直线方程的几种形式(1)

空间直线方程的五种形式

空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。

直线的方程是在数学中非常重要的一部分。

空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。

在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。

1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。

它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。

同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。

但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。

2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。

它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。

对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。

同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。

但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。

3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。

它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。

直线方程百度百科

直线方程直线是一条无限延伸的线段，由无数个点组成。

在平面几何中，直线可以由其斜率（斜率是直线上两个点之间的垂直距离与水平距离的比）和截距（直线与纵轴的交点）来描述。

1. 直线方程的一般形式直线方程的一般形式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是实数，且A和B不能同时为零。

2. 直线方程的斜截式斜截式是直线方程的一种常见形式，可以表示为：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。

3. 直线方程的点斜式点斜式也是直线方程的一种形式，可以表示为：y - y1 = m(x - x1)其中，m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个已知点。

4. 直线方程的法线斜截式法线斜截式是直线方程的一种特殊形式，可以表示为：y = -1/m x + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。

5. 直线方程的横截式横截式是直线方程的另一种常见形式，可以表示为：x = a其中，a是直线与横轴的交点。

6. 直线方程的解析几何意义直线方程的解析几何意义非常丰富。

斜率可以表示直线的倾斜程度，当斜率为正值时，直线向右上方延伸；当斜率为负值时，直线向右下方延伸；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。

截距表示直线与纵轴的交点，可以用来确定直线在纵轴上的位置。

点斜式可以通过一个已知点和直线的斜率来确定直线方程。

直线方程还可以用于求解直线与直线之间的交点、直线的平行与垂直关系等几何问题。

7. 直线方程的应用直线方程在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

例如，在几何学中，直线方程可以用来求解直线的性质，如与其他直线的交点、平行关系等；在物理学中，直线方程可以用来描述物体的运动轨迹；在工程学中，直线方程可以用来建立模型，分析和解决实际问题。

结论直线方程是研究平面几何中直线性质的重要工具。

通过直线方程，我们可以描述直线的斜率、截距、倾斜程度等性质，进一步推导出直线的交点、平行与垂直关系等几何问题。

直线方程的几种形式(一)教学设计

数学基础模块下册
8.2.3 直线方程的几种形式（一）
【教学目标】
1. 掌握直线的点斜式、斜截式，能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程．
2. 了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法．
3. 让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点，体会用数形结合的方法解决问题
的魅力．
【教学重点】
直线的点斜式与斜截式方程．
【教学难点】
理解直线的点斜式方程的推导过程．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程与斜率坐标公式之间的关系．对于直线方程的斜截式，要使学生认识到斜截式是点斜式的特殊情形.教材在例2中给出了已知两点求直线方程的方法，教师可针对学生的实际情况补充直线方程的两点式，但要求不宜过高.
【教学过程】
1
第八章直线和圆的方程
2
数学基础模块下册
3。

直线方程的几种形式

直线方程有多种表达形式，包括点斜式、两点式、斜截式、截距式和一般式。点斜式是通过直线上一点和直线的斜率来确定直线方程的，公式为y-y1=k(x-x1)。两点式则是通过直线上两点来确定直线方程的，公式为y-y1பைடு நூலகம்(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)。斜截式是通过直线的斜率和在y轴上的截距来确定直线方程的，公式为y=kx+b。截距式是通过直线在x轴和y轴上的截距来确定直线方程的，公式为x/a+y/b=1。一般式则是关于x和y的一次方程，形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A、B不全为零。这些形式各有特点，适用于不同的场景。例如，已知一点和斜率时可用点斜式；已知两点时可用两点式；已知斜率和y轴截距时可用斜截式；已知x轴和y轴截距时可用截距式；而一般式则更为通用，可以表示任意直线。通过熟练掌握这些形式，可以灵活求解直线方程，并应用于实际问题中。

2.2.2直线方程的几种形式1教案教师版(已打)

2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的点斜式．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的斜截式．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答：已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答：设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结：方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答：当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结：由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答：由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结：已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三直线的两点式方程导引已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程，得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1，得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答：两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？答：没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解：将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程．解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1，即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33，又因直线经过点(－2，2)，所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解：直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解：由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。

学案1：2.2.2 直线方程的几种形式(一)

