2019年高考数学高分突破复习专题六第3讲

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2019年高考数学高分突破复习专题六第5讲

第5讲导数的综合应用与热点问题高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x－x2，则f′(x)＝e x－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a＝e xx2，令φ(x)＝e xx2，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝e x（x－2）x3，令φ′(x)＝0，解得x＝2.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.∴φ(x)min＝φ(2)＝e24.∴a＝e24.2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0.(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0，因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，a ＝1.(2)证明由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ，设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )>0.所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增. 又h (e －2)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0. 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点. 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0). 由x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12得f (x 0)<14.因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.考点整合1.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x →∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的零点分布情况如下：3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式.若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明F (x )在(a ，b )上的最大值小于0，即可证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b ). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集f(x)－g(x)]>0(x∈I).min②x∈I，使f(x)>g(x)成立I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集f(x)－g(x)]>0(x∈I).max③对x 1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2f(x)max≤g(x)min.④对x 1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2f(x)min≥g(x)min.温馨提醒解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.热点一利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2018·西安调研)函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，x>0，由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.则f(x)＝－x＋x ln x，∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点. 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.因此实数m的取值范围是(－2，－1).探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.【训练1】设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f(0)＝c，f′(0)＝b，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－2 3 .当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：∴当c>0且c－3227<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.热点二利用导数证明不等式【例2】 (2018·郑州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e. (1)解由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1＋a e x . 当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明法一设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3. 由g ′(x )<0，得x >ln 3；由g ′(x )>0，得x <ln 3. 故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0. 从而g (x )＝f (x )＋2x <0. ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0. 即x 1－2x 2>－4＋e x1.∵－1<x 1<0，∴e －1<e x 1<1，∴－4＋e x 1>－4＋1e.从而x 1－2x 2>－4＋1e.法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝e x 1＋e x 2－x 2－3，∴x1－2x2＝e x1＋e x2－3x2－3.设g(x)＝e x－3x，则g′(x)＝e x－3.由g′(x)<0，得x<ln 3；由g′(x)>0，得x>ln 3. 故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x1<0，x2>0，∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝1e－3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x1－2x2>－4＋1 e .探究提高 1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①x∈[a，b]，有f (a)≤f(x)≤f(b)，②x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.【训练2】(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<x－1ln x<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.(1)解由f(x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.因此f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上为减函数.(2)证明由(1)知，函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.∴当x≠1时，ln x<x －1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln 1x<1x－1，即1<x－1ln x<x.(3)证明由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－c x，则g′(x)＝c－1－c x ln c.令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1 ln c ln c.当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.由(2)知1<c－1ln c<c，故0<x0<1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.∴当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.热点三不等式恒成立、存在性问题考法1 不等式恒成立问题【例3－1】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－a（x－1）x＋1>0，设g(x)＝ln x－a（x－1）x＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>g (1)＝0. ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<g (1)＝0，综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2]. 考法2 存在性不等式成立问题【例3－2】 (2018·哈尔滨质检)函数f (x )＝e x sin x ，g (x )＝(x ＋1)cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数. (1)求f (x )的单调区间； (2)对x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当2k π<x ＋π4<π＋2k π(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π (k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当π＋2k π<x ＋π4<2π＋2k π(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ) 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；综上，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ). (2)f (x 1)＋g (x 2)≥m ，即f (x 1)≥m －g (x 2)，设t (x )＝m －g (x )，则原问题等价于f (x )min ≥t (x )min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，一方面由(1)可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0. 另一方面：t (x )＝m －(x ＋1)cos x ＋2e x ，t ′(x )＝－cos x ＋(x ＋1)sin x ＋2e x ，由于－cos x ∈[－1，0]，2e x ≥2， ∴－cos x ＋2e x >0，又(x ＋1)sin x ≥0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，t ′(x )>0，t (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2为增函数，t (x )min ＝t (0)＝m －1＋2，所以m －1＋2≤0，m ≤1－ 2. 即实数m 的取值范围是(－∞，1－2).探究提高 1.对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.【训练3】 (2018·石家庄调研)设函数f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x (a ∈R ).(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点M (2，3)，求a 的值；(2)设g (x )＝x ＋1x ＋1－13，若对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立，求a 的取值范围.解 (1)因为f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x，所以f ′(x )＝e·（2x －a ）e x －（x 2－ax ＋a ）e xe 2x＝－（x －2）（x －a ）e x －1.又f (1)＝1，即切点为(1，1)，所以k ＝f ′(1)＝1－a ＝3－12－1，解得a ＝－1. (2)“对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立”，等价于“在[0，2]上，f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”. 因为g (x )＝x ＋1x ＋1－13，g ′(x )＝x 2＋2x （x ＋1）2≥0，所以g (x )在[0，2]上单调递增，所以g (x )max ＝g (2)＝2. 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递增，f (x )max ＝f (2)＝(4－a )e －1≥2，解得a ≤4－2e ；②当0<a <2时，f ′(x )≤0在[0，a ]上恒成立，f (x )单调递减，f ′(x )≥0在[a ，2]上恒成立，f (x )单调递增， f (x )的最大值为f (2)＝(4－a )e －1或f (0)＝a e ，所以(4－a )e －1≥2或a e≥2.解得：a ≤4－2e 或a ≥2e ，所以2e≤a <2；③当a ≥2时，f ′(x )≤0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递减，f (x )max ＝f (0)＝a e≥2，解得a ≥2e，所以a ≥2. 综上所述：a ≤4－2e 或a ≥2e.热点四利用导数求解最优化问题【例4】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 探究提高利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【训练4】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________.解析由题意，连接OD ，交BC 与点G ，由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高 h ＝DG 2－OG 2 ＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12·(23x )2·sin 60°＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5，令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415. ∴体积最大值为415 cm 3.答案 4151.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解.2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x 轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h (x )>0.其中找到函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点是解题的突破口. 4.不等式恒成立、能成立问题常用解法(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a ＞f (x )max 或a ＜f (x )min .(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.一、选择题1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－2，0)∪(0，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0，2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数. 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 答案 D2.(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D3.(2018·江南八校联考)已知x ∈(0，2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A.[0，e ＋1)B.[0，2e －1)C.[0，e)D.[0，e －1)解析依题意，知k ＋2x －x 2>0，即k >x 2－2x 对任意x ∈(0，2)恒成立，从而k ≥0.由xe x <1k ＋2x －x 2得k <e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，2)上单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1.故实数k 的取值范围是[0，e －1). 答案 D4.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A.f (a )＜f (1)＜f (b ) B.f (a )＜f (b )＜f (1) C.f (1)＜f (a )＜f (b )D.f (b )＜f (1)＜f (a )解析由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的.又f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2).综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )＜f (1)＜f (b ). 答案 A5.(2018·潍坊三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >1，12x ＋12，x ≤1，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的最小值是( ) A.3－2ln 2 B.e －1 C.2D.e ＋1解析作出函数f (x )的图象如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln x ＝1时，得x ＝e.因此1<n ≤e，－1<m ≤1.又ln n ＝12m ＋12，即m ＝2ln n －1.所以n －m ＝n －2ln n＋1.设h (n )＝n －2ln n ＋1(1<n ≤e)，则h ′(n )＝1－2n.当h ′(n )>0，得2<n ≤e；当h ′(n )<0，得1<n <2.故当n ＝2时，函数h (n )取得最小值h (2)＝3－2ln 2. 答案 A 二、填空题6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm.解析设圆柱的底面半径为R dm ，母线长为l dm ，则V ＝πR 2l ＝27π，所以l ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小.S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R ，所以S ′表＝2πR －54πR 2.令S ′表＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小. 答案 37.(2018·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f （x ）e x<1的解集为________.解析令g (x )＝f （x ）e x，则g ′(x )＝e x ·f ′（x ）－（e x ）′·f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）e x在R 上单调递减.又g (0)＝f （0）e 0＝1，所以f （x ）e x<1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为{x |x >0}. 答案 {x |x >0}8.(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3. 答案－3 三、解答题9.(2018·兰州调研)设函数f (x )＝x －2x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a >0时，记f (x )的最小值为g (a )，证明：g (a )<1. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 3＝x 2＋2x 2－a x 2＋2x 3＝（x 2＋2）（x －a ）x 3，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，当x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增. (2)证明由(1)知，f (x )min ＝f (a )＝a －2a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a －1a 2 ＝a －a ln a －1a ，即g (a )＝a －a ln a －1a.要证g (a )<1，即证a －a ln a －1a<1，即证：ln a＋1a＋1a2－1>0，令h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1，则只需证h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1>0，h′(a)＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝（a－2）（a＋1）a3.当a∈(0，2)时，h′(a)<0，h(a)单调递减；当a∈(2，＋∞)时，h′(a)>0，h(a)单调递增；所以h(a)min＝h(2)＝ln 2＋12＋14－1＝ln 2－14>0，所以h(a)>0，即g(a)<1.10.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在(0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.11.已知函数f(x)＝e ax－ax－1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n≥2).若(n！)2n（n－1）<m恒成立，求m的最小值.解(1)f′(x)＝a e ax－a＝a(e ax－1)，当a>0时，令f′(x)>0，解得x>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＝0时，显然无单调区间；当a<0时，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上，当a＝0时，无单调区间；a≠0时，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)令a＝1，由(1)可知f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0.所以e x≥x＋1(当x＝0时取得“＝”).令x＝n－1，则e n－1>n，所以e0·e1·e2·…·e n－1>1×2×3×…×n，即e n（n－1）2>n！，两边进行2n（n－1）次方得(n！)2n（n－1）<e，所以m的最小值为3.。

