高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题

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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2，令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝， 4＝－，所以＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)

高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（）．A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花瓣的面积为（）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

数学选修2-2第一章导数及其应用

数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（）Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（）Ａ．函数的极大值就是最大值Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值Ｃ．函数的最值一定是极值Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（）Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（）Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（）Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数Ｃ．0a <且c 是任意实数Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（）Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（）Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为． 14.函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值，极小值；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为； 19．计算下列定积分。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试(一)

A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值，则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ，则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行，则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ，则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ，则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)

选修2-2第一单元导数及其应用测试题含解析人教版

选修2-2第一单元导数及其应用测试题（含解析人教版）时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝⎛⎭⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1 B ．45° C ．－45° D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D. 2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [答案] B[解析] ⎝⎛⎭⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确； (3x )′＝3x ln3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，所以B 对．故选B. 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.5．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(2014·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx 的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x 2D ．y ′＝1－ln xx2[答案] D[解析] y ′＝(ln x )′·x －(ln x )·x ′x 2＝1－ln xx2. 8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离[答案] C[解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x2，∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2， ∴围成三角形的面积为e 2.故选D.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．经过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程为______________．[答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎫x 0，1x 0，则1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．若函数f (x )＝ax 2－1x 在(0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (1)<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (1)>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)求定积分⎠⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1 (x ≤0)x 2 (x >0).[解析] ⎠⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10 ＝cos1－2＋13＝cos1－53.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数．当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 22．(本题满分14分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．[解析] (1)f ′(x )＝a e x －1a ex ，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。

新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（含答案）

新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。

高中数学选修2-2导数及其应用单元检测

选修2-2导数及其应用单元检测题一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.若函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)2.设函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A. [−32e ,1) B. [−32e,34) C. [32e,34) D. [32e,1)3.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)+1>0，f(3)=−ln3，则不等式f(e x)+x>0的解集为()A. (e3,+∞)B. (0,e3)C. (ln3,+∞)D. (ln3,e3)4.函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+15.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为()A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1 D. y=12x+126.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.7.一点P在曲线y=x3−x+23上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A. [0,π2] B. [0,π2)∪[3π4,π)C. [3π4,π) D. (π2,3π4]8.函数y=2x2−e|x|在[−2,2]的图象大致为()A. B.C. D.9.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>0二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）10.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．11.设函数f(x)=e xx+a ，若f′(1)=e4，则a=______．12.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______．三、解答题（本大题共9小题，共108.0分）13.已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．14.已知函数f(x)=e x−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．15.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)≥1216.已知函数f(x)=2ln x+1．(1)若f(x)⩽2x+c，求c的取值范围;(2)设a>0，讨论函数g(x)=f(x)−f(a)的单调性．x−a17.已知函数f(x)=e x+ax2−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;x3+1，求a的取值范围．(2)当x≥0时，f(x)⩾1218.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．19.设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；(Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)=x3−kx+k2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．21.设函数f(x)=x3+bx+c，曲线y=f(x)在点(12,f(12))处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．【解答】，解：f′(x)=k−1x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1在区间(1,+∞)上恒成立，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x<1，∴0<1x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．设g(x)=e x(2x−1)，y=ax−a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g(x0)在直线y=ax−a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得−a>g(0)=−1且g(−1)=−3e−1≥−a−a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g(x)=e x (2x −1)，y =ax −a ，由题意知存在唯一的整数x 0使得g(x 0)在直线y =ax −a 的下方，∵g′(x)=e x (2x −1)+2e x =e x (2x +1)，∴当x <−12时，g′(x)<0，当x >−12时，g′(x)>0，∴当x =−12时，g(x)取最小值−2e −12，当x =0时，g(0)=−1，当x =1时，g(1)=e >0，直线y =ax −a 恒过定点(1,0)且斜率为a ，故−a >g(0)=−1且g(−1)=−3e −1≥−a −a ，解得32e ≤a <1，故选D ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)+lnx ，在(0,+∞)上可得g ′(x)=xf ′(x)+1x >0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(3)=f(3)+ln3=0，进而得出解集．【解答】解：令g(x)=f(x)+lnx ，x ∈(0,+∞)．∵在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)+1>0，∴g ′(x)=f ′(x)+1x =xf ′(x)+1x >0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∵g(3)=f(3)+ln3=0，而不等式f(e x)+x>0⇔g(e x)>g(3)，所以e x>3，即x>ln3．∴不等式f(e x)+x>0的解集为(ln3,+∞)．故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求得f(1)，然后利用直线方程的点斜式求解．【解答】解：由f(x)=x4−2x3，得f′(x)=4x3−6x2，∴f′(1)=4−6=−2，又f(1)=1−2=−1，∴函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，即y=−2x+1．故选：B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．根据直线l与圆x2+y2=15相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y=√x求一解可得答案．【解答】解：直线l与圆x2+y2=15相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径√55，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：y=2x+1与y=√x联立可得：2x−√x+1=0，此时：无解；对于D选项：y=12x+12与y=√x联立可得：12x−√x+12=0，此时解得x=1；∴直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=15都相切，方程为y=12x+12，故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数图象的应用，属于基础题．根据导函数f′(x)图象，即可判断函数f(x)的单调性，结合函数的极值，利用排除法，即可求得函数y=f(x)的图象．【解答】解：当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y=f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个极值点在x轴上的右侧，排除B．故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】此题考查利用导数研究函数的切线斜率，及由正切函数的图象研究斜率与倾斜角的关系，属于基础题．由导数确定，再由正切函数的图象易得．【解答】解：因为y′=3x2−1≥−1，所以切线的斜率tanα≥−1，又α∈[0,π),由正切函数的图象知：α∈[0,π2)∪[3π4,π)．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，定义域为R，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|=f(x)，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8−e2∈(0,1)，故排除A，B；当x∈[0,2]时，f(x)=y=2x2−e x，f′(x)=4x−e x，∵f′(0)<0，f′(2)>0，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0,2]不是单调的，故排除C，故选D.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x<0时，y=f(x)−ax−b=x−ax−b=(1−a)x−b=0，y=f(x)−ax−b最多一个零点；当x≥0时，y=f(x)−ax−b=13x3−12(a+1)x2+ax−ax−b=13x3−12(a+1)x2−b，y′=x2−(a+1)x，当a+1≤0，即a≤−1时，y′≥0，y=f(x)−ax−b在[0,+∞)上递增，y=f(x)−ax−b最多一个零点，不合题意；当a+1>0，即a>−1时，令y′>0得x∈[a+1,+∞)，函数递增，令y′<0得x∈[0,a+1)，函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，所以函数y=f(x)−ax−b在(−∞,0)上有一个零点，在[0,+∞)上有2个零点，如右图：∴b1−a <0且{−b>013(a+1)3−12(a+1)(a+1)2−b<0,解得b<0，1−a>0，b>−16(a+1)3，∴−16(a+1)3<b<0，−1<a<1，故选：C．10.【答案】4√15cm3【解析】【分析】本题考查三棱锥的体积，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力、空间想象能力，是较难题．由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√25−10x，求出棱锥体积表达式，利用导数能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=√36BC，设OG=x，则BC=2√3x，DG=5−x，三棱锥的高ℎ=√DG2−OG2=√25−10x+x2−x2=√25−10x，S△ABC=12×√32×(2√3x)2=3√3x2，则V=13S△ABC×ℎ=√3x2×√25−10x =√3⋅√25x4−10x5，令f(x)=25x4−10x5，x∈(0,52)，则f′(x)=100x3−50x4，令f′(x)≥0，解得0<x≤2，则f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,52)单调递减，则f(x)≤f(2)=80，∴V≤√3×√80=4√15cm3，∴体积最大值为4√15cm3．故答案为：4√15cm3．11.【答案】1【解析】解：∵函数f(x)=e xx+a ，∴f′(x)=(x+a−1)⋅ex(x+a)2，若f′(1)=ae(a+1)2=e4，∴a(a+1)2=14，则a=1，故答案为：1．先求出函数的导数，再根据f′(1)=e4，求得a的值．本题主要考查求函数的导数，属于基础题．12.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．13.【答案】解：(1)f(x)=x3−kx+k2．f′(x)=3x2−k，k≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R递增，k>0时，令f′(x)>0，解得：x>√k3或x<−√k3，令f′(x)<0，解得：−√k3<x<√k3，∴f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增，综上，k≤0时，f(x)在R递增，k>0时，f(x)在(−∞,−√k3)递增，在(−√k3,√k3)递减，在(√k3,+∞)递增；(2)由(1)得：k >0，f(x)极小值=f(√k 3)，f(x)极大值=f(−√k 3)，若f(x)有三个零点，只需{ k >0f(√k 3)<0f(−√k 3)>0，即{ k >0k 3√k 3−k√k 3+k 2<0−k 3√k 3+k√k 3+k 2>0，整理得{ k >0k −23√k 3<0k +23√k 3>0，解得：0<k <427，故a ∈(0,427).【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道较难题．(1)求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k 的不等式组，解出即可．14.【答案】解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,+∞)，且f′(x)=e x −a ．(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，令f′(x)=0，解得x =0． ∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；(2)①当a ≤0时，f′(x)=e x −a >0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；②当a >0时，令f′(x)=0，解得x =lna ，当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a −a(lna +2)=−a(1+lna)．又当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞． ∴要使f(x)有两个零点，只要f(lna)<0即可，则1+lna >0，可得a >1e ．综上，若f(x)有两个零点，则a 的取值范围是(1e ,+∞)．【解析】(1)当a =1时，f′(x)=e x −1，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；(2)当a≤0时，f′(x)=e x−a>0恒成立，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，不合题意；当a>0时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求极值，考查利用函数零点的个数求参数的取值范围，是中档题．15.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，可得g(x)在R上递增，即f′(x)在R上递增，因为f′(0)=0，所以当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)的增区间为(0,+∞)，减区间为(−∞,0)；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3+1恒成立，①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R；②当x>0时，可得a≥12x3+x+1−e xx2恒成立，设ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，则ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3，可设m(x)=e x−12x2−x−1，可得m′(x)=e x−x−1，m″(x)=e x−1，由x≥0，可得m″(x)≥0恒成立，可得m′(x)在(0,+∞)递增，所以m′(x)min=m′(0)=0，即m′(x)≥0恒成立，即m(x)在(0,+∞)递增，所以m(x)min=m(0)=0，再令ℎ′(x)=0，可得x=2，当0<x<2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,2)递增；x>2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(2,+∞)递减，所以ℎ(x)max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可得a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】(1)求得a=1时，f(x)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可得到所求单调性；(2)讨论x=0，不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进而得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．16.【答案】解：(1)f(x)⩽2x+c等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，则ℎ′(x)=2x −2=2(1−x)x，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在递减，ℎ(x)max=ℎ(1)=−2，所以c−1⩾−2，即c⩾−1，因此c的取值范围是．(2)因为g(x)=2(ln x−ln a)x−a(x>0,x≠a,a>0)，所以g′(x)=2x(x−a)−2ln x+2ln a(x−a)2=−2ax−2ln x+2ln a+2(x−a)2，令φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),则φ′(x)=2ax2−2x=2(a−x)x2，令φ′(x)>0，得0<x<a；令φ′(x)<0，x>a．所以，φ(x)在(0,a)上递增，在上递减；因此，φ(x)⩽φ(a)=0，即g′(x)⩽0，所以g(x)在(0,a)和都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln x−2x⩽c−1，设ℎ(x)=2ln x−2x，求导判断ℎ(x)单调性及最值，即可求得c的范围;(2)对g(x)求得，再令g′(x)的分子为φ(x)=−2ax−2ln x+2ln a+2(x>0),对φ(x)求导，判断单调性及最值，进而可得g(x)的单调性．17.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、导数与不等式等知识，考查运算求解、逻辑推理能力及分类讨论的数学思想，难度较大．18.【答案】解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(2e x+1)(ae x−1)，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)>0，，令f′(x)<0，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，ℎ′(a)=1a2+1a>0，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，∴0<a<1．接下来说明0<a<1时，f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．【解析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于较难题．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)的单调性；(2)由(1)知：当a>0时f(x)才可能有两个零点，求得f(x)最小值，令f(x)min<0，即可求得a的取值范围，然后分别找到两个零点所在的区间，说明存在两个零点．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]e x的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x．曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，可得(4a−2a−2+1)e2=0，解得a=12；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2−(a+1)x+1]e x=(x−1)(ax−1)e x，若a=0，则x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；x>1时，f′(x)<0，f(x)递减．所以x=1处f(x)取得极大值，不符题意；若a=1，则f′(x)=(x−1)2e x≥0，f(x)递增，无极值；若a>1，则1a <1，f(x)在(1a,1)递减；在(1,+∞)递增，可得f(x)在x=1处取得极小值；若0<a<1，则1a >1，f(x)在(−∞,1)递增；在(1,1a)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意；若a<0，则1a <1，f(x)在(1a,1)递增；在(1,+∞)递减，可得f(x)在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是(1,+∞)．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(2)=0，解方程可得a的值；(Ⅱ)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =1，a >1，0<a <1，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围．20.【答案】解：(1)求导得f′(x )=3x 2−k ，定义域为(−∞,+∞)，当k ≤0时，f′(x )=3x 2−k ≥0，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增；当k >0时，令f′(x )>0得x <−√3k 3或x >√3k 3，令f′(x )<0得−√3k 3<x <√3k3，故函数f (x )在(−∞,−√3k 3),(√3k 3,+∞)上单调递增，在(−√3k 3,√3k3)上单调递减． (2)由(1)当k ≤0时，f (x )在(−∞,+∞)上单调递增，不符题意，故k >0， f (x )的极大值为f (−√3k3)，极小值为f (√3k3)，要使f (x )有三个零点，则{f (−√3k 3)=−3k √3k 27+k ⋅√3k 3+k 2>0f (√3k 3)=3k √3k 27−k ⋅√3k3+k 2<0，∵k >0，即{29√3k +k >0−29√3k +k <0，解得0<k <427．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题．21.【答案】(1)解：由f(x)=x 3+bx +c ，得f′(x)=3x 2+b ，∴f′(12)=3×(12)2+b =0，即b =−34；(2)证明：设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，则c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1，令c(x)=−x 3+34x(−1≤x ≤1)， ∴c′(x)=−3x 2+34=−3(x +12)(x −12)，当x ∈(−1,−12)∪(12,1)时，c′(x)<0，当x ∈(−12,12)时，c′(x)>0第21页，共21页可知c(x)在(−1,−12)，(12,1)上单调递减，在(−12,12)上单调递增．又c(−1)=14，c(1)=−14，c(−12)=−14，c(12)=14，∴−14≤c ≤14．设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0，即−14≤c =−x 13+34x 1≤14， ∴{4x 13−3x 1−1=(x 1−1)(2x 1+1)2≤04x 13−3x 1+1=(x 1+1)(2x 1−1)2≥0，得−1≤x 1≤1，即|x 1|≤1．∴f(x)所有零点的绝对值都不大于1．【解析】(1)求出原函数的导函数，由题意可得f′(12)=3×(12)2+b =0，由此求得b 值；(2)设x 0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x 0)=x 03−34x 0+c =0，且|x 0|≤1，得到c =−x 03+34x 0，由|x 0|≤1，对c(x)求导数，可得c(x)在[−1,1]上的单调性，得到−14≤c ≤14.设x 1 为f(x)的零点，则必有f(x 1)=x 13−34x 1+c =0，可得−14≤c =−x 13+34x 1≤14，由此求得x 1的范围得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。