2.2.2直线方程的几种形式(一)学习目标1.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简单应用.2.能发现斜截式方程与一次函数间的联系与区别.知识体系梳理创设情境“我想知道流星能飞多久,它的美丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是……我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿……”飞逝的流星形成一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?知识导学问题1:(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作直线.(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有无数条,可分为两类:(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),这个方程是由直线上点P0(x0,y0)及其斜率k确定的,所以叫作直线的点斜式方程.(ii)斜率不存在,则直线方程为x=x0.问题2:(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线的点斜式方程,得y=kx+b,我们称b为直线l在y轴上的截距.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫作直线的斜截式方程.(2)直线的斜截式方程①截距:b.②一般形式:y=kx+b.③适用条件:斜率存在.注意:当直线和x轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.问题3:已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则通过这两点的直线方程为.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.基础学习交流1.已知直线方程y-3=√3(x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是().A.(4,3),60°B.(-3,-4),30°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°2.直线方程可表示成点斜式方程的条件是().A.直线不过原点B.直线的斜率不存在C.直线的斜率存在D.不同于上述答案3.经过点(-√2,2)且倾斜角是30°的直线的点斜式方程是.4.写出斜率为-2,且在y轴上的截距为t的直线的方程,当t为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.重点难点探究探究一直线方程形式的选择根据条件写出下列直线的方程:(1)斜率为3,经过点(5,-4);(2)斜率为-2,经过点(0,2);(3)经过点(2,1)和(3,-4);(4)经过点(4,2),倾斜角为90°.探究二直线的两点式方程已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.探究三“截距”与“距离”的关系求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.思维拓展应用应用一求满足下列条件的直线方程:(1)斜率为2,经过点(2,0);(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;(3)斜率为2,在y轴上的截距是5;(4)直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且直线l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.应用二一条光线从点A(3,2)出发,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.应用三求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.基础智能检测,则直线l的方程为().1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.已知直线的方程为y+2=-x-1,则().A.直线过点(-1,2),斜率为-1B.直线过点(-1,2),斜率为1C.直线过点(-1,-2),斜率为-1D.直线过点(-1,-2),斜率为13.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b=.4.求过点A(1,3),斜率为直线y=-4x的斜率的1的直线方程.35.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0思维导图构建参考答案知识体系梳理问题1:(1)直线(2)(i)y-y0=k(x-x0)点P0(x0,y0)斜率k点斜式(ii)x=x0问题2:(1)y=kx+b截距截距斜截式(2)①b②y=kx+b斜率存在问题3:y-y1y2-y1=x-x1 x2-x1问题4:{x=x1+x22,y=y1+y22基础学习交流1.A由直线的点斜式方程可知,k=tan α=√3,∴α=60°,直线过定点(4,3).2.C3.y-2=√33(x+√2)4.解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为y=-2x+t.(2)将点(4,-3)代入方程y=-2x+t,得-3=-2×4+t,解得t=5,故当t=5时,直线通过点(4,-3).直线y=-2x+5图象如右图所示.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵k=3,经过点(5,-4),∴由点斜式方程得y-(-4)=3(x-5),即y+4=3(x-5).(2)∵k=-2,b=2,∴由斜截式方程得y=-2x+2.(3)∵直线过点(2,1)和(3,-4),∴直线方程为y-1-4-1=x-2 3-2.整理得y=-5x+14.(4)由题意可知,直线垂直于x轴,∴直线方程为x=4.【小结】在求直线的点斜式方程时,要判断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可.如果已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解.探究二:【解析】(1)直线BC 过点B (3,-3),C (0,2),由两点式得y+32+3=x -30-3,整理得5x+3y -6=0,所以BC 所在的直线方程为5x+3y -6=0.(2)因为B (3,-3),C (0,2),所以由中点坐标公式可得BC 边上中点M 的坐标为x=3+02=32,y=-3+22=-12.由两点式方程可得直线AM 的方程为y -0-12-0=x -(-5)32-(-5),整理得直线AM 的方程为x+13y+5=0.【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率k 的值为±1.若k=1,则直线方程为y -3=x -2,即x -y+1=0;若k=-1,则直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.∴所求直线方程为x -y+1=0或x+y -5=0.[问题]当k=1时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?[结论]截距是直线与y 轴(或x 轴)交点的纵坐标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为0,错解中方程x -y+1=0在x 轴、y 轴上的截距分别为-1,1,截距当然不相等,属于概念性错误.于是,正确解答如下:当截距不为0时,则k=-1,直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.当截距为0 时,则k=32,直线方程为y=32x.故满足题意的直线方程为y=32x 或x+y -5=0.【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令x=0,所得y 值是y 轴上的截距;令y=0,所得x 值是x 轴上的截距.注意理解“截距”与“距离”的区别.思维拓展应用应用一:(1)由直线的点斜式方程,得y=2(x -2), ∴所求直线方程为2x -y -4=0.(2)由题意得k=tan 45°=1,∴所求直线方程为y -3=x -2,即x -y -1=0.(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为y=2x+5.(4)∵直线l 1的斜率为2,在y 轴上截距为6,∴直线l 的斜率为-2,在y 轴上的截距为6,∴直线l 的方程为y=-2x+6.应用二:因为点A (3,2)关于x 轴的对称点为A'(3,-2),所以由两点式可得直线A'B 的方程为y -6-2-6=x+13+1,即2x+y -4=0.同理,点B 关于x 轴的对称点为B'(-1,-6),由两点式可得直线AB'的方程为y -2-6-2=x -3-1-3,即2x -y -4=0,所以入射光线所在的直线方程为2x -y -4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y -4=0.应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为y -2=k (x+5).令x=0,则y=5k+2;令y=0则x=-5-2k. ∴-5-2k=2(5k+2), 解得k=-12或k=-25, ∴直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.基础智能检测1.A 由y -5=-34(x+2),得3x+4y -14=0. 2.C 直线方程可化为y -(-2)=-[x -(-1)],故直线过点(-1,-2),斜率为-1.3.2013 直线l 的方程为y -(-1)5-(-1)=x -(-1)2-(-1), 整理得:y=2x+1,令x=1006,得b=2013.4.解:设所求直线的斜率为k ,依题意有k=-4×13=-43.又直线经过点A (1,3),因此所求直线方程为y -3=-43(x -1), 即4x+3y -13=0.5.A 由题意可知,所求直线的斜率k=12,又经过点(1,0),∴所求直线方程为y=12(x -1),即x-2y-1=0.思维导图构建y-y0=k(x-x0)。

