小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题

在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？

这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多

样，但一般采用假设法。

【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多

少只？

【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。

假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减

少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。

【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情

况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换

同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个

2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。

【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？

【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是

2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一

张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。

【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？

【解析】2分10枚，5分30枚

【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？

【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需

45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有

16×45=720吨。

【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？

【解析】96吨

【例4】★★某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯？

【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000=1000元，实际上少得

1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元，

这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。

【小试牛刀】搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？

【解析】50只

【例5】★★某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元。其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？

【解析】因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实际多收入9000－7800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60张。

【小试牛刀】某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和50元的张数相等，每种门票各售出多少张？

【解析】30元的160张

【例6】★★一次竞赛的抢答题共有20道题，如果抢答对一道题就加10分，抢答错误要倒扣20分。李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了30分，他抢答对几道题？

【解析】假设李刚答对了9道题，那么他答错了

（10×9－30）÷（10＋20）

=（90－30）÷30

=60÷30

=2（道）

答对了9－2=7（道）

【例7】★★鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？

【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

有鸡100——30=70（只）。

【小试牛刀】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？

【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

大瓶有50-30＝20（个）。

【例8】★★★有蜘蛛、蝉、蜻蜓共22只，共有腿148条，翅膀22对。（其中蜘蛛有8条腿；蜻

蜓有6条腿，两对翅膀；蝉有6条腿，一对翅膀）。求蜻蜓有多少只？

【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量：