初二 代数方程分式方程和无理方程讲义
第七讲 分式方程和无理方程的解法
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第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。
本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根。
一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程 2142122
4x x x x +-=+--。
2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 2
2
23()4011
x x x x --=--
【例3】解方程
22
22
8(2)3(1)
11
12
x x x
x x x
+-
+=
-+
．
【例4】解方程
1 x=
【例5】解方程
3 =
2．换元法解无理方程
【例6】解方程
2
3152 x x
++=
2。
数学初高中衔接之分式方程和无理方程
2.2 分式方程和无理方程初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握 (1) 不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用” 去分母” 或” 换元法” 求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用” 平方” 或” 换元法” 求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程1 ．去分母化分式方程为一元二次方程【例 1 】解方程．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或．检验：把代入，不等于 0 ，所以是原方程的解；把代入，等于 0 ，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：(1) 去分母解分式方程的步骤：① 把各分式的分母因式分解；② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④ 解一元二次方程；⑤ 验根．26(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0 ．若为 0 ，即为增根；若不为 0 ，即为原方程的解．2 ．用换元法化分式方程为一元二次方程【例 2 】解方程分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的值的情况下，用去分母的方法解方程．解：设，则原方程可化为：解得或．(1) 当时，，去分母，得；(2) 当时，．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，，都是原方程的解．说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值．【例 3 】解方程．分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．27解：设，则原方程可化为：．(1) 当时，；(2) 当时，．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ．所以，原方程的解是，，．说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1 ．平方法解无理方程【例 4 】解方程分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：28① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；② 两边同时平方，得到一个整式方程；③ 解整式方程；④ 验根．【例 5 】解方程分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程．解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：① 移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；② 两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③ 一下步骤同例 4 的说明．2 ．换元法解无理方程【例 6 】解方程分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．解：设，则原方程可化为：，29即，解得：或．(1) 当时，；(2) 当时，因为，所以方程无解．检验：把分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．练习：1 ．解下列方程：(1) (2)(3) (4)2 ．用换元法解方程：3 ．解下列方程：(1) (2) (3)4 ．解下列方程：(1) (2)5 ．用换元法解下列方程：(1) (2)30。
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
讲义(4)无理方程
级下：初二数学提高班讲义4：无理方程姓名_______________辅导时间________________________【一】 知识梳理：1、 无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2、 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．3、 解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程．4、 无理方程的增根：（解无理方程验根的必要性）乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根．5、 解分式方程基本步骤：① 去根号，把无理方程化为有理方程； ② 解这个有理方程；③ 验根；④写出原方程的根． 〖例题选讲〗一、选择：1、下列方程中，不是无理方程的是（ ）（A x =； （B 1； （C 1=； （D 1=．2、下列方程中，有实数根的方程是（ ）（A 0=； （B 102=； （C 2=； （D 2=． 3、下列正确的是（ ）（A ）方程x =1-和3； （B 40=的根是x=5；（C 7x =-的根是10x =； （D y =-的根是1y =-．42x =-的根的情况是（ ）（A ）无实数根； （B ）只有x=2一个根； （C ）有无数多个实数根； （D ）只有两个实数根．二、填空：5、在下列方程后的括号内，填入方程的根，或“无实数根”．①20=（ ）； ②20=（ ）③x =（ ）； ④x =（ ）⑤3=（ ）； ⑥3=（ ）⑦3（ ）； ⑧ 0=（ ）10=（ ）； ⑩ 3=（ ）6、x 3x =- ，72k =无实数根，那么k 的取值范围是 ．83x m =+有一个根是x=3，那么m= ．9、解方程286x x -=时，设y =换元后，整理得关于y 的整式方程是 ．10、4=时，y = 换元后，整理得关于y 的整式方程是 ．11、若|5|0x y +-=，则___________xy =.12、函数()f x a =(1)3f -=，那么a= ．13、若关于x p =只有一个实数根，那么这个根是 ．三、解方程：14x =- 15、4x =163x = 171=18、52= 19、2265x x -+.四、解答题20、已知关于x x =有一个根是1，求这个方程的另一个根．21、求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．22、试用换元法解方程：（1）30x=（2）4x=23、已知a是非零整数，且满足()3213811322a aaa->-⎧⎪⎨->+⎪⎩，解关于x的方程：2310x x a-+=．。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
第6讲分式方程(讲义)解析版