原创1：2.2.2 直线方程的几种形式（一）（讲授式）

学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学
生能用联系的观点看问题．
学习目标
三维目标及重难点分析
4 ．重点与难点
重点
直线的点斜式方程和两点式方程.
难点
直线的点斜式方程和两点式方程的应用．
新课讲授
点斜式直线方程的概念
直线的点斜式方程
由直线上一定点和直线的斜率确定
的直线方程，叫直线的点斜式方程，即过点P0（x0，y0），
ሺ ≠ ሻ，
−
所以由直线的点斜式方程可得
− =
又因为 ≠ ，
−
ሺ
−
− ሻ.
这就是经过两点
，和，
( ≠ , ≠ )的直线方程.
新课讲授
直线的两点式方程
直线的两点式方程
( ≠ , ≠
答：斜率不存在或倾斜角为90°时，
显然直线 l 上的任何一点的横坐标均相同， y
均为x0，而y0可以为任意实数，所以这时的
直线方程为x= x0 或x- x0=0.
特别的，y 轴所在的直线上的每一点的横坐
标均为0，所以其所在直线的方程为x=0.
O
l
0 ሺ0 ，
0 ሻ
x
新课讲授
直线方程的特例——其它直线方程
思考9
我们把经过两点，和，
−
)的直线方程
−
=
−
叫做直线的两点式方程.
−
若 = 或者 = ，这个方程还能用吗?
答：因为当x1＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义，
所以此时直线P1P2没有两点式方程.
达标检测
直线方程的点斜式与斜截式的理解与应用
3.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( B )