第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2

（2）若对任意的 x1 , x2 Î [1，e ] （ e 为自然对数的底数）都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
第 3 页共 8 页
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
（1）求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程；（2）若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
a2 ， g ( x ) = x + ln x ，其中 a > 0 ． 22．（本小题满分14分）已知函数 f ( x ) = x + x （1）若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点，求实数 a 的值；
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ，则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A． 2 2．设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ，则当 a < b 时，定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21．解（1） f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分

《高中数学选修2-2第一章导数及其应用》复习题

《选修2-2 第一章导数及其应用》复习题一、选择题1、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（）A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－22、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（）A ．x y 2sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(4、函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数),()(b a x f 在' 内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．45、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确的是（）A ．函数)(x f 有最小值)(0x fB ．函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 的最大值也可能是)(0x fD ．函数)(x f 不一定有最小值 6、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（） A ． 21>-<b b ，或 B ． 21≥-≤b b ，或C ． 21<<-bD ． 21≤≤-b7、一物体在力2()325F x x x =-+（力单位：N ，位移单位：m ）作用下，沿与力()F x 相同的方向由x=5m 直线运动x=10m 处做的功是（）A ．925JB ．850JC ．825JD ．800J8、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（）A ．)3,3(-B ．)11,4(-C ． )3,3(-或)11,4(-D ．不存在8、以初速40m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度24010v t =-，则此物体达到最高时的高度为（）A ．1603m B ．803m C ．403m D ．203m 9、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ B ．]3,3[- C ． (,3)(3,)-∞-⋃+∞ D ． )3,3(- 10、若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞二、填空题11、如右图所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ．12、计算：（1）1214x --⎰= ；（2）2(2)x x e dx -⎰= 。

人教版选修2-2第一章导数及(含定积分)其应用测试题

人教版高二数学选修2-2第一章导数及其应用（含定积分）测试题（时间120分钟，分值150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．已知32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 2、()0f x =的导数是（）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定3、y = ） A ．23xB ．213x C ．12- D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4 5、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭6、关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ D ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间()(),02,-∞⋃+∞内，)(x f 为增函数 7、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)--8、已知函数)(x f y =的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是x y 21=+2,则(1)(1)f f '+等于( ）A.1B.52C.3D.09、函数())0f x x =>的导数是（） AB C D10．下列结论中正确的是（）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 11、积分=-⎰-a adx x a 22（）． A ．241a π B ．221a π C ．2a π D ．22a π12、由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． A ．18B ．338C ．316 D ．16二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________． 15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________． 16、已知='+=)0(,cos sin )(f x x xe x f x 则__________ 三、解答题（共70分） 17、（10分）、求曲线y =在点18,4⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程．18、（12分）求定积分 =-+-⎰dx x x 40|)3||1(| ____________。

高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元检测卷含解析

⾼中数学选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测卷含解析选修2-2第⼀章《导数及其应⽤》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(⾮选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的) 1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的⼤⼩关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任⼀作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是()A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－4x －1B ．y ＝4x －1C ．y ＝4x －11D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜⾓为α，则⾓α的取值范围是( )A.0，π2B.0，π2∪2π3，πC.2π3，πD.0，2π35．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)6．下列等式成⽴的是( )A ．?ba 0d x ＝b －aB ．?b a x d x ＝12C ．?1－1|x |d x ＝2?10|x |d xD ．?b a (x ＋1)d x ＝?b a x d x7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最⼤值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．已知?20 f (x )d x ＝3，则?20[f (x )＋6]d x 等于( )A ．9B ．12C ．15D ．1810．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－1311．函数f (x )＝x 1－x的单调增区间是( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银⾏准备新设⼀种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正⽐，⽐例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银⾏吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银⾏可获得最⼤利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036第Ⅱ卷(⾮选择题共90分)⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________．14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R)，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________．15.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的⾯积的最⼤值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表⽰过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜⾓均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有⼀个．③f (x )的最⼤值与最⼩值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤)17．(本⼩题满分10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(本⼩题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )。

