全微分方程的不定积分解法及其证明

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第 6卷第 <期
资治科 2 全微分方程的不定积分解法及其证明
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引证文献(4条) 1.冯录祥.阎恩让 二元函数全微分求积的一个简单方法[期刊论文]-高等数学研究 2009(2) 2.胡劲松.郑克龙 用"积分因子法"求解Bernoulli方程[期刊论文]-四川理工学院学报(自然科学版) 2005(3) 3.林距华 对全微分方程的不定积分解法及证明的讨论[期刊论文]-高等数学研究 2004(3) 4.阿尔斯兰 浅议全微分方程的求解方法[期刊论文]-大众商务(下半月) 2010(1)
高等数学研究
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全微分方程的不定积分解法及其证明
资治科
& 引言 一个一阶微分方程写成 )" * # + ( , *- . " * # + ( , +/ & 形式后 # 如果它的左端恰好是某一个函数 1 的全微分 2 /1 " # ( * + , 1 " * # + (/ )" * # + ( , *- . " * # + ( , + 那么方程 " 就叫做全微分方程 3 这里 0 ( 4 1 / )" * # + ( # 4 * 方程 " 就是 , 其通解为 2 0 ( " # ( /& # 1 * + 4 1 /. " * # + ( 4 +
( ( " # & + # 1# $ % & + % 13 (" 1 ! ( 1 " # $ % & ’ , ’3 " # &, + % ( 1 1 # 1 # 1 # #
! " # $ % &’ 3 " # & + #, " # $ % & + % 1 ) 1 由引理知 2 ’ 1 % 1 # 8 将上式代入 " 式$ 得2 7 & 1 ! ’3 " # &, 1 # 8 另一方面 $ 由" 式得 2 6 & 1 ! ’ 1 % 8 同理可以证明 " 式0 / & / 应用举例 < < 解微分方程 2 " < ,% & ," < 4# & ’; # = > ? % = > ? # + # % ? @ A # ? @ A % + % 解 B 1 1 ) ’< 4< ’ 8 所以该方程为全微分方程 0 % = > ? # # ? @ A % 1 # 1 % * ! " # $ % &’ )" # $ % & + #, " # $ % $ & + %’
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200202007.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:550af654-ec82-4b8f-81c7-9dca0129ecbc 下载时间:2010年8月6日
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所以原方程的通解为 2 ,#= ’D %? @ A # > ? %
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全微分方程的不定积分解法及其证明
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 资治科 中南民族学院化学系,武汉,430074 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2002,5(2) 4次
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的简捷求法 ; 1 " # ( * + 引 理 设 开 区 域 D是 一 个 单 连 通 域 # 函 数 )" 在 D内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 # 则 # ( # # ( * + ." * + 在 内为某一函数 的全微分的充分必要条件是等式 # ( -. " # ( " # ( )" * + , * * + , + D 1 * + 4 ) 4 . / 4 + 4 * 在 D内恒成立 3 如果方程 " 左端满足 " 式# 那以原函数 0 ( ; (
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. 证明 显然我们只需证明函数 ! 的全微分就是 )" " $ & $ & ," $ & 0 即只需证明 # % # % + # # % + % 1 ! ! 且1 ’ )" # $ % & $ ’" # $ % & 1 # 1 % 这里先证明 " 式0 . & * 由于按记号定义 )" 中不含有自变量 %的项 $ 不妨设 2 $ & # % * )" # $ % &’ 3 " # & $ )" # $ % &4 3 " # &’ 5 " # $ % & 代入 " 式得 . &
中南Hale Waihona Puke Baidu族学院化学系 # 武汉 # " $ % & & ’ $ (
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1 " * # + (/ 5 " 5为常数 ( 可见 # 解全微分方程的关键在于求原函数 1 本文将提供一种求原函数 1 的简捷 " # ( 3 因此 # " # ( * + * + 方法 # 并给出证明 3 0 引入记号 为了表述方便 # 先引入记号如下 2 设 6" 为一个含有变量 * 定义 2 # ( # * + +项的二元函数 # 8 表示 6" 减去它里面含有变量 *的项 : " 0 ( 7 # ( 9 # ( 6" * + * + 8 表示 6" 减去它里面含有变量 +的项 : " ; ( 7 # ( 9 # ( 6" * + * + 注意 2 常数项看作既不含变量 *也不含变量 +的项 3 现举一例如下 2 * + ; 设2 # ( /* -* -> -B -+ -0 6" * + + <? @ A C > * B C > + 0 =* 按记号定义有 2 8 + 6" * # + (/ 6" * # + (= " * +- * < * ; -> ? @ *- B C > * B C > + (/ + -0 0= * * -> ? @ *- 0 0= *
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