2019年高考数学高分突破复习 专题六 第3讲

第3讲 不等式

高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，

则z ＝2x ＋y 的最小

值是( ) A.－15

B.－9

C.1

D.9

解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15. 答案 A

2.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1

8

b 的最小值为________. 解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋1

8

b ≥2

2a ·18b ＝2·2

a －3

b 2

＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为1

4. 答案

1

4

3.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，

x －y ＋1≥0，y ≤0，

则z ＝3x ＋2y 的最大

值为________.

解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点

A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案 6

4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝

⎛

⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.

解析 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －12＋1，

原不等式化为2x ＋32>1，解得－1

4

当0

⎭⎪⎫x －12＋1

原不等式化为2x ＋x ＋1

2

>1，该式恒成立，

当x >12时，f (x )＋f ⎝

⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －

12，

又x >12

时，2x ＋2x －

1

2>21

2＋20＝1＋2>1恒成立，

综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－14，＋∞.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－14，＋∞

考 点 整 合

1.不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法.

一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间.

(2)简单分式不等式的解法. ①

f （x ）

g （x ）

>0(<0)f (x )g (x )>0(<0). ②f （x ）g （x ）

≥0(≤0) f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.

(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解. 2.几个不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ). (2)ab ≤⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R ). (3)

a 2＋

b 22

≥

a ＋

b 2

≥ab ≥

2ab

a ＋b

(a >0，b >0). (4)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 3.利用基本不等式求最值

(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).

(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2

(简记为：和定，

积有最大值).

4.简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.

热点一 不等式的解法

【例1】 (1)不等式

4

x －2

≤x －2的解集是( ) A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4)

D.(－∞，2]∪(4，＋∞)

(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （x ＋1），x ≥0，

－x 3，x <0.则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是

________.

解析 (1)当x －2>0时，不等式化为(x －2)2≥4，∴x ≥4.当x －2<0时，原不等式化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞). (2)由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9；由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1

得－1≤x <0.故使得f (x )≤1成立的

x 的取值范围是[－1，9]. 答案 (1)B (2)[－1，9]

探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.

【训练1】 (1)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，则

f (e x )>0的解集为( )

A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}

B.{x |ln 2

C.{x |x

D.{x |－ln 2

(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－24}

D.{x |0

解析 (1)由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故