第6讲分式方程模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．例题解析例1．（1）下列方程中，是分式方程的为（ ）A ．12x -=B 1=C 10-=D 1=【答案】C【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 是整式方程，故选项错误；B. 是整式方程，故选项错误；分母中含有未知数x ，所以是分式方程，故选项正确；D. 是整式方程，故选项错误.故选C.【点睛】此题考查分式方程的判定，掌握分式方程的定义是解题的关键.（2）在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x -=；2371x x x ++=-；1(37)x x-中，分式方程有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．例2．（1）用换元法解分式方程251x x +21x x+-+1=0，如果设21x x +=y ，那么原方程可以化为（ ）A ．2+y y -5=0B ．2y -5y+1=0C ．25y y 10++=D ．25y 10y +-=【答案】D【分析】直接把21xx +换成y ，整理即可．【详解】解：设21xy x =+，则原方程化为1510y y -+=，去分母得，25y 10y +-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．（2）.用换元法解方程221165380x x x x æöæö+++-=ç÷ç÷èøèø，设1y x x =+，则方程变为()A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【难度】★【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．例3.分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________．【难度】★【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．例4.直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________；（3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【难度】★【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x =．【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根．【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．例5.解方程：（1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-．【难度】★★【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3）无解．【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解．例6.解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【难度】★★【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=， 解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =；（3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根，即原方程的根为54x =．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．例7.已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【难度】★★【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．例8.已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【难度】★★【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．例9.已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-， 得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．例10.解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø．【难度】★★【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =．【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=，解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =；由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =；由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =；经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．例11.解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【难度】★★【答案】（1）1x =2x =（2）13x =，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a +=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x 2x =经检验，1x =2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x æö+=-+=+ç÷èø，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =；由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+23x =-，32x =-，46x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例12.解方程组：（1）413538x y x y x y x y ì+=ï+-ïíï-=ï+-î；（2）132013251x y x y ì+=ï-ïíï-=-ï-î．【难度】★★【答案】（1）01x y =ìí=î；（2）565x y =ìïí=ïî．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=ìí-=î，解得：11a b =ìí=-î，由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=ìí-=-î，解得：01x y =ìí=î，经检验，01x y =ìí=î是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=ìí-=-î，解得：55x a =ìí=î，由此可得：151y =-， 解得：65y =， ∴565x y =ìïí=ïî， 经检验，565x y =ìïí=ïî是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．例13.解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++；（2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【难度】★★【答案】（1）16x =，2334x =-；（2）92x =-．【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++，由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根； （2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++，由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++， 两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．例14.解方程：226205x x +-=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=，两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =；由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-；经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．