，且a与b不共线，所以a·b≠1，a·b≠-1.由已知向量a+b与向量ka-b垂直，所以(a+b)·(ka-b)=0，即ka2-b2+(k-1)a·b=0，即k-1+(k-1)a·b=0，所以(k-1)(1+a·b)=0.因为a·b≠-1，即a·b+1≠0，所以k-1=0，即k=1.(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：平面向量（含解析）。

理科数学2010-2019高考真题分类训练13专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算—附解析答案

10．（2015 陕西）对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是
A．| a b |≤| a || b |
B．| a b |≤|| a | | b ||
C． (a b)2 | a b |2
D． (a b)(a b) a2 b2
11．（2015 安徽） ΑΒC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ， b 满足 ΑΒ 2a ，
⑤若| b
|
2|
a
|，
Smin
8|a
|2
，则 a
与b
的夹角为
4
．
45．(2014 北京)已知向量 a 、b 满足 a 1，b (2,1) ，且 a b 0 ( R )，则 __．
46．（2014 陕西）设 0 ，向量 a sin 2 ，cos ， bcos ，1 ，若 a ∥b ，则
28．（2011 广东）已知向量 a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若为实数， (a b)∥c ，
则 =
A． 1 4
B． 1 2
C．1
D．2
29．（2011 辽宁）已知向量 a (2,1) ， b (1, k) ， a (2a b) 0 ，则 k
A． 12
B． 6
uuv BA
(
1
,
3)
uuuv , BC (
3 , 1), 则 ABC =
22
22
A． 30
B． 45
C． 60
D．120
9．(2015 重庆)若非零向量 a ， b 满足 a 2 2 b ，且 (a b) (3a 2b) ，则 a 与 b 的夹 3
角为
A． 4
B． 2
C． 3 4