高考数学高分突破二轮复习课件：考前冲刺三第六类

综上，a＝1. (2)证明由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，设h(x)＝2x－2－ln x，(分解)
1 1 1 则 h′(x)＝2－x.当 x∈0，2时，h′(x)<0；当 x∈2，＋∞时，h′(x)>0.
所以
1 1 h(x)在0，2单调递减，在2，＋∞单调递增.
因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 1 而 g′(x)＝a－x，g′(1)＝a－1，得 a＝1. 1 若 a＝1，则 g′(x)＝1－x.
3
当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点. 由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).
由
1 x0∈0，2得
1 f(x0)< . 4
因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
个小步；注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分.
6
【训练6】 (2018· 石家庄调研)已知函数f(x)＝(2x＋b)ex，F(x)＝bx－ln x，b∈R.
(1)若b<0，且存在区间M，使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，求实数b的取
值范围； (2)若F(x＋1)>b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围. 解 (1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，

(最新)2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练(六)

高分突破复习：小题满分限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)解析由－x 2－x ＋2≥0，得－2≤x ≤1，则P ＝[－2，1]，又Q ＝{x |0<x <e}＝(0，e)，故P ∩Q ＝(0，1]. 答案 C2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A.复数z 的虚部为1B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限解析 z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i.∴z －＝－3＋i ，A ，B ，D 均不正确.答案 C3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 0<a ＝20.9<2，c ＝log 123＝－log 23<0，又b 3＝(323)3＝9>8，则b >2.故b >a >c .答案 C4.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O 内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( )A.275B.300C.550D.600解析依题意，设AB ＝1，故阴影部分的面积S 1＝2×34×12＝32，圆O 的面积S 2＝π×12＝π，故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×32π≈550.答案 C5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B6.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( )A.21B.17C.29D.5解析在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ， ∴csin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3. 又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab .∴(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案 A7.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180 B.182 C.192D.202解析循环一次后：S ＝2，m ＝2. 循环两次后：S ＝7，m ＝3. 循环三次后：S ＝20，m ＝4. 循环四次后：S ＝61，m ＝5. 循环五次后：S ＝182，m ＝6. 不满足S <120？，退出循环体.输出S ＝182. 答案 B8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋1 解析由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 圆锥＝13·π×12×1＝π3.故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝π＋12.答案 A9.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 为偶函数.答案 B10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.800解析由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4，m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. M ＋m ＝435＋165＝600.答案 B11.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.50解析易知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，圆心(2，0)，半径r ＝1，且圆心C (2，0)是抛物线y 2＝8x 的焦点，则|PN |＋9|QM |＝|PC |＋r ＋9(|QC |＋r )＝|PC |＋9|QC |＋10.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝4.故|PN |＋9|QM |＝|PC |＋9|QC |＋10 ＝x 1＋9x 2＋5p ＋10＝x 1＋9x 2＋30 ≥29x 1x 2＋30＝42.当且仅当x 1＝9x 2＝6时，上式等号成立. 答案 C12.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 解析由f (x )＝2x －2－1＝0，得x ＝2.依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g (β)＝β2－a e β＝0，得a ＝β2eβ，1<β<3.设φ(x )＝x 2ex ，x ∈(1，3)，则φ′(x )＝x （2－x ）ex，当1<x <2时，φ′(x )>0；2<x <3时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在x ＝2处有极大值，且φ(2)＝4e 2，又φ(1)＝1e ，φ(3)＝9e3且φ(1)<φ(3).∴φ(x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________. 解析由条件知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝7，a·b ＝1.故cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝12，〈a ，b 〉＝π3. 答案π314.已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.解析作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＝1<2， ∴点C 到AB 所在直线的距离最大.易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)，∴C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝2，故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1. 答案 115.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________.解析不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点.∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2，0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直. 因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R .由于|MC |min ＝|4－0|22＋（－1）2＝455，故r min ＝455－1. 答案 455－116.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.解析以C 为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为R ，则(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CC 21＝36＋AC 2＋BC 2，又V 三棱柱＝12·AC ·BC ·CC 1＝48，知AC ·BC ＝16，∴AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ＝32.则(2R )2的最小值为68，所以R min ＝17.故外接球体积的最小值为 43π(17)3＝68173π. 答案 68173π。

2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题6 第1讲函数图象与性质

第1讲函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解+析 f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解+析法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解+析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解+析因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案 22考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ).②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( ) A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解+析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解+析式的函数的定义域是使解+析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解+析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1.答案 (1)D (2)1热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解+析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解+析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解+析式，判断其图象的关键是由函数解+析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解+析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D(2)C热点三函数的性质与应用考法1函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解+析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2(2)6考法2函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是()A.1B.12 C.14 D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b <a <cD.b <c <a解+析 (1)f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.(2)法一易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则 f (g (－3))＝( )A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解+析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2.(2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解+析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解+析由已知得a >0，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e－x 的图象是( )解+析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x 为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足.答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x ) 解+析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解+析由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( ) A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解+析因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2.答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A.7B.8C.9D.10解+析作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案 C二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解+析由题意得：⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解+析 ∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0，∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 39.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________.解+析在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案 (－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。