例15.a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【难度】★★【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-，解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．例16.已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【难度】★★★【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意；②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-，此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =，符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=，解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-，此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意； 综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．例17.解关于x 的方程：22112(3()1x x x x+-+= 【难度】★★★【答案】12x =，212x =．【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x æö+=+-=-ç÷èø，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =；由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解；由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．例18.解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【难度】★★★【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=，解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=；由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=；经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．例19.已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．【难度】★★★【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x ax a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0xa x a x a+-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=，当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．模块二分式方程应用题知识精讲1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．例题解析例1.要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【难度】★【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天数，乙工作天数为x天，由此可知选D．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．例2.某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【难度】★【答案】B 【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．例3.甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【难度】★★【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x天完成，则乙单独需用()5x+天完成，依题意可得11615x xæö+=ç÷+èø，整理得27300x x--=，解得：13x=-，210x=，经检验，13x=-，210x=都是原方程的根，但13x=-不合题意应舍去，即得10x=，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．例4.登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【难度】★★【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm，则整个过程中小明总行程为2sm，根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abvs s a ba b==++．【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．例5.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为5/km h，乙速度为4/km h．【解析】设甲速度为/xkm h，则乙速度为()9/x km h-，927min20h=，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．例6.甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【难度】★★★【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．例7.某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【难度】★★★【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x 万套衣服，则改进之前每月生产()1x -万套，依题意可得413451x x -+=-，整理得251890x x -+=，解得：135x =，23x =，经检验，135x =，23x =都是原方程的根，但135x =不合题意应舍去，即得：3x =，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．随堂检测1.已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x æö-=ç÷èø；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．2.当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【难度】★【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=，解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．3.分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【难度】★【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y-=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．4.解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【难度】★★【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=，解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-；（3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．