专题10 平面向量丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共40页)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1题型二：平面向量的基本定理....................................................................3题型三：平面向量的坐标运算....................................................................9题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14题型六：平面向量的模长问题..................................................................32题型七：平面向量的综合应用 (37)题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B解析:若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b = ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件,故选B ．2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=()A ．2CD CA +B ．2CD CA-C ．2CD CA-D ．2CD CA+【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=()A ．32m n -B ．23m n-+C ．32m n+D ．23m n+【答案】B解析：因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．4．(2019·上海·第13题)已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是()A.)1,2(-B ．)1,2(C ．)2,1(-D ．)2,1(【答案】D【解析】依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D .【点评】本题主要考查直线的方向量．5．·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为12(10.6182≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．二、填空题1．(2020北京高考·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD =_________；PB PD =_________．【答案】(1)．(2)．1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-，因此，PD ==，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-．故答案为：；1-．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量a 、b 满足|a |=1,b =(2,1),且0a b λ+=(R λ∈),则||λ=．【答案】5解析：∵0a b λ+= ，∴a b λ=-，b aλ∴==3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．题型二：平面向量的基本定理一、选择题1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144AB AC+D ．1344AB AC+【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a表示出来的是()A ．)2,1(),0,0(21==e eB ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B解析：根据12a e e λμ=+ ，选项A ：()()()3,20,01,2λμ=+，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；选项B ：()()()3,21,25,2λμ=-+-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．选项C ：()()()3,23,56,10λμ=+，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．选项D ：()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则()A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC=- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC=-【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A ．4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为()A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图则()0,0A ，()1,0B ，()0,2D ，()1,2C ，连结BD ，过点C 作CE BD ⊥于点E在Rt BDC ∆中，有BD ==1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△即112512225CE CE ⨯⨯=⇒=所以圆C 的方程为()()224125x y -+-=可设1cos ,2sin 55P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭由AP AB AD λμ=+ 可得()1cos ,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以1cos 51sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以2cos sin 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=所以λμ+的最大值为3，故选A ．法二：通过点C 作CE BD ⊥于E 点，由1AB =，2AD =，可求得BD ==又由1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△，可求得255CE =由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，λμ+取得最大值又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为255而此时点A 到直线FH 的距离为25252565225555r +=+⨯=所以6553255AFAB ==，所以λμ+的最大值为3，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，λμ+最大，且此时若AG x AB y AD =+，则有x y λμ+=+，由三角形全等可得2AD DF FG ===，知3,0x y ==，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB ADλμ=+ 即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．法四：由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=．BD 切C 于点E ．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 255．∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0151cos 25x μθ==+，02155y λθ==+．两式相加得：2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题1．(2023年天津卷·第14题)在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】①．1142a b + ②．1324解析：空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED ADAE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加，可得到2AE AD AC =+，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC ACAF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AF a b =+ ．于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭．记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅有最大值1324．故答案为：1142a b + ；1324．2．(2015高考数学北京理科·第13题)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y =．【答案】11,26-解析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC = ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-．3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为2,OA与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+ (,)m n ∈R ,则m n +=______．【答案】3解析:由tan 7α=可得72sin 10α=,2cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩,即2222102720210n m n +=⎪⎪⎪-=⎪⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=．题型三：平面向量的坐标运算一、选择题1．(2023年北京卷·第3题)已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，则22||||a b -=()αA CBO(第12题)A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B解析：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则()A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D解析：因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量)1,2(),4,1(),3,(===c b k a ，且(23)a b c -⊥,则实数k =()A ．92-B ．0C ．3D ．152【答案】C解析：(23)a b c -⊥ (23)0a b c ⇒-= 230a c b c ⇒-= 2(23)360 3.k k ⇒+-⨯=⇒=C ．13r R ≤<<D ．13r R<<<【答案】A解析：因为||||1a b == ，且0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,1)b =，则由)OQ a b =+得Q 曲线C:设(,)P x y ，则(1,0)cos (0,1)sin (cos ,sin )OP θθθθ=+=，02θπ≤<，则cos ,(02)sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆；区域Ω：设(,)P x y ，则由||r PQ R ≤≤，则有：2222(2)(2)r x y R ≤-+-≤，表示以(2,2)为圆心，分别以r 和R 为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得C Ω 是两段分离的曲线，则由图像可知：13r R <<<，故选A ．5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,)22BA = ,31(,)22BC = ,则ABC ∠=()A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC ⨯+⋅∠===⨯⋅ ,所以30ABC ∠=︒,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =()A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b +=，所以20a b b += ，又(1,)(3,2)a mb =- ，=所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．二、填空题1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥ 可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．2．(2020江苏高考·第13题)在ABC ∆中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数)，则CD 的长度是________．【答案】185【解析】,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=> ，32PA mPB m PC ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，32PD mPB m PC λ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+=，即32λ=，9AP = ，3AD ∴=，4AB = ,3AC =,90BAC ∠=︒，5BC ∴=，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-．∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，()cos cos 0θπθ+-= ，()()2570665x x x --∴+=-，解得185x =，CD ∴的长度为185．当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去．故答案为：0或185．3．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-，，则cos θ=．【答案】31010解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴(1,2)b =，则cos θ=||||a b a b ⋅==⋅31010。

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题解析版 (可下载)

解法二由 b2 4e b 3 0 得 b2 4e b 3e2 (b e) (b 3e) 0 ．

设 b OB ， e OE ， 3e OF ，所以 b e EB ， b 3e = FB ，
7.（2017 北京）设 m , n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n ”是“ m n 0 ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】因为 m, n 为非零向量，所以 m n | m || n | cos m, n 0 的充要条件是
cos m, n 0 ．
因为 0 ，则由 m n 可知 m, n 的方向相反， m, n 180 ，所以
法二、优解
EB

