导数的极值、最值及其应用(重点)

教学过程

一.课程导入：

我们之前学过函数的图像,函数的导数,在这基础上我们引申出我们今天要学的最值和极值,但是这两个虽一字之差但是却大不相同,我们可以先从最值,极值的定义先了解一下

思考下面的图像的最值,极值分别为什么?

二、复习预习

本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.

函数的极值

三、知识讲解 考点1、极值的定义

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)

是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点

3.点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值1x 是极大值点，4x 是极

小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

考点2、最值的定义

函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a,上连续的函数)(x f在[]b a,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f不一定有最大值与最小⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f在闭区间[]b a,上连续，是)(x f在闭区间[]b a,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

考点3、求最值极值的步奏

1.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值

2.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f在(,)

a b内的极值；⑵将)(x f的各极值与)(a f、)(

b f比较得出函数)(x f在[]b a,上的最值

四、例题精析

考点一 求函数的极值 【例题1】

【题干】求列函数的极值： （1）22)2()1(--=x x y ；（2）21

22-+=x x

y

【答案】见解析

【解析】（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f 令0)(/=x f ，得点2,7

,1321===x x x

0)1(=∴f 是函数的极大值；3125

)5(-

=f 是函数的极小值

（2）2

2222/

2)

1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=

∴当1-=x 时，f 极小=-3；当1=x 时，f 极大=-1值

考点二 求函数的极值点 【例题2】

【题干】设e e x ax x f x ()1()(2-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），)(x f 取极小值时，求x 的值

【答案】见解析

【解析】)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x e x ax e ax x f )2)(1(-+⋅-=-x ax e z

令210)(或a

x x f -=⇒='

（1）01

21<<->-a 即当，由表

)(,1

x f a

x 时-=∴取极小值

（2）0)2(21)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值

（3）1

21-<<-a 即当时，由表

取极小值时时当综上取极小值时)(,,02,.)(,2x f a

x a x f x -=<<-

-=∴

取极小值时时当)(,2,2

1x f x a -=-<

考点三函数的单调性及其应用

【例题3】

【题干】设函数f（x）=1

2

x－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数

【答案】见解析 【解析】f ′（x ）=2

1x

x +－a

当x ＞0时，

01<

<

因为a ＞0，所以当且仅当a ≥1时，f ′（x ）= 2

1x

x +－a 在［0，+∞）上恒小于0，此时f （x ）是单调

递减函数

课后评价