直线方程

直线方程直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（一）点斜式：已知点A ),(00y x ，斜率k ，则k=),(0x xy x x y ≠--直线方程为)(00x yx k y -=-（二）斜截式：已知斜率k ，直线经过点A （0，b ）即y 轴上的截距为b ，直线方程为y=kx+b（三）两点式：已知两个点),(),,(2211y x y x B A 且xx 21≠，)(112121x yy yx y ---=-，直线方程为x x x yy y x y 121121--=--（四）截距式：过（a ，0），（0，b ）即直线在x 、y 轴的截距分别为a ，b （a ≠0，b ≠0），直线方程为1bya x =+（五）一般式：Ax+By+C=0(A ，B 不全为0) k=BA-点斜式例1求过点（2,1）的倾斜角α满足54cos =α的直线方程练习 1.直线经过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，求直线方程2.直线经过点（-1,1）且斜率是直线222-=x y 的斜率的2倍，求直线方程3.已知一条直线与y 轴交于点（0,2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的直线方程例2已知过一点（-4,3）的直线，与两坐标轴围城的三角形的面积为3，求这条直线的直线方程练习1.已知直线的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线的方程2.直线的倾斜角为45度，且过点（4，-1），则这条直线被坐标轴所截得的线段长是例3求过点（2，-1）且倾斜角为直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程练习1.求过点（2，-1）且倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的直线方程斜截式例4已知直线0322=++y x ，求直线的斜率及直线在y 轴的截距练习1.方程aax y 1+=表示的直线可能为下图中的（）A ． B. C.例5求经过点P（3,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程练习1. 直线2x-3y+6=0在x，y两轴的截距分别为2.求经过（2，-1），在坐标轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b的直线方程3.经过点A（1,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有多少条？4.直线经过（-2,3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线方程两点式例6已知直线经过（1,1）和（m，2）两点，求直线方程练习1.已知三角形三个顶点的坐标为A（-3,0）B(2,1)C(-2,3)（1）求BC边所在的直线方程（2）求BC边上的中线AD所在的直线方程（3）求BC边上的垂直平分线DE的方程例7（1）当a为何值时，直线x+2ay+1=0和直线（3a-1）x-ay+1=0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+(1-a)y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？例8已知直线kx-y+1+2k=0（k为实数）（1）求证直线恒过定点（2）若直线与x轴负半轴交于点A，交于y轴正半轴于点B，三角形AOB 的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线的方程练习1.直线x+2ay-1=0与直线（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为2.已知直线l1的倾斜角为43 ，直线l1经过点A（3,2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2：2x+by+1=0有直线l1平行，则a+b的值为3.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是4.已知直线的方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0（1）求证直线过定点（2）若直线分别与x，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程平行直线系和垂直直线系与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+c1=0(C≠c1)与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+c1=0A.y=-2x+4B.y=x+4C.y=-2x-D.y=x-A.2B.C.-2D.--2 D.( ) A.- B.1 C.1- D.-1一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解，熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.。

