数值计算方法习题答案(习题3_习题6)
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）
数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法 练习题
数值计算方法练习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）8. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有数数字。
13.计算取，利用式计算误差最小。
四个选项：习题二1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.717364. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知，求及的值。
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。
X 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921F (x) 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.340667. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法第三版课后习题答案
数值计算方法与算法第三版课后习题答案1. 矩阵乘法问题描述给定两个矩阵A和B，尺寸分别为n×m和m×p，求矩阵A 和矩阵B的乘积矩阵C，尺寸为n×p。
算法实现import numpy as npdef matrix_multiplication(A, B):n, m = A.shapem, p = B.shapeC = np.zeros((n, p))for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return C示例A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])C = matrix_multiplication(A, B)print(C)输出结果：[[19. 22.][43. 50.]]2. 数值积分问题描述给定一个函数f(x)，以及积分区间[a, b]，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值∫abf(x)dx。
算法实现简单的数值积分算法是采用小梯形法，将区间[a, b]均分成n个子区间，然后计算每个子区间的面积，最后将这些子区间面积相加得到定积分值。
def numerical_integration(f, a, b, n):h = (b - a) / nintegral =0for i in range(n):x1 = a + i * hx2 = a + (i +1) * hintegral += (f(x1) + f(x2)) * h /2 return integral示例import mathf =lambda x: math.sin(x)a =0b = math.pin =100result = numerical_integration(f, a, b, n) print(result)输出结果：1.99983550388744363. 非线性方程求解问题描述给定一个非线性方程f(x) = 0，求方程的根x。
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
数值计算方法习题答案
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1,2,......ka k kx x x k +=+=恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk kx k x x k x k +-=-=≥=证明： （1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +⎫⎛-+=+-==⎪ ⎝⎭（2） 取初值0>x ，显然有0>kx，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若kx 有n 位有效数字，则n kx-⨯≤-110218，而()k k k kk x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥Θ1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为mna a a x 10 (02)1*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a xx x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x，有 003063.071.20083.022≈<-x e x对于718.23=x，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)绪论（12）1、设x 0，x的相对误差为，求lnx的误差。
[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为r*(x) ，绝对误差为*(x) x*，从而lnx的误差为*(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为(lnx)*r1*x ，x**(lnx)lnx*lnx*。
2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x) 2%，绝对误差为*(x) 2%x*，从而x的误差为(lnx) (x) 相对误差为(lnx)*rn*nx x*(x) n(x)**n 12%x 2n% x**n，*(lnx)(x)*n2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。
***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。
****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4的数。
***（1）x1；x2 x4f *******e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) xk 1 k [解]；11110 4 10 3 10 3 1.05 10 3222n****（2）x1x2x3；f***e*(x1x2x3)k 1 xkn ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k***-*****3*1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；2220.***** 10 3 212.***** 10 3 0.***-***** 10 3213.***-***** 10 3 0.***-*****255**（3）x2。
数值计算方法(宋岱才版)课后答案
第一章 绪论一 本章的学习要求（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。
（3）能根据要求进行误差分析。
二 本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设x 为精确值，x *为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *的绝对误差。
（2）相对误差：r e e x***=。
（3）绝对误差限：e x x ε***==-。
（4）相对误差限：r x x xxεε*****-==。
（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε***⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭则。
（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε****⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭。
（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε***⎛⎫∂==⋅ ⎪∂⎝⎭则。
（8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε******⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
三 本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计1123A X X X ***=及224X A X **=的相对误差限。
12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====解：（1）1x *有5位有效数字，2x *有2位有效数字，3x *有4位有效数字，4x *有5位有效数字。
（2）1111123231312123,,,,A A AA x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。