高中数学选修22第一章导数测习题

精选文档选修 2-2 第一章单元测试( 一)时间： 120分钟总分： 150分一、选择题 ( 每题 5 分，共 60 分)1．函数f ( x) ＝x·sin x的导数为 ()A．f′( x) ＝ 2x·sin x＋ x·cos x B．f′( x) ＝ 2x·sin x－x·cos xsin x sin x－ x·cos x C．f′( x) ＝＋ x·cos x D．f′( x) ＝2x 2 x 2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点 (0 ，b) 处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－ 1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－ 1，b＝－ 13．设f ( x) ＝x ln x，若f′( x0) ＝2，则x＝()A．e2B．e C.ln2 D ．ln224．已知f ( x) ＝x2＋2xf′(1)，则 f ′(0)等于 () A．0B．－ 4C．－ 2D．25.图中由函数y＝f (x)的图象与x 轴围成的暗影部分的面积，用定积分可表示为()A.3B. 3f ( x)d x＋1－f ( x)d x-313f ( x)d xC.1D.13f ( x)d xf ( x)d x f ( x)d x－-3-316．如图是函数y＝f ( x) 的导函数的图象，给出下边四个判断：①f( x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是 f ( x)的极小值点；③f ( x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是 f ( x)的极小值点．此中，全部正确判断的序号是 ()A．①②B．②③C．③④ D ．①②③④7．对随意的x∈R，函数 f ( x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 ()A．0≤a≤21B．a＝ 0 或a＝7C．a<0 或a>21D．a＝ 0 或a＝218．某商场从生产厂家以每件20 元的价钱购进一批商品，若该商品零售价定为 P 元，销售量为 Q，则销量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元 ) 有以下关系：Q＝8 300 －170P－P2，则最大毛收益为 ( 毛收益＝销售收入－进货支出 )()A．30 元 B．60 元 C ．28 000 元 D ．23 000 元x9．函数f ( x) ＝－e x( a<b<1)，则 ()A．f ( a) ＝f ( b)B．f(a)<f(b)C．f ( a)> f ( b)D．f(a)，f(b)大小关系不可以确立10．函数f ( x) ＝－x3＋x2＋x－2 的零点个数及散布状况为()1A．一个零点，在－∞，－3内1B．二个零点，分别在－∞，－3，(0，＋∞)内11C．三个零点，分别在－∞，－3，－3，0，(1，＋∞)内1D．三个零点，分别在－∞，－3，(0,1)，(1，＋∞)内11．关于 R 上可导的随意函数f ( x)，若知足( x－1) f ′( x)≥0，则必有()A．f (0)＋f (2)<2 f (1)B．f (0)＋f (2)≤2f (1)C．f (0)＋f (2)≥2f (1)D．f (0)＋f (2)>2 f (1)12．设f ( x) 是定义在 R上的可导函数，且知足 f ′( x)> f ( x)，对随意的正数 a，下边不等式恒建立的是()f 0a aA ．f ( a)<e f (0)B ．f ( a)>e f (0)C ．f ( a)<e af0D．f ( a)> e a二、填空题 ( 每题 5 分，共 20 分)113．过点 (2,0)且与曲线 y＝x相切的直线的方程为________．π121－x d x，N＝2cos x d x，则程序框14．已知M＝图输出的 S＝________.精选文档1m15．设函数f ( x) ＝x＋ax的导数为f′( x) ＝2x＋1，则数列 f n (n ∈N＋) 的前n项和是 ________．1216．已知函数 f ( x)＝2mx＋ln x－2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．三、解答题 ( 写出必需的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)32217．(10 分) 设函数f ( x) ＝－x－2mx－mx＋1－m(此中 m>－2)的图象在 x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．(1)求 m的值；(2)求函数 f ( x)在区间[0,1]上的最小值．18．(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3( k＋1) x2－k2＋1( k>0)，若f ( x)的单一递减区间是 (0,4) ，1(1) 求k的值； (2)当 k<x 时，求证：2 x>3－x19.(12 分) 已知函数f ( x) ＝kx3－3x2＋1( k≥0) ．(1)求函数 f ( x)的单一区间；(2)若函数 f ( x)的极小值大于0，求 k 的取值范围．20.(12分)湖北宜昌“三峡人家”景色区为提升经济效益，现对精选文档某一景点进行改造升级，进而扩大内需，提升旅行增添值，经过市场检查，旅行增添值y 万元与投入 x( x≥10)万元之间知足： y＝f ( x)＝2 101xax ＋50 x－b ln10，a，b 为常数，当 x＝10时， y＝19.2；当 x＝20时， y＝35.7.(参照数据： ln2 ＝0.7 ，ln3 ＝1.1 ，ln5 ＝1.6)(1)求 f ( x)的分析式；(2)求该景点改造升级后旅行收益 T( x)的最大值．(收益＝旅行收入－投入 )131221.(12 分) 已知函数f ( x) ＝3x－2x＋cx＋d有极值．(1)求 c 的取值范围；1 2(2) 若f ( x) 在x＝ 2 处获得极值，且当x<0 时，f ( x)<6d＋2d恒成立，求 d 的取值范围．22.(12 分)(2015 ·银川一中月考 ) 设a为实数，函数f ( x) ＝e x－2x ＋2a，x∈R.(1)求 f ( x)的单一区间与极值；(2)求证：当 a>ln2－1且 x>0时，e x>x2－2ax＋1.精选文档答案1 ． C f′( x) ＝ (x )′·sin x ＋x ·(sin x)′＝1·＋2x sin x x·cos x，应选C.2．A∵y′＝2x＋a，∴曲线 y＝x2＋ ax＋b 在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为 y－b＝ax，即 ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.3．B f ′( x)＝( x ln x)′＝ln x＋1，∴f′( x0)＝ln x0＋1＝2，∴ x0＝e.4．B f ′( x)＝2x＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即 f ′(1)＝－ 2，∴f′( x) ＝ 2x－4，∴f′(0) ＝－ 4.5．D由定积分的几何意义可知，函数y＝f ( x)的图象与 x 轴围成的暗影部分的面积为1－3f(x)d x－3f(x)d x.应选D.16．B由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f ( x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4] 上是减函数；(2)f ( x)在 x＝－1处获得极小值，在 x＝2处获得极大值．故②③正确．7．A f′( x) ＝3x2＋2ax＋7a，当＝4a2－84a≤0，即 0≤a≤21 时， f ′( x)≥0恒建立，函数不存在极值点．应选A.8．D设毛收益为L(P)，由题意知 L( P)＝PQ－20Q＝Q( P－20)＝(8 300 －170P－P2)( P－20)＝－ P3－150P2＋11 700 P－166 000，精选文档因此 L′( P)＝－3P2－300P＋11 700，令 L′( P)＝0，解得 P＝30或 P＝－130(舍去)．此时， L(30)＝23 000.依据实质问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛收益为23 000 元．9．C f′( x) ＝－e x－x e x x－1 e x 2＝e x ，当 x<1时， f ′( x)<0，即 f ( x)在区间(－∞，1)上单一递减，又∵ a<b<1，∴ f ( a)> f ( b)．110．A利用导数法易得函数 f ( x)在－∞，－3内单一递减，在1159－3，1 内单一递加，在 (1 ，＋∞) 内单一递减，而 f －3＝－27<0，f (1)＝－1<0，故函数 f ( x)的图象与 x 轴仅有一个交点，且交点横坐1标在－∞，－3内，应选 A.11.C当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；而当 0≤x≤1 时，f′ ( x) ≤0，则f (1) ≤f (0) ，进而 f (0)＋f (2)≥2f (1)．f x f ′ x －f x12．B结构函数g(x)＝e x，则g′(x)＝e x>0，故函f x f a f 0数 g( x)＝e x在R上单一递加，因此 g( a)> g(0)，即e a>e0，即 f ( a)>e a f (0)．13．x＋y－2＝ 0分析：设所求切线与曲线的切点为P( x0，y0)，精选文档1∵y ′＝－ x 2，∴ y ′ |1y －y 0＝－ 2( x －x 0) ．x 01x ＝x 0＝－ 2，所求切的方程 x 0∵点 (2,0) 在切上，12∴0－y 0＝－ 2(2 －x 0) ，∴ x 0y 0＝2－x 0. ①x 0又∵ x 0y 0＝1，②x 0＝ 1，由①②解得∴所求直方程 x ＋y －2＝0.y 0＝ 1，14. π4分析：＝11－ x 2 ＝ 12π π＝sinx | πd4π×1＝，＝∫cos d＝1，M 0x 4 N2x x2πM <N ，不足条件 M >N ， S ＝M ＝4.n15. n ＋1m －1＋a ＝2x ＋1，得 m ＝2，分析： f ′( x ) ＝mxa ＝1.211 1 1f ( x ) ＝x＋x ，f n ＝n n ＋1 ＝n －n ＋ 1，111 1 1 1111其和1－2 ＋ 2－3 ＋ 3－4 ＋ ⋯ ＋ n －n ＋1 ＝ 1 － n ＋1 ＝n.n ＋116．[1 ，＋ ∞)1分析：依据意，知 f ′( x ) ＝mx ＋x －2≥0 全部 x >0 恒建立，精选文档m 1 2 2g ( x )1 2 21211 1＋，令＝－＋＝－－ 1，则当＝时，函∴ ≥－xx x ＋xxx数 g ( x ) 获得最大值 1，故 m ≥1.2217．解： (1) 由于 f ′( x ) ＝－ 3x －4mx －m ，2因此 f ′(2) ＝－ 12－8m －m ＝－ 5，解得 m ＝－ 1 或 m ＝－ 7( 舍去 ) ，即 m ＝－ 1.(2) 令 f ′( x ) ＝－ 3x 2＋4x －1＝0，1解得 x 1＝1，x 2＝3.当 x 变化时， f ′( x ) ，f ( x ) 的变化状况以下表：x11 110，33 3，1f ′( x )－＋f ( x )2502271 50因此函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f 3 ＝27. 18．解： (1) f ′( x ) ＝ 3kx 2－6( k ＋1) x ，2k ＋2由 f ′( x )<0 得 0<x < k ，∵ f ( x ) 的递减区间是 (0,4) ，2k ＋2∴k＝ 4，∴ k ＝1.11 1(2) 证明：设 g ( x ) ＝2 x ＋x ， g ′( x ) ＝x －x 2.21 1当 x >1 时， 1< x <x ，∴ x >x 2，∴g ′( x )>0 ，∴ g ( x ) 在 x ∈[1 ，＋ ∞) 上单一递加．精选文档1∴x>1时， g( x)> g(1)，即2 x＋x>3，1∴2 x>3－x.19. 解： (1) 当k＝0 时，f ( x) ＝－ 3x2＋1，∴f( x)的单一增区间为(－∞，0]，单一减区间[0，＋∞)．当 k>0时， f ′( x)＝3kx2－6x＝3kx x－2，k2∴ f ( x)的单一增区间为( －∞， 0] ，k，＋∞，单一减区间为20，k .(2)当 k＝0时，函数 f ( x)不存在极小值，28 12当 k>0时，依题意 f k＝k2－k2＋1>0，2即 k >4，因此 k 的取值范围为(2，＋∞)．2101a×10＋50×10－b ln1 ＝19.2，2101a×20＋50×20－b ln2 ＝35.71解得 a＝－100，b＝1，x2101x则 f ( x)＝－100＋50 x－ln10( x≥10)．(2)由题意知x251xT( x)＝f ( x)－x＝－100＋50x－ln10( x≥10)，－x 51 1x －1 x －50则 T ′( x ) ＝ 50 ＋50－x ＝－50x，令 T ′( x ) ＝0，则 x ＝ 1( 舍去 ) 或 x ＝50.当 x ∈(10,50) 时， T ′( x )>0，T ( x ) 在(10,50) 上是增函数；当 x ∈(50 ，＋∞) 时，T ′( x )<0，T ( x ) 在(50 ，＋∞) 上是减函数，∴x ＝50 为 T ( x ) 的极大值点，又 T (50) ＝24.4.故该景点改造升级后旅行收益 T ( x ) 的最大值为 24.4 万元．21. 解： (1) ∵f ( x ) ＝ x 3－1x 2＋cx ＋d ，321∴f ′( x ) ＝x 2－x ＋c ，要使 f ( x ) 有极值，则方程 f ′( x ) ＝x 2－x1＋c ＝0，有两个实数解，进而＝1－4c >0，∴ c <4.(2) ∵f ( x ) 在 x ＝2 处获得极值， ∴f ′(2) ＝4－ 2＋c ＝ 0，31 2∴ c ＝－ 2. ∴f ( x ) ＝3x －2x －2x ＋d .1∵ f ′( x ) ＝x 2－x －2＝( x －2)( x ＋1) ，∴当 x ∈( －∞，－1) 时，f ′( x )>0 ，函数单一递加，当 x ∈( －1,2]时， f ′( x )<0 ，函数单一递减．7∴x <0 时， f ( x ) 在 x ＝－ 1 处获得最大值 6＋d ，∵ x <0 时， f ( x )< 1d 2＋2d 恒建立，671 2∴ 6＋d <6d ＋ 2d ，即 ( d ＋7)( d －1)>0 ，∴ d <－7 或 d >1，即 d 的取值范围是 ( － ∞，－ 7) ∪(1 ，＋ ∞) ．。

高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷

a b x y)(x f y ?=O 高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷一、选择题〔每题5分，共60分〕1.满足()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－xB. f (x )＝xC . f (x )＝0D . f (x )＝134y x x =-在点〔－1，－3〕处的切线方程是A . 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为A. 3-B. 1-C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f '=A .31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos11+cos1 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－197．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，假设f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下图，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A 1个B 2个C 3个D 4个9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为〔〕 xy O AxyOBxyOCyODxxyO10．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.给出以下命题： ⑴假设()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶已知()()F x f x '=，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.012.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为〔〕20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A 二.填空题〔每题5分，共20分〕13.假设32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__32()26(f x x x m m =-+为常数）在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的最小值为_____20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为)(x f 为一次函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =______ .三．解答题〔共70分〕17. (本小题总分值10分)已知曲线 32y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限.〔1〕求P 0的坐标；〔2〕假设直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.18．〔本小题总分值12分〕将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？19.(本小题总分值12分)已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= 〔1〕求导数)(x f '；〔2〕假设0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值；〔3〕假设)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 20.(本小题总分值12分)已知函数()ln(1)f x x x =+-．〔1〕求函数f (x )的单调递减区间；〔2假设1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21. (本小题总分值12分)已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' 〔1〕当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;〔2〕假设0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; 〔3〕在⑵的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 22．(本小题总分值12分)假设存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)．〔1〕求()()()F x h x x ϕ=-的极值；〔2〕函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？假设存在，求出此隔离直线方程；假设不存在，请说明理由．《导数及其应用》参考答案【理科】一、选择题 CDBCB BBADD BD13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.400027π cm 2 16. ()1f x x =- 三．解答题17.解:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=. 18．解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a a x V ∈<∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a 6．19. 解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: 21,21212)a a x x x ±+=<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当2x -或2x 时, )(x f '≥0,从而12x -, 22x ,即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[2,2]-.20.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈〔0，＋∞〕时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为〔0，＋∞〕．⑵证明：由⑴知，当x ∈〔－1，0〕时，()f x '＞0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()f x '＜0，因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈〔－1，0〕时，()g x '＜0，当x ∈〔0，＋∞〕时，()g x '＞0．∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+．综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．21.解:⑴∵()ln f x x =,∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-∴当0x >时,1()f x x '=; 当0x <时,11()(1)f x x x'=⋅-=-. ∴当0x ≠时,函数()ay g x x x ==+.⑵∵由⑴知当0x >时,()ag x x x=+,∴当0,0a x >>时, ()≥g x a x a =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2a ∴依题意得22a =∴1a =.⑶由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ ∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+22.解(1)()()()F x h x x ϕ=-=22eln (0)x x x ->，2e 2(e)(e)()2x x F x x x x'∴=-=．当e x =()0F x '=．当0e x <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当e x >()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当e x =()F x 取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由〔1〕可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (e)y k x -=，即e e y kx =+-．由()e e(R)h x kx x ≥+-∈，可得2e e 0x kx k --+当R x ∈时恒成立． 2(2e)k ∆=-，∴由0≤∆，得2e k =．下面证明()e e x x φ≤-当0>x 时恒成立．令()()e e G x x x ϕ=-+2eln 2e e x x =-+，则2e 2e(e )()e x G x x -'=-=，当x e =()0G x '=．当0e x <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当e x >()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当e x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2e ln e e 0G x x x =-+≤，即()2e e(0)x x x φ≤->恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e e y x =-．解法二：由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当e x =) ．假设存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令e x =e e b ≥且e e b ≤e e b ∴=，即e e b =-后面解题步骤同解法一．。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

