第七章 气体分子热运动

2）确定一直线的位置： 确定线上一个点，需 t =3 个平动自由度 确定线的方位， 还需(、、 ) 2个转动自由度 所以，一直线的自由度为：i t r 3 2 5
（讨论分子热运动所遵循的统计规律）
双原子分子： H2、O2、CO…
刚性
i 3 2 5
振 动
非刚性
i t r s 3 2 1 6
即：P=nmvx2
P=nmvx2 等几率原理
vx2= vy2= vz2
而：v2 = vx2+ vy2+ vz2
∴ vx2 = vy2 = vz2 1 v 2 3
P 1 nmv 2 2 n( 1 mv 2 ) 2 n t 3 3 2 3
t 1 mv 2
2
分子的平均平动动能
4.理想气体的温度 由状态方程： P = nKT
3）确定一刚体的位置
刚体的自由度数：
i t r 3 3 6
三原子分子：CO2、H2O...
刚性：
非刚性：
i t r 3 3 6
i t r s 3 3 3 9
2.能量按自由度均分原理 1）分子平均平动动能 t
t 1 mv 2 3 kT
N
1 或： dN 1 dN 1
o
N
N o
N
N
dN f ( x )dx N
L
f (x) 是几率密度
dN f x dx 1 N o o
分布函数的归一化条件
3.麦克斯韦分子按速率分布定律 1）表达式：
dN f ( x )dx（*） N
处在温度为T 平衡态下气体分子有下式成立： （假定在 v—v+dv 的速率区间 dv 内有dN个分子）
刚性三原子分子，i = t +r + s = 6
2
分子平均动能的总和一般形式为：
i k kT t r s kT 2 2
动能按自由度均分的原则是统计规律
3. 理想气体的内能 一般气体的内能
分子平均动能的总和（平动、振动、转动）
原子间振动平均势能的总和
分子间相互作用的势能总和
把分子的总自由度看成： i t r 2 s （非刚性分子才有S） 所以，一个分子的平均总内能为：
ni
i
vi=
vix viy viz
任取面积为dA,垂直X轴处的器壁，计算上dA的压强： 1）速度为vi 的单个分子在一次碰撞中对器壁的作用 碰撞前：vi =（vix， viy ，viz） vixdt 碰撞后：vi' =（－vix， viy ，viz） dA 分子施于dA的冲量： I i = 2mvix
vi
X
2）dt 时间内具有vi 的分子施于dA 的冲量 取vidt 为斜高、dA为底的斜柱体
体积： vixdtdA； dt 时间内 分子数：nivixdtdA dIi = 2mvixnivixdtdA = 2mnivix2dtdA
dI dI i
i
v 0
ix
2mni vix dtdA
理想气体的内能: （非刚性分子才有S） t r s kT 分子平均动能的总和: k 2 原子间振动平均势能的总和: p s kT 2
E i kT t r 2 s kT 2 2
能量按“自由度”均分
E i KT ——一个理想气体分子的内能 K R 2 No * 1摩尔理想气体的内能为: E N o N o i KT i RT 2 2 m * 摩尔（或 m 克）理想气体的内能为: E m i RT 2 单原子分子气体: E m 3 RT 2 若是 刚性: E m t r RT m 5 RT 2 2 双原子分子 非刚性: E m t r 2 s RT m 7 RT 2 2 结论：
在一定温度T 的平衡态下，所有物质的分子 在每个自由度上（平动、转动、振动）都有 1 一份相同的平均动能 ， 其值为 ： kT 2
具有i 个自由度的分子，其总平均动能：
例：刚性双原子分子，i =t +r = 5
k i kT
2
5 kT 分子总平均动能为： k 2
分子总平均动能为： k 6 kT
真空
·· · 非平衡态 ·· ·
注：1）一个孤立系统总是处于平衡态
2）平衡态实质上只是一种热动平衡
是宏观上的寂静状态，组成系统的微观粒子仍处于不停 的无规运动之中，只是其统计平均效果不随时间变化。
4.平衡过程
系统从 一个状态
另一个 状态
——过程
系统经历了一个热力学过程
每一状态都是平衡态——平衡过程
一定质量的某种理想气体的内能，只取决于分子的 自由度 i 和气体的温度 T，与气体的体积、 压强无关。
即：内能是温度的单值函数！
四、 麦克斯韦分子按速率分布定律 1.统计规律及其特点 1）统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律。 2）统计规律永远伴随着涨落现象 2.分布函数
f ( x)
每个槽内的小球数与总数之比（几率）： N 1 N 2 N i N i , N N N 比值与狭槽的位置和狭槽的宽度有关： N i N i f ( x) f ( x )x Nx N f（x） 是位置的函数 x+x X 即: 分布函数
8.统计的基本思想
1）统计规律 单个事件看不出什么规律，大量事件将出现规律 2）等几率原理
3）几率的归一化条件： “几率”是一个统计的概念，是某个事件出现的 可能性的量度。
二、对理想气体的基本描述
1. 理想气体的微观模型： ——理想模型 1）分子本身大小忽略不计 2）分子间相互作用忽略不计 3）分子所受重力忽略不计 4）分子间、分子与器壁间的碰撞是弹性碰撞 5）分子运动遵从经典力学规律 自由、无规则运动的弹性小球的集合
dN 4 ( m v 2 dv N 2kT dN f (v )dv 与（*）式比较有： N mv 3 f ( v ) dN 4 ( m ) 2 e 2 kT v 2 Ndv 2kT f (v) 称为麦克斯韦速率分布函数。
2
3 )2
2 mv e 2 kT
x
x
N i f ( x) (1) Nx
说明
f ( x ) dN Ndx
表示处在 x 附近,单位间隔 （1）f(x)的物理意义： 内的小球数占总数的百分比 （2）分布函数 f(x)必须满足归一化条件 所有区间的小球数占总球数百分比的总和：
N 1 N 2
几 率
N
N

