用凯特摆测量重力加速度 (7)

实验题目:用凯特摆测量重力加速度
实验目的:学习凯特摆的实验设计思想和技巧，掌握一种比较精确的测量重力加速度的方法。

实验原理:设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，
刚体绕O 轴摆动的周期T 为：
mgh I T π2=
(1)
式中g 为当地的重力加速度.
设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为I G ，当G 轴与O 轴平行时，有
I=I G +mh 2 (2)
代入式（1）得：mgh mh I T G 2
2+=π (3)
对比单摆周期的公式g
l T π2= 可得 mh
mh I l G 2
+=(4)，称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

左图是凯特摆摆杆的示意图。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长
l 。

在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂
时的摆动周期T 1和T 2基本相等。

由公式（3）可得
1
2112mgh mh I T G +=π (5) 22222mgh mh I T G +=π (6)
其中T 1和h 1为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。

当T 1≈T 2时，h 1+h 2=l
即为等效摆长。

由式(5)和(6)消去I G ，可得：
()
22222121214222T T T T a b g l h l π+-=+=+- (7)
此式中，l 、T 1、T 2都是可以精确测定的量，而h 1则不易测准。

由此可知，a 项可以精确求得，而b 项则不易精确求得。

但当T 1=T 2以及 |2h 1-l | 的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、数字测试仪。

实验内容：1、仪器调节
选定两刀口间得距离即该摆得等效摆长l ，使两刀口相对摆杆基本对称，并相互平行，用
米尺测出l 的值，粗略估算T 值。

将摆杆悬挂到支架上水平的V 形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在
铅垂面内自由摆动，倒挂也如此。

将光电探头放在摆杆下方，让摆针在摆动时经过光电探测器。

让摆杆作小角度摆动，待稳定后，按下reset 钮，则测试仪开始自动记录一个周期的时间。

2、测量摆动周期T ₁和T ₂
调整四个摆锤的位置，使T ₁和T ₂逐渐靠近，差值小于0.001s ，测量正、倒摆动10个周
期的时间10T ₁和10T ₂各测5次取平均值。

3、计算重力加速度g 及其标准误差σg 。

将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G 。

测出|GO|即h ₁，代
入公式计算g 。

推导误差传递公式计算σg 。

实验数据:
10T 1/s 17.3358 17.3374 17.3371 17.3372 17.3339
10T 2/s 17.3384 17.3394 17.3359 17.3335 17.3319
h 1/cm 29.70 29.60 29.65
l/cm 74.50 74.52 74.50
数据处理:以下均取P=0.950
T 1:平均值117.335817.337417.337117.337217.3339T =s 1.733628s 510
++++=⨯ A 类不确定度51111()()0.0000665(51)
i i A T T u T s =-==⨯-∑ B 类不确定度10.0001T /0.0000333
B B u
C s s =∆==（） 222210.950()()()(2.780.000066)(1.960.000033)0.000195,0.950A P B U T t u k u s s P +=⨯+⨯==
则1T =(1.7336280.000195)s ± P=0.95 T 2:平均值217.338417.339417.335917.333517.3319T
=s 1.733582s 510
++++=⨯ A 类不确定度2()0.000142A u T s == B 类不确定度20.0001
T /0.0000333
B
B u
C s s =∆==（） 2()0.000400,0.950U T s P ====
则2T =(1.7335820.000400)s ± P=0.95 h 1: 平均值1
29.7029.6029.65=29.653
h cm cm ++= A 类不确定度1()0.03A u h cm == B 类不确定度1
0.1/0.033
B B
u C cm cm =∆==（h ） 1(h )0.10,0.950U cm P ==== 则1h =(29.650.10)s ± P=0.95
l : 平均值74.50
74.5274.50=74.513
l cm cm ++= A 类不确定度(l)0.01A u cm ==
B 类不确定度0.1
l /0.03
B B u
C cm cm =∆==（） (l)0.07,0.950U cm P === 则l=(74.510.07)cm ± P=0.95
g :计算g 及其不确定度
已知b a l h T T l T T g +=--++=)
2(2241222122212π (1) 由l
T T a 22221+=得 22
121.733628 1.733582 4.033520.7451
a m s -+==⨯ 下面求a 的不确定度传递公式：
两边取对数 2ln ln )ln(ln 2221--+=l T T a
求微分 dl l dT T T T dT T T T da a 1221222
21212
2211-+++= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为
()U a
=带入数值可求求得a 的不确定度为
-12
() 4.03350.0039m U a s = 所以 -12(4.03350.0039)m a s =± P=0.95
(2) 由)
2(212
221l h T T b --=得 22
121.733628 1.7335820.00052(20.29650.7451)b m s --==-⨯- (3) 比较a 和b 的大小,0.0005100%0.01%4.0335
b a ⨯==,可见b 与a 相比,b 项可以忽略不计,从而可由a l T T g =+=2422212π求得a g 24π= 2
249.788m/s 4.0335
g π== 再求g 的不确定度传递公式
两边取对数 a g ln 4ln ln 2-=π
求微分 da a
dg g 11-= 系数去绝对值并改成不确定度符号，最后写成不确定度传递公式为
()()g U g U a a
= 带入数值可求的g 的不确定度为
29.788()0.00390.038/4.0335
U g m s =
⨯= 所以 2(9.7880.038)m/s g =± P=0.95 误差分析：
1. 使用卷尺测量等效摆长时误差太大;
2. 在实验过程中发现摆放置在刀口的位置的微小变动对周期测量有影响;
3. 实验中的偶然因素(比如振动)会造成周期的变化;
4. 正挂和倒挂的时候，周期相差过大；
5. 在实验过程中，可能会由于操作不当而形成锥面摆。

思考题：
1.凯特摆测重力加速度，在实验设计上有什么特点？避免了什么量的测量？降低了哪个量的测量精度？
实验上如何来实现？
答: 凯特摆测重力加速度在实验设计上把不可测的量转换成可测的量，利用复摆上两点的共轭性，对难以精确测定的量，有些避免了对其的测量，不能避免的则降低了其测量精度。

避免了对复摆转动惯量I G 的测量，降低了对重心G 到悬点O 的距离h ₁的测量。

实验上利用复摆上两点的共轭性，通过调节四个摆锤的位置，使得两刀口共轭，则两刀口距离即为等效摆长l ，避免了对I G 的测量，此时正、倒悬挂的摆动周期基本相等，从而使4π²/g=a+b 中不易精确求得的b 项远小于a 项，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

2.结合误差计算，你认为影响凯特摆测g 精度的主要因素是什么？将所得到的实验结果与当地的重力加速度的公认值相比较，你能得到什么结论？若有偏差试分析之。

答：影响g 精度的主要因素是等效摆长l 的测量,因为利用卷尺测量时,难以做到卷尺与摆平行以及摆两端与刻线对齐，难免存在可通过改进测量仪器和测量方法.
重力加速度值为g=9.806652/s m ，测量值9.7882/s m 和之相比，误差为
9.806659.788100%0.19%9.80665
-⨯=，可知凯特摆法的精度较高。

此法的误差来源于：两刀口间距l 的米尺测量误差，h ₁的测量误差，摆锤在测量过程中受重力作用可能有所滑动，摆角的影响。

有偏差可能是由于正挂和倒挂的时候，周期相差过大,使b 和a 相比不能忽略；或者是测量时某些量(比如等效摆长)误差过大。