新人教版数学选修22《导数及其应用》章节测试题

《导数及其应用》章节测试题得分一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)1.函数y=x2cosx的数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.y′=2xcosx－x2sinxB.′y=2xcosx+x2sinx22C.′y=xcosx－2xsinxD.y′=xcosx－xsinx2.以下中正确的选项是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】A.数零的点必定是极点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】B.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大C.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极小D.假如在x0邻近的左f'(x)0，右f'(x)0，那么f(x0)是极大3.曲y cosx(0x 3)与坐成的面是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】2A.4B.5C.3D.2b5E2RGbCAP 24.函数f(x)3x3[0,1]的最大是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】4x，x1A.1B.C.0D.-1p1EanqFDPw2假如10N的力能使簧10cm，在性限度内将簧从均衡地点拉到离均衡地点6cm，战胜力所做的功⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】C.0.26JD.0.18J DXDiTa9E3d6.出以下命：⑴若b0，f(x)>0；⑵24;⑶f(x)的原函数f(x)dx sinxdxa0a a TF(x)，且F(x)是以T周期的函数，f(x)dx f(x)dx；此中正确命的个数⋯【】0 TA.1B.2C.3D.0RTCrpUDGiT7.若函数 3 2 mx 1是R上的函数，数m的取范是⋯⋯⋯【】f(x)x x1) B.( , 1 1 1A.(, ) C.[,) D.(,]3 3 3 38. 0<a<b，且f(x)＝a b 11xx，以下大小关系式建立的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】.a bA.f(a)<f( )<f( ab)B. f()<f(b)<f(ab)5PCzVD7HxA2 2C. f(a b a b)<f(ab)jLBHrnAILg ab)<f( )<f(a) D.f(b)<f(2 29. 函数f(x)ax 2,0)内是减函数，a,b足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】b在区(Ａ．a 0且b0 Ｂ．a 0且bR Ｃ．a 0且b0 Ｄ．a 0且bR10. f (x)与g(x)是R定在上的两个可函数，若f(x) 与g(x)足f(x) g(x)，f(x)与g(x)足⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】xHAQX74J0XＡ．f(x) g(x) Ｂ．f(x) g(x) 常数函数Ｃ．f(x) g(x) 0 Ｄ．f(x) g(x) 常数函数11.(2007江)已知二次函数f(x) 2 bxc的数 f (x) ，f(0 ) 0 ，于随意数x，有axf(x)≥0， f (1)的最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【】f (0) LDAYtRyKfEＡ． 3 Ｂ．5Ｃ．23 2Ｄ．212.(2007江西理)函数f (x)是R上以5周期的可偶函数，曲y f(x) 在x5 的切的斜率（）Ａ．1Ｂ．0 Ｃ．1Ｄ．5 5 5二、填空(共4 小，每小5 分,共20分)13．10.曲y=2x3－3x2共有____个极.14．已知f(x)一次函数，且 1 ，f (x)=_______..f (x) x 2 f(t)dt1f(1 2t) f(1)15. 若f(x) e x ，lim ___________.tt 016.已知函数f(x)3 2bx c在x2获得极，而且它的象与直y 3x3在点（1，x ax0）相切，函数f(x)的表达式__ __m 2.Zzz6ZB2Ltk三、解答题（共74分）17．（本小分10分）一物体沿直以速度v(t) 2t 3 （t 的位:秒,v 的位:米/秒）的速度作速直运，求物体从刻t=0秒至刻t=5秒运的行程?dvzfvkwMI130处的切线l18.（本小题满分12分）已知曲线y=x+x－2在点1 平行直线P4x－y－1=0，且点P0在第三象限,⑴求P的坐标;⑵若直线l l1, 且l也过切点0求直线l的方程.P,19.（本小题满分12分）已知函数 3 2 ,试判f(x)ax(a1)x 48(a2)xb的图象对于原点成中心对称断f(x)在区间4, 4上的单一性,并证明你的结论.rqyn14ZNXI120．（本小题满分14分）已知函数f(x) lnx(x0),函数g(x)af (x)(x0)f (x)⑴当⑵若x 0 时,求函数yg(x)的表达式;a 0 ,函数yg(x)在(0, )上的最小值是2,求a的值;⑶在⑵的条件下,求直线y 2 x 7 与函数y g(x)的图象所围成图形的面积.3 621．（本小题满分12分）设a≥0，f(x)x1 2 lnx2alnx(x0)．（Ⅰ）令F(x) xf (x)，议论F(x)在(0，∞)内的单一性并求极值；（Ⅱ）求证：当x 1时，恒有x 2 1．lnx2alnx22．（本小题满分14分）已知函数f(x) e x kx，x R（Ⅰ）若k e，试确立函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）若k 0，且对于随意x R，f(x) 0恒建立，试确立实数k的取值范围；n（Ⅲ）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2)F(n)(e n12(nN)．2)。

(理)选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题

高二数学（理）选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题5分，共60分)1．若质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A (a,0)移动至点B (b ，0)，并设F 平行于x 轴，如果力F 是质点所在位置的函数F ＝F (x )，a ≤x ≤b ，则F 对质点所作的功为( )A.⎠⎛b a F (x )d xB.⎠⎛ab F (x )d x C ．F (x )(a －b ) D ．F (x )(b －a )2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（）A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( ) A ．()()f x g x = B ．()()f x g x -为常数函数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（）A ．2B ．－2C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是（）A 5B ．5C ．35D ．08．曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（）A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =-9．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤10．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（） xy O 图1 x y O A x y O B x y O C yO DxA ．4B ．52C ．3D ．2 11．由定积分的几何意义知⎠⎛01(1－(x －1)2)d x ＝( ) A.12 B.π4 C.π－24 D.1412．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )>f ′(x )，当a >b 时，下列不等式成立的是( )A ．e a f (a )>e b f (b )B ．e b f (a )>e a f (b )C ．e b f (b )>e a f (a )D ．e a f (b )>e bf (a )二、填空题：(每小题5分，共20分)13．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .14．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3＋3x －5相切的直线方程是 . 15．若函数32()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 16．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 .三、解答题：(六小题，共70分)17．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.(10分)18. 当0>x 时，证明不等式2211x x e x ++>成立. (10分)19．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值，讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；(12分)20．(12分)已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++-；（1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

新版高中数学选修2-2习题：第一章导数及其应用检测A

第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A. B.-1 C.0 D.-解析f'(x)=+1,令f'(x)=0,得x=-a,易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)=∈∈则f(x)d x等于()A. B. C. D.解析f(x)d x=x2d x+d x=x3+ln x.故选A.答案A6已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是() A. B.C. D.解析因为0>y'=--≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以≤α<π. 答案D7(e x+2x)d x等于()A.1B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴(e x+2x)d x=(e x+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>-D.a<-解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-.设x=x0为大于0的极值点,∴=-.∴a<0,ax0<0.∴0<<1,即0<-<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=.∵a<b,∴a<.∴当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值,且极小值小于零.故选C.答案C10若函数f(x),g(x)满足-f(x)g(x)d x=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3解析对于①,-sin x·cos x d x=-sin x d x=-sin x d x=(-cos x)-{-cos 1-[-cos(-1)]} =(-cos 1+cos 1)=0.故①为一组正交函数;对于②,-(x+1)(x-1)d x=-(x2-1)d x=---1--=-2=-≠0,故②不是一组正交函数;对于③,-x·x2d x=-x3d x=-=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11--d x=.解析取F(x)=-,从而F'(x)=.则--d x=F(-1)-F(-2)=-.答案12若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=.答案13已知函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.解析令e x=t,则x=ln t,∴f(t)=ln t+t,∴f'(t)=+1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=e x在点(0,1)处的切线垂直,所以-=-1,解得x P=1,由y=,得y P=1,故所求点P的坐标为(1,1).答案(1,1)15已知函数f(x)为一次函数,其图象经过点(3,4),且f(x)d x=1,则函数f(x)的解析式为.解析设函数f(x)=ax+b(a≠0).∵函数f(x)的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴f(x)d x=(ax+4-3a)d x=-a+4-3a=1,∴a=.∴b=.∴f(x)=x+.答案f(x)=x+三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分-d x的值.解-d x=--d x=--d x=-1d x--d x=1-2-d x=1-2ln(x+2)-=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6-3.所以切线方程为y=(6-3)x+32.又点N在切线上,所以2-3x0=(6-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2--.令y'>0,则-解得x>1;令y'<0,则-解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+--.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+-,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=a---.当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,f'(x)=--.①0<a<2时,>1,当x∈(0,1)或x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.②a=2时,=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.③a>2时,0<<1,当x∈或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,在内单调递减,在内单调递增;当a=2时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知,a=1时,f(x)-f'(x)=x-ln x+--=x-ln x+-1,x∈[1,2].设g(x)=x-ln x,h(x)=-1,x∈[1,2].则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=-≥0,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号.又h'(x)=--,设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=,即f(x)>f'(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.。