2019-2020年高考数学小题高分突破6数列

2019-2020年高考数学小题高分突破 6数列1 .已知｛a n ｝为等比数列，数列｛b n ｝满足b l =2 , b 2 = 5，且a n (b n + 1 — b n ) = a n + 1,则数列｛b n ｝的前n 项和为( )A . 3n + 1 3n 2+n C.- 答案 C 解析b1 = 2, b 2= 5,且 a n (b n + 1 — b n )= a n + 1 ,二 a 1(b 2— b 1)= a 2,即卩 a 2= 3a 1, 又数列｛a n ｝为等比数列，•数列｛ a n ｝的公比q = 3，且a n M 0, 二数列｛b n ｝是首项为2，公差为3的等差数列，2 •数列｛ b n ｝的前 n 项和为 S n = 2n + “ ； 1 X 3= 3n.2 .设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 2= 3, S 4 = 15,则S 6等于( )A . 27B . 31C . 63D . 75 答案 C解析由题意得S 2, S 4— S 2, S 6— S 4成等比数列，所以3,12, S 6— 15成等比数列，所以 122= 3X (S 6— 15)，解得 S 6= 63.3. 设S n 是公差不为0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3= a 2,且S, S 2, S 4成等比数列，则 a 10 等于()A . 15B . 19C . 21D . 30 答案 B解析设等差数列｛a n ｝的公差为d , 因为 S 3 = a 2,所以 3a 2 = a 2, 解得a 2 = 0或a 2= 3,又因为S 1, S 2, S 4构成等比数列，所以S 2 = SS ,所以(2a 2— d)2= (a 2— d)(4a 2+ 2d), 若 a 2= 0,则 d 2=— 2d 2,B . 3n — 1 3n 2 —a n +1 …bn + 1 — b n = = 3, a n此时d = 0,不符合题意，舍去，当 a 2= 3 时，可得(6 - d)2= (3 - d)(12 + 2d), 解得d = 2(d = 0舍去)，所以 a io = a 2+ 8d = 3+ 8X 2 = 19. 4. 在等差数列｛a n ｝中，若一< —1,且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n >0时，n 的最小值 a 8为()A . 14B . 15C . 16D . 17 答案 C解析•••数列｛a n ｝是等差数列，它的前 n 项和S n 有最小值， ••• d>0, a 1<o , ｛a n ｝为递增数列.•- a 8 a 9<0 , a 8 + a 9>0,由等差数列的性质知， 2a 8 = a 1 + a 15<0, a 8+ a 9= a 1+ a 16>0. n a 1+ a n-S n =2 ,•••当s>0时，n 的最小值为16. 5.若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，且S n = 2a n -2,则S 8等于( )A . 255B . 256C . 510D . 511 答案 C解析当n = 1时，a 1 = S 1 = 2a 1-2,据此可得a 1= 2, 当 n 》2 时，S n = 2a n -2, 3-1 = 2a n -1- 2, 两式作差可得 a n = 2a n — 2a n -1，贝y a n = 2a n -1 , 据此可得数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列，6.已知数列｛a n ｝中 a 1 = 1, a 2= 2,且 a n +2- a n = 2-2 (- 1)n , n € N ，贝V S 2 017 的值为( )解析由递推公式，可得当n 为奇数时，a n + 2- a n = 4，数列｛a n ｝的奇数项是首项为 1,公差为4的等差数列, 当n 为偶数时，a n + 2- a n = 0，数列｛a n ｝的偶数项是首项为 2,公差为0的等差数列, S 2 017= (a 1 + a 3+ …+ a 2 017) + (a 2 + a 4 + …+ a 2 016)a 9< a 8 -1, 其前8项和为S 8 =2 X (1 - 28) 1- 2=29- 2 = 512- 2= 510. A . 2 016 X 1 010- 1 B . 1 009 X 2 017 C . 2 017 X 1 010- 1 答案 CD . 1 009 X 2 0161=1 009 + — X 1 009 X 1 008 X 4+ 1 008 X 2 2=2 017X 1 010- 1.答案 A所以 a 1 = 0, a 2=— •. 3, a 3=”・J 3, a 4 = 0, a 5=— ■ 3, a 6=\,'3, 故此数列的周期为 3.所以 a 56 = a 18x 3+ 2= a 2= — -』3.8•《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈•爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为 1.3尺；③每节比其下面的一节多 0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少 0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是（）A . 72.705 尺B . 61.395 尺C . 61.905 尺D . 73.995 尺答案 B解析因为每竹节间的长相差 0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1, a 2, a 3,…,a 3o ,所以｛a n ｝是以a 1= 0.5为首项，以d 1 = 0.03为公差的等差数列, 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b 1, b 2, b 3,…，b 30,由｛b n ｝是以b 1 = 1.3为首项，d = — 0.013为公差的等差数列，所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是9.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， S n 是其前n 项和，若S 2+ a 2= S 3— 3,贝U a 4 + 3a 2的最小值为（）A . 12B . 9C . 6D . 18 答案 D解析因为S 3 — S 2= a 3,7.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 0, a n + 1 =（n € N *），贝U a 56 等于（A . — ■] 3B . 0 C. 3D. "2-解析因为a n 一寸3an +门(nC NS 30= 30 X 0.5 + 30 X 29 2 X 0.03 + 30 X 1.3 + 30 X292 X — 0.013 =61.395. 窮 3a n + 1所以由S2+ a2= S3—3，得a3—a2= 3,3设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a i = —-,q q—1由于｛a n｝的各项为正数，所以q>1.a4+ 3a2= a i q3+ 3a i q3=aiq(q2+ 3)=^——7 q(q2+3)当且仅当q—1= 2,即q = 3时，a4+ 3a2取得最小值18.10 •已知数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n(n € N*)，数列｛b n｝的通项公式为b n= 3n—1,记它们的公共项由小到大排成的数列为｛cn｝，令xn=抚;，则的取值范围为()B • (1, e)3D. 2，e答案C解析由题意知，｛a n｝, ｛b n｝的共同项为2,8,32,128，…，故c n= 22n—1C nXn= 1 + C n，1 1得x n=1+c n，则当n》2时，-=丄>1F n—1 X n '故数列｛F n｝是递增数列,•— > 3X1 …X n—1X n 2■/ 当x>0 时，ln(1 + x)<x，•'•In 1 + 1<-L，C n C n则ln 1 + 1 1+ 1…11 + 一C1C2C n=ln11+ …+ In1 1+ + In 1 +一 1 + 一C1C2C nA • [1,2)3c. ,e2X1 …X n—1X n11+ 一C111+ •-C211+ .C n令F n =1X1 …X n —X1 1 1 <_ + +••• + _ C 1 C2 C n11— 2 n2 i 22 1 __ 1 —11 n2=1 —11+23••当n = 1时，S 取最大值；2 当n = 2时，S n 取最小值-. 4要使S + 2< M 对任意的n € N *恒成立.S n1 2 < 1 1 - 1 2 3,1 二 1 + - C 1 11 + •-C 21 1 + 一2<e 3 4, 故3 <2 X 1 …X n —1X n21 < e 3，故选C. 11 .记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，满足 3 * 2a 1 = 2, 2a n +1 + 3S n = 3(n € N )，若 S n + S 仝 M 对任意的n € N *恒成立, 则实数M 的最小值为答案 C 17 B.?C.11 D . 4 解析由— *2a n +1+ 3S n = 3(n € N ),得 2a n + 3Si T = 3, n 》2.两式相减，可得2a n + 1 — 2a n + 3a n = 0 , 即叱a n 1 1 = q.•a 1= 2, 2a2 + 3S 1 = 3, 即 2a 2+ 3a 1= 3,3 •-a2= —4，冬_ 1 a 1 2’••• an = 3n — 13则 S n = 22 41 S n +取得最大值彷，S n 12 41 二 M >—,12，12 .对于任意实数 x ,符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]= 3, [ — 1.2] = - 2, [1.2]= 1.已知数列｛a n ｝满足a n =[log 2n]，其前n 项和为S n ,若n o 是满足S n >2 018的最小整数，则 n o 的值为（）A . 305B . 306C . 315D . 316 答案 D解析由题意，a n = [log 2 n ], 当n = 1时，可得a 1= 0, （1项）当 21< n<22 时，可得 a 2= a 3= 1, （2 项）当 22w n<23 时，可得 a 4 = a 5=…=a 7 = 2, （4 项）当 23< n<24 时，可得 a 8= a 9=…=a 15 = 3, （8 项）当 24< n<25 时，可得 a 16= a 17=…=a 31= 4, （16 项）当 2k w n<2k +1 时，可得 a 2k = a 2k +1=…=a 2k +1—1= k , （2k 项）当 2k < n<2k +1 时，前 n 项和 S n = 1 x 21 + 2X 22+ - + k x 2k , 23= 1 x 22+ 2X 23+ …+ k x 2k +1, 所以一S n = 2+ 22+23+ …+ 2k — k x 2k +1, 所以 S n = （k — 1） x 2k +1 + 2.由 S n >2 018，得 k >8. 当 k = 7 时，S n = 1 538<2 018;当 k = 8 时，S n = 3 586>2 018, 所以取 k = 7,且 2 018— 1 538= 480, 所以 n =1x 1 — 2+ 4|° + 1= 316.1 —2 813. ______________________ 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n + r ，则a 3— r = 项是第k 项，则k = .答案 194解析等比数列前n 项和公式具有的特征为•••实数M 的最小值为4112.2，数列n n + 4 3 n 的最大S n = aq n — a ,据此可知，r =— 1,则 S n = 3n — 1, a 3= S 3— S 2=(33 — 1)— (32— 1)= 18, a 3— r = 19.2令 b n = n (n + 4)3 n ,且 b n >0,2n 2+ 6n + 5 2 3 • n 2+ 4n >1 可得 n <10， ,b n +1 2 n 2+ 6n + 5 2 由斎=3 • n 2+ 4n <1 可得 n >10，据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4,且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> …，则 k = 4. 14.已知等比数列｛a n ｝的首项是1,公比为3,等差数列｛b n ｝的首项是一5,公差为1，把｛b n ｝中的各项按如下规则依次插入到｛a n ｝的每相邻两项之间，构成新数列｛c n ｝ : a 1, b 1, a 2, b 2,b 3, a 3,b 4, b 5 ,b 6, a 4,…，即在a n 和a n +1两项之间依次插入｛b n ｝中n 个项，贝U 02 018= ____ .（用数字作答）答案 1 949解析由题意可得，a n = 3n —1,b n =— 5+ (n — 1) x 1 = n — 6,由题意可得，数列｛ 0n ｝中的项为3°,— 5,31,— 4,— 3,32,— 2，— 1,0,33,…，3“时,当n = 62时，63；64= 2 016,即此时共有2 016项，且第2 016项为362, …C 2 018= b 1 955 = 1 955 一 6= 1 949.15. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1= a n + 1, a 3n +2 = a n — n ,贝y S 60 = ______ .(用数字作答) 答案 264解析因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1 = a n + 1 , a 3n + 2= a n — n , 所以 a 3n + a 3n +1+ a 3n +2= n +1 ,因此 @3+ a 4 + a 5)+ (a 6 + a 7 + a 8)+ …+ (a 57+ a 58 + a 59)= 2 + 3+ …+ 20= 209, 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n + 2= a n — n ,所以 a 60 = a 3x20= 2x 20 — 2a 2o , a 2o = a 3x6+ 2= a 6— 6,a 6= a 3x2 = 2 x 2 — 2a 2= 0,b n + 1 b n 2 n 2+ 6n + 5 3 n 2+ 4nb n + 1 b n 数列｛0n ｝的项数为1 + 2+ ••• + n + (n + 1)= n + 1 n + 22所以a20 = —6, a60= 52 ,综上，S 60 = 1 + 2+ 209+ 52= 264.4 11 116 .数列｛ a n ｝满足a 1 = 4 a *+1 = a 2 — a n + 1(n € N *),则 —I ---- … ------- 的整数部分是 _________3 a 1 a 2 a 2 017 答案 24解析因为 a 1 = 3, a n +1 = a n — a n + 1(n € N ), 所以 a n +1一 a n = (a n 一 1)2>0,所以a n +1>a n ，数列｛a n ｝单调递增, 所以 a n +1— 1 = a n (a n — 1)>0 ,1 1 1所以_ =—— --a n a n — 1 a n +1— 11 11所以S *=丄+丄+…+丄a 1 a 2 a n1 1 . 1 — +a 1 — 1 a 2— 1 a 2— 11 一 1 a n — 1 a n +1 —1因为 a 1 = 3，所以 a 2= 3 2-3 + 1 =号，所以 a 2 018>a 2017>a 2016>・・・>a 4>2,1所以 a 2 018 — 1>1，所以 0< <1,a 2 018 — 11所以 2<3— —<3,a 2 018— 1 因此m 的整数部分是2.3根据对勾函数的性质，当 S n = 3时，41 一 1a 1 — 1 a n +1— 1所以 m = S 2 017 = 3 —1a 2 018 —1所以1 a n + 1— 1 1 a n a n — 1 1a n — 1 丄a n1 a 3— 1a 3=13 2一迫+ 1 =迪9 9 +81a 4= 133 281晋 +1>2,。

