角平分线、倍长中线、构造全等提高

角平分线、倍长中线、构造全等提高

1．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．

2．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是．

3．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、

AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是．

4.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是 A ．DE =DF B ．AE =AF

C ．B

D =CD

D ．∠AD

E =∠ADF

5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于． 6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ．三条中线的交点

B ．三条高的交点

C ．三条边的垂直平分线的交点

D ．三条角平分线的交点

【例题】

1． 如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和△DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC +BD •相等

吗．请说明理由．

2．在△ABC 中，∠B =60°，∠A ，∠C 的角平分线AE ，CF 相交于点O ， （1）如图1，若AB =BC ，求证：OE =OF ；

（2）如图2，若AB ≠BC ，试判断线段OE 与OF 是否相等，并说明理由

D

C

A

B

E

3题图

D

C

B

A

F

E

D C

B

A

练习：

1.如图，已知BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB ＝DC ，∠BAC ＝40o ，∠ADG ＝130o ，则∠DGF ＝_________

(1题图) （2题图） （3题图）

2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90o ，AM 是∠CAB 的平分线，CM ＝20cm ，那么M 到AB 的距离为． 3.如图，∠B ＝∠C ＝90o ，M 是BC 上一点，且∠AMD ＝90o ，DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ．

4.如图，BD ＝CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ．求证：D 在∠BAC 的角平分线上．

（4题图）

5.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝BC ，AD 为∠BAC 的平分线，AE ＝BC ，DE ⊥AB 垂

足为E ，求证△DBE 的周长等于AB ． A

B

C

D E

F

G

M C

B A

M

D C

B

A

A

B

C

D

E

D

C

B

A

E

D

F

C

B

A

6.如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ．∠MON ＝50o ，∠OPC ＝30o ，求∠PCA

的大小．

专题练习1：常见辅助线 1.倍长中线法

【例1】如图，△ABC 中，AD 为中线．

(1)求证：AB +AC >2AD ；

(2)若AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是_________________． 【例2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点．

试比较BE +CF 与EF 的大小．

练习：1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠FAC =90°. 试探究线段AD 与EF 数量和位置关系.

F

O

N

M P

C B

A

2． 如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE =EF ．求证：AC =BF

2. 截长补短法

【例1】如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠ABC ，CD 过点E ．

求证：AB ＝AD +BC ．

【例2】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：180A C ︒∠+∠=．

练习：1. 已知: 如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD = 60︒， ∠ADB = 90︒-1

2

∠BDC . 求证: AB = BD + DC

A

B

C

D

E F

G

A B

C

D

E F

A

O E

C

B

3.借助角平分线造全等

【例1】如图，已知在△ABC 中，∠B =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ，求证：OE =OD

【例2】如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .

（1） 说明BE =CF 的理由；（2）如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.

练习：1.已知△ABC 中，∠B =2∠A ，AB =2BC 求证：△ABC 是直角三角形.

提示：

4.三垂直问题

E D

G

F

C

B

A

A B C