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用综合检测

【成才之路】 2015-2016学年高中数学第一章导数及其应用综合检测新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1． (2014 ～2015 ·福建龙海市程溪中学高二期末)以正弦曲线 y ＝ sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是 ()π 3πB ． [0， π)A ．[0， 4]∪[ ， π)4π 3ππ π 3π C ．[ ，4 ]D ．[0，]∪( ，4]442[答案 ]A[剖析 ]先求导数，再依照弦函数性质获得导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[分析 ]y ′＝ cosx ，∵ cosx ∈ [－ 1,1] ，∴切线的斜率范围是 [－ 1,1] ，∴倾斜角的范围是π 3π [0， ]∪[， π)．442．(2015 青·岛市胶州高二期中)若 a>0，b>0，且函数 f( x)＝ 4x 3－ ax 2 － 2bx ＋ 2 在 x ＝ 1 处有极值，则 ab 的最大值等于 ()A ． 2B ． 3C ．6D ． 9[答案] D[分析 ]∵ f ′(x)＝ 12x 2－2ax － 2b ，又因为在 x ＝ 1 处有极值，∴ a ＋ b ＝ 6，∵ a>0 ，b>0，a ＋b 2 ∴ ab ≤() ＝ 9，2 当且仅当a ＝b ＝ 3 时取等号，所以ab 的最大值等于9.应选D.3． (2014·博市临淄区学分认定考试淄)以下函数中，x ＝0 是其极值点的函数是( )A ． f(x)＝－ x 3B ． f( x)＝－ cosxC．f(x)＝ sinx－ x1 D． f(x)＝ x[答案 ]B[分析 ]对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于B，f ′(x)＝s inx，当 x∈ (－π， 0)时， f ′(x)<0 ，当 x∈ (0，π)时， f ′(x)>0 ，故 f(x)＝－ cosx 在 x＝0 的左边区间 (－π， 0)内单一递减，在其右边区间 (0，π)内单一递加，所以 x＝ 0 是 f(x)的一个极小值点；对于 C，f ′(x)＝ cosx－ 1≤0恒成立，在R上单一递减，没有极值点；对于 D，f(x)＝1x在x＝0 没有定义，所以 x＝ 0 不行能成为极值点，综上可知，答案选 B.4．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1在 (－∞，＋∞)上是单一函数，则实数 a 的取值范围是()A ． (－∞，－ 3)，∪ (3，＋∞)B． (－ 3， 3)C．( －∞，－ 3] ∪[ 3，＋∞ )D．[－ 3， 3][答案 ]D[分析 ] f ′(x)＝－ 3x2＋ 2ax－ 1，∵ f(x)在 (－∞，＋∞)上是单一函数，且 f ′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴ f ′(x)≤0恒成立，∴＝ 4a2－ 12≤0，∴－3≤a≤ 3，应选 D.5．设函数 f( x)在定义域内可导， y＝ f(x)的图象以以下图所示，则导函数y＝ f ′(x)的图象可能是 ()[答案 ]A[分析 ]f( x)在 (－∞， 0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→ 增→减，所以 f ′(x)的图象在 (－∞， 0)上， f ′(x)>0 ，在 (0，＋∞)上 f ′(x)的符号变化规律是负→正→ 负，应选 A.6．已知函数f(x)的导函数的图象以下图，若△ABC为锐角三角形，则必定成立的是()A ． f(sinA)>f(cosB)B ． f(sinA)<f(cosB)C ．f(sinA)>f(sinB)D ． f(cosA)<f(cosB)[答案 ] A[分析 ]由导函数图象可知， x>0 时， f ′(x)>0，即 f(x)单一递加，又△ ABC 为锐角三角π π π π ，故 f(sinA)>f(cosB) ，形，则 A ＋B> ，即 >A> － B>0，故 sinA>sin( － B)>0 ，即 sinA>cosB>02222选 A.7．(2014 ～ 2015 ·祁东县模拟 )函数 f(x)＝1ax 3＋ 1ax 2－ 2ax ＋ 1 的图象经过四个象限，则实3 2数 a 的取值范围是 ()3 6 8 3A ．－ 10<a<7B ．－ 5<a<－ 168 13或 a>6C ．－ 3<a<－16D ． a<－ 107[答案 ] D[分析 ]f ′(x)＝ ax 2＋ ax －2a ＝ a(x ＋ 2)(x － 1)，要使函数 f(x)的图象经过四个象限，则f( －2)f(1)<0 ，即 (10 7 ，解得 a<－3 63a ＋ 1)(－ a ＋ 1)<010或 a> .67应选 D.8．定义域为 R 的函数 f(x)知足 f(1) ＝ 1，且 f(x)的导函数 f ′(x)> 1，则知足 2f(x)<x ＋ 1 的 x2 的会合为 ()A ． { x|－ 1<x<1}B ． { x|x<1}C ．{ x|x<－ 1 或 x>1}D ． { x|x>1}[答案 ] B[分析 ]令 g(x)＝ 2f(x)－ x － 1，∵ f ′(x)> 1，2∴ g ′(x)＝ 2f ′(x)－ 1>0 ，∴ g( x)为单一增函数， ∵ f(1) ＝ 1，∴ g(1)＝ 2f(1) － 1－ 1＝0，∴当 x<1 时， g(x)<0 ，即 2f(x)<x ＋ 1，应选 B.9．(2013 ·池一中高二期中华 )若对于 x 的方程 x 3－ 3x ＋ m ＝ 0 在 [0,2] 上有根，则实数 m 的取值范围是 ()A ． [－ 2,2]B ． [0,2]C ．[ －2,0]D ． (－ ∞，－ 2)∪(2，＋ ∞)[答案 ] A[分析 ]令 f(x)＝ x 3 －3x ＋ m ，则 f ′(x)＝ 3x 2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，明显当 x<－ 1 或 x>1 时，f ′(x)>0 ， f(x)单一递加，当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0， f(x)单一递减，∴在 x ＝－ 1 时， f(x)取极大值 f(－ 1)＝ m ＋ 2，在 x ＝ 1 时， f(x)取极小值 f(1) ＝m －2.f ， ∵ f(x)＝0 在 [0,2] 上有解，∴f，∴m － 2≤0， ∴－ 2≤m ≤2.2＋ m ≥0，10．(2014 ～2015 ·天门市调研 )已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)＝ a(x － b)2＋ c 的图象以下图，则函数 f(x) 的图象可能是 ()[答案 ] D[分析 ]由导函数图象可知，当 x<0 时，函数 f(x)递减，清除 A ，B ；当 0< x<x 1 时，f ′(x)>0 ，函数 f( x)递加．所以，当 x ＝ 0 时， f(x)获得极小值，应选 D.a3211．(2015 河·南八市质量监测 )已知函数 f(x)＝ x ＋xln x ，g(x)＝ x － x － 5，若对随意的 x 1，x 2∈1， 2 ，都有 f(x 1)－ g(x 2) ≥2成立，则 a 的取值范围是 ()2A ． (0，＋ ∞)B ． [1，＋ ∞)C ．( －∞，0)D ． (－ ∞，－ 1][答案 ] B[分析 ]因为 g(x)＝ x 3－x 2－ 5? g ′(x)＝ 3x 2－ 2x ＝x(3x － 2)，∴函数 g( x)在 1， 2上单一递2 321 1 1 41减，在3， 2 上单一递加， g 2＝ 8－ 4－ 5＝－ 8 ， g(2)＝ 8 － 4－ 5＝－ 1.因为对 ? x 1， x 2∈1， 2 ， f(x 1)－ g( x 2) ≥2恒成立，∴ f(x) ≥[g(x)＋ 2]max ，即 x ∈ 1， 2 时， f(x) ≥1恒成立，即a＋22xxlnx ≥1，在1， 2 上恒成立， a ≥x － x 2lnx 在1，2 上恒成立，令h(x)＝ x － x 2ln x ，则 h ′(x)＝ 122－ 2xlnx －x ，1而 h ″(x)＝－ 3－ 2ln x ， x ∈ 2， 2 时， h ″(x)<0，所以 h ′(x)＝ 1－ 2xlnx － x 在12， 2 单一递减，1因为 h ′(1)＝ 0，∴ x ∈ 2， 1 时，h ′(x)>0 ，x ∈ [1,2] 时， h ′(x)<0 ，所以 h(x) ≤h(1) －1，∴ a ≥1.12．(2014～ 2015 ·黑龙江龙东南四校高二期末 3＋ 2bx 2＋cx ＋ 1 有两个极)已知函数 f(x) ＝ x 值点 x 1、 x 2，且 x 1∈ [ － 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，则 f(－ 1)的取值范围是 ()A ．[－3， 3]B ．[3，6]22C ．[3,12]D ． [－ 3，12]2[答案 ] C[剖析 ]依据极值的意义可知，极值点x 1、 x 2 是导函数等于零的两个根，依据根的散布成立不等关系，画出知足条件的地区．利用参数表示出 f(－ 1)的值域，设 z ＝ x ＋ 3y ，再利用z 的几何意义求最值．[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋c ，依题意知，方程 f ′(x)＝ 0 有两个根 x 1、 x 2，且 x 1∈ [－ 2，－ 1]， x 2∈ [1,2] ，等价于 f ′(－2) ≥0， f ′(－1) ≤0， f ′(1) ≤0，f ′(2) ≥0.12－ 8b ＋ c ≥0，3－ 4b ＋ c ≤0，由此得 b ， c 知足的拘束条件为3＋ 4b ＋ c ≤0， 12＋8b ＋ c ≥ 0.知足这些条件的点 (b ， c)的地区为图中暗影部分．由题设知 f(－ 1)＝2b－ c，令 z＝ 2b－ c，当直线 z＝ 2b－ c 经过点 (0，－ 3)时， z 最小，最小值为 3.当直线 z＝ 2b－ c 经过点 C(0 ，－ 12)时， z 最大，最大值为 12.应选 C.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知 f(x)＝x3＋ 3x2＋ a(a 为常数 )，在 [－ 3,3] 上有最小值 3，那么在 [－ 3,3]上 f(x)的最大值是 ________________ ．[答案 ]57[分析 ] f ′(x)＝ 3x2＋ 6x＝3x(x＋ 2)，当 x∈ [ － 3，－ 2)和 x∈ (0,3] 时， f ′(x)>0， f(x)单一递增，当 x∈ (－ 2,0)时， f ′(x)<0 ， f(x)单一递减，∴极大值为f( － 2)＝ a＋ 4，极小值为 f(0)＝ a，又 f(－ 3)＝ a， f(3)＝ 54＋ a，由条件知 a＝3，∴最大值为f(3) ＝54＋ 3＝57.1214．如图暗影部分是由曲线y＝x、 y ＝ x 与直线 x＝ 2、 y＝ 0 围成，则其面积为 ______．[答案 ]2＋ ln2 3y 2 ＝x ， [分析 ]由1 ，得交点 A(1,1)y ＝ xx ＝ 2得交点 B 2，1由1.y ＝ x21 32212故所求面积 S ＝ 1xdx ＋ 2x dx ＝3x 2|0 ＋ lnx |1＝3＋ ln2.115．函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 在区间 (－ 1,1)上为单一减函数，则 a 的取值范围是 __________．[答案 ]a ≤1[分析 ]f ′(x)＝ 3ax 2－ 3，∵ f( x)在 (－ 1,1)上为单一减函数，∴ f ′(x)≤0在 (－ 1,1)上恒成立，即 3ax 2－ 3≤0在 (－ 1,1)上恒成立，1∴ a ≤x 2，∵ x ∈ [－ 1,1)，∴ a ≤ 1.[警告 ]此题常因混杂 f(x)在区间 A 上单一递减与f(x)的单一递减区间为 A 致误， f( x)在区间 A 上单一递减时， A 可能是 f(x)的单一减区间的一个真子集．若 f(x) 的单一减区间为 [m ，n]，则在 x ＝m(x ＝ n)双侧函数值异号，f ′(m)＝ 0(f′(n)＝ 0)；若 f(x)在区间 [m ， n]上单一递减，则f ′(x)≤0在 [m ， n]上恒成立．16． (2015·南高考适应性测试河)已知函数f(x) 的图象在[ a ， b] 上连续不停，定义：f 1( x)＝ min{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b]) ， f 2(x)＝ max{ f(t)|a ≤t ≤x}( x ∈ [a ， b])，此中， min{ f(x)|x ∈ D} 表示函数 f(x)在区间 D 上的最小值， max{ f(x)|x ∈D } 表示函数 f(x)在区间 D 上的最大值．若存在最小正整数 k ，使得 f 2( x)－ f 1(x) ≤k(x － a)对随意的 x ∈ [a ，b]成立，则称函数为区间 [a ，b]上的“k 阶缩短函数 ”．有以下三个命题，此中正确的命题为 ________________ ．(请把正确命题序号填在横线上 )．①若 f(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，则 f 1(x)＝ cosx ， x ∈ [0， π]，f 2(x)＝ 1， x ∈ [0， π]；32③若函数 f(x)＝ x 2， x ∈ [－1,4] 是 [ － 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.[答案 ] ①②③[分析 ]对于①，因为 f(x) ＝cosx 在 [0， π]上单一递减，由已知可得 f 1(x)＝cosx ， f 2(x)＝f(0)＝ 1，故①正确；对于②，f ′(x)＝－ 3x 2 ＋6x ，当 x ∈ [0,1] 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 [0,1] 上单一递增，故 f 1(x)＝ f(0) ＝ 0，f 2(x)＝－ x 3＋ 3x 2，f 2(x)－f 1(x)＝－ x 3＋ 3x 2≤kx 对? x ∈ [0,1] 成立，当 x ≠0－ x 3＋ 3x 2x ＝1 时，－ x 2＋ 3x 获得最大值 2，∴ k ≥2，即②正时， k ≥＝－ x 2＋ 3x 恒成立，又当xx 2， x ∈ [ － 1， 1， x ∈[ － 1，确；③中， f 1(x)＝，f 2(x)＝，0， x ∈ [0， 4]x 2， x ∈ [1 ，4]1－ x 2， x ∈ [－ 1，∴ f(x 2)－ f(x 1) ＝ 1，x ∈ [0，.2x ， x ∈ [1， 4]当 x ∈ [－ 1,0]时， 1－ x 2≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥1－x ， k ≥ 2.1当 x ∈ (0,1)时， 1≤k(x ＋ 1)，∴ k ≥，∴ k ≥1.2x 216 当 x ∈ [1,4] 时， x ≤k(x ＋ 1) ，∴ k ≥，∴ k ≥ .x ＋ 15即 f(x) ＝x 2 ， x ∈ [ － 1,4] 是 [－ 1,4] 上的 “k 阶缩短函数 ”，则 k ＝ 4.三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17． (此题满分 12 分)设函数 f(x)＝ lnx ＋ln(2 － x)＋ax(a>0) ． (1) 当 a ＝ 1 时，求 f(x)的单一区间；(2)1，求 a 的值．