所以()()111rA A Aεε***=()()()12311111123A A A x x x A X X X εεε*******⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦()222222424441,,,X A Ax A X x x x x ∂∂===-∂∂则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：()()222rA A Aεε***=()()24212224A A X X A X X εε*****⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()33542224411*********X X X X X **--***⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，2dsx dx=，在这里设x *为边长的近似值，S *为面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε***=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭即：()21x x ε**⋅≤ 推出：()10.005200xcm ε*≤=。
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值方法(第2版)答案
C语言编程习题第二章习题2-25.用二分法编程求6x4 -40x2+9=0 的所有实根。
#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 10000double A,B,C;double f(double x){return (A*x*x*x*x+B*x*x+C);}void BM(double a,double b,double eps1,double eps2){int k;double x,xe;double valuea = f(a);double valueb = f(b);if (valuea > 0 && valueb > 0 || valuea <0 && valueb < 0) return;printf("Finding root in the range: [%.3lf, %.3lf]\n", a, b);for(k=1;k<=N;k++) {x=(a+b)/2;xe=(b-a)/2;if(fabs(xe)<eps2 || fabs(f(x))<eps1) {printf("The x value is:%g\n",x);printf("f(x)=%g\n\n",f(x));return;}if(f(a)*f(x)<0) b=x;else a=x;}printf("No convergence!\n");}int main(){double a,b,eps1,eps2,step,start;printf("Please input A,B,C:\n");scanf("%lf %lf %lf",&A,&B,&C);printf("Please input a,b, step, eps1,eps2:\n");scanf("%lf %lf %lf %lf %lf",&a,&b,&step,&eps1,&eps2);for (start=a; (start+step) <= b; start += step) { double left = start;double right = start + step;BM(left, right, eps1, eps2);}return 0;}运行：Please input A,B,C:6 -40 9Please input a,b, step, eps1,eps2:-10 10 1 1e-5 1e-5Finding root in the range: [-3.000, -2.000]The x value is:-2.53643f(x)=-0.00124902Finding root in the range: [-1.000, 0.000]The x value is:-0.482857f(x)=0.00012967Finding root in the range: [0.000, 1.000]The x value is:0.482857f(x)=0.00012967Finding root in the range: [2.000, 3.000]The x value is:2.53643f(x)=-0.00124902有时若把判别语句if(fabs(xe)<eps2 || fabs(f(x))<eps1)改为if(fabs(xe)<eps2 && fabs(f(x))<eps1)会提高精度，对同一题运行结果：Finding root in the range: [-3.000, -2.000]The x value is:-2.53644f(x)=-4.26496e-007Finding root in the range: [-1.000, 0.000]The x value is:-0.482861f(x)=-7.3797e-006Finding root in the range: [0.000, 1.000]The x value is:0.482861f(x)=-7.3797e-006Finding root in the range: [2.000, 3.000]The x value is:2.53644f(x)=-4.26496e-007习题2-35. 请用埃特金方法编程求出x=tgx在4.5（弧度）附近的根。
数值计算方法 练习题
数值计算方法练习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）8. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
11.下列公式如何才比较准确？（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有数数字。
13.计算取，利用式计算误差最小。
四个选项：习题二1. 已知，求的二次值多项式。
2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。
3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.717364. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5. 已知，求及的值。
6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。
X 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921F (x) 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.340667. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案吕同富
数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。
主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。
通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。
二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。
本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。
与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。
（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。
（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。
2．教学内容（1）*正交多项式。
（2）▽*最佳一致逼近。
（3）▽最佳平方逼近。
（4）正交多项式的逼近性质。
（5）▽曲线拟合的最小二乘法。
第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。
（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。
（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。
2．教学内容（1）*机械求积公式。
（2）▽newton-cotes求积公式。
（3）▽复合求积公式。
（4）变步长求积公式。
（5）▽romberg求积公式。
（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。
数值计算方法马东升等第 版习题解答
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
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习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112pn n n n n nc n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。
对一切上，迭代过程],[cos 21),(01b a x x x k k ∈=∞-∞+2,1,2.,22,2.6110=+=+==-n I I I I n n 则有解：记由上述迭代格式之迭代函数为x n +=2)(ϕ，则21)2(21)('-+=x x ϕ故对于任意的x>0，均有12121)('<+=xx ϕ迭代是收敛的。
不妨假设,lim I I n =则有 I I I I +=+=222即解之得I=2,及I=-1,负根不合题意舍去，故22222lim ,2lim =++++=∞→ 即nn I7. 证明： （1）2312()1,()x x x xϕϕ'=+=- []1.3,1.6x ∈时，[]222111()11,1 1.3,1.61.6 1.3x x ϕ⎡⎤=+∈++⊂⎢⎥⎣⎦且()22()0.9111.3x ϕ'≤≈<所以迭代过程1211k x x +=+在区间[1.3,1.6]上收敛。