5.解方程：221313x x x x ++=+．【难度】★★【答案】11x =，21x =+．【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =；由1x x =+，解得：1x =+经检验11x =，21x =【总结】考查利用换元法解分式方程．6.解方程组311332412463324x y x y x y y x ì+=ï+-ïíï-=ï+-î【难度】★★【答案】1011711x y ì=ïïíï=ïî．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ì+=ïíï+=î，解得：1413a b ì=ïïíï=ïî，由此可得113241143x y x y ì=ï+ïíï=ï-î， 去分母得32443x y x y +=ìí-=î，解得：1011711x y ì=ïïíï=ïî，经检验，1011711x y ì=ïïíï=ïî是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．7.若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【难度】★★【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-；②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=，解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．8.甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【难度】★★【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．9.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【难度】★★★【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=，解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．10.解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【难度】★★★【答案】11x =+，21x =，33x =+，43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+，根据等式的性质移项变形得2668120x x x x æöæö---+=ç÷ç÷èøèø，因式分解得：66260x x x x æöæö----=ç÷ç÷èøèø，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =-；由660x x --=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =21x =-33x =43x =-都是原方程的根．【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．11.解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【难度】★★★【答案】12314x =．【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----，根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----，两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+，由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =，经检验，12314x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．12.已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【难度】★★★【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论：①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-；②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-；综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．13.已知：关于x 的方程227()72120a a x x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【难度】★★★【答案】94a =或4a =．【解析】整理原方程得27120a a x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，因式分解得340a a x x x x æöæö+-+-=ç÷ç÷èøèø，由此可得30a x x +-=或40a x x +-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=，两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-．因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=，解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．。
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
八年级数学寒假班讲义二6讲：分式和无理方程
学科教师辅导讲义 年 级：初二 课 时 数： 3辅导科目：数学 学科教师： 徐泽文授课类型 T 分式和无理方程T 综合提高教学内容分式方程和无理方程1.什么是分式方程分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于0。
2.无理方程根式方程就是根号下含有未知数的方程。
根式方程又叫无理方程。
有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程。
解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程。
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程【例1】判断下列各式哪个是分式方程．下列方程中，是无理方程的是（ ）．A ．0x )12(x 2=+-；B ．5 x 3 x 2=+；C ．2x 11=+；D ．12x 1=+．【例2】解方程：51144x x x --=-- 014524241522=+-+++-xx x x x x【例3】若解关于x 的方程的值产生增根，求m x x x x m x x 11122+=++-+【例4】用换元法解方程22114,x x x x +++=可设xx y 1+=，则原方程化为关于y 的整式方程为【例5】方程x x =--323的根是【练习】x x -=+2的解是【例6】23118822=-+++x x x x【例7】关于曾根问题1、已知关于x 的方程23222211+-+=-+-x x a x a x 有增根，求a 的值．2．m 为何值时，分式方程x x x x m x x 12112+=++-+存在增根．3．当a 取什么整数值时，方程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实数根，并求此实数根．【巩固练习】1、解分式方程：. 22221442++-+=-x x x x2、用换元法解分式方程，，若设103221-==+-+-x x y x x x x 则由原方程化成的关于y 的整式方程是 ．3、因为解分式方程有时会产生增根，所以 步骤必不可少；该步骤是将所解整式方程的根代入进行检验。
2.分式方程、无理方程、二元二次方程
精联教育*高效导学案年级 初 二 学科 数 学 授课时间 教师姓名 刘老师 课时 2课 题分式方程 无理方程 二元二次方程 授课日期及时段教学目的1、掌握用“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法；2、掌握解分式方程的一般步骤,领会分式方程“整式化”的化归思想和方法；用换元法解分式方程的方法和步骤,用换元法解分式方程组；3、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念. 知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法；4、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组。