直线方程的五种形式

直线方程的五种形式直线方程的五种形式，从不同的侧面反映了直线的几何与数量特性.由于它们有各自不同的适用范畴和隐性约束，因此，我们在根据条件求直线方程时，要特别注意不同形式直线方程的适用性，千万不要漏掉了特殊情形.【直线方程的五种基本形式】①点斜式方程：y-y0=k(x-x0).适用于点P(x0，y0)和斜率k为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴的直线.当斜率不存在时，直线方程应为x=x0.②斜截式方程：y=kx+b.适用于点(0，b)和斜率k为已知.其中b叫做直线l在y轴上的截距.截距不是距离，它可以取任意实数.斜截式是点斜式过点(0，b)时的特例. 此种形式也不包含垂直于x轴的直线.③两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2，y1≠y2).适用于两点(x1，y1)，(x2，y2)的坐标为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴的直线.③截矩式：xa +yb=1.适用于直线l与x轴、y轴的交点(a，0)和(0，b)为已知.注意：此种形式不包含垂直于x轴和y轴及过原点的直线.③一般式：Ax+By+c=0 (A，B不全为0).例1(1)设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a、b满足( ).A.a+b=1.B.a-b=1.C.a+b=0.D.a-b=0.(2)已知ab<0，bc<0.则直线ax+by=c通过( ).A.第一，二，三象限.B.第一，二，四象限.C.第一，三，四象限.D.第二，三，四象限.(3)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足( ).A.m≠0.B.m≠−32. C. m≠1. D. m≠1且m≠−32.解:(1)③ 直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0③ k=tanα=-1，又③直线ax+by+c=0的斜率为k= −ab，③ a-b=0. 故应选D.(2)将直线ax+by=c化为截距式y= −ab x+cb，③ ab<0，bc<0，③ 此直线的斜率k>0,在y轴上的截距为负，故应选C.(3)要方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线，则必须满足m2+m-3与m2-m不能同时为0. ③ m≠1. 故应选C.例2.(1)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.(2)已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求l的方程.解:(1)当截距为0时，设y=kx，过点A(1，2)，则得k=2，即y=2x；当截距不为0时，设x+y=a或x-y=a.将点A(1，2)代入所设方程中，得a=3，或a= -1，故这样的直线有3条：y=2x，x+y-3=0，或x-y+1=0.(2)由已知可设直线l的方程为xa +y−4=1.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为8，③ 12|a ||−4|=8，解得a=±4，故x -y -4=0或x+y+4=0为所求.想一想①：1.过点(1，5)且在两轴上截距相等的直线有几条？分别是怎样的？2.求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦为45的直线方程.3.过点A(-5，-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．说明：求满足一定条件的直线方程时，若条件中含有“在两坐标轴上的截距相等、互为相反数、绝对值相等或与两坐标轴围成的三角形面积有关”时，均可将直线方程设为截距式，且不要忽略了特例——过原点的直线y=kx.例3(1)已知两点A(3，0)、B(0，4)，动点P 在线段AB 上运动，求xy 的最大值.(2)过点P(4，3)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，当|OA|+|OB|最小时，求直线l 的方程.解:(1)设线段AB 所对应的直线方程为x a +yb =1，∵ 点A 、B 在其上， ∴ x3+y4=1 (x>0，y>0).由均值不等式可得1≥2√xy 12,⇒xy ≤3.∴ (xy)max =3.(2)设直线l 的方程为xa +yb =1，∵ 直线l 过点P(4，3)，∴ 4a +3b =1. 又∵ (a+b)(4a +3b)=7+4b a+3a b≥7+4√3，∴ (a+b)max =7+4√3.当且仅当{4b a=3ab,4a +3b=1,即{a =4+2√3,b =3+2√3.时|OA|+|OB|最小. 此时直线l 的方程为√3x +2y −6=0.例4.(1)若方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则m= ． (2)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ).A.两条直线.B.两条射线.C.两条线段.D.一条直线和一条射线. 解:(1)法1.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，则关于x 的一元二次方程：x 2+2x+(-my 2+2y)=0根的判别式4842+-=∆y my 一定是完全平方式， ③ .1,06482=⇒=-=∆'m m法2.③ 方程x 2-my 2+2x+2y=0表示两条直线，③x 2-my 2+2x+2y ))((b my x a y x +++-≡.即x 2-my 2+2x+2y=x 2-my 2+(m -1)xy+(a+b)x+(am -b)y+ab=0，比较对应项的系数可得，m=1，a=2，b=0.(2)∵ (2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，∴ {2x +3y −1=0,√x −3有意义,或√x −3−1=0.解得2x+3y -1=0(x≥3)或x=4，故应选D.想一想①：1.过点P(2，1)作直线l 与x 、y 的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，求当|PA||PB|最小时直线l 的方程.2.方程x 2-xy -2y 2+x+y=0表示的两条直线方程分别是 .习题3.2.1.已知集合M={(x ，y)|123+=--a x y }，N={(x ，y)|y -3=(a+1)(x -2)}.则有( ).A.M=N.B.M③N=M.C. M∩N=ND.M ⊆N. 2.若方程x+y -4√x +y +2m=0表示一条直线，则实数m 满足( ) ． A.m=0. B.m=2. C.m=2或m ＜0.D.m≥2.3.直线l 与两直线y=1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M(1，-1)，则直线l 的斜率为( ).A.32. B. 23. C.− 32. D.−23.4.一直线过点M(-3，4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_ .5.已知关于x ，y 的方程x 2-4xy+my 2-x+(3m -10)y -2=0表示两条直线，则m= ．6.当a 为何值时，直线(a -1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上的截距相等.7.把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a ≤c ≤b ，证明：f(c)≈f (a )+c−ab−a [f (b )−f(a)].8.求经过点A(-2，2) 被两坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.【参考答案】想一想①：1.两条；5x-y=0，x+y-6=0.2.4x-3y-4=0或4x+3y-4=0.3.2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.想一想①：1.x+y-3=0.如图D4.2—1.设∠BAO=θ,θ∈(0,π2).则|PA|=1sinθ,|PB|=2cos θ,⇒|PA||PB|=4sin2θ,当且仅当θ=π4,即k=-1时，|PA||PB|取得最小值4.2.x+y=0或x-2y+1=0.习题3.2.1.D.2.C.令√x+y=t，则问题转换为t2-4t+2m=0的两根相等且非负，或有一正根和一负根.3.A.4.4x-y+16=0或x+3y-9=0.5.3或4.6.若直线过原点，则a=0；直线不过原点，则a=2.7.A，B，C三点共线，∴k AC=k AB, 即y c−f(a)c−a =f(b)−f(a)b−a,∴y c−f(a)=c−ab−a [f(b)−f(a)], 即y c=f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)],∴f(c)≈f(a)+c−ab−a[f(b)−f(a)].8. x+3y-2=0或2x+y+2=0.x yO ABP(2.1)图D3.2—1。