2019年高考数学高分突破复习专题六第1讲

第1讲函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x －e －xx 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e>2，排除C ，D ，只有B 项满足. 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)函数有意义，则⎩⎨⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0.答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1. 答案 (1)D (2)1热点二函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D (2)C热点三函数的性质与应用考法1 函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2 (2)6考法2 函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是( )A.1B.12C.14D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(32a－1)≥f(－3)＝f(3)，∴32a－1≤3，则2a－1≤12，∴a≤34.故a 的最大值是34.(2)法一易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b . 答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－3))＝( ) A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2. (2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e －x的图象是( )解析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足. 答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( )A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解析因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2. 答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( ) A.7B.8C.9D.10解析作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9. 答案 C 二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析由题意得：⎩⎨⎧2x－12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析∵奇函数f(x)满足f(log124)＝－3，而log124＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)＝3，又∵当x>0时，f(x)＝a x(a>0且a≠1)，又2>0，∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝ 3.答案 39.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.解析在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案(－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x ，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。

2019年高考数学高分突破复习专题五第3讲

第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟1.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2. 答案 52.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1. 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1).令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m＝－1，得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018·西安质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1.又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12，所以y 1y 2＝12m 2＋4. λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2| ＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316，所以394<λ<12. 综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2.因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴. (2)解由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32. 因为x 2＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 热点二定点、定值问题考法1 圆锥曲线中的定值【例2－1】 (2018·烟台二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，P 为椭圆上一点，且满足OP ⊥MN ，问：1|MN |＋1|OP |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解 (1)由题意可知c ＝3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减并整理得，y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·k OD ＝－b 2a2.又因为k AB ＝12，k OD ＝－12，代入上式得，a 2＝4b 2.又a 2＝b 2＋c 2，c 2＝3，所以a 2＝4，b 2＝1，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，F (－3，0)，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，则1|MN |＋1|OP |2＝14＋1＝54，否则，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x ＋3），消y 得，(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0，则有x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 1| ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－83k 21＋4k 22－4⎝⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2＝4＋4k 21＋4k 2，设直线OP 方程为y ＝－1kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，根据对称性不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋4，2k 2＋4，所以|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋42＝4＋4k 2k 2＋4. 故1|MN |＋1|OP |2＝1＋4k 24＋4k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2k 2＋42＝1＋4k 24＋4k 2＋k 2＋44＋4k 2＝54，综上所述，1|MN |＋1|OP |2为定值54.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为x24＋y2＝1，又c＝a2－b2＝ 3.所以椭圆离心率e＝ca＝32.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝y－1x(x－0)，令y＝0，得x N＝x1－y0，从而|AN|＝2－x N＝2＋xy－1，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝yx－2(x－2)，令x＝0，得y M＝2y02－x0，从而|BM|＝1－y M＝1＋2y0x－2，所以S四边形ABNM＝12|AN|·|BM|＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋xy－1⎝⎛⎭⎪⎫1＋2y0x－2＝x2＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋42（x0y0－x0－2y0＋2）＝2x0y0－2x0－4y0＋4xy－x0－2y0＋2＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.考法2 圆锥曲线中的定点问题【例2－2】(2018·衡水中学质检)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点P 在y轴上的投影是Q，且2PA→·PB→＝|PQ→|2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.(1)解设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ). ∵2PA →·PB →＝|PQ →|2，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2，化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k(x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1，同理，MN 中点E 2坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2， ∴kE 1E 2＝－3k2（k 2－1），∴lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∴过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，综上所述，lE 1E 2过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.探究提高 1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0) 2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点；(2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值. 解设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . ∴x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2. (1)证明由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. ∴直线l 方程为x ＝my ＋2， ∴直线l 恒过定点(2，0).(2)∵直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切， ∴|1－n |1＋m 2＝2，且n ≥3，整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3).① 又点P 坐标为(1，0)，∴由已知及①，得 PA →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数，∴当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故PA →·PB →的最大值为－8. 热点三圆锥曲线中的存在性问题【例3】 (2018·江南名校联考)设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33，∴CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝2 2.椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)，使得DE →·DF →为定值. ∴DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2 ＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k 2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关， ∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0，解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等，所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4).1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值. 3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，2)C.(1，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析易c ＝1，a ＝λ，且e ∈(1，2)，∴1<1λ<2，得14<λ<1.答案 D2.若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.(2018·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.∴m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.∵x ≤2，∴x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A4.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2解析不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.答案 C 二、填空题5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝ba x消去y ，得b 2a2x 2＝x .由x 0>1，知b 2a2<1，b 2<a 2.∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2<2，因此1<e < 2.答案 (1，2)6.(2018·武汉模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________. 解析不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0).则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x ，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3. 答案 3 三、解答题7.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切. (1)求动圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点.(1)解由题意得点M 与点(0，1)的距离等于点M 与直线y ＝－1的距离. 由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2. ∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明由题意知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2得x 2－4kx ＋8＝0， Δ＝16k 2－32>0得k 2>2， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1).即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1（x 1－x 2）4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋2，则直线AC 恒过点(0，2).8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4，则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5（4－m 2），点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2即m ＝±2时上式等号成立，故△PAB 面积的最大值为2.9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9，且－3<t <3. 由PM →＝NQ →得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾.因此不存在满足条件的直线.10.(2018·惠州调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.(1)证明法一当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值).当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x得ky 2－4y －8k ＝0，所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值.法二设直线AB 的方程为my ＝x －2.由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值.(2)解存在.理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝（x 1－2）2＋y 21，因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4，点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a ，所以所截弦长为2r2－d2＝214（x21＋4）－⎝⎛⎭⎪⎫x1＋22－a2＝x21＋4－（x1＋2－2a）2＝－4（1－a）x1＋8a－4a2，当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x＝1.11.(2018·西安模拟)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上任一点(不与A，B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C的离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点B且垂直于x轴，延长AP交l于点N，以BN为直径的圆交BP于点M，求证：O，M，N三点共线.解(1)由题意知，ca＝22，∴c＝22a.又b2＝a2－c2，∴b＝22a.设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△PF1F2＝12(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r，＝12(2a＋2c)·r＝(a＋c)r，故当△PF1F2面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，r＝2－2，∴(a＋c)(2－2)＝bc，把c＝22a，b＝22a代入，解得a＝2，b＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知，直线AP 的斜率存在，设为k ，则AP 所在直线方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，则有x P ·(－2)＝8k 2－42k 2＋1，∴x P ＝2－4k 22k 2＋1，y P ＝k (x P ＋2)＝4k2k 2＋1，得BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k22k 2＋1，4k 2k 2＋1，又N (2，4k )，∴ON →＝(2，4k ). 则ON →·BP →＝－16k 22k 2＋1＋16k22k 2＋1＝0，∴ON ⊥BP ，而M 在以BN 为直径的圆上， ∴MN ⊥BP ，∴O ，M ，N 三点共线.。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练七