若 f(x)在 (0,1] 上的最大值为 2[分析 ] 函数 f(x)的定义域为 (0,2)， f ′(x)＝ 1－ 1＋ a ，x 2－x－ x 2 ＋2(1)当 a ＝ 1 时，f ′(x)＝，∴当 x ∈ (0， 2)时，f ′(x)>0，当 x ∈( 2，2)时，f ′(x)<0 ，x － x所以 f( x)的单一递加区间为 (0，2)，单一递减区间为 ( 2，2)；(2)当 x ∈ (0,1] 时， f ′(x)＝ 2－ 2x ＋a>0，－ xx即 f(x) 在(0,1] 上单一递加，故 f(x) 在(0,1] 上的最大值为 f(1)＝ a ，所以 a ＝1.218．(此题满分 12 分 )(2014 韶·关市曲江一中月考 )已知函数 f(x)＝ ax 3＋cx ＋ d(a ≠0)是 R 上的奇函数，当 x ＝ 1 时， f(x)获得极值－ 2.(1)求函数 f(x)的分析式；(2)求函数 f(x)的单一区间和极大值；(3)证明：对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1 )－ f(x 2)|<4 恒成立．[分析 ] (1)∵ f(x)是 R 上的奇函数，∴ f(－ x)＝－ f( x)，即－ ax 3－ cx ＋ d ＝－ ax 3－ cx － d ，∴ d ＝－ d ，∴ d ＝ 0(或由 f(0) ＝ 0 得 d ＝ 0)．∴ f(x)＝ax 3＋cx ， f ′(x)＝ 3ax 2＋ c ，又当 x ＝1 时， f(x) 获得极值－ 2，f ＝－ 2， a ＋ c ＝－ 2， a ＝ 1，∴＝0，即解得f3a ＋ c ＝ 0，c ＝－ 3.∴ f(x)＝x 3－ 3x.(2) f ′(x)＝3x 2 －3＝ 3(x ＋ 1)(x － 1)，令 f ′(x)＝0，得 x ＝ ±1，当－ 1<x<1 时， f ′(x)<0 ，函数 f(x)单一递减；当 x<－ 1 或 x>1 时， f ′(x)>0，函数 f(x)单一递加；∴函数 f(x)的递加区间是 (－ ∞，－ 1)和 (1，＋ ∞)；递减区间为 (－ 1,1)．所以， f(x)在 x ＝－ 1 处获得极大值，且极大值为 f(－ 1)＝ 2.(3)由 (2) 知，函数 f(x) 在区间 [ － 1,1] 上单一递减，且 f( x)在区间 [－ 1,1]上的最大值为 M ＝f(－ 1)＝ 2.最小值为 m ＝ f(1) ＝－ 2.∴对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，|f( x 1)－ f(x 2 )|<M － m ＝4 成立．即对随意 x 1、 x 2∈ (－ 1,1)，不等式 |f(x 1)－ f(x 2)|<4 恒成立．19． (此题满分 12 分)(2014 北·京海淀期中 )已知函数 f(x)＝ x 2－ 2(a ＋ 1)x ＋ 2aln x(a>0)．(1)当 a ＝ 1 时，求曲线 y ＝ f(x)在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程； (2)求 f(x)的单一区间；(3)若 f(x) ≤0在区间 [1， e]上恒成立，务实数 a 的取值范围． [分析 ] (1)∵ a ＝ 1，∴ f( x)＝ x 2－ 4x ＋2ln x ， ∴ f ′(x)＝ 2x 2－ 4x ＋ 2x(x>0) ，f(1) ＝－ 3， f ′ (1)＝ 0，所以切线方程为 y ＝－ 3.2x ＋ 2ax －x － a2x －a ＋＝(2)f ′(x)＝xx(x>0) ，令 f ′(x)＝ 0 得 x 1 ＝a ， x 2＝ 1，当 0<a<1 时，在 x ∈ (0，a)或 x ∈(1 ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在 x ∈ (a,1)时， f ′(x)<0 ，∴ f( x)x － 2的单一递加区间为 (0， a) 和(1，＋ ∞)，单一递减区间为 (a,1)；当 a ＝1 时， f ′(x)＝x≥0，∴ f(x)的单一增区间为 (0，＋ ∞)；当 a>1 时，在 x ∈ (0,1)或 x ∈ (a ，＋ ∞)时， f ′(x)>0，在x ∈(1 ，a)时， f ′(x)<0 ，∴ f(x)的单一增区间为 (0,1)和 (a ，＋ ∞)，单一递减区间为 (1， a)．(3) 由 (2)可知， f(x)在区间 [1， e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间 [1， e]上的最大值必在区间端点取到，e 2－ 2e∴ f(1) ＝ 1－ 2(a ＋ 1) ≤0且 f(e)＝ e 2－ 2(a ＋1)e ＋ 2a ≤0，解得 a ≥2e － 2.lnx ，x ≥120．(此题满分 12 分 )(2015 河·南六市联考 )已知函数 f(x)＝ 1x ＋(ae x －a ， x<1为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰巧有三个公共点，务实数 a 的取值范围．[分析 ]因为 f ′ (e)＝1，得 f(x)在点 A 处的切线方程为：y－ 1＝1(x－ e)，即1x－ y＝ 0 e e e1由题意知切线与y＝e(x＋ 2)(x－ a)(x<1) 有两个交点，112＋(1－ a)x－ 2a＝ 0 有两个小于 1 的根，设即 x＝ (x＋ 2)(c－ a) 有两个小于 1 的根，即xe e两根为 x1， x2，则>0－ a2＋ 8a>0x1＋ x2<2即a－ 1<2x1－x2－－ 2a－a－＋ 1>0解得： a<－ 3－ 22或－ 3＋ 222<a< .322x y21．(此题满分 12 分 )(2015 重·庆文， 21)如图，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线交椭圆于P， Q 两点，且 PQ⊥PF1.(1)若 |PF 1|＝ 2＋2，|PF 2|＝ 2－ 2，求椭圆的标准方程；34，试确立椭圆离心率 e 的取值范围．(2)若 |PQ|＝λ|PF1 |，且4≤λ<3[分析 ](1)由椭圆的定义，2a＝ |PF 1|＋ |PF2|＝ (2＋2)＋ (2－2) ＝4，故 a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知 PF 1⊥ PF 2，所以 2c＝ |F1F2|＝|PF 1|2＋ |PF 2|2＝＋ 22＋－ 22＝ 2 3，即 c＝ 3.从而 b＝a2－c2＝ 1.故所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝ 1. 4(2)如图，由PF 1⊥ PQ， |PQ|＝λ|PF 1|得，|QF1 |＝222|PF 1|＋|PQ| ＝1＋λ|PF 1|，由椭圆的定义， |PF 1|＋ |PF2|＝ 2a，|QF 1|＋ |QF2|＝ 2a，从而 |PF 1|＋|PQ|＋ |QF 1|＝ 4a.2于是 (1＋λ＋1＋λ)|PF 1|＝ 4a.4a2a2解得 |PF 1|＝λ＋ 1＋ λ－.2，故 |PF 2|＝ 2a － |PF 1|＝21＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ由勾股定理得 |PF 1|2＋ |PF 2|2＝ |F 1F 2|2＝ (2c)2＝ 4c 2，从而4a2＋2aλ＋2－2＝ 4c 2，21＋λ 2 1＋ λ＋ 1＋ λ1＋ λ＋ 1＋ λ两边除以 4a 2，得4＋λ＋2－ 2 ＝ e 2，21＋ λ 2＋ λ＋2＋ λ＋21＋ λ1＋λ若记 t ＝ 1＋λ＋21＋ λ，则上式变为2 4＋ t －211 2 1＝ 8 －e ＝2t 4 ＋ .t23 4，并注意到 1＋λ＋2由 ≤λ<3 1＋ λ对于 λ的单一性，4得 3≤t<4，即1 1 1 12 5 2<e<54 < ≤ ，从而 <e ≤ ，即23 .t32922． (此题满分 14 分)(2015 洛·阳市期末 )已知函数 f(x)＝ ln x － ax 2－ (1－ 2a)x(a>0) ．(1)若 ? x>0，使得不等式 f(x)>6 a 2－ 4a 成立，务实数 a 的取值范围； (2)设函数 y ＝ f(x)图象上随意不一样的两点为 A(x 1 ，y 1)，B(x 2，y 2 )，线段 AB 的中点为 C(x 0，y 0)，记直线 AB 的斜率为 k ，证明： k>f ′(x 0)．[分析 ](1)∵ f(x)＝ ln x － ax 2－(1 － 2a)x ，其定义域为 (0，＋ ∞)，1x －ax ＋∴ f ′(x)＝ x － 2ax － (1－ 2a)＝－x，∵ a>0 ，x>0，∴ 2ax ＋ 1>0，所以当 0< x<1 时， f ′(x)>0 ， f( x)在 (0,1)上单一递加；当 x>1 时， f ′(x)<0， f(x)在(1，＋ ∞)上单一递减；从而当 x ＝ 1 时， f(x)获得最大值 f(1) ＝ ln 1－ a － (1－ 2a)＝ a － 1，2 11a 的取值范围1 1.由题意得 a － 1>6a － 4a ，解得<a< ，即实数，2323(2)∵ f ′(x)＝ 1－ 2ax － (1－2a)，x∴ f ′(x1－ 2ax － (1－ 2a)＝ 2 － a(x ＋ x2)－ (1－ 2a)，0)＝x 0x 1＋ x 21f x 2 － f x 1＝又 k ＝x 2－x 1[ln x 2－ ax 22 －－ 2a x 2 ]－ [ln x 1－ ax 12－－ 2ax 1]x 2－ x 1[ln x 2－ln x 1] － a x 22 － x 12－－ 2ax 2－ x 1＝x 2－ x 1ln x 2＝ x － a(x 2＋ x 1)－(1－ 2a)．x 2－ x 1 不如设 x 2>x 1>0，要证明 k>f ′(x 0)，x 2lnx 12即证明 x 2－x 1－ a(x 2＋ x 1)－ (1－ 2a)>x 1 ＋x 2－ a( x 1＋ x 2)－ (1－ 2a)，x 2 只要证明 lnx 1 > 2，－ x x 1 ＋ x x 2 1 2x 2即证明 lnx 2>x 2－ x 1 ＝ 2 x 1－ 1 ， x 2＋ x 1x 2x 1＋ 1x 1结构函数 g(x)＝ ln x －x －，x ＋ 1则 g ′(x)＝1－ 4x － 2＝ 2≥0，x x ＋ 2x x ＋所以 g(x)在 [1，＋ ∞)上是增函数，当x>1 时， g(x)> g(1) ＝0，x 2又 x 2x 2 2 x 1－ 1 ，从而 k>f ′(x >1，所以 ln>x 2 0)成立．x 1x 1 ＋ 1x 1 1一、选择题1． (2015 锦·州一中高二期中 )曲线 y ＝ x 3－ 3x 2＋ 1 在点 (1 ，－ 1)处的切线方程为 ()A ． y ＝ 3x － 4B ． y ＝－ 3x ＋ 2C ．y ＝－ 4x ＋ 3D ． y ＝ 4x － 5[答案 ]B[分析 ]2∵点 (1，－ 1)在曲线上， y ′＝ 3x － 6x ， ∴ y ′|＝＝－ 3，即切线斜率为－ 3.x 1∴利用点斜式得，切线方程为y ＋ 1＝－ 3(x － 1)，即 y ＝－ 3x ＋ 2.应选 B.2． (2014 ·江杜桥中学期中浙)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋3x － 9 在 x ＝－ 3 时获得极值，则a ＝ ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 5[答案 ] D[分析 ]2＋ 2ax ＋3，由条件知， x ＝－ 3 是方程 f ′(x)＝ 0 的实数根，∴ a ＝ 5.f ′(x)＝ 3x3．函数 y＝2x3－ 3x2－ 12x＋ 5 在 [0,3] 上的最大值，最小值分别是 ()A．5，－ 15B． 5，－ 4C．－ 4，－15D． 5，－ 16[答案 ]A[分析 ]∵ y′＝ 6x2－ 6x－12＝ 0，得 x＝－ 1(舍去 )或 x＝ 2，故函数 y＝ f(x) ＝2x3－ 3x2－ 12x ＋5 在 [0,3] 上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值，而f(0) ＝ 5， f(2)＝－ 15，f(3)＝－ 4，故最大值为5，最小值为－ 15，应选 A.4.41) dx 等于 (2xA ．－ 2ln2B． 2ln2 C．－ ln2D． ln2 [答案 ]D[分析 ]1，因为 (ln x) ＝′x所以14＝ ln2.4 dx＝ lnx|2＝ ln4－ ln2x25．已知定义在R 上的函数f(x)的导函数 f ′(x)的大概图象以下图，则以下结论必定正确的是()A ． f(b)>f(c)> f(d) C．f(c)>f(b)>f(a)B． f( b)>f(a)>f(e) D． f(c)>f(e)>f(d)[答案 ]C[分析 ]由图可知 f ′(x)在 (－∞，c)和 (e，＋∞)上取正当，在(c，e)上取负值，故f(x)在 (－∞， c)和 (e，＋∞)上单一递加，在(c， e)上单一递减，∵a<b<c，∴ f( a)<f(b)<f(c)，应选 C.6．已知函数的取值范围为 (f(x)＝ 4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1， 1)，假如)f(1－a)＋f(1－ a2 )<0成立，则实数aA ． (0,1)B． (1，2)C．( －2，－2)D． (－∞，－ 2)∪(1，＋∞)[答案]B[分析 ]∵ f(x)＝4x＋3sinx，x∈ (－1,1)，∴f ′(x)＝ 4＋3cosx>0 在 x∈(－ 1,1)上恒成立，∴f(x)在( － 1,1)上是增函数，又 f(x) ＝4x＋ 3sinx， x∈ (－ 1,1)是奇函数，∴不等式 f(1－ a)＋f(1－ a2)<0 可化为 f(1－ a)<f(a2－ 1)，－ 1<1－ a<1，从而可知， a 须知足－ 1< a2－ 1<1，解得 1<a< 2.1－ a<a2－1.7．设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数，将y＝ f( x)和 y＝ f ′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是()[答案 ]D[分析 ] A 中，当 f( x)为二次函数时， f ′(x)为一次函数，由单一性和导数值的符号关系知 A 能够是正确的，同理 B 、C 都能够是正确的，但 D 中 f(x)的单一性为增、减、增，故 f ′(x)的值应为正负正，所以 D 必定是错误的．8．函数y＝ f(x)的图象以下图，则y＝ f′(x)的图象可能是()[答案 ]D[分析 ]由 f(x)的图象知， f(x)在 (－∞，0)上单一递加，在 (0，＋∞)上单一递减，∴在(0，＋∞)上 f ′(x)≤0，在 (－∞， 0)上 f ′(x)≥0，应选 D.9．假如 1N 能拉长弹簧 1cm，为了将弹簧拉长 6cm，所耗资的功为 ()A ． 0.18J B． 0.26JC．0.12J D． 0.28J[答案 ]A[分析 ]设 F(x)＝kx ，当 F(x)＝0.06 2 0.061 时， x ＝ 0.01m ，则 k ＝ 100，∴ W ＝ ∫0 100xdx ＝ 50x |0＝0.18.10．已知函数 f(x)＝ ln x ，则函数 g( x)＝ f(x)－ f ′(x)的零点所在的区间是 ()A ． (0,1)B ． (1,2)C ．(2,3)D ． (3,4)[答案 ] B[分析 ]由题可知 g(x)＝ lnx － 1，∵ g(1) ＝－ 1<0 ， g(2) ＝ln2 －1＝ ln2－ lne>0，∴选 B.x21322在 R上是增函数，则 m11．已知三次函数 f(x)＝ x － (4m －1)x ＋ (15m－ 2m － 7)x ＋ 23的取值范围是 ()A ． m<2 或 m>4B ．