2.2.2直线方程的几种形式1教案教师版(已打)

2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的点斜式．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的斜截式．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答：已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答：设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结：方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答：当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结：由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答：由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程．解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程，得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结：已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三直线的两点式方程导引已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程，得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1，得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答：两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？答：没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解：将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程．跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程．解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1，即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33，又因直线经过点(－2，2)，所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解：直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解：由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。

直线方程的几种形式(1)

2．2．2直线方程的几种形式（1）
一、学习目标：
1、掌握直线方程的几种形式；
2、了解不同形式的直线方程的推导过程。

二、学习重点：根据所给条件灵活选取适当形式和方法求出直线方程。

三、学习难点：清楚各种形式的直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性。

四、自主学习、合作探究新知识：
1、直线方程的几种形式：
五、例题：
求下列直线方程：
（1）直线L:过点（2，1），k=-1;
(2) 直线L:过点（-2，1）和点（3，-3）.
(3) 直线L:过点（0，1），k=-1 2 .
（4）直线L:过点（0，1），（2，0）
六、当堂检测：
1、求下列直线方程：
（1）过点（3，2），斜率为2
3
；
（2）斜率为-1，在y 轴上的截距是5；
（3）过点（-3，1），平行于x 轴；
（4）过点（2，3），平行于y轴；
（5）过点（0，3），（2，1）；
(6)过点（0，-1），（3，0）
2、根据直线方程，分别写出各直线经过的点和斜率k;
(3)y=-4x+3 (4)y=2
5
x-3
3、在直线方程y-1= k（x+1)中，k取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条直线都过哪一点？
4、已知直线y-3=k(x-5)过点（-1，-2），求k的值。

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件

直线的五种方程形式,适用条件,平行垂直的充要条件在数学中，直线是一种最基本的平行图形，它由两个点构成并连接在一起。

据统计，直线在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

直线可以用不同的方程式来表示，其中最基本的形式是一元一次方程形式。

这比较常见，可以解决许多基本的几何问题。

因此，识别并理解直线的不同方程式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件是非常重要的。

二、直线的五种方程形式1.一元一次方程形式：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示y轴截距。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

2.斜截式：y-y1=m(x-x1)，其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上一点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

3.方程形式的优势在于可以以变换的斜率m来描述直线。

m=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

4.点斜式：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)(x2,y2)是直线上两个不同的点。

该方程描述的是一条斜率不等于0的直线。

5.垂直方程形式：x=a，其中a是直线上的一点坐标。

该方程描述的是一条斜率等于0的直线。

三、适用条件1.一元一次方程形式及其变体适用于斜率不等于0的直线，即斜率存在时可以直接用一元一次方程形式或它的变体表示。

2.而对于斜率为0的直线，可以直接用垂直方程形式y=a来表示其斜率为0，其中a是直线上的一点坐标。

四、平行垂直的充要条件1.线平行：两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等，即m1=m2。

2.线垂直：两条不同的直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积等于-1，即m1*m2=-1。

五、结论以上介绍了直线的五种方程形式、适用条件以及直线平行和垂直的充要条件。

这些充分条件对于解决几何问题非常重要，因此在学习中一定要了解相关知识。

设直线方程的几种方法

设直线方程的几种方法
1. 直角坐标系的标准方程法：即 y = kx + b ，其中 k 为斜率，b 为 y 轴截距。

2.直角坐标系的空间向量法：即直线轨迹可用向量表示a(x-
x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0，其中a,b,c为平面法向量，(x1,y1,z1)为直线上的某一点。

3. 直角坐标系的参数方程法：即其中形式是 x = x0 + rcost, y = y0 + rsinθ。

其中（x0，y0）为直线上的某一点，(r, θ)为向量的矢量指标，θ为矢量的极角。

4.极坐标系的参数方程法：即用极坐标表示方程：r=r0+aθ，其中
（r0,θ0）为直线上的某一点，a为方向比。

5. 二维平面中的斜截式：即 y = kx + b ，其中 k 为斜率，b 为 y 轴截距。

6.三维平面中的法向量表示法：即a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0，其中a,b,c为平面法向量，(x1,y1,z1)为直线上的某一点。