教学内容 一、知识梳理1、 叫做分式方程。
叫做无理方程。
2、解分式方程、无理方程、二元二次方程组的基本思想是将这些方程 。
具体地说：解分式方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程；解无理方程的关键是去掉 ，将其转化为 方程。
解二元二次方程组关键是 ，将 转化为 、将 转化为 。
3、解分式方程的两种基本方法是 和 ；解无理方程的两种基本方法是 和 ；解二元二次方程组的两种基本方法是 和 。
4、解分式方程和无理方程， 都是必不可少的步骤。
二、检测练习1、当x= 时，分式325422-+-+x x x x 的值是0。
2、方程222-=-+x x x x 的解是 。
3、方程112=-x 的解是 。
4、把方程x 2-3xy+2y 2=0化为二个元一次方程为 、 。
5、方程 0)223()2(22=-++x y x 的解是 。
三、校正练习1、函数91--=x x y 中的x 的取值范围是 。
2、已知方程03=+-k x 有实数解，则k 的取值范围是 。
3、当分式13932的值大比分式++x x x 时，x= 。
4、方程011122=++++x x x x ，若用换元法设xx y 1+=，原方程可变形为 。
5、方程042322=+++-+x x x x 、若用换元法设y= ，则原方程可变形为 。
代数方程
AFEoyx智康一对一初中数学讲义课 题 代数方程授课日期及时段2014.12.14 16:30-18：30教学目的1. 了解整式方程，分式方程， 无理方程的概念定义及他们之间的相互关系2. 知道解整式方程，分式方程和无理方程的一般步骤，知道解分式方程，无理方程必须验根，并掌握验根的方法；3. 正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学内容课前检测 一次函数的应用如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。
本节课内容解析与例题讲解整式方程1、在方程12=ax 和s bx =2中，x 是未知数;字母a 、b 是项的系数，s 是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.方程b ax =的解的情况： 当0≠a 时，方程有唯一的解，解为ab x =当0,0==b a 时，方程有无数解，解为任意实数 当0,0≠=b a 时，方程没有实数解2、整式方程：①如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;②一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n (n 是正整数),这个方程叫做一元n 次方程;其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程,简称高次方程.例1：解方程：（1）5（x-a ）=ax+b （2）).1(1122-≠-=-b x bx (3)x 2+2x+a=0思考：含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？注意：含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.变式练习：解方程：（1）a(x-3)=4(a-x) (2) b(x+2)=43、一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n ，若次数n 是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义
无理方程知识讲解【学习目标】1、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想3、知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程.要点二、有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程要点三、代数方程有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算要点四、解无理方程的一般步骤1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案•要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：懈宿理力稈写山頃力程的很2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边;②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同. 要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号, 对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。
要点五、代数方程分类____________________________ 「整式方程L分式方程【典型例题】无理方程类型一、无理方程概念1.已知下列关于x的方程:（1） X2、..5x 1=0;(4) .a -1 2x =7; (2) x25-x 1=0;(5) ■ x 一= 2 ;x其中无理方程是【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数（填序号）.【答案】(2), (3), ( 5)【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程•举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？——,------------ l 1 >/2x + 4 * = —;⑴ J .丿■■ =0；⑵屮=0；(3) .=0;(4) 「•(［是常数)•x+1 | z |-2 。
初中数学知识点总结：分式方程和无理方程
知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
分式及分式方程复习讲义
分式及分式方程教学目标：1．掌握分式概念、性质及运算．2．掌握分式方程的概念、解法、及增根问题．一、知识回顾知识点1：分式及分式概念分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有：0x ，2x x ，11x+等．分式方程：分母含字母的方程叫分式方程．知识点2：分式性质易错点1 约分，找公因式，同时约去分子分母的公因式．用的是分式的除法性质 易错点2 通分，找最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质．知识点3：解分式方程1．思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根．2．易淆点（1）把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； （2）去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是整式方程的根，同时又使最简公分母为0的根叫增根，必须满足这两个条件． 常考题型：求含参数的增根问题． ◆课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？①x 1，②3x ，③5342+b ，④352-a ，⑤22y x x -，⑥ 121222+-++x x x x ， ⑦()b a c -÷，⑧x x 2，⑨2)1(--x 分式：____________________；整式___________________； 2. 当x ___________时，分式43x x --有意义；当x ____时，分式422--x x 无意义. 3. 若分式142+-x x 的值为0，那么____________．4. 填空（1）223(__)22x x x x =++； （2）2(____)()x y x y x y -=++； （3）2(____)a ab a bab --=5. 