高分突破复习：小题满分限时练(七)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x 2－4x －5>0}，则M ∩(∁R N )＝() A.[－1，8) B.(0，5] C.[－1，5) D.(0，8)解析集合M ＝{x |0<x <8}，N ＝{x |x >5，或x <－1}，∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以，M ∩(∁R N )＝(0，5]. 答案B2.已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝() A.－5 B.－1 C.－13D.－53解析 z ＝a 1－2i ＋i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋i ＝a 5＋2a ＋55i ， ∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数， ∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.答案D3.下列说法中正确的是()A.“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B.命题p ：x ∈R ，2x >0，则綈p ：x 0∈R ，2x0<0 C.命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D.“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确；对于选项B ，全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x ∈R ，2x >0的否定为綈p ：x 0∈R ，2x0≤0，故B 错误；对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误；对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误. 答案A4.已知x >0，y >0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y的最小值为()A.4B.9C.8D.10解析依题意，得a·b ＝x ＋y －1＝0x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当x ＝13，y ＝23时取等号. 答案B5.已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是() A.①④B.③④C.①②D.①③解析对于①，若α∥β，m ⊥α，l β，则m ⊥l ，故①正确，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l β，所以α⊥β.故④正确. 答案A6.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝() A.－2 B.－1 C.12D.23解析由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1. 答案B7.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为()A.7πB.14πC.72πD.714π3解析三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 答案B 8.若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝()A.13B.23C.－23D.－13解析∵2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ.∴2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ.∴4＋4sin 2θ＝3sin 22θ，解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去). 答案C9.已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是()A.12B.1πC.2πD.π4解析 y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，其图象如图所示，⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，∴向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案A10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0，x －y≤0，0≤y≤k，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y2的最小值为()A.5B.3C.5D.3解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0，x －y≤0，0≤y≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3，3)，由直线y ＝k 过点A ，知k ＝3.又(x ＋5)2＋y 2表示可行域内的点与点D (－5，0)的距离的平方.数形结合，知点(－5，0)到直线x＋2y ＝0的距离最短，故(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.答案A11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x≤0，ln x ，e －2≤x≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为()A.[－1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[3，＋∞)C.[－1，3]D.(－∞，3]解析当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]，当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]， ∴f (x )的值域是[－2，6].若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6.∴－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3. 答案C12.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为() A.5－12 B.2＋12C.2＋1D.5－1解析如图，依题意知A (0，－1)，B (0，1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，x24，抛物线的准线为l ，过P 作PC ⊥l 于点C ，由抛物线的定义得|PB |＝|PC |，所以m ＝|PA||PC|＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x24＋121＋x24，令t ＝1＋x24，由题易得点P 异于点O ，所以x ≠0，则t >1，m ＝t2＋4t －4t＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋4×1t ＋1，当1t ＝12，即x ＝±2时，m max ＝2. 此时|PB |＝2，|PA |＝22.设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，依题意得2a ＝|PA |－|PB |＝22－2，2c ＝2，则e ＝c a＝12－1＝2＋1. 答案C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析由已知得C25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案－1414.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(3，4)，|b |＝1，则|a －2b |＝________. 解析∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(3，4)，|b |＝1. ∴|a |＝5，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝52. 故|a －2b |＝a2＋4b2－4a·b ＝25＋4－4×52＝19.答案1915.圆心在曲线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________________.解析依题意设圆的方程为(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12a22＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝1. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 16.如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________.解析如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得 cos A ＝62＋52－BD22×6×5，cos C ＝32＋42－BD22×3×4.则62＋52－BD22×6×5＝－32＋42－BD22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107，则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610. 答案610。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练一

高分突破复习：小题满分限时练(一)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x ∈N |y ＝3－x }，则A ∩B ＝() A.{3} B.{1，3} C.{1，2} D.{1，2，3}解析由x 2－6x ＋8<0得2<x <4，故A ＝{x |2<x <4}，又B ＝{x ∈N |y ＝3－x }＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，故A ∩B ＝{3}. 答案A 2.复数2＋i1－2i的共轭复数是() A.－35i B.35i C.－i D.i 解析法一∵2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2＋i ＋4i －25＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i. 法二∵2＋i 1－2i ＝－2i2＋i 1－2i ＝i （1－2i ）1－2i ＝i ，∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 答案C3.已知数列{a n }满足：对于m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝()A.132B.116C.14D.12解析由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12. 令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.答案A4.已知角α的终边经过点P (2，m )(m ≠0)，若sin α＝55m ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π2＝() A.－35B.35C.45D.－45解析∵角α的终边过点P (2，m )(m ≠0)， ∴sin α＝m 4＋m2＝55m ，则m 2＝1. 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－32π＝cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案B5.在ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝() A.48 B.36 C.24 D.12解析 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝24. 答案C6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝()A.8B.17C.29D.83解析由程序框图知，循环一次后s ＝2，k ＝1. 循环二次后s ＝2×3＋2＝8，k ＝2.循环三次后s ＝8×3＋5＝29，k ＝3.满足k >n ，输出s ＝29. 答案C7.如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为A ，B ，C ，D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为() A.3－22B.6－42 C.9－62D.12－82解析由题意，A ，O ，C 三点共线，且AB ⊥BC .设四个小圆的半径为r ，则AC ＝AB2＋BC2， ∴2R －2r ＝22r ，∴R ＝(2＋1)r . 所以，该点恰好取自阴影部分的概率P ＝4πr2πR2＝4（2＋1）2＝12－82. 答案D8.已知函数f (x )＝3＋log a (7－x )(a >0，a ≠1)的图象恒过点P ，若双曲线C 的对称轴为两坐标轴，一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的方程为() A.x29－y 2＝1 B.x 2－y29＝1 C.x23－y 2＝1 D.x 2－y23＝1 解析由已知可得P (6，3)，因为双曲线的一条渐近线与3x －y －1＝0垂直，故双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，故可设双曲线方程为x 2－(3y )2＝λ，即x 2－9y 2＝λ，由P (6，3)在双曲线上可得62－9×(3)2＝λ，解得λ＝9.所以双曲线方程为x29－y 2＝1. 答案A9.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是()解析 f (x )＝x 2－2ln|x |为偶函数，排除D. 当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，排除B ，C ，故选A. 答案A10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.163πB.112πC.173πD.356π 解析该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知，球的半径为2，则V ＝23πr 3＝16π3. 答案A11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝()A.π6B.π4C.π3D.5π12解析由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，不妨设此时x 1，x 2分别是函数f (x )和g (x )的最小值点和最大值点.即f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4.则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )， |x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k1－k2）π(k 1，k 2∈Z ).又|x 1－x 2|min ＝π6，0<φ<π2，所以φ＝π3.答案C12.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a<23b 在R 上是单调递增函数，则c2b －3a的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4解析依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在x ∈R 恒成立.∴a >0，且Δ＝4b 2－12ac ≤0，则b 2≤3ac ，c ≥b23a>0.又a <23b ，知2b －3a >0，则3a (2b －3a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b －3a 22＝b 2，故c 2b －3a ≥b23a （2b －3a ）≥b2b2＝1. 答案A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________.解析由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C22C2n ＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48. 答案4814.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中含x 的项是(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 与(1－x )4展开式中含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 的和，所以其系数为1＋2×1＝3.答案315.(2018·烟台模拟)已知F (2，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 且垂直于x 轴的弦的长度为6，若A (－2，2)，点M 为椭圆上任一点，则|MF |＋|MA |的最大值为________. 解析∵过点F 的弦长为6，得2b2a＝6，b 2＝3a ，① 又a 2－b 2＝c 2＝4，②联立①②，解得a ＝4，b ＝23.过点A 作x 轴垂线交椭圆于M ，当点M 在第三象限时，|MF |＋|MA |取最大值2a ＋2＝8＋2. 答案8＋216.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ≠0)，若f (x )存在2个零点x 1，x 2，且x 1，x 2都大于0，则a 的取值范围是______.解析 f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，当a >0时，易知x ＝0是极大值点，x ＝2a是极小值点. ∵f (0)＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＝a2－4a2<0，解得a ∈(0，2). 当a <0时，易知x ＝2a是极小值点，x ＝0是极大值点.又f (0)＝1>0，∴函数f (x )只有一个大于零的零点，不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(0，2). 答案(0，2)。