N

i
N i
2
dI
vix 0
2mn v
i
2
ix
dtdA
vixdt
dA
等几率原理 vix>0, vix<0各一半:
vi
X
dI 1 2
F dI dt
2mn v
i
2
i ix
dtdA
dA受到压强
P F dA
2 2 dI P mni v ix m ni v ix dtdA i i 2 2 2 2 ni v ix 2 n1v1 x n2 v 2 x nk v kx i vx n1 n2 nk n
一、几个基本概念
1.系统与外界
1）热力学系统 由大量微观粒子所组成的宏观客体。 2）系统的外界 能够与所研究的系统发生相互作用的其它物体。
孤立系统
封闭系统
开放系统
3.热力学平衡态
——理想状态
一个系统在不受外界影响的条件下，如果它的宏观 性质不再随时间变化，此系统处于热力学平衡态。 例：理想气体绝热自由膨胀。 平衡态
2. 理想气体的状态方程
PV RT
N
NA
R 8.31 J
mol k
——普适气体常数
NA=6.023×1023 /mol
PV N RT NA
K R 1.3810 23 J / K 玻耳兹曼常数 NA
PV = NKT P=nKT n—分子密度
3. 理想气体的压强 设长方体V 中有N个理想气体分子， 单位体积有 n = N/V 个分子 每个分子质量为 m， 每个分子速度的大小、方向各不 相同，热平衡下，分子与6个壁都要 碰，各个面所受的压强相等。 将所有分子分成若干组，每组内分子的速度大小 方向都相同： 第 i 组的分子密度：ni ， 总分子密度：n 第 i 组的分子速度：vi ，
热力学温标：与任何物质的性质无关 T t 273.15 K
7.宏观与微观
宏观：对系统的状态从整体上加以描述 ——宏观描述
反映整个系统宏观性质的物理量——宏观量
如： 体积V、压强P、温度T、热容量C等
微观：通过对微观粒子运动状态的说明，而对系统的
状态加以描述 ——微观描述
表征单个分子特征的物理量——微观量 如：分子的大小d、位置r、速度v、能量E等 本章的任务：用统计的方法，求大量分子的微观量的统 计平均值来解释实验中所测得的宏观性质
P 2 n t 3宏观量 t Fra bibliotek kT2
微观量
物理意义： （1）理想气体分子的平均平动动能只与温度T 有关 温度是物体内部分子无规则运动的剧烈程度的标志。 是大量微观分子热运动的集体表现。
（2）对分子热运动
t 0
永远
T 0
激光冷却和陷俘原子原理
激光冷却和陷俘原子
5.方均根速率 由： t 1 mv 2
例.在多高温度下理想气体分子的平均平动动能等于1ev。
解：
t 3 kT = 1ev =1.6 10-19 J 2 2 t 3
T 3k 7.7410 k