化简：232312a b ab -=__________；223(1)9(1)a b m ab m --=__________ ；（3）22211m m m -+-=_____________. 6. 计算：223286a y y a ⋅=_______；a a a a 21222+⋅-+=___________. 7. 1112+-+a a a =_____________；21422---a a a =______________． 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ）A .23356x x ++-=B .137x x a -=-+C .x a b xa b a b-=- D .2(1)11x x -=- 9. 若关于x 的分式方程311x a x x --=-有增根，则a =____________. 10.解下列分式方程：512552x x x+=--；分式部分 二、例题辨析例1 若分式24xx +的值为正数，则x 的取值范围是( ) A. x >0 B. x >-4 C. x ≠0 D. x >-4且x ≠0练习 （1）当x ________时，分式xx 61212-+的值为负数．例2 如果把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．变大3倍 C ．缩小3倍 D ．无法确定练习 （1）把分式yx x +2中的x 和y 都扩大3倍，分式值____________．（2）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.①y x yx 41313221+- ②ba ba +-04.003.02.0例3 计算（1）3131+--x x练习：(1) a a --+242 (2) x x x ----13132例4 化简求值：若x =33，求233()22x x x x x-÷+--的值．练习 化简求值3,32),()2(222222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中．三、归纳总结1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式.分式的分母一定含有字母，是分式，2.分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算.3.分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸例5 1.如果分式111a b a b+=+，那么a b b a +的值为（ ）. A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.练习 1．若实数a 、b 满足：2a bb a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为_________ ． 例6 已知2310x x -+=,求441xx +的值.练习 若x ＋1x =3,求2421x x x ++的值.分式方程部分例7 解下列分式方程（1）x x 311=-； （2）0.2100.10.3x x-=-； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.练习 解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ； （2）0.4230.10.3x x x -=--；例8 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.练习 1. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（ ） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定2.若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．3. m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？五、作业与思考（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x ．。
分式方程与无理方程分解
解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不所以，原方程的解是 ．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
第五步：随堂练习
1如果 有增根,那么增根为x=( )
2解关于x的方程 产生增根,则常数m=()
无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得： 或
检验：把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根．
把 代入原方程，左边 = 右边，所以 是原方程的根．
所以，原方程的解是 ．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
所以， ， 都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 的值，而没有求到原方程的解，即 的值．
【例3】解方程 ．
分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数．因此，可以设 ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．
解：设 ，则
原方程可化为： ．
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
分式方程
一、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
分式方程_无理方程和高次方程详解
第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得：y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得：x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以，((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得，x2＋9x-22＝0，解得x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b 及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3-2x2-4x＋8=0．解原方程可变形为：x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=-2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即(kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到，2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得：(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y-1)=72，y4-y2-72＝0，(y2＋8)(y2-9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x-4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得：3y2+3y-6=0，所以y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x-2y)=0，所以2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即(x+y)(x-3y)=0，所以x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组。
第二节 分式方程与无理方程