2019年高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练四

高分突破复习：小题满分限时练(四)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2}，B ＝{x |x ≥－1}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.[－2，－1] B.(－2，－1)C.(－∞，－2]∪[－1，＋∞)D.(－2，1)解析 A ∪B ＝(－∞，－2]∪[－1，＋∞)，∁U (A ∪B )＝(－2，－1). 答案 B2.已知复数z ＝5i1－2i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析因为复数z ＝5i 1－2i ＝5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－2＋i ，所以z －＝－2－i ，其对应的点为(－2，－1)，在第三象限. 答案 C3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，下列说法错误的是( )A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与这段日期成负相关解析 12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A 正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B 正确；12月7日到12月12日AQI 在持续增大，所以C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数AQI 整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误. 答案 D4.已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据正弦定理asin A＝bsin B，知sin A >sin B a >b A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B an A >tan B .答案 C5.右面程序框图是为了求出满足3n －2n>1 000的最小偶数n ，那么在◇和两个空白框中，可以分别填入( ) A.A >1 000和n ＝n ＋1 B.A >1 000和n ＝n ＋2 C.A ≤1 000和n ＝n ＋1 D.A ≤1 000和n ＝n ＋2解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1 000”. 答案 D6.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( ) A.17532里 B.1 050里 C.22 57532里D.2 100里解析由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案 C 7.已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析 ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310.答案 A8.如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则此双曲线的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析因为2c ＝|AB |＝6，所以c ＝3.因为b 2a ＝|BC |＝52，所以5a ＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以9＝a 2＋5a 2，解得a ＝2或a ＝－92(舍去)，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.答案 B9.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π解析法一由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S －ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋（23）2＝4，SC ＝22＋42＝2 5.取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC ＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，设球O 的半径为R ，则2R ＝SC ＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. 答案 C10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A.f (log 27)<f (－5)<f (6) B.f (log 27)<f (6)<f (－5) C.f (－5)<f (log 27)<f (6) D.f (－5)<f (6)<f (log 27)解析由f (x ＋2)＋f (x )＝0，得f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，f (x )的周期T ＝4. 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0，所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1，f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3，所以0<log 27－2<1，即0<log 274<1，∵x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈[0，1]， ∴f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274＋1＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272，又1<log 272<2，所以0<log 2⎝⎛⎭⎪⎫log 272<1，所以－1<－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272<0，所以f (－5)<f (log 27)<f (6). 答案 C11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞解析如图，画出f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的大致图象，记M ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则|MN |＝π6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即|x 2－x 1|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞.答案 A12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (x )＝x －4－2ln x (x >2)，则g ′(x )＝1＋2x>0，故g (x )在(2，＋∞)上单调递增.因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，且g (m )＝0，所以e 2<m <e 3，又k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)，且k ∈Z ，所以k max ＝4. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.(x ＋2y )5的展开式中含x 3y 2项的系数为________.解析展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5x5－r(2y )r.依题意，r ＝2，故含x 3y 2项的系数22C 25＝40. 答案 4014.若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为________.解析画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示：x －y 的最大值为5，由图形可知，z ＝x －y 经过可行域的点A 时取得最大值5.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，x ＋y ＝1⟹A (3，－2)是最优解，直线y ＝m 过点A (3，－2)，所以m ＝－2. 答案－215.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 为正方形，P 为A 1D 1的中点，AD ＝2，AA 1＝3，点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC ＝2QP ，则线段BQ 的长度的最大值为________.解析以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则P (1，0，3)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，Q (x ，y ，0)，因为QC ＝2QP ，所以x 2＋（y －2）2＝2（x －1）2＋y 2＋3⟹(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，所以(y ＋2)2＝4－(x －2)2⟹|y ＋⟹－4≤y ≤0，|BQ |＝（x －2）2＋（y －2）2＝4－8y ，又4≤4－8y ≤36，则2≤|BQ |≤6，故线段BQ 的长度的最大值为6. 答案 616.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析由已知条件，得192＝e b，又48＝e22k ＋b＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24。

2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练二

高分突破复习：小题满分限时练(二)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |y ＝－2－x }，B ＝{x |2x>1}，则A ∩B ＝( ) A.{x |0<x ≤2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |x >0} D.{x |x ≤2}解析易知A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x >0}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}. 答案 A2.(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i 解析因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i. 答案 B3.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如下表，根据数据表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝2，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为( )A.17万元B.18万元C.19万元D.20万元解析易知x －＝4，y －＝7，∴a ^＝7－2×4＝－1，则y ^＝2x －1.当x ＝9时，y ^＝2×9－1＝17. 答案 A4.(2018·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A.5B.40C.20D.10解析令x ＝1，得3n＝243，∴n ＝5.又T r ＋1＝C r5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 5x 15－4r .令15－4r ＝7，∴r ＝2.∴展开式中x 7的系数为22C 25＝40. 答案 B5.(2018·烟台一模)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的左支分别交于点A ，B ，若OA →＝12(OB →＋OF 2→)，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2C.2＋3D. 5解析由OA →＝12(OB →＋OF 2→)，知点A 是BF 2的中点，连接BF 1，易知AO 是△BF 1F 2的中位线，所以△BF 1F 2中∠F 2F 1B 为直角，故在Rt△BF 1F 2中，∠BF 2F 1＝60°.∴|BF 2|＝|F 1F 2|cos 60°＝4c ；且|BF 1|＝23c .由双曲线定义，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，则a ＝(2－3)c ，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝12－3＝2＋ 3.答案 C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36π C.3＋36π D.12＋36π 解析由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的34组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12·3＋34π·12·2＝9＋36π. 答案 A7.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≤x ，3x －y ≤6，则z ＝x 2＋y 2的最小值是( )A.1B.2C.2D.4解析作不等式组表示的平面区域如图(阴影部分).由x ＋y ＝2与y ＝x 联立得点A (1，1)，∵直线x ＋y ＝2与y ＝x 垂直，∴点A (1，1)到原点O 的距离最小，因此z ＝x 2＋y 2的最小值为|OA |2＝2. 答案 C8.定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)D.(2，＋∞)解析 ∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在R 上是增函数，又f (x )>f (x 2－2x ＋2)，因此x >x 2－2x ＋2，解之得1<x <2.答案 A9.设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D.n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 解析因为P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列. 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43.答案 A10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，右图是解决这类问题的程序框图，若输入n ＝24，则输出的结果为( ) A.23 B.47 C.24 D.48解析由初始值n ＝24，S ＝24. 经过一次循环后，n ＝16，S ＝40. 经过两次循环后，n ＝8，S ＝48.经过三次循环后，n ＝0，S ＝48，退出循环. 输出S ＝48－1＝47. 答案 B11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝1，c ＝3，且a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12，则a ＝( )A.1或2B.1或 3C.1或2D.2或 3解析由a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12且b ＝1，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝b2，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12sin B ＝12，又b ＝1<c ＝3，知B 为锐角，则B ＝π6.所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即a 2－3a ＋2＝0，解之得a ＝1或a ＝2. 答案 C12.已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(0，π)满足f ′(x )sin x >f (x )cos x (其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析设g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos xsin 2x>0.∴g (x )在x ∈(0，π)上是增函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sinπ6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝________.解析设|OC →|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC →＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1. 答案 114.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________.解析依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（b ，c >0），4c b＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值是9.答案 915.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形.若PA ＝26，则△OAB 的面积为________.解析如图，由题意可知△PAC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3.答案 3 316.已知动点P 在椭圆x 249＋y 240＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.解析由PM →·AM →＝0，知PM ⊥AM ，又A (3，0)，且|AM →|＝1.∴点M 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝1，则PM 是该圆的切线，故|PM →|＝|PA |2－|AM |2＝|PA |2－1. 当|PA |最短时，则|PM →|最小.由椭圆的几何性质，易知|PA |min ＝a －c ＝4. ∴|PM →|的最小值为42－1＝15. 答案15。