－ 4<m<－2C ．2< m<4D ．以上皆不正确[答案 ]D[分析 ]f ′(x)＝ x 2－ 2(4m － 1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7，由题意得 x 2－ 2(4m －1)x ＋ 15m 2－ 2m － 7≥0恒成立，∴ ＝ 4(4m －1)2－4(15m 2－ 2m － 7)＝ 64m 2－ 32m ＋ 4－ 60m 2＋ 8m ＋ 28＝ 4(m 2－6m ＋ 8) ≤0，∴ 2≤m ≤4，应选 D.1 312m ＋ nx 的两个极值点分别为 x 1、12． (2014 浙·江省五校联考 )已知函数 f(x)＝x ＋ mx ＋2 32x 2，且 0<x 1<1< x 2，点 P(m ，n)表示的平面地区内存在点 (x 0，y 0)知足 y 0＝ log a (x 0＋4) ，则实数a 的取值范围是 ()1A ．(0， 2)∪ (1,3)B ． (0,1)∪ (1,3)C ．( 1， 1)∪ (1,3]D ． (0,1)∪ [3，＋ ∞)2 [答案 ] B[分析 ]f ′(x)＝ x 2＋ mx ＋m ＋ n，由条件知，方程 f ′(x)＝ 0 的两实根为 x 1、x 2 且 0<x 1<1<x 2，2m ＋ n>0，f ， 2m ＋n>0，∴∴m ＋ n∴f，3m ＋ n<－ 2，1＋m ＋ 2 <0 ，m ＋ n ＝0， m ＝－ 1， x 0<－ 1，由得n ＝ 1，∴3m ＋ n ＝－ 2，y 0>1.由 y 0＝ log a (x 0＋ 4)知，当 a>1 时，1<y 0<log a 3，∴1<a<3；当 0<a<1 时，y 0＝ log a (x 0＋ 4)>log a 3，因为 y 0>1， log a 3<0 ，∴对 ? a ∈ (0,1)，此式都成立，从而 0<a<1，综上知 0<a<1 或 1<a<3 ，应选 B.二、填空题13． (2014 杭·州七校联考 )若函数 f(x)＝ x 3－ 3bx ＋ b 在区间 (0,1)内有极值，则实数 b 的取值范围是 ________________ ．[答案 ](0,1)[分析 ]f ′(x)＝ 3x 2－ 3b ，∵ f( x)在 (0,1)内有极值，∴ f ′(x)＝ 0 在(0,1) 内有解，∴ 0<b<1.14． (2015 陕·西文， 15)函数 y ＝ xe x 在其极值点处的切线方程为____________________ ．1[答案 ] y ＝－ e[分析 ]xxx ＝－ 1，此时 f(－ 1)＝－ 1，y ＝ f(x)＝ xe ? f ′(x)＝ (1 ＋ x)e ，令 f ′(x)＝ 0?e 函数 y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－ 1.e15．对正整数 n ，设曲线 y ＝x n (1－ x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则数a n列 n ＋ 1 的前 n 项和是 ________________ ．[答案 ]2n ＋1－2nnnn －1n[分析 ] ∵ y ＝ x (1－ x)，∴ y ′＝＝ n ·x(1 － x)－ x .(x ) ′－(1x) ＋(1 －x) ′·xn － 1nn － 1f ′ (2)＝－ n ·2－ 2 ＝ (－ n － 2) ·2.n在点 x ＝2 处点的纵坐标为 y ＝－ 2 .∴切线方程为 y ＋2n ＝ (－ n － 2) ·2n －1(x － 2)．令 x ＝ 0 得， y ＝ (n ＋ 1) ·2n ，∴ a n ＝ (n ＋ 1) ·2n ，a n 的前 n 项和为n －n ＋1－ 2.∴数列2－ 1＝ 2n ＋ 116．(2014 ·六中期中哈 )已知函数 f ( x ＋2) 是偶函数， x>2 时 f ′(x)>0 恒成立 ( 此中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数 )，且 f(4) ＝0，则不等式 (x ＋ 2)f(x ＋ 3)<0 的解集为 ________________ ．[答案 ](－ ∞，－ 3)∪ (－ 2,1)[分析 ]∵函数 y ＝ f( x ＋ 2)是偶函数，∴其图象对于 y 轴对称，∵ y ＝ f(x ＋ 2)的图象向右平移两个单位获得 y ＝f(x)的图象，∴函数y ＝ f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，∵ x>2时， f ′(x)>0，∴ f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，在(－ ∞， 2)上单一递减，又f(4) ＝0，x ＋ 2<0， ∴f(0)＝ 0，∴ 0<x<4 时，f( x)<0，x<0 或x>4 时，f(x)>0 ，由 ( x ＋2)f(x ＋ 3)<0得fx ＋，(1)x＋2>0 ，或(2)f x＋x<－2，由 (1)得∴ x<－3；x＋3<0 或 x＋ 3>4，x>－2，由 (2)得∴－2<x<1，0<x＋ 3<4.综上知，不等式的解集为(－∞，－ 3)∪ (－ 2,1)三、解答题17．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2－ 3bx＋ c(b>0) ，且 g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数．(1)求 a、 c 的值；(2)若函数 f(x)有三个零点，求 b 的取值范围．[分析 ](1)∵ g(x)＝ f(x)－ 2 是奇函数，∴g(－ x)＝－ g(x)对 x∈R成立，∴f(－ x)－ 2＝－ f(x)＋2 对 x∈R成立，∴ax2＋ c－ 2＝ 0 对 x∈R成立，∴a＝0 且 c＝ 2.(2)由 (1) 知 f(x)＝ x3－ 3bx＋2(b>0) ，∴f ′(x)＝ 3x2－ 3b＝3(x－ b)( x＋ b)，令 f ′(x)＝ 0 得 x＝± b，x(－∞，－ b)－ b( － b， b)b(b，＋∞) f ′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增依题意有f－ b，∴ b>1，f b，故正数 b 的取值范围是 (1，＋∞)．18． (2015 ·原市三模太)已知函数 f(x)＝ (x2－ax＋ a)e x－ x2， a∈R .(1)若函数 f(x)在 (0，＋∞)内单一递加，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 x＝ 0处获得最小值，求 a 的取值范围．[分析 ]x x 2(1)由题意得 f′(x)＝ x[( x＋ 2－ a)e－ 2]＝ xe x＋ 2－ x－a，x∈R，e∵ f(x)在(0 ，＋∞)内单一递加，∴f′(x)≥0在(0 ，＋∞)内恒成立．2∴x＋2－e x≥a在(0，＋∞)内恒成立，2又函数 g(x)＝ x＋ 2－e x在 (0，＋∞)上单一递加，∴ a ≤g(0) ＝0，∴ a 的取值范围是 ( －∞，0]；x2(2)由 (1) 得 f ′(x)＝ xex ＋ 2－e x － a ， x ∈ R ，2令 f ′(x)＝ 0，则 x ＝ 0 或 x ＋ 2－ e x － a ＝ 0，即 x ＝ 0 或 g(x)＝ a ，2∵ g(x)＝ x ＋ 2－e x ，在 (－ ∞，＋ ∞)上单一递加，其值域为 R .∴存在独一 x 0∈ R ，使得 g(x 0)＝ a ，①若 x 0>0，当 x ∈( －∞，0)时， g(x)<a ，f ′(x)>0 ；当 x ∈(0 ，x 0)时， g( x)<a ，f ′(x)<0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极大值，这与题设矛盾；②若 x 0＝ 0，当 x ∈ (－ ∞， 0) 时， g(x)<a ， f ′(x)>0 ；当 x ∈(0，＋ ∞)时， g(x)>a ， f(x)>0 ；∴f(x)在 x ＝ 0 处不取极值，这与题设矛盾；③若 x 0<0，当 x ∈ (x 0,0)时， g(x)>a ， f ′(x)<0 ；当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g(x)>a ，f ′(x)>0 ；∴ f( x)在 x ＝ 0 处获得极小值；综上所述， x 0<0，∴ a ＝ g(x 0)< g(0) ＝ 0.∴ a 的取值范围是 ( －∞，0)．19． (2014 福·建安溪一中、养正中学联考)已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ bx ＋5，若曲线 f(x)在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为 3，且 x ＝2时， y ＝ f(x)有极值．3(1) 求函数 f(x)的分析式；(2) 求函数 f(x)在 [ －4,1] 上的最大值和最小值． [分析 ] f ′(x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋b ，f2 ＝2 2 233＋ 2a × ＋ b ＝ 0，(1) 由题意得，3＝ 3×12＋ 2a ×1＋ b ＝ 3.fa ＝ 2，解得b ＝－ 4.2经查验得 x ＝时， y ＝ f(x)有极小值，所以 f(x)＝ x 3＋ 2x 2－ 4x ＋ 5.(2)由 (1) 知， f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x － 4＝ (x ＋ 2)(3x － 2)．令 f ′(x)＝ 0，得 x 1＝－ 2， x 2＝2， 3f ′(x)， f(x)的值随 x 的变化状况以下表：x－ 4(－4，－ 2)－2( －2， 2 )2 ( 2，1)13 33f ′(x)＋0－0＋f(x)单一递加极大值单一递减极小值单一递加函数值－1113954 27∵f(23)＝9527， f( －2)＝ 13， f(－ 4)＝－ 11， f(1)＝ 4，∴ f(x)在[ － 4,1]上的最大值为13，最小值为－ 11.2a3220．已知函数f(x)＝x － 2ax ＋ bx，此中 a、 b∈R，且曲线y＝f(x)在点 (0， f(0))处的切线斜率为 3.(1)求 b 的值；(2)若函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，求 a 的值．[分析 ] (1)f ′(x)＝ a2x2－4ax＋ b，由题意 f ′(0)＝ b＝ 3.(2)∵函数 f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，∴f ′(1)＝ a2－ 4a＋ 3＝ 0，解得 a＝1 或 a＝ 3.2①当 a＝ 1 时， f ′(x)＝x － 4x＋ 3＝ (x－ 1)(x－ 3)，x(－∞， 1)1(1,3)3(3，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在 x＝ 1 处获得极大值，切合题意．②当 a＝ 3 时， f ′(x)＝9x2－12x＋ 3＝ 3(3x－ 1)(x－1) ，x、 f ′(x)、 f(x)的变化状况以下表：x(－∞，1)1(1， 1)1(1，＋∞)333f ′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x＝ 1 处获得极小值，不切合题意．综上所述，若函数 f(x)在 x＝1 处获得极大值， a 的值为 1.21．设 f(x)＝ lnx， g(x)＝ f(x)＋ f ′(x)．(1)求 g(x)的单一区间和最小值；1(2)议论 g(x)与 g(x)的大小关系；1(3)求 a 的取值范围，使得g(a)－ g(x)<a对随意x>0成立．[分析 ](1)由知1，g(x) ＝lnx ＋ x ∴ g ′(x)＝ x － 12 ，令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝ 1.x当 x ∈ (0,1) ， g ′(x)<0 ，故 (0,1) 是 g(x)的减区．当 x ∈ (1，＋ ∞) ， g ′(x)>0 ，故 (1，＋ ∞)是 g(x)的增区，所以， x ＝ 1 是 g(x)的独一极点，且极小点，从而是最小点，所以最小g(1)＝ 1.1(2)g( x ) ＝－ ln x ＋ x ，h(x)＝ g(x)－ g(1)＝ 2ln x － x ＋ 1，xxx －2h ′(x)＝－x 2.当 x ＝ 1 ， h(1) ＝ 0，即 g(x)＝ g(1x )．当 x ∈ (0,1)∪ (1，＋ ∞) ， h ′(x)<0 ，h ′(1)＝ 0，所以， h(x)在 (0，＋ ∞)内减．1当 0<x<1 ， h(x)>h(1)＝ 0，即 g(x)>g(x )，当 x>1 ， h(x)<h(1) ＝0，即 g(x)<g(1x )．(3)由 (1) 知 g( x)的最小1，所以 g(a)－g(x)<1随意 x>0 成立 ? g(a)－ 1<1，aa即 lna<1 ，从而得 0<a<e ，即 a 的取范 (0， e)．x － 222． (2015 江·西教课量)已知函数 f(x)＝ ln(ax ＋ 1)(x ≥0，a>0) ， g(x)＝ x ＋ 2.(1) 函数 y ＝ f(x)－ g(x)的性；(2)若不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈[0，＋ ∞) 恒成立，求数a 的取范；1 1 111*(3)当 a ＝ 1 ，明： 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2f(n)(n ∈ N ) ．x － 2，[分析 ](1)∵ y ＝ f(x) －g(x)＝ ln(ax ＋ 1)－x ＋ 2y ′＝ a －4 2＝ax 2＋ 4a － 42，x ＋ax ＋x ＋ax ＋ 1当 a ≥1 ， y ′≥0，所以函数 y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数；当 0<a<1 ，由 y ′>0得 x>21－ 1，所以函数 y ＝ f(x) －g( x)在 21－ 1，＋ ∞ 上是aa增函数，函数y ＝f(x)－ g(x)在 0， 21－ 1 上是减函数；a(2)当 a ≥1 ，函数y ＝ f(x)－ g(x)是 [0，＋ ∞)上的增函数．所以 f(x)－ g(x) ≥f(0)－ g(0)＝ 1，即不等式 f(x) ≥g(x)＋ 1 在 x ∈ [0，＋ ∞) 恒成立，当0<a<1，函数y ＝ f(x)－ g(x)是0， 21－ 1 a上的减函数，存在x 0∈0， 21－ 1 a，使得 f( x 0)－ g(x 0)<f(0) － g(0) ＝ 1，即不等式 f(x 0) ≥g(x 0 )＋ 1 不行立，上，数a 的取范是 [1，＋ ∞)．(3)当 a ＝ 1 ，由 (2) 得不等式 f(x)>g(x)＋ 1 在 x ∈(0，＋ ∞) 恒成立，即 ln(x ＋ 1)>2x，所以 ln1＋1 >2*) ，x ＋ 2 k1＋ 2k(k ∈ N即 112k ＋ < [ln( k ＋ 1)－ lnk]．1 21 1 (ln2 －ln1) ，所以 <23 1 15<2(ln3 － ln2) ，1 17<2(ln4 － ln3) ， ⋯ ，112n ＋ 1<2[ln( n ＋ 1)－ lnn]．1 1 111将上边各式相加获得， 3＋ 5＋7＋⋯ ＋ 2n ＋ 1<2[(ln2 － ln1) ＋ (ln3 － ln2) ＋ (ln4 － ln3)＋ ⋯＋ (ln( n ＋ 1)－ lnn)] ＝ 1ln(n ＋ 1)＝ 1f(n)．22∴原不等式成立．。