AB

AE

AB

1
AD

AB

1
1
(AB

AC
)
2
22

3
AB

1
AC
．故选
A．
44
4.（2018 全国卷Ⅱ）已知向量 a ， b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b)
所以 cos a, b b 2 b 2 1 ． ab 2b 2
又因为 a, b [0，π] ，所以 a, b π ．故选 B． 3
2.（2019 全国Ⅱ文 3）已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题06 平面向量考试版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题06 平面向量1.(2019·全国2·文T3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )A.√2B.2C.5√2D.502.(2019·全国1·理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗C.34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.(2018·全国2·T4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4B.3C.2D.05.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018·浙江·T9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√37.(2018·天津·理T8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD 上的动点,则( )A.2116B.32C.2516D.38.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-15 B.-9 C.-6D.09.(2017·全国2·理T12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A.-2 B.-3C.-43D.-110.(2017·全国3·理T12)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为( ) A.3B.2√2C.√5D.211.(2017·全国2·文T4)设非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.a ⊥b B.|a|=|b| C.a ∥b D.|a|>|b|12.(2016·四川·文T9)已知正三角形ABC 的边长为2√3,平面ABC 内的动点P,M 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是( ) A.434B.494C.37+6√34D.37+2√33413.(2016·天津·文T7)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE=2EF,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58B.18C.14D.11814.(2016·全国2·理T3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8B.-6C.6D.815.(2015·全国2·文T4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b )·a=( ) A.-1B.0C.1D.216.(2015·福建·文T7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于( ) A.-32B.-53C.53D.3217.(2015·广东·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.218.(2015·山东·理T4)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 219.(2015·四川·理T7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20B.15C.9D.620.(2015·福建·理T9)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2121.(2015·全国1·文T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)22.(2015·重庆·理T6)若非零向量a,b 满足|a|=2√2|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a 与b 的夹角为 ( )A.π4B.π2C.3π4D .π23.(2015·重庆·文T7)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a+b),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π624.(2015·全国1·理T7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 25.(2014·全国1·文T6)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD⃗⃗⃗⃗⃗ B.12AD⃗⃗⃗⃗⃗C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗⃗ 26.(2014·山东·文T7)已知向量a=(1,√3),b=(3,m),若向量a,b 的夹角为π6,则实数m=( ) A.2√3B.√3C.0D.-√327.(2014·北京·文T3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)28.(2014·广东·文T3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)29.(2014·福建·理T8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)30.(2014·全国2·理T3文T4)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.531.(2014·大纲全国·文T6)已知a,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b )·b=( ) A.-1B.0C.1D.232.(2014·大纲全国·理T4)若向量a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2B.√2C.1D.√233.(2014·重庆·理T4)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( ) A.-92B.0C.3D.15234.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( ) A.√22B.12C.0D.-135.(2012·重庆·理T6)设x,y ∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a ⊥c,b ∥c,则|a+b|= ( ) A.√5B.√10C.2√5D.1036.(2010·全国·文T2)a,b 为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b 夹角的余弦值等于( ) A.865B.-865C.1665D.-166537.(2019·全国3·文T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .38.(2019·北京·文T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a ⊥b,则m= .39.(2019·天津·T14)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 40.(2019·全国3·理T13)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= . 41.(2019·浙江·T17)已知正方形ABCD 的边长为 1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是,最大值是 . 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA,AD 与CE 交于点O.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则AB AC的值是 .43.(2018·北京·文T9)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a ⊥(ma-b),则m= .44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F 是y 轴上的两个动点,且|EF ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 46.(2018·全国3·T13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= . 47.(2017·全国1·文T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b 与a 垂直,则m= . 48.(2017·山东·文T11)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a ∥b,则λ= . 49.(2017·全国1·理T13)已知向量a,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .50.(2017·天津,理13文14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n=. 52.(2017·山东·理T12)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量,若√3 e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .53.(2017·江苏·理T13)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .54.(2017·北京·文T12)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题06 平面向量(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题06平面向量历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1理科07单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1理科06单选题2015 平面向量基本定理2015年新课标1理科07单选题2011 平面向量的定义2011年新课标1理科10填空题2017 向量的模2017年新课标1理科13填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1理科13填空题2014 平面向量的数量积2014年新课标1理科15填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1理科13填空题2012 向量的模2012年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由；故选：A．