2019届高考数学北师大版理大一轮复习讲义：第六章数

§6.3 等比数列及其前n 项和1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 知识拓展等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案 27,81解析设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题组三易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．答案－12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案－11解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．答案 48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟)．题型一等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________. 答案 2n －1解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二等比数列的判定与证明典例 (2018·潍坊质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．解由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型三等比数列性质的应用1．(2017·郑州三模)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 ∵a 6＋a 8＝4，∴a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 8a 6＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16.故选D.2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．50答案 B解析由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N ＋)．[3分] (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2. ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D. 2．(2017·武汉市武昌区调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.3．(2017·张掖市一诊)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 a 5＝±a 4·a 6＝±16＝±4， ∵q 2＝a 5a 3>0，∴a 5＝4，q 2＝2，则a 10－a 12a 6－a 8＝q 4＝4. 4．(2017·山西太原三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N ＋)在函数y ＝3×2x 的图像上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N ＋)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n >a n D ．T n <b n ＋1答案 D解析由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3，当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6，解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1.5．(2017·广元模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( ) A ．5 B ．9 C ．log 345 D ．10答案 D解析由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里答案 B解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，由题意得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 答案 4解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝12，S 2＝a 1＋a 2＝3， ∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝123＝4，q ＝2或q ＝－2(舍去)，∴a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝3a 3＝12，a 3＝4.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．答案 4解析因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．答案 2n －1解析设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴数列{a n }的前n 项和为1－2n 1－2＝2n－1.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N ＋)，则通项a n ＝________. 答案12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，又a 1＝12，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .11．(2016·全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1≠0，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N ＋.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n.13．(2017·新乡三模)若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.答案 3n －1＋12解析 ∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________. 答案 43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2 解析由题意，得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1 ＝43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋2.15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N ＋)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6，故选C. 16．(2017·武汉市武昌区调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N ＋)，则数列{S n }的前9项和为________．答案－3411 024解析因为S n ＋12n ＝(－1)n a n ，所以S n －1＋12n －1＝(－1)n －1a n －1(n ≥2)．两式相减得S n －S n －1＋12n －12n －1 ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1，即a n －12n ＝(－1)n a n ＋(－1)n a n －1(n ≥2)，当n 为偶数时，a n －12n ＝a n ＋a n －1，即a n －1＝－12n ，此时n －1为奇数，所以若n 为奇数，则a n ＝－12n ＋1；当n 为奇数时，a n －12n ＝－a n －a n －1，即2a n －12n ＝－a n －1，所以a n －1＝12n －1，此时n －1为偶数，所以若n 为偶数，则a n ＝12n . 所以数列{a n }的通项公式为a n＝⎩⎨⎧ －12n ＋1，n 为奇数，12n ，n 为偶数.所以数列{S n }的前9项和为S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 9＝9a 1＋8a 2＋7a 3＋6a 4＋…＋3a 7＋2a 8＋a 9＝(9a 1＋8a 2)＋(7a 3＋6a 4)＋…＋(3a 7＋2a 8)＋a 9＝－122－124－126－128－1210 ＝－122×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1451－14＝－3411 024.。

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习 381页

【8个专题28份】2019高考数学高分突破二轮复习练习目录2019年3月1日第1讲三角函数的图象与性质 (2)第2讲三角恒等变换与解三角形 (19)规范答题示范——三角函数及解三角形解答题 (34)第1讲等差数列与等比数列 (36)第2讲数列求和及综合应用 (51)规范答题示范——等差数列与等比数列解答题 (67)第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积 (69)第2讲空间点、线、面的位置关系 (86)第3讲立体几何中的向量方法 (102)规范答题示范——立体几何解答题 (127)第1讲统计与统计案例 (131)第2讲概率、随机变量及其分布列 (152)规范答题示范——概率与统计解答题 (176)第1讲直线与圆 (180)第2讲椭圆、双曲线、抛物线 (194)第3讲圆锥曲线中的热点问题 (213)规范答题示范——解+析几何解答题 (233)第1讲函数图象与性质 (236)第2讲基本初等函数、函数与方程 (250)第3讲不等式 (264)第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题 (280)第5讲导数的综合应用与热点问题 (298)规范答题示范——函数与导数解答题 (316)第1讲坐标系与参数方程 (319)第2讲不等式选讲 (334)第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化 (346)第2讲函数与方程、数形结合思想 (359)第3讲分类讨论、转化与化归思想 (371)第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解+析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解+析由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 B2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解+析 A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误. 答案 D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解+析易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 答案 B4.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解+析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A考点整合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的定义【例1】(1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解+析 (1)法一由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13，∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ).当cos α＝1－sin 2α＝223时，cos β＝－223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时，cos β＝223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知，cos(α－β)＝－79. 法二由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z )， ∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α， cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α，k ∈Z .当sin α＝13时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，则sin(π－α)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－32(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解+析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，且|OP |＝1.∴由三角函数定义，知sin α＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二三角函数的图象考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称解+析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1，故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意，T ＝π，ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z .由|φ|<π2，取φ＝－π6，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解+析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解+析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(2018·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22 D.32解+析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，得φ＝－π3.因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6，因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解+析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解+析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解+析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 热点三三角函数的性质考法1 三角函数性质【例3－1】 (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (2018·湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω>0)，函数f (x )＝m·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知，最小正周期T ＝π.∴ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22. 故函数g (x )的值域是[－2，1].1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解+析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π解+析 f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 C2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解+析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解+析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解+析依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案 C5.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解+析把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解+析由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案－π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解+析式为________.解+析由题图可知A ＝2，P (x 1，－2)，Q (x 2，2)，所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4，即2πω＝4，解得ω＝π2.又函数图象过点(0，－3)，所以2sin φ＝－3，即sin φ＝－32.又|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解+析由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5解+析因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.解+析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.答案 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考点整合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解+析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)A (2)π3热点二正弦定理与余弦定理考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】 (2018·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积.解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝334”，试求a ＋c 的值. 解由S △ABC ＝12ac ·sin B ＝334， ∴12ac ·32＝334，则ac ＝3.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋ac ＝9＋3＝12，故a ＋c ＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b ＝3，删去“条件△ABC 的周长为3＋23”，试求△ABC 面积的最大值.解由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则9＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，所以ac ≤9(当且仅当a ＝c ＝3时，取等号)，故S △ABC ＝12ac sin B ≤12×9sin 2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】 (2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( ) A.210(6＋2)米 B.1406米 C.2102米D.20(6－2)米解+析由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420(米).在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC .可得CH ＝AC ·sin ∠CAH sin ∠AHC ＝1406(米).答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. 【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解+析由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6热点三与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ，故b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12. 由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89B.79C.－79D.－89解+析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案 B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6解+析由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解+析因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. 答案 C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π解+析由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A解+析等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . 答案 A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解+析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案－127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.解+析由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247， ∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. 答案－398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解+析由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sinC ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM→＝MC →.(1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1. 在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7，所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ，∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.规范答题示范——三角函数及解三角形解答题【典例】 (12分)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A . (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. [信息提取]❶看到△ABC 的面积为a 23sin A ，想到三角形的面积公式，利用正弦定理进行转化； ❷看到sin B sin C 和6cos B cos C ＝1，想到两角和的余弦公式. [规范解答][高考状元满分心得]❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出12ac sin B ＝a 23sin A 就有分，第(2)问中求出cos B cos C －sin B sin C ＝－12就有分.❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A ；第(2)问由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9.❸计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos B cos C －sin B sin C ＝－12化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分. [解题程序]第一步：由面积公式，建立边角关系；第二步：利用正弦定理，将边统一为角的边，求sin B sin C 的值；第三步：利用条件与(1)的结论，求得cos(B ＋C )，进而求角A ；第四步：由余弦定理与面积公式，求bc 及b ＋c ，得到△ABC 的周长；第五步：检验易错易混，规范解题步骤，得出结论.【巩固提升】 (2018·郑州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a sin A －b sin B ＝(3a －c )sin C ，a ∶b ＝2∶3.。