7. 三维平面中的直角坐标参数方程法：即其中形式是 x = x0 + rcost, y = y0 + rsinθ，z = z0 + rtanθ。

其中（x0，y0）为直线上的某一点，(r, θ)为向量的矢量指标，θ为矢量的极角，z0为直线在
z坐标的位移。

8. 用两个点的坐标表示法：即直线上的两点 A(x1, y1),B(x2, y2) 的坐标就可以写出直线方程 y = kx + b ，其中 k = (y2 - y1)/(x2 -
x1）， b = y2 - kx2。

2.2.2直线方程的几种形式(1)

教案2100年 5 月 28日星期五第节班级高一（3）班教学内容（注明书名、章节、页码）人民教育出版社数学B版必修2第二章第二节第77-79页§2.2.2 直线方程的几种形式（1）课型新课讲授教学目的和要求知识技能：1、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式）。

2、理解直线与二元一次方程对应的关系。

过程与方法：通过分析定点与动点求出斜率，进而表示出直线的点斜式方程。

经过练习巩固新知。

情感态度价值观：培养探索精神，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。

教学重点和难点教学重点：点斜式方程的推导教学难点：直线与二元一次方程的对应关系教学方法讲授、练习教具三角板（教师用）板书设计§2.2.2 直线方程的几种形式一、一、引入二、直线的点斜式方程昨天我们主要学习了直线的斜率和倾斜角。

那么如果给出一个斜率能不能确定一条直线？我们上一节已经知道给出一个斜率和一个已知点的坐标就可以利用待定系数法写出直线方程。

那么如果已知其他条件我们能不能也写出直线方程？今天学习下一节直线方程的几种形式。

首先，我们还是已知斜率k和一定点，求直线方程。

不过我们不用待定系数法了。

大家请看，设点),(yxP为直线l上不同于定点),(yxP的任意一点，则直线l的斜率k可由P和0P两点的坐标表示为xxyyk--=，即)(xxkyy-=-①。

两式有什么不同？从取值范围来看，前面xxyyk--=所表示的直线上缺少了一点),(yxP。

为了将这一点补上得到我们要的完整的直线，所以变成①的形式。

那么我说了①中动点),(yxP已经把),(yxP这点补充上了。

),(yxP是动点，它运动形成的轨迹就是直线l。

得到这个特殊方程，按照习惯就该给它起名字了。

我们称)(xxkyy-=-这样由一定点),(yxP和斜率k所确定的直线方程为直线的点斜式方程。

我说的明白吗？在这个方程中，哪些是变量哪些是常量？（用彩色粉笔标出）这个方程其实是动点的轨迹方程，理解起来可能会有点困难，不过不要紧，在后面我们会详细学习。

直线方程的几种形式(一)

（用斜截式求BC所在直线方程）因为B(3，－3)、C(0，2)，所以 kBC 2 3 5
3 3
5 截距b=2，由斜截式得y=－ x+2， 3
整理得5x+3y－6=0，这就是直线BC的方程.
（用截距式求AC所在直线的方程）因为A(－5，0)、C(0，2)，所以直线在x， y轴上的截距分别是－5与2，
是 x－5=0
。
4．过点P(1，3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线的
方程是
3x+y－6=0
。
例4．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）（A）A、B、C同号（B）AC<0，BC<0 （C）C=0，AB<0 （D）A=0，BC<0
A C 解：原方程可化为 y x B B
因为直线通过第二、三、四象限，所以其斜率小于0，在y轴上的截距小于0，
1 由直线的斜截式方程得y=－ x+1， 2 1 又直线的斜率为－， 2
整理得x+2y－2=0.
例3．求斜率为的直线方程：
3 3
，在x轴上的截距是－5
3 ， 3
解：所求直线的斜率是
在x 轴上的截距为－5，即过点(－5，0)，用点斜式方程知所求直线的方程是
3 (x+5)， 3
y=
即
3x 3 y 5 3 0
若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
种形式的方程叫做直线的两点式方程.
对两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零
y y1 x x1 (y1=y2)时，不能用两点式 y2 y1 x2 x1