第二节分式方程与无理方程作者：来源：《数学金刊·初中版》2009年第07期初中知识回顾1. 分式方程:分母里含有的方程叫做分式方程.2. 分式方程的解法:解分式方程,一般通过去 ,把分式方程变形为方程来解. 对于某些特殊的分式方程,可以采用 ,使之化为较简单的分式方程(甚至整式方程),从而求出方程的解.由于在求解分式方程的过程中,未知数的取值范围可能扩大,有产生的可能. 因此,最后需进行验根.典例剖析例1解方程=+.思路导引:找出分母的最简公分母x(x-2),两边同乘以x(x-2),化分式方程为整式方程.分析解答:两边同乘以x(x-2)得 x=3(x-2)+4,解得2x=2,所以x=1.检验:把x=1代入x(x-2)=-1≠0,所以x=1为原方程的根.所以原方程的解为x=1.方法归纳:解分式方程时,通常用去分母的方法化分式方程为整式方程求解,最后注意验根.例2解分式方程:=1++.思路导引:同上,找出最简公分母(x+2)(x-2).分析解答:两边同乘以(x+2)(x-2)得4x=x2-4-2(x+2)+2(x-2),x2-4x-12=0,所以x1=6,x2=-2.经检验:x1=6是原方程的根,x2=-2是增根.所以原方程的解为x=6.方法归纳:与例1相同.例3解分式方程:+=7.思路导引:方程变形为:+=7,方程中与互为倒数,则令y=,用换元法,化为简单的分式方程后用例1、2方法求解.分析解答:设y=,则原方程可化为:2y+=7.去分母得:2y2-7y+6=0,解得y1=,y2=2.当y=时, =,即2x2-3x+1=0,所以x1=,x2=1.当y=2时,=2,即x2-2x+1=0,所以x3=x4=1.经检验:x=是原方程的根,1是方程的增根.所以原方程的解是x=.方法归纳:当方程中含有未知数的两个分式互为倒数时,则用换元法.例4已知关于x的方程+=无解,求k的值.思路导引:已知方程无解,即说明分式方程化整式方程后,所得解中至少有一个分母为0,即增根.分析解答:两边同乘以x(x-1)(x+1)得(x+1)+(k-5)(x-1)=x(k-1).解得x=. 原方程的增根可能是0,1,-1.当x=0时,=0,则k=6;当x=1时,=1,则k=3;当x=-1时,=-1,则k=9.所以当k=3,6,9时,原方程无解.方法归纳:解题的关键在于理解增根的意义,无论是分式方程的根,还是分式方程的增根,都是去分母后得到的整式方程的根.例5解方程+=1.思路导引:找出方程的最简公分母后化为整式方程.分析解答:方程两边同时乘以(x+1)(x-1),整理得x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1. 检验:当x=-1时,x+1=0,原方程无意义,所以x2=-1是原方程的增根. 所以原方程的根是x=2.方法归纳:在原方程中,x≠±1,在变式整理后的方程中没有x≠±1的限制. 这是因为原方程两边同时乘以(x+1)(x-1)后扩大了x的取值范围. 因此,变式后的方程与原方程不一定同解. 但是,变式后的方程包含了原方程的解,所以解分式方程可能产生增根,需要进行验证,这样以保证解题的准确性.(分式方程验根的方法有两种. 一种是代入原方程检验;另一种简便方法是代入最简公分母,使最简公分母不为0的根是原方程的根,使得最简公分母为0的根是增根)例6解方程+=7.思路导引:这个方程直接去分母会出现高次方程,这个解法难度很大.考虑到这个方程左边与互为倒数的特点,可用换元法来解.分析解答:设为y,那么=,于是原方程变形为2y+=7,解这个方程得y1=2,y2=.当y=2时,=2,解这个方程得x=1±.当y=时,=,解这个方程得x=.经检验,它们都是原方程的根,所以原方程的根是:x=1±.或x=.方法归纳:“换元”是重要的数学思想,具有化繁为简,等价转化的功效. 换元法是数学中的常用方法,在解分式方程和后面的无理方程时也常常用到此方法.例7当k为何值时,方程=只有一个实数根,并求出此根.思路导引:去分母转化为关于x的二次方程后,应重点分析这个方程与原方程的关系,它们不一定同解. 因此,原方程只有一个实根,不能得出转化后的二次方程也只有一个实根.分析解答:方程两边同时乘以x•(x-1),得x2=k-2x,化简得x2+2x-k=0.①当Δ=0时,k=-1.当Δ>0时,(1)若原方程有增根x=1,代入方程①得k=3,这时方程①为x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1(增根舍去).(2)若原方程有增根x=0,代入方程①得k=0,这时方程①为x2+2x=0.解得x3=-2,x4=0(增根舍去).综上所述,经检验可得:当k=-1时,原方程的根是x=-1;当k=3时,原方程的根是x=-3;当k=0时,原方程的根是x=-2.方法归纳:在化简、变形、转化、换元等变换过程中,一定要分析变换前后是否等价.入门衔接知识现行初中数学教材的几种版本,对无理方程的内容只作了解或根本不进行讲解,这与高中阶段的求函数自变量的取值范围、解相关方程、不等式联系紧密,故而在这里补充讲解一下无理方程.(1)无理方程:根号内含有未知数的方程叫做无理方程.(2)有理方程:整式方程和分式方程统称为有理方程.(3)无理方程的解法:解无理方程,一般通过方程两边同时乘方,使之转化为有理方程,从而求出方程的解. 解无理方程时,由于两边乘方时,未知数的取值范围可能会扩大,有产生增根的可能,因此,最后必须进行验根.例题引路例1解方程:-2x=1.思路导引:将方程变形=1+2x,两边同时平方化为有理方程.分析解答:将方程变形为=1+2x,两边同时平方得3x+6=(1+2x)2,解得x1=-,x2=1.检验:把x=-代入原方程,左边≠右边,所以x=-是增根,把x=1代入原方程,左边=右边,所以x=1是原方程的解.所以原方程的解是x=1.方法归纳:含一个根式的无理方程,可将根式留在一边,把不含根号的其他项全部移到另一边,平方后即可把无理方程转化为有理方程解.例2解无理方程:-=2.思路导引:对于两个以上根号的无理方程,先变形为:=2+平方后,化去一个根号,整理后再平方即可化为有理方程.分析解答:将方程变形为=2+,两边平方得2x+1=4+x-3+4,化简得x=4.再平方得x2=16(x-3),解得x1=12,x2=4.经检验:x1=12,x2=4都是原方程的根.方法归纳:对于两个或两个以上的无理方程的解法与一个无理方程的解法相似,只是要通过两次平方,甚至三次平方才能将方程化为有理方程.例3解方程+x2+2x=7.思路导引:变形得+•(5x2+10x+1) =. 令y=,换之得y2+y=,解出y,再解x.分析解答:原方程可化为+(5x2+10x+1)=.令y=,则原方程化为y+y2=.解得y=4或y=-9.当y=-9时,即=-9无意义,无解.当y=4时,即=4,解得x1=1或x2=-3.经检验:x1=1,x2=-3是原方程的解.方法归纳:若直接平方会得到一个四次方程,较复杂,一般采用换元法求解.例4解方程x2-4x-5+3=0.思路导引:x2-4x-5≥0, 3≥0由非负数的和等于0得到它们分别为0.分析解答:因为x2-4x-5≥0,≥0,又x2-4x-5+3=0,所以x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5.2x2+x-1=0,解得x1=-1,x2=.经检验,x=-1是原方程的解.方法归纳:对于此类特殊的方程,要了解其本身的性质,如a≥0,a2≥0,≥0等去解之.例5解方程-2=x.思路导引:解无理方程的主要思路是化为整式方程,途径是方程两边同时同次乘方,目的是去掉“根号”. 本题只有一个“根号”,我们把根式放在方程的一边,其余的项放在另一边. 这样“平方后”就能去掉“根号”.分析解答:-2=x,①移项得=2+x,②两边同时平方2x2+7x=(2+x)2, ③解方程③得x1=1,x2=-4.分别将x1=1,x2=-4代入原方程检验,得知x1=1是原方程的根,x2=-4是增根,舍去.所以原方程的根是x=1.方法归纳:无理方程验根与分式方程验根不同,必须代入原方程进行检验,而不能只代入被开方的式子看是否有意义.例6解方程+=11.思路导引:本题直接两边同时平方很复杂,只有一边留有一个根式后再平方较为简单.分析解答:移项得=11-,两边平方得20+x2=121-22+9+x2,化简得 =5,两边平方得 x2+9=25,x=±4.经检验,原方程的根是x=4,或x=-4.方法归纳:当无理方程只有一个“根式”时,怎样去解?当无理方程含有两个“根式”时,同学们又该怎么去解?上面的解答过程便给出了答案.例7解方程2+x2-5x=12.思路导引:把不含根式的项移到另一边后再平方将出现一元四次方程,并且计算量也大. 仔细观察本题特点,可采用换元法解.分析解答:令y=(y≥0),则原方程可化为y2+2y-15=0,解得y=3或y=-5(舍去).所以=3,两边平方x2-5x+3=9解得x1=6,x2=-1.方法归纳:解答这类题目要注意在换元后,注意新变量的取值范围.感悟提升通过此节的学习,使同学们在初中的基础上,对分式方程与无理方程的解法,有了较为系统和全面的了解,在高中学习中遇到此类问题时有了初步的解决方法.衔接训练一、选择题1. 下列方程中,在实数范围内有解的是()A. +-2=0B. ++2=0C. +=0D. =x-32. 若解关于x的方程+=2有增根x=-1,则a的值为()A. 0或-1B. 0C. 3D. 3或-13. 方程-8x2+12=0的实根的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44. 若方程=-x有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A. m>-1B. m≤0C. -1二、填空题5. 解方程x2+x+1=时,若设y= ,则转化关于y的一元二次方程 .6. 若x,y是实数且(x-2)2+=0,则xy= .三、解答题7. 解方程:6x2++5x+=38.8. 解方程:2x2-4x+3=15.参考答案见P122。