(完整)2019-2020年高考数学小题高分突破3复数与程序框图

2019-2020年高考数学小题高分突破 3复数与程序框图 1 •若实数x ，y 满足总+y =2+i （i 为虚数单位），则x +yi 在复平面内对应的点位于（）A •第一象限C .第三象限答案 Bx解析因为1后+ y = 2+ i , 所以 x + y + yi = （1 + i ）（2 + i ） = 1 + 3i ,因为x , y 为实数，x + y = 1,所以解得x =— 2, y = 3, y = 3,所以复数x + yi =— 2+ 3i 在复平面内对应的点为（一2,3），位于第二象限.2+ 3i2.在如图所示的复平面内，复数 z = —对应的点为（）A .点AB .点BC .点CD .点D答案 D••• z 在复平面内对应点的坐标为（3, — 2）,B .第二象限 D .第四象限=3— 2i ,观察图象，对应点为点 D.3 .已知i为虚数单位，复数z = （a—i）1 2, a € R，若复数z是纯虚数，则|z|等于（）A. 1B. 2C. 2D. 4答案C解析z= （a —i）2= a2—2ai —1,若复数z是纯虚数，则a2—1 = 0，且0，所以a2= 1.因为z= —2ai，所以zi=“-j4a2= 2.4 .设有下面四个命题：P1：若复数z满足z= z，则z€ R;P2：若复数Z1 , z2 满足|Z1|= |z2|,贝y Z1= z2 或Z1 = —Z2；P3：若复数Z1 = Z 2，贝U Z1 Z2€ R ；P4：若复数Z1 , Z2 满足Z1+ Z2€ R，贝y Z1 € R, Z2 € R ,其中的真命题为（）A . P1, P3B . P2, P4C . p2, P3D . P1 , p4答案A解析由z= z，可知复数的虚部为0，所以有z€ R，从而得P1是真命题；由复数的模的几何意义，可知P2是假命题；由Z1= Z2,可知Z1, Z2互为共轭复数，所以P3是真命题；复数Z1, Z2满足Z1+ Z2€ R,只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以P4是假命题.5 .若复数z满足（3+ 4i）z= 1—i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数z等于（）1 7C . —25 —25i答案D1 —i解析由题意可得z=—3 + 4i1 7所以z_ —25+2?1 7A . — 5—7i6.执行如图所示的程序框图，则 S 的值为（）1D . — 25+1 — i 3 — 4i _— 1— 7i3 + 4i 3— 4i _ 25此时，不满足条件i w 4，退出循环，输出 S 的值为128.7．执行如图所示的程序框图,若输出结果为 15,则判断框中应填入的条件A . k > 16B . k<8C . k<16D . k > 8答案 A解析根据题中所给的程序框图,可以确定该题要求的是A ．16 B ． 32 C ．64 D ． 128 答案 D解析模拟程序的运行，可得 i = 1, S = 1,执行循环体, S =2, i =2,满足条件i w 4,执行循环体, S = 8, i = 4,满足条件 i w 4,执行循环体,S = 128, i = 8,M 为( ) S = 1＋2＋4＋8＋对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15,结合题中所给的条件，可知选 A.8.欧拉公式e ix = cos x + isin x （i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，n被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将e^'表示的复数记为z,则z （1 + 2i ）的值为（） A . - 2 + i B . - 2-iC . 2 + iD . 2-i答案 An解析由题意得 z = e 2 = cos 扌+ isin 扌=i ,所以 z （1 + 2i ） = i （1 + 2i ） = - 2+ i.9 .若复数z i = 1 + i , Z 2= 1 - i ，则下列结论错误的是（）A . Z 1 z 2是实数C.|z 1|= 2滋|答案 D解析 z 1 z 2= (1 + i)(1 — i)= 1 — i 2= 2，是实数，故 A 正确,茵|=|(1 + i)4|=|[(1 + i)2]2|= |(2i)2| = 4, 2|z 2|= 2|(1 - i)2|= 2|-2i|= 4, 故 C 正确，z 2+ z 2= (1 + i)2+ (1 - i)2= 2+ 2i 2= 0,所以 D 不正确.1 -B.z1是纯虚数 z 2D . z 1+ z 2= 4i z 1z 2 21 + i 1 + 2i + i2 : — —i, 1- i 2 ' 是纯虚数，故 B 正确,10.运行如图所示程序框图，若输入的t€ — - , 3，则输出s的取值范围为（）A. [1 —3 3]C. [1 —.3, 8]答案C解析由程序框图可知，该程序表示分段函数,2cos2n^+ . 3sin nn当一1< t<1时，解析式化为s= 2sin n+ + 1,2 6n+ 6C — 3，7n，乂【1-V3, 3]，1当1w t w 3 时，一3W 2t —t2w 1, s€ 2, 8 , 综上所述，s的取值范围是[1 —3, 8].11•中国南宋数学家秦九韶（公元1208〜1268）在《数书九章》中给出了求n次多项式a n x n+ a n-1x n口…十a1x+ a o在x=t处的值的简捷算法，例如多项式a3x3+ a2x2+ a1x+ a o可改写为（a3x+ a2 x+ a1）x+ a o后，再进行求值•如图是实现该算法的一个程序框图，该程序框图可计算的多项式为（）A．x 4＋x3＋2x2＋3x＋4B.舟，8D. [0,8]1 2t—t22 1< t w 3,4＋2x3＋3x2＋4x＋5B．xC．x5＋x4＋2x3＋3x2＋4x＋ 5D．x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6答案C解析依次运行程序可得①i = 1, P= x+ 1,满足条件，继续运行；②i = 2, P= (x+ 1)x+ 2= x2+ x+ 2，满足条件，继续运行；③i = 3, P= (x2+ x+ 2)x+ 3 = x3+ x2+ 2x+ 3，满足条件，继续运行；④i = 4，P= (x3+ x2+ 2x+ 3)x+ 4 = x4+ x3+ 2x2+ 3x+ 4，满足条件，继续运行；⑤i = 5，P= (x4+ x3+ 2x2+ 3x+ 4)x+ 5 = x5+ x4+ 2x3+ 3x2+ 4x+ 5，不满足条件，停止运行, 输出x5＋x4＋2x3＋3x2＋4x＋5.解析在复平面内复数aiz=1 + iai 1 —i = 1 11 + i 1—i = 2a+2ai，12 •元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等•如图是源于其思想的一个程序框图，若 a = 32, b= 12,则输出的n等于（）A• 3 B. 4 C. 5 D • 6答案B解析记执行第n次循环时，a的值为a n,3则有a n = 32 2 n；记执行第n次循环时，b的值为b n,则有b n= 12X 2n.3 3 3令32 n w 12X 2n,则有匚n w ,故n》4.2 4 8所以输出的n等于4.13 .若复数z满足i z=—3+ 2i（i为虚数单位），则复数z的虚部为___________ ;|z|= _________ 答案 3 ,13解析•/ i z= — 3 + 2i,上亠=严V = 2+ 3i•••复数z 的虚部为3, |z|= 22+ 32= . 13.14•在复平面内复数z=誥对应的点位于第三象限，则实数答案（—R, 0）a的取值范围是1 1对应的点2a, 2a位于第三象限，1 二2玄<0，解得a<0.则实数a的取值范围是（一R, 0）.15 •执行如图所示的程序框图，输出的s值为 _________1答案—11 1 解析运行程序如下：1 <2 018 , s=—3, n = 2; 2< 2 018 , s= —2, n = 3; 3< 2 018 , s=32 3 n = 4；4w 2 018, s= 2, n= 5，所以s 的周期为4,因为2 018除以4的余数为2,1所以输出s=—-16 •执行如图所示的程序框图，输出S的值为_________ •答案 1 009解析执行程序框图：nS= 0+ 1 sin 2=0 + 1，i=3,3< 2 018;3 nS= 0+ 1 + 3sin 厂0 + 1 —3, i = 5,5W 2 018;5 nS= 0+ 1 —3 + 5 sin — = 0+ 1—3+ 5, i = 7,7< 2 018;S= 0+ 1 —3 + …+ 2 017 sin —= 0 + 1 —3+ …+ 2 017, i = 2 019,2 019>2 018.输出S = 0 + 1 —3 + 5 —7…一2 015 + 2 017 = (0 + 1) + ( —3 + 5) + ( —7 + 9) +••• + (—2 015+ 2 017)= 1 + 2 + 2 + …+ 2 = 1 + 504 X 2 = 1 009.。

2019高考数学高分突破二轮复习练习专题六规范答题示范 Word版含解析.doc

规范答题示范一一函数与导数解答题【典例】(12分)(2017・全国III卷)已知函数» = ln x+ax + (2a + l)x.(1)讨论函数只尤)的单调性；. 3(2)当a<0时，证明fix) W —疝一 2.［信息提取］看到讨论/U)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数川)进行求导.3看到要证ROW一焉一2成立，想到利用导数求函数的最大值.［规范解答］⑴解只力的定义域(0, +oo),1 I | | (2QX+1) (x+1)f (x) =—+ 2ax+2。

+1 = ■. .....................................................................1分若aNO 时，则当xe(0, +oo)时，f(x)>0,故只x)在(0, +s)上单调递增，.....................................................................2分若。

<0时，则当对［。

，一土)时，/(x)>0；当好［一土，+』时，加<0.故只x)在［。

，一如上单调递增，在［一土，上单调递减. .....................................................................5分(2)证明由⑴知，当a<0时顼x)在》=一土处取得最大值，最大值为f ［—土)=mW\ laj 4a所以母)W 一土一2 等价于ln［一土)— 1 一土W 一土—2,即In［一新 +土+1W0,.....................................................................8分设g(x)=lnx—x+1,则g，(x)=?—1.当xG(o, 1)时，g‘a)>o；尤E(I, +oo)时，g，a)<o.所以g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减.故当x=l时，g(x)取得最大值，最大值为g(l) = O. .....................................................................10分所以当x>0时，g(x)W0,从而当a<0时，In［—新+土+1W0,3即必)鞋—2. .....................................................................12分［高考状元满分心得］得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第⑵问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出只”的定义域,f(x)在(0, +co)上单调性的判断；第⑵问，式”在》=—土处最值的判定，y(x)W一土一2等价转化为In［一如+土+1W0等.得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导尹(” 准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算只》)在》=—土处的最大值.［解题程序］第一步：求函数式”的导函数/(%);第二步：分类讨论式”的单调性；第三步：利用单调性，求只X)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x);第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式.第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.【巩固提升】已知函数/(%) =x2—Mn%—a, g(x)=j—x.⑴当。

2019年高考数学高分突破复习 专题六 第3讲

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