直线方程的七种基本形式

直线方程的七种基本形式直线是数学中的基本概念之一，它在几何学和代数学中都是非常重要的对象。

直线方程描述了直线上所有点的数学关系。

在代数学中，直线可以通过不同的形式来表示，而本文将介绍直线方程的七种基本形式。

1. 一般式直线的一般式方程是形如Ax + By + C = 0的方程，其中A、B、C是实数，并且同时不为零。

这种形式的方程可以表示任何直线，例如2x + 3y - 6 = 0。

2. 截距式截距式方程是形如x/a + y/b = 1的方程，其中a和b是正实数，且不等于零。

这种形式的方程描述了直线与x轴和y轴的交点。

例如，2x + 3y = 6是一个截距式方程。

3. 斜截式斜截式方程是形如y = mx + c的方程，其中m是斜率，c是直线在y轴上的截距。

斜截式方程是描述直线的最常见形式之一。

例如，y = 2x + 3是一个斜截式方程。

4. 两点式两点式方程是通过直线上的两个已知点来表示的。

设直线上的两个点为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点式方程可以写作(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

这种形式的方程可以用于计算直线的斜率。

例如，已知两点为(2, 3)和(4, 5)，则两点式方程为(y - 3)/(x - 2) = (5 - 3)/(4 - 2)。

5. 垂直截距式垂直截距式方程是形如x = a的方程，其中a是直线与y轴的交点。

这种形式的方程对于垂直于x轴的直线非常有用。

例如，x = 4是一个垂直截距式方程。

6. 水平截距式水平截距式方程是形如y = b的方程，其中b是直线与x轴的交点。

这种形式的方程对于水平于x轴的直线非常有用。

例如，y = -5是一个水平截距式方程。

7. 法线式法线式方程是直线斜率的负倒数形式。

设直线的斜率为m，法线式方程可以写作y = -1/m * x + c，其中c是直线与y轴的截距。

这种形式的方程可以用于描述与给定直线垂直的直线。

高一直线方程知识点

高一直线方程知识点直线方程是高中数学中的重要内容之一，它在几何图形的研究以及解决实际问题中起着重要的作用。

本文将介绍高一阶段涉及的直线方程知识点，涵盖了一元一次方程、点斜式、两点式和截距式四种形式。

一、一元一次方程一元一次方程是最简单的直线方程形式，也是了解直线方程的基础。

一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数常数。

其中，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

通过给定的斜率k和截距b，我们可以画出对应的直线。

例如，当k = 2，b = 3时，直线的方程为y = 2x + 3。

这条直线的斜率为2，截距为3，表示一种矢量在平面上的运动轨迹。

二、点斜式点斜式是一种常用的直线方程形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来确定直线方程。

点斜式的一般形式为y - y₁ = k(x -x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。

通过给定的点(x₁, y₁)和斜率k，我们可以构造出直线的方程。

例如，当直线上的一点为(2, 4)，斜率为3时，直线的方程为y - 4= 3(x - 2)。

这条直线通过点(2, 4)，斜率为3。

三、两点式两点式是利用直线上的两个点来确定直线方程的形式。

两点式的一般形式为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。

通过已知的两个点的坐标(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，我们可以建立直线的方程。

例如，当直线上的两个点为(3, 1)和(5, 4)时，直线的方程为(y - 1)/(4 - 1) = (x - 3)/(5 - 3)。

这条直线通过点(3, 1)和(5, 4)。

四、截距式截距式是直线方程的另一种表示形式，它利用直线与x轴和y 轴的截距值来确定直线方程。

截距式的一般形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为直线与x轴和y轴的截距。

通过给定的截距值a和b，我们可以写出直线的方程。

直线方程几种形式

2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.

直线方程的几种形式

例6：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kL 5 5 2 23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) ,即
2x + y －1 = 0
㈢巩固： ①经过点（- 2，2）倾斜角是300的直线的方程是（A）y＋ 2 = 3 （ x－2）（B）y+2= 3 （x－ 2 ）
小结：
⑴P为直线上的任意一点，它的位置与方程无关
y
° °P ° ° ° ° ° ° ° P1
O x
° ⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x -x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x y 1 a b
y B
l
说明: （1）直线与x轴的交点 (a,0)的横坐标a叫做直线在x轴的截距，此时直线在y轴的截距是b; (2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程;
3
②已知直线方程y－3= 3（x－4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是（A）（4，3）；π/ 3 （B）（－3，－4）；π/ 6 （C）（4，3）；π/ 6 （D）（－4，－3）；π/ 3 ③直线方程可表示成点斜式方程的条件是（A）直线的斜率存在（B）直线的斜率不存在（C）直线不过原点（D）不同于上述答案