4．【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1⇔θ∈[0，）；P2：||＞1⇔θ∈（，π]；P3：||＞1⇔θ∈[0，）；P4：||＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．6．【2016年新课标1理科13】设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝﹣2．【解答】解：||2＝||2+||2，可得•0．向量（m，1），（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若（），则与的夹角为．【解答】解：在圆中若（），即2，即的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°8．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t （1﹣t ）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t ＝0，∴10，解得t ＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1理科13】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：3考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，2AB AC AD +=u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r ，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则（） A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，因此31,344x y x y =-=⇒=-，故本题选D.2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r ,则a b ⋅r r 的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o,且满足22a b -=r r , 所以2222444a b a b a b -=+-⋅=r r rr r r ，即2244cos 604a b a b +-=or r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，又因为2244a b a b +≥r rr r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=r r rr r r ，即2a b ≤r r ；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤or r r r r r .即a b ⋅r r 的最大值为1.故选B3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r夹角为2π3”是“||a b +=r r ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a r ，b r均为单位向量，若a r 与b r夹角为2π3，则222||211211cos 13a b a ba b π+=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r ；因此，由“a r 与b r 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=r r ”；若||3a b +=r r ，则22||211211cos ,3a b a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=r r r r r r r r，解得1cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，所以，由“||3a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π3”因此，“a r 与b r 夹角为2π3”是“||3a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=u u u u r u u u u r（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u ur u u u r .∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r .故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u ur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r，且()a a b ⊥-rr r，则m 的值为（） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r，所以(2,2)a b m -=-rr，因为()a a b ⊥-rr r，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r，解得3m = 所以答案选B.7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为312+，则向量a r 与b r 的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A【解析】设向量a r 与b r的夹角为θ，因为向量a r 、b r为单位向量，且a b +r r 在a r 的方向上的投影为31+，则有3()||1a b a a ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭r r r r ，变形可得：3112a b +⋅=+rr ，即3cos c 1o 1s a b θθ⋅=⨯⨯==rr ，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u v u u u v（）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD 得：9165BD =+=，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAE BD ⊥Q 0AE EO ∴⋅=u u u r u u u r又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r14425AE EC ∴⋅=u u u r u u u r 本题正确选项：B 9．已知直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=u u u r u u u r ，则实数m=（）A ．1± B． C．2±D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得22+2m+m 2-1=0， ∵直线y=+m 和圆2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m或m ＜，设A （1，y 1），B （2，y 2），则1+2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（1+m ）（2+m ）=12+m （1+2）+m 2，AO u u u r=（-1，-y 1），AB u u u v=（2-1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=2±．故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r，则λ的值为（）A ．3B ．2C ．23 D ．52【答案】B 【解析】由题意可得：()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r，故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B .11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u ru u u r=，那么EB EC ⋅u u u r u u u r的值为（） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：7，又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EBEC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( ) A ．5 B ．27C 29D ．2【答案】C【解析】∵向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-u u u r．① ∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=，∴2||3sin4AB π==u u u r ．在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ．13．在△ABC 中，,2,BD DC AP PD BP AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ===+，则λμ+= （） A ．1-3B ．13C ．1-2D ．12【答案】A 【解析】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以23BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以211=,,333λμλμ-=∴+=- 故选：A14．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==g g g ，则sin :sin :sin A B C =（） A ．9:7:8 B ．9:7:8C ．6:8:7D ．6:8:7【答案】B 【解析】设•••543AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-，得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选：B15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C.16．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（） A ．