现代控制理论课后习题答案
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前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。 本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。
编者 2005年5月
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1
解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则
2
12221c c c du u C R u u dt
++= (1) 1121
21c c c du u du
C C dt R dt
+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：
1121121121212111
c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222
111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：
1211
1211212121
212
1222222
21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪
⎪
=--+⎨⎪
⎪==-⎪⎩
&& 即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
&& []11210x y u x ⎡⎤
=-+⎢⎥⎣⎦
2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1
dy dt
，24dy x dt =。
根据牛顿定律对1M 有：
211311
()
d x x M x Kx B dt
-=--&
对2M 有：
212241
2()()d x x dx
M x f t B B dt dt
-=--&
经整理得：
状态方程为： 13
2411313
4111
112434
22221()x x x x B B K x x x x M M M B B B x x x u M M M M =⎧⎪=⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--++⎪⎩
&&&&
输出方程为： 11
22
y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
写成矩阵形式为：
112211
111
334411222
221122340
010
0000100
0100()10000100x x x x B B K u M M M x x x x B B B M M M M x y x y x x ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎢⎥-
-+⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
⎡⎤⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
&&&&
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。
3
x 2
x 图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
着眼于求和点①、②、③，则有
①：2111x x x +=α& ②：3222x x x +=α&
③：u x x +=333α&
输出y 为1y x du =+，得
1112223331000100
1x a x x a x u x a x ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&& []123100x y x du x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
2.7 试求图 2.8P 中所示的电网络中，以电感1L 、2L 上的支电流1x 、2x 作为状态变量的状态空间表达式。这里u 是恒流源的电流值，输出y 是3R 上的支路电压。
u
图P2.8 RL 电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
()1232222x x R R x L x +=--& ()1111231/u x L x x x R R =+++⎡⎤⎣⎦&
()123y x x R =+
整理得状态空间表达式为