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选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（）A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 2. 已知函数c ax x f +=2)(,且(1)f '=2,则a 的值为（）A ．1B ．2C ．－1D ．03．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足( )A ．()()f x g x =B ．()()f x g x -为常数函数C ．()()0f x g x ==D ．()()f x g x +为常数函数4．函数x x y 33-=在[－1，2]上的最小值为（） A ．2 B ．－2 C ．0D ．－45．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（）6．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．07．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是（）A ．B ．C ．D ．08．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴围成的面积是（）A ．4B ．52C ．3D ．29．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x在),0(+∞内单调递增，5:-≥m q ，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件AB C DC ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅ 的值为（） A ．1n B ．11n + C ．1n n + D ．1二、填空题：(每小题5分，共25分)11．若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=___________.12．220(3)10,x k dx k +==⎰则；8-=⎰_________________.13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 .14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .15．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '最小值为 .三、解答题：(共75分) 16．（本小题满分12分）已知函数1193)(23+--=x x x x f （1）写出函数()f x 的递减区间；（2）讨论函数()f x 的极大值或极小值，如有试写出极值； 17．（本小题满分12分）当0>x 时，证明不等式2211x x e x++>成立.18．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c 的值.19．（本小题满分12分）如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。

（1）求V(x)的表达式；（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？20．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()nn F F F n n +*>+∈N ．选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A命题人：湖大附中周先华审题人：湖大附中李俊答案：1. B2. A3. B4. B5. D6. C7. B8. C9. Ｂ 10. B 11. e2-12. 1；45413. 114.(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15. 216. 解：令0)('=x f ，得11-=x ，31=x ，x 变化时，)('x f 的符号变化情况及()f x 的增减性如下表所示：（2）由表可得，当1-=x 时，函数有极大值16)1(=-f ；当3=x 时，函数有极小值16)3(-=f .17. 证明：设(),2112x x e x f x---=则()x e x f x--=1'，令,1)(x e x g x --=则1)('-=xe x g ，当0>x 时，()01'>-=xe x g ，∴)(x g 在()+∞,0上单调递增，而0)0(=g ，∴(),0)0(=>g x g 0)(>x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立. ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ∴,02112>---xx e x即0>x 时，2211x x ex++>成立.18.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴= 3解又又过点,119. 解：（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，ABC S ∆=225412B E FB DC xS S x∆∆=⋅=21(9)312x -（0x <<（2）21'())34Vx x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值20. 解:因为|||)()(|min max 21f f x f x f -<-，)3(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f)2(,1924|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()2(;932]0,1[)(,),4(;932]1,0[)(,013)(,33;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“妈祖函数”.（2分）21. 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．（Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)xf x k k x '=->->≥．_ P_ F_ E _ D_ C_ B_ A此时()f x 在[0)+∞，上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eeeee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。