2 B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r（）A ．a b +r rB ．12a b +r rC ．12a b +r rD ．23a b +r r【答案】C 【解析】解：设圆的半径为，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===，所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u ur ()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r ，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=︒，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+的取值范围为（）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，2），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；易知λ+μ=+cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r方向上投影的最大值是（）A ．13B ．12C D ．23【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0），由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为132tan 3BCπ=3(0,6，半径为22133()()26+=所以点A 的轨迹方程为：22313x y ⎛+= ⎝⎭，则213x ≤ ，则303x -≤< ，由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r方向上投影为|DP|=||，则AQ uuu r在BC u u u r3故选：C ．21．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为______．【答案】5- 【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gRr，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x +=-，令0y =可得(0,0)P ，12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-u u u r u u u r，故答案为：-5．22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r rr r ，则λ=______．【答案】12【解析】解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r rr r ；a b a b +=-r r r r Q ；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=．故答案为：12．23．向量()1,2a v=-，()1,0b =-r ，若()()a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-v，()1,0b =-r ，所以()()()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r，又因为()()a b a b λ-⊥+r r r r，所以()()0a b a b λ-⋅+=r r r r，即()()21220λλ--⨯-=，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e r r的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____．【答案】6π 【解析】()221221242cos33e e e e e e π-⋅=-⋅=-=r r r r r r又21e e -===r r()212212212cos ,e e e e e e e e e -⋅∴<->===-⋅r r r r r r r r r向量21e e -r r 与r2e 的夹角为：6π本题正确结果：6π 25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010m a m n a n ⎧-⋅+=⎨-⋅+=⎩v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v的夹角最大．【解析】设a r，m v ，n v的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =r，(,)m x y v=，则222m x y =+u r ，4a m x ⋅=r u r，由210m a m -⋅+=u r r u r可得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=， ∴m v的终点M 在以(2,0) 同理n v的终点N在以(2,0)为半径的圆上．显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v的夹角最大．设圆心为A，则3 AM=，∴221OM OA AM=-=，3sin2MOA∠=，∴60MOA∠=︒，设MN与x轴交于点B，由对称性可知MN x⊥轴，且2MN MB=，∴322sin2132MN MB OM MOA==⋅∠=⨯⨯=.故答案为：3．26．如图，已知P是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB上一点，2A BB C=u u u v u u u v，则PC PA⋅u u u r u u u r的最小值为_______．【答案】5﹣13【解析】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36AB ACπ=⋅⋅=∴=.取AC中点M，由题得2PA PC PMPC PA AC⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u vu u u v u u u v u u u v,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，要使PC PA⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM∴=+=,所以PM 有最小值为2﹣13，代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r 的最小值为5﹣213．故答案为：5﹣21327．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅u u u r u u u r 的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，3)A ，则(2,0)BC =u u u r ，(3)CA =-u u u r ，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =u u u r u u u r ，其中01t ≤≤，则(2,0)BD t =u u u r ，所以(21,0)D t -；又CE mBD tmBC ==，所以(3)CE tmCA tm tm ==-u u u r u u u r ，因此(13)E tm tm -，所以(21,3)AD t =-u u u r ，(223)DE tm t tm =--u u u r，故2(21)(22)32(2)2(3)2AD DE t tm t tm m t m t ⋅=----=-++--u u u r u u u r2223332(2)22(2)222424m m m m t t m t m m m ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦223101(2)2424m m m m t m m --+⎛⎫=-+-+ ⎪++⎝⎭，因为(0,1]m ∈，所以31513,2422434m m m -⎡⎫=-+∈⎪⎢++⎣⎭，又01t ≤≤，所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅u u u r u u u r 取得最大值，即21013244m m m -+=-+，整理得221780m m -+=，解得12m =或8m =（舍）故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.23【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B C C A B A B A B +=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v =+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解23c =.即AB 的长为23. 故答案为23 29．如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43 【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2AD ＝2263，过D 作DF⊥轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF ＝26326223=，所以D （233-23）， AC u u u r ＝（2,2），AD u u u r ＝（233-23，AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以，（2,2）＝λ（233-23）+μ（2,1），所以，23223232λμμ⎧-+=⎪⎪+=，解得：3343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ43 4330．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB u u u r u u u r g 的最大值为______．【答案】32 【解析】因为C 为圆2+y 2＝1上一点，设C （si nθ，cosθ），则 ()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--u u u r u u u r ，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-， ∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sin cos θθθθ⋅=+-+-+++u u u r u u u r ()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=-++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+， ∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅u u u r u u u r 的最大值为32．故答案为：32．。

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