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代数方程2---分式方程 无理方程
板块一、分式方程
1、用“去分母”的方法解分式方程
例题1. 解分式方程
12244212=-+-++x x x x
例题2、解分式方程
2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632
x x x --+
限时训练：
1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x
（4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4
2、分式226232
x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1
214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14
1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21
32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________
压轴题：
1、已知方程
24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。
2、已知关于x 的分式方程
()
02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。
2、用“换元法”解分式方程：
例1、解分式方程 012
1863222=+-+-+-x x x x
例2：解下列分式方程：
2
122112122=+++-+x x x x
限时训练：
1、 分式方程0101712=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ，若设y x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________
2、 在分式方程41
331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________
3、 解分式方程12
222422=+-+
-x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。
4、 解分式方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+871033y
y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________，
原方程组可化为整式方程组_________________
压轴题：
1、已知：622122=+++
x x x x ，求x x 1+的值
2、解方程：22
356635620x x x x -+-
+=
3、解含有字母已知数的分式方程和公式变形：
例1：解关于x 的方程：1
111-+=-+a a x x
例题2、已知关于x 的方程
23222211+-+=-+-x x a x a x 有增根，求a 的值．
限时训练：
1、 已知y
y x -+=13，如果用x 的代数式表示y ，那么y=________________ 2、 在公式r R E I +=
中，所有字母都是正数，如果已知Ｉ、E 、R ，那么r=________________ 3、 在公式
R
R R 11121=+中，已知1R 、2R ，且1R ≠2R ，则1R =___________________ 压轴题： 1、 解关于x 的方程：
()()045≠+-+-=+-b a x
a x
b x b x a
2、 已知关于x 的方程0221
2222=-+-++m x x m x x ，其中m 为实数.当实数m 为何值时，
方程恰有三个互不相等的实数根？并求出这三个实数根.
板块二、无理方程
解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。
对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。
验根是解无理方程必不可少的步骤。
1．只有一个含未知数根式的无理方程
例题1 解下列方程： (1)632-=-x x （2）x x =--323
2.有两个含未知数根式的无理方程
当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
例题2 解下列方程：
（1）01222=+--x x （2）12=-+x x
3.适宜用换元法解的无理方程
如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项能化成相同的形式，可以使用换元法来解。
例题3 解方程 46342222+-=+-x x x x
例题4、解方程23942491=+-+
x x x
限时训练：
1、 无理方程x x =+1，化为有理方程是______________________
2、 方程032=--+x x 的根是_________________________
3、 如果代数式42-x 的值等于5，那么x 等于_____________
4、 方程023=-+-x x 的解的情况是（ ）
（A ）有唯一解 （B ） 有两个解 （c ）有无数个解 （D ）无解
5、 下列方程中，有实数解的是（ ）
（A ） 012=++x （B ）43-=-x x
（C ）x x -=+2 （D ）015=++
-x x 6、 方程5121=++-x x 的根是____________________
压轴题：
1、 若关于x 的无理方程k x +=+12没有实数根，则k 的取值范围是_______________
2、 已知关于x 的方程x m x =-3有一个根是1，求这个方程的另一个根。
3、 解下列方程：
031
224212=++---+x x x x
作业：
1．方程21
32=+-x x 的根是（ ） A 、-2 B 、21 C 、2
1,2- D 、-2，1 2．已知分式方程y x x x x x x =++=+++++11,71
)161)1(2222设（，于是原方程变形为整式方程是（ ）
A 、06722=+-y y
B 、06722=-+y y
C 、02762=-+y y
D 、02762=+-y y
3．用换元法解方程x x y x
x x x -=-==-22,261若设，则原方程可化为（ ） A 、062=-+y y B 、062=--y y
C 、062=++y y
D 、062=+-y y
4．方程031
)1(21122=-+++++x x x x 的解为（ ） A 、1，2，21,21+- B 、0，1，21,21+-
C 、1，2，12,12+-
D 、0，1，12,12+-
5、的值是，则设b
a a
b b a 113-=- 。
6、方程x x -=-43的增根是____________，解无理方程时必须进行_____________。
7、方程039=-⋅+x x 的实数解是__________________。
8、方程,05445=-+-x x 则.____________________2
1
=x 。
9、如果方程0673=-+-x k 没有实数根，那么k 的取值范围是______________。
10、如果用换元法解方程,41222=--x x 设y=____，换元后得到的有理方程是_______。
11、已知关于x 的方程x a x =-3有一个根是x=1-，那么方程另一个根是______。
12、解分式方程（1）21
32=+-x x （2）25311322=-+-x x x x
（3） 46112422--+-=-+-x x x x x x ；
13、解无理方程
（1）31334=++-x x
（2）215215322=++++x x x x
（3）解方程（0)1(65)12=++-+++x x x x。