（2）()2322()()13x x x x ϕϕ-'==+当[]1.3,1.6x ∈时，[]() 1.3,1.6x ϕ∈⊆()()523322228()1,()139x x x x x ϕϕ--'''=+=-+令()0x ϕ''>得()x x ϕ'<∴在x ⎡∈⎣上单调递增。
在)x ∈+∞单调递减。
又(1.6)0.461,(1.3)0.451ϕϕ''≈<≈<[]1.3,1.6x ∴∈时，()1x ϕ'<所以迭代过程1k x +=在区间[1.3,1.6]上收敛。
18.解：方程x 3-a=0的根x*=3a .用Newton 迭代法1,0,33232231=+=--=+k x ax x a x x x kk k k k k 此公式的迭代函数2332)(xax x +=ϕ 则33232)('xax •-=ϕ . 由于02)('.0)(''3≠==**ax x ϕϕ 故迭代法二阶收敛。
19.解：因f(x)=(x 3-a)2,故f'(x)=6x 2(x 3-a)由Newton 迭代公式：,1,0,665)(6)(,1,0,)(')(2322311=+=---==-=++n x a x a x x a x x x n x f x f x x nn n n n n n n n n n 得下证此格式是线性收敛的 因迭代函数则又而,,365)(',665)(332a x x ax x a x x =-=+=*-ϕϕ 0213165)(3165)('333≠=-=-=-a a ϕ故此迭代格式是线性收敛的。
21.解：由于要求不含开方，又无除法运算，故将计算)0(1>a a等价化为求012=-xa 的正根。
而此时有322)(',1)(x x f x a x f =-= 故计算a1的Newton 迭代公式为n n n n nnn n x x a x a x x x a x x )223(2232123321-=-=--=+24.解：牛顿法迭代公式为:104320102)(')(2231++-++-=-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 快速弦截法的迭代公式为:102220102)()()()(1211223111+++++-++-=---=-----+k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x第六章 2（2） 解3112223112221232355347634763476235501335133505293476347605290529000364,1,2x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→----→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦∴=-==7. 解：424217104109TA LDL A =-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1216513212213310040010,01603004114()106181623234T T L D L DL x bx y Ly b y x L x D y y x -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎧⎪=-=⎧⎪=⎧⎪⎪==-⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩补充一些计算题1 分别运用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx ex⎰1（要求小数点后至少保留五位）解：运用梯形公式()()[][]8591409.1212101=+=+-≈⎰e e bf a f ab dx e x运用Simpson 公式()()()7188612.14612461210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈⎰e e e bf b a f a f a b dx x f ba运用Cotes 公式3114241010********* 1.71828268890xe dx e e e e e ⎡⎤≈++++=⎣⎦⎰ 2 利用复化 Simpson 公式计算积分dx xI ⎰+=1011（将积分区间5等分） 解：区间长度b-a=1,n=5,故2.051==h ，节点()1...50、==i ih x i ，在每个小区间[1i i x ,x +]中还需计算221hx xi i +=+，i=0，1….4。
()()()69315.01119.0117.0115.0113.0111.01148.0116.0114.0112.01120115161246101216=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⨯++⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑-==+n i n i i i b f x f x f a f n s 3. 用欧拉法求初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧=++=00133y yx dxdy (取步长h=0.1，结果至少保留六位有效数字，迭代4步)解：欧拉格式为由计算得：4.用改进的欧拉法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+-=0)0(20,121'2y t t ty y 要求步长h=0.5，计算结果保留6位小数。
解：改进欧拉法的计算公式为[]⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++++ 2,1,0,)~,(),(2),(~1111n y t f y t f h y y y t hf y y n n n n n n n n n n 将h=0.5，2121),(t tyy t f +-=代入得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=+-+=+++++12112121~1115.0)15.0(~n n n n n n n n n n n n n y t t y t t y y y t t f y y由00=y 计算得921025.0)0.2(,924049.0~787596.0)5.1(,817500.0~635000.0)0.1(,740000.0~400000.0)5.0(,500000.0~44332211=≈==≈==≈==≈=y y y y y y y y y y y y 5.对初值问题y'=-y+x+1 , y(0)=1取步长h=0.1，用经典四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值，并求解函数xe x y -+=在x=0.2处的值比较。
解：经典四阶龙格—库塔格式为() 3,2,1,),()2,2()2,2(),(226342312143211=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+n hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n nn n n n n将f(x,y)=1+x-y 及h=0.1代入得() 3,2,1.0,)1.0()1.0(1)05.0()05.0(1)05.0()05.0(112261.0342312143211=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-++=+-++=+-++=-+=++++=+n k y x k k y x k k y x k y x k k k k k y y n n n n n n n n n n因初值10=y ，则 n=0时004837500.1)22(61.0)1.0(095250000.0,047500000.0050000000.0,000000000.0432*******=++++=≈====k k k k y y y k k k kn=1时018730901.1)22(61.0)2.0(181348271.0,138142281.0140404375.0,095162500.0432*******=++++=≈====k k k k y y y k k k k精确解9010187307530.12.0)2.0(2.0=+=-ey误差为721047.1)2.0(-⨯≈-y y6. 给定线性方程组12310.40.410.410.820.40.813x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦试建立求解该方程组的矩阵形式的高斯-塞德尔迭代公式,并判断该公式是否收敛,如果收敛,以x 0=[0.5 0.5 0.5]T为初始向量迭代一步. 解：10.40.40000.410.8,0.400,0.40.810.40.8000.40.4100000.8,010000001A L U D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦有()1(1)()1(1)()11(1)()22(1)()33()00.40.4 3.7500.160.64 1.87500.0320.6720.625k k k k k k k k x D L Ux D L bx x x x x x -+-+++=-+++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 令()1()k G D L Ux -=-+显然 0.